Voir la source de Moyenne harmonique

{{sources|date= août 2011}}
La '''moyenne harmonique''' {{math|''H''}} de [[nombres réels]] [[nombre positif|strictement positifs]] <math>a_1,\ldots ,a_n</math> est définie par :

:<math>H = \frac{n}{\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n}}\cdot</math>

C'est l'[[inverse]] de la [[moyenne arithmétique]] des inverses des termes. La moyenne harmonique est donc utilisée lorsqu'on veut déterminer un rapport moyen, dans un domaine où il existe des liens de proportionnalité inverses.

== Exemples ==
Dans certains cas, la moyenne harmonique donne la véritable notion de « [[moyenne]] ». Par exemple, si pour la moitié de la ''distance'' d'un trajet vous voyagez à 40 kilomètres par heure, et que pour l'autre moitié vous voyagez à 60 kilomètres par heure, votre vitesse moyenne est alors donnée par la moyenne harmonique de 40 km/h et 60 km/h, ce qui donne 48 km/h. Votre temps de voyage total est donc le même que si vous aviez voyagé à 48 kilomètres par heure sur l'ensemble de la distance (attention toutefois, si vous aviez voyagé la moitié du ''temps'' à une vitesse, et l'autre moitié du ''temps'' (et non de la distance) à une autre vitesse, la moyenne arithmétique, dans ce cas 50 kilomètres par heure, vous aurait donné la bonne moyenne).

De même, si un [[circuit électrique]] a deux [[résistance (électricité)|résistances]] reliées en ''parallèle'', la première faisant 40 [[Ohm (unité)|Ω]] et l'autre 60 Ω, la résistance moyenne des deux est 48 Ω ; la résistance totale du circuit est la même que si les deux résistances en parallèle étaient remplacées par deux résistances de 48 Ω (attention, cette résistance moyenne ''n'est pas'' la [[résistance équivalente]] qui est, elle, de 24 Ω, et qui correspond à remplacer les deux résistances en parallèle par une seule résistance de 24 Ω).

Un autre exemple utile est celui de l'usure des pneus d'un véhicule entre l'avant et l'arrière. Si votre train de pneus avant est usé au bout de {{unité|50000|km}} tandis que celui arrière l'est au bout de {{unité|35000|km}}, vous pouvez connaitre le kilométrage au bout duquel permuter les roues avant et arrière en prenant la moitié de la moyenne harmonique. Soit ici : <math>\frac{35000\times50000}{35000+50000}=20588</math>.

== Moyenne harmonique de deux nombres ==

=== Formule ===
La moyenne harmonique de deux réels strictement positifs <math>a\text{ et }b</math> s'écrit :

:<math>H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a +b}\cdot</math>
Par exemple, chaque terme de la [[série harmonique]] <math display=inline>\sum {1\over n}</math> est la moyenne harmonique des termes précédent et suivant.

=== Lien avec les moyennes géométrique et arithmétique ===
Cette moyenne est aussi reliée à la [[moyenne arithmétique]],

:<math>A=\frac{a+b}{2},</math>

et à la [[moyenne géométrique]],

:<math>G = \sqrt{ab},</math>

par la formule suivante :

:<math>H = \frac {G^2}{A}\cdot</math>

d'où

:<math>G = \sqrt{AH}</math>, {{c.-à-d.}} que la moyenne géométrique est la [[racine carrée]] de la moyenne arithmétique multipliée par la moyenne harmonique.

=== Proportions harmonique et contre-harmonique ===
Trois réels strictement positifs <math>a<b<c</math> sont dits "en proportion harmonique" si le rapport du deuxième écart au premier écart est égal au rapport du troisième nombre au premier, autrement dit si <math>\frac{c-b}{b-a}=\frac c a</math> ; cela équivaut à ce que <math>b=\frac{2ac}{a+c}</math>, autrement dit à ce que le nombre central soit la moyenne harmonique des deux autres.

Ces nombres sont dits « en proportion contre-harmonique » si les rapports sont inversés, autrement dit si <math>\frac{b-a}{c-b}=\frac c a</math> ; cela équivaut à ce que <math>b=\frac{a^2+c^2}{a+c}</math>, qui est appelé la moyenne "contre-harmonique" de <math>a\text{ et }c</math>.

Par exemple, 2, 3 et 6 sont en proportion harmonique, tandis que 2, 5, et 6 sont en proportion contre-harmonique.

=== Lien avec la division harmonique ===
Les réels strictement positifs <math>a<b<c</math> sont en proportion harmonique si et seulement si les quatre nombres <math>0,b,a,c</math> forment une [[division harmonique]], autrement dit si le [[birapport]] <math>(0,b,a,c)=\frac{a-b}a:\frac{c-b}c</math> est égal à -1.

