Voir la source de Monomorphisme

Dans le cadre de l'[[algèbre générale]] ou de l'[[algèbre universelle]], un '''monomorphisme''' est simplement un [[morphisme]] [[Injection (mathématiques)|injectif]].

Dans le cadre plus général de la [[théorie des catégories]], un monomorphisme est un morphisme [[Loi de composition interne#Réguliers et dérivés|simplifiable à gauche]], c'est-à-dire un morphisme <math>f\colon X \to Y</math> tel que pour tout <math>Z</math>,
<center><math>\forall g_1, g_2\colon Z\to X\quad\left(f\circ g_1=f \circ g_2\quad\Rightarrow\quad g_1=g_2\right),</math></center>
ou encore : l'application 
<center><math>f_*\colon \operatorname{Hom}(Z,X) \to\operatorname{Hom}(Z,Y),~g\mapsto f\circ g\text{ est injective.}</math></center>

Les monomorphismes sont la généralisation aux catégories des [[Injection (mathématiques)|fonctions injectives]] ; dans certaines catégories, les deux notions coïncident d'ailleurs. Mais les monomorphismes restent des objets plus généraux (voir l'[[#Exemples|exemple ci-dessous]]).

Le [[catégorie duale|dual]] d'un monomorphisme est un [[épimorphisme]] (c'est-à-dire qu'un monomorphisme dans la catégorie ''C'' est un épimorphisme dans la catégorie duale ''C''<sup>op</sup>).

== Terminologie ==

Les termes consacrés ''monomorphisme'' et ''[[épimorphisme]]'' ont été originellement introduits par [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]], qui utilisait ''monomorphisme'' comme raccourci pour désigner les fonctions injectives. Plus tard, les théoriciens des catégories ont donné de ces deux termes la définition ci-dessus, ce qui a causé quelques malentendus dans les cas où la nouvelle notion ne coïncidait pas avec l'ancienne. [[Saunders Mac Lane]]<ref>{{MacLane1}}, {{p.|19}}.</ref> a tenté de remédier à la situation en redonnant à « monomorphisme » sa signification ensembliste antérieure, et en appelant « morphisme monique » la notion catégorique, mais ses choix ne sont pas entrés dans l'usage<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[George Bergman]]|titre=Invitation to General Algebra and Universal Constructions|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]|année=2015|année première édition=1988|pages totales=572|passage=258|isbn=978-3-319-11478-1|lire en ligne={{Google Livres|9UGMBgAAQBAJ|page=258}}}}.</ref>.

== Exemples ==

* Tout [[Isomorphisme (théorie des catégories)|isomorphisme]] est un monomorphisme.

* Tout morphisme d'une [[catégorie concrète]] dont l'application sous-jacente est injective est un monomorphisme.

* Dans la [[catégorie des ensembles]], la réciproque est vraie, et donc les monomorphismes sont exactement les [[Injection (mathématiques)|injections]]<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=[[Georges Poitou]] et Paul Jaffard|titre=Introduction aux catégories et aux problèmes universels|passage=16-19|lieu=Paris|éditeur=Ediscience|date=1971}}</ref>. La réciproque est également vraie dans la plupart des catégories usuelles, de par l'existence d'[[Objet libre|objets libres]] sur un générateur. En particulier, c'est vrai pour toute [[catégorie abélienne]] concrète, et également pour la [[catégorie des groupes]]<ref name=":0" /> et [[catégorie des anneaux|celle des anneaux]].

