Voir la source de Moyenne pythagoricienne

[[Image:MathematicalMeans.svg|thumb|right|Une construction géométrique de la moyenne quadratique et les moyennes pythagoriciennes (de deux nombres ''a'' et ''b''). La moyenne harmonique est notée {{Couleur de la police|purple|H}}, géométrique par {{Couleur de la police|blue|G}}, arithmétique par {{Couleur de la police|red|A}} et quadratique par {{Couleur de la police|green|Q}}.]]
[[Image:Comparison_Pythagorean_means.svg|thumb|right|Comparaison des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de deux nombres. Les droites verticales en pointillés désignent les [[asymptote]]s des moyennes harmoniques.]]
En mathématiques, les trois '''moyennes pythagoriciennes''' sont la [[moyenne arithmétique]] (A), la [[moyenne géométrique]] (G) et la [[moyenne harmonique]] (H). Ces [[moyenne]]s ont été étudiées avec proportions par les [[École pythagoricienne|Pythagoriciens]] et des générations suivantes de mathématiciens grecs<ref>{{ouvrage|prénom=Thomas|nom=Heath|titre=History of Ancient Greek Mathematics}}</ref> de par leur importance en géométrie et en musique.

==Définition==
On définit les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique, comme suit respectivement :
:<math>\begin{align}
  \operatorname{A} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) &= \frac{ x_1 + \;\cdots\; + x_n }{n} \\[9pt]
  \operatorname{G} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) &= \sqrt[n]{\left\vert x_1 \times \,\cdots\, \times x_n \right\vert} \\[9pt]
  \operatorname{H} \left( x_1,\; \ldots,\; x_n \right) &= \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{x_1} + \;\cdots\; + \frac{1}{x_n}} 
\end{align}</math>

== Propriétés ==
Chaque moyenne, {{math|M}}, vérifie les propriétés suivantes :

; [[Fonction homogène|Homogénéité]] d'ordre 1 : <math>\operatorname{M}(bx_1,\, \ldots,\, bx_n) = b \operatorname{M}(x_1,\, \ldots,\, x_n)</math>
; Invariance par permutation : <math>\forall i,j,\quad \operatorname{M}(\ldots,\, x_i,\, \ldots,\, x_j,\, \ldots) = \operatorname{M}(\ldots,\, x_j,\, \ldots,\, x_i,\, \ldots)</math>
; Monotonie : <math> a < b \Rightarrow \operatorname{M}(a,x_1,x_2,\ldots x_n) < \operatorname{M}(b,x_1,x_2,\ldots x_n)</math>
; [[Idempotence]]: <math> \forall x, \; M(x,x,\ldots x) = x </math>

La monotonie et l'idempotence combinées impliquent que la moyenne d'un ensemble se situe toujours entre les extrema de l'ensemble :
:<math>\min(x_1,\, \ldots,\, x_n) \leq \operatorname{M}(x_1,\, \ldots,\, x_n) \leq \max(x_1,\, \ldots,\, x_n)</math>

Les moyennes harmonique et arithmétique sont duales réciproques l'une de l'autre pour des arguments positifs :
: <math>\operatorname{H}\left(\frac{1}{x_1},\, \ldots,\, \frac{1}{x_n}\right) = \frac{1}{\operatorname{A}\left(x_1,\, \ldots,\, x_n\right)}</math>

tandis que la moyenne géométrique est sa propre duale réciproque :
: <math>\operatorname{G}\left(\frac{1}{x_1},\, \ldots,\, \frac{1}{x_n}\right) = \frac{1}{\operatorname{G}\left(x_1,\, \ldots,\, x_n\right)}</math>

== Inégalités entre moyennes ==
[[Image:QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg|thumb|250px|Preuve sans calcul de l'inégalité entre moyenne : la moyenne harmonique est inférieure à la moyenne géométrique, qui est inférieure à l'arithmétique, elle-même inférieure à la quadratique.]]
Quand tous les arguments sont positifs, on peut ordonner les différentes moyennes :
: <math>\min \leq \operatorname{H} \leq \operatorname{G} \leq \operatorname{A} \leq \max</math>
et l'égalité est atteinte si et seulement si tous les nombres sont égaux. 