Inversement, quatre points <math>A,B,C,D</math> d'une droite orientée forment une [[division harmonique]] si et seulement si <math>\overline{AB}</math> est la moyenne harmonique de <math>\overline{AC}</math> et <math>\overline{AD}</math>, ce que l'on écrit sous la forme de la '''relation de Descartes''' : <math>\frac2{\overline{AB}}=\frac1{\overline{AC}}+\frac1{\overline{AD}}.</math>

== Constructions géométriques ==
[[Fichier:Inegalites moyennes.gif|vignette|300x300px|A: [[moyenne arithmétique]] des nombres a et b, G [[moyenne géométrique]], H harmonique, Q [[Moyenne quadratique|quadratique]].]]

=== À partir d'un demi-disque ===
La moyenne harmonique fait partie des moyennes pythagoriciennes et peut être construite<ref>{{article|lang=en|titre=Means Appearing in Geometric Figures|
auteur=Howard Eves|périodique=Mathematics Magazine|date=Octobre 2003|lire en ligne=https://www.maa.org/sites/default/files/Means_Appearing09510.pdf}}</ref>.

On considère un segment [''AB''], séparé en deux segments de longueurs ''a'' et ''b'' en ''K''. Le demi-cercle de diamètre [''AB''], centré en ''O'', a donc un rayon égal à la moyenne arithmétique de <math>a\text{ et }b</math>, et la perpendiculaire au diamètre issue de ''K'', qui intercepte le demi-cercle en ''M'', a une longueur égale à la moyenne géométrique (c'est le [[théorème de la moyenne géométrique]]). On trace alors le rayon [''OM''] du demi-cercle, puis la hauteur  [''KP''] du triangle ''OMK''. Comme tous les triangles formés sont [[Triangles semblables|semblables]], on a :
:<math>\frac{KM}{OM} = \frac{PM}{KM} \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{ab}}{\frac{a+b}{2}} = \frac{PM}{\sqrt{ab}} \Longleftrightarrow PM = \frac{2ab}{a+b}</math>
qui est bien égale à la moyenne harmonique de <math>a\text{ et }b</math>.

=== À partir d'un trapèze ===
[[Fichier:Base moyenne.png|vignette]]
Dans un [[trapèze]] convexe de bases de longueurs <math>a\text{ et }b</math>, le segment parallèle aux bases joignant les deux côtés et passant par le point d'intersection des diagonales a pour longueur la moyenne harmonique de <math>a\text{ et }b</math>, ceci quelles que soient les longueurs des côtés.

Plus précisément, avec les notations de la figure ci-contre, on a <math>IJ=IK=\frac{ab}{a+b}</math>.
{{Démonstration/début}}
D'après le théorème de Thales dans le triangle <math>ABC</math>, on a <math>\frac{a}{IJ}=\frac{CB}{CI}=1+\frac{IB}{IC}</math>.

Or dans le trapèze croisé <math>ABCD</math>, on a <math>\frac{a}{b}=\frac{IB}{IC}</math>, d'où <math>\frac{a}{IJ}=1+\frac{a}{b}</math>, et <math>IJ=\frac{ab}{a+b}</math>.

Idem pour <math>IK</math>.
{{Démonstration/fin}}
Ce résultat est utilisé dans la résolution du [[problème des deux échelles]].

=== Constructions de la moitié de la moyenne harmonique ===
Il existe plusieurs constructions donnant la moitié de la moyenne harmonique de deux nombres, illustrées dans les figures suivantes :

<div style="margin-left:auto; margin-right:auto"><gallery mode="nolines" heights="300" widths="400">
Fichier:HalfHarmonicMeanConstruction1.svg|Problème de deux échelles
Fichier:HalfHarmonicMeanConstruction2.svg|Dans un triangle de base <math>a </math> et de hauteur <math>b </math>, le côté du carré inscrit est de longueur <math>\frac{ab}{a+b}</math>
Fichier:HalfHarmonicMeanConstruction3.svg|Dans un triangle tel qu'un angle entre deux côtés de longueurs <math>a</math> et <math>b</math> mesure <math>120^\circ</math>, la longueur de la bissectrice est de <math>\frac{ab}{a+b}</math>
</gallery>
</div>

== Applications ==
* en [[génie mécanique|dimensionnement mécanique]], pour calculer le rayon équivalent, de [[rayons de courbure]], lors du contact entre deux sphères ou deux cylindres, d'après la [[loi de Hertz-Boussinesq]] (voir aussi « [[Contact de Hertz]] ») ;
* en [[apprentissage automatique]], la F-mesure <math>F_1</math> associée à un modèle d'apprentissage est la moyenne harmonique de ses [[précision et rappel]].
*en finance, pour le calcul d'un multiple de valorisation moyen d'un portefeuille de titres ({{ex}} calcul du [[Price-earnings ratio|ratio PE]] moyen d'un portefeuille d'actions)

== Voir aussi ==
* [[Moyenne harmonique pondérée]]
* [[Suite harmonique]]
* [[Moyenne géométrique]] : basée sur la moyenne arithmétique des [[logarithme]]s.
* [[Moyenne quadratique]] : basée sur la moyenne arithmétique des [[carré]]s.

== Références ==
{{Références}}

{{Palette|Moyennes}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Moyenne|Harmonique]]