* En revanche, dans d'autres catégories concrètes, les monomorphismes ne sont pas nécessairement injectifs. Par exemple, dans la catégorie '''Div''' des [[Groupe abélien|groupes abéliens]] [[Groupe divisible|divisibles]] et des [[Morphisme de groupes|morphismes de groupes]] entre eux, il y a des monomorphismes qui ne sont pas injectifs : considérer l'application [[Groupe quotient|quotient]] ''f'' :&nbsp;'''Q'''&nbsp;→&nbsp;'''Q'''/'''Z'''. Elle n'est pas injective ; cependant, c'est un monomorphisme de cette catégorie<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Francis Borceux|titre=Handbook of Categorical Algebra|volume=1|titre volume=Basic Category Theory|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1994|pages totales=345|passage=26|isbn=978-0-521-44178-0|lire en ligne={{Google Livres|YfzImoopB-IC|page=26}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Bergman|2015|p=255}}.</ref>. En effet, si ''f''&nbsp;∘&nbsp;''g''{{ind|1}} = ''f''&nbsp;∘&nbsp;''g''{{ind|2}} pour deux morphismes ''g''{{ind|1}}, ''g''{{ind|2}} :&nbsp;''G'' → '''Q''' où ''G'' est un groupe abélien divisible alors ''f''&nbsp;∘&nbsp;''h'' = 0 où ''h'' = ''g''{{ind|1}} – ''g''{{ind|2}} (ce qui a un sens dans une [[catégorie additive]]). Cela signifie que le groupe ([[Groupe divisible#Propriétés|divisible]]) [[Morphisme de groupes#Noyau et image|im(''h'')]] est inclus dans '''Z''' [[Sous-groupe#Sous-groupe des entiers relatifs|donc trivial]], autrement dit : ''h'' = [[Application nulle|0]], donc ''g''{{ind|1}} = ''g''{{ind|2}}.

== Propriétés ==
*Le composé de deux monomorphismes est un monomorphisme.
*Pour tout objet <math>X</math> d'une catégorie <math>\mathcal{C}</math>, la flèche unité <math>1_X</math> de <math>Hom(X,X)</math> est un monomorphisme.
*Si la flèche [[Théorie des catégories|produit]] <math>vu</math> est un monomorphisme, alors la flèche <math>u</math> est un monomorphisme.
*D'après les deux propriétés précédentes, toute [[Section (théorie des catégories)|section]] (c'est-à-dire tout morphisme [[Loi de composition interne#Inversibilité|inversible à gauche]]) est un monomorphisme<ref>{{Harvsp|Borceux|1994|p=24}}.</ref>. Les sections sont aussi appelées des {{refsou|date=janvier 2016|[[Suite exacte|split monos]]}} ou '''monomorphismes directs'''<ref name=":0" />.
*Un morphisme ''f'' : ''X'' → ''Y'' est un monomorphisme si et seulement si le [[produit fibré]] de ''f'' par ''f'' existe et est égal à ''X'' (muni des applications id{{ind|''X''}})<ref>{{Harvsp|Borceux|1994|p=53}}.</ref>.
*Tout [[Noyau (théorie des catégories)|noyau]] est un monomorphisme.

== Concepts liés ==
* Il existe aussi les concepts de monomorphisme régulier, monomorphisme fort et monomorphisme extrémal. Un monomorphisme ''régulier'' [[égaliseur (mathématiques)|égalise]] un couple de morphismes. Un monomorphisme ''extrémal'' est un monomorphisme qui ne peut être factorisé que de manière triviale à l'aide d'un épimorphisme : plus précisément, si ''m = g''&nbsp;∘&nbsp;''e'' avec ''e'' un épimorphisme, alors ''e'' est un [[isomorphisme]]. Un monomorphisme ''fort'' vérifie {{évasif|date=janvier 2016|une certaine propriété de relèvement par rapport aux [[Diagramme commutatif|carrés commutatifs]] impliquant un épimorphisme}}.
* Dans une catégorie <math>\mathcal{C}</math> une famille de flèches <math>(u_i)_{i \in I}</math> ayant toutes la même source est dite ''famille monomorphique'' si tout couple de flèches <math>(x,y)</math> vérifiant les égalités <center><math>\forall i \in I, u_ix=u_iy </math></center> vérifie aussi <center><math>x=y</math><ref name=":0" />.</center>.


== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Monomorphism|139298568|type=n}}
{{Références}}

== Lien externe ==
{{Lien web|lang=en|auteur=Jaap van Oosten|url=http://www.math.uu.nl/people/jvoosten/syllabi/catsmoeder.pdf|titre=Basic Category Theory|année=2002|site=[[Université d'Utrecht]]}}

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Algèbre générale]]
[[Catégorie:Théorie des catégories]]