C'est une généralisation de l'[[inégalité arithmético-géométrique]] et un cas spécial d'inégalité entre [[moyenne d'ordre p|moyennes de différents ordres]].

L'étude des moyennes pythagoriciennes est très proche de l'étude de la [[majoration]] et des [[Fonction Schur-convexe|fonctions Schur-convexes]]. Les moyennes harmoniques et géométriques sont concaves et symétriques, donc Schur-concaves, tandis que la moyenne arithmétique est multi-linéaire, donc concave et convexe à la fois.

{{clr}}

==Histoire==

L'essentiel de ce qu'on connait des moyennes pythagoriciennes vient des ouvrages arithmétiques du {{s-|I}} et {{s-|II}}. [[Nicomaque de Gérase]] dit qu'elles étaient {{citation|connues de tous les anciens, Pythagore, Platon et Aristote.}} La première utilisation vient du philosophe pythagoricien [[Archytas de Tarente]] :

{{citation bloc|
Il y a trois moyennes en musique : l'une est l'arithmétique, la deuxième est la géométrique, la troisième est la sous-contraire, qu'ils appellent harmonique. La moyenne est arithmétique lorsque trois termes sont en proportion telle que l'excès dont le premier dépasse le second est celui dont le second dépasse le troisième. Dans cette proportion il s'avère que l'intervalle des plus grands termes est moindre, mais celui des moindres termes plus grand. La moyenne est la géométrique quand elles sont telles que comme la première est à la seconde, ainsi la seconde est à la troisième. De ces termes, le plus grand et le plus petit ont entre eux un intervalle égal. La sous-contraire, que nous appelons harmonique, est la moyenne quand ils sont tels que, de quelque partie de lui-même que le premier terme dépasse le second, de cette partie du troisième le moyen terme dépasse le troisième. Il s'avère que dans cette proportion l'intervalle entre les termes supérieurs est plus grand et celui entre les termes inférieurs est moindre<ref>{{ouvrage|lang=en
 |nom=Huffman
 |prénom=Carl
 |date=2005
 |titre=Archytas of Tarentum: Pythagorean, philosopher and mathematician king
 |éditeur=Cambridge University Press
 |page= 163
 |isbn=1139444077
}}</ref>.}}

Le nom de "moyenne harmonique", selon [[Jamblique]], est utilisé par Archytas et [[Hippase de Métaponte]]. Les moyennes pythagoriciennes apparaissent également dans le ''[[Timée (Platon)|Timée]]'' de [[Platon]]. Elles sont aussi citées dans un commentaire de [[Pappus d'Alexandrie]].

{{citation bloc|
C'est [...] [[Théétète d'Athènes|Théétète]] qui distingue les puissances qui sont commensurables en longueur de celles qui sont incommensurables, et qui divisent les droites irrationnelles les plus connues des différentes moyennes, en associant les médianes à la géométrie, les binomiales à l'arithmétique, et l'apotome à l'harmonie, comme le dit [[Eudème de Rhodes]], le Péripatéticien<ref>{{ouvrage|lang=en
 |nom=Huffman
 |prénom=Carl
 |date=2014
 |titre=A History of Pythagoreanism
 |éditeur=Cambridge University Press
 |page= 168
 |isbn=1139915983
}}</ref>.}}

Le terme de "moyenne" ({{lang|el|μεσότης}}, mesótēs en grec ancien) apparait dans des ouvrages arithmétiques [[néopythagorisme|néopythagoriciens]] en lien avec le terme de "proportion" ({{lang|el|ἀναλογία}}, analogía en grec ancien).{{cn|date=April 2021}}

== Curiosité ==

Les plus petites paires d'entiers naturels telles que leurs moyennes arithmétique, géométrique et harmonique sont aussi entières sont (5,45) et (10,40).

== Voir aussi ==
* [[Moyenne arithmético-géométrique]]
* [[Moyenne]]
* [[Nombre d'or]]
* [[Triangle de Kepler]]

==Références==
{{Traduction/Référence|en|Pythagorean means|1081753190}}
{{Références}}

== Liens externes ==
*{{MathWorld|nom_url=PythagoreanMeans|titre=Pythagorean Means|auteur=Cantrell, David W.}}

{{Palette|Moyennes|Probabilités et statistiques}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Moyenne]]