Voir la source de Multiplication

{{autre1|l'opération arithmétique}}
[[Fichier:Three by Four.svg|thumb|La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4.]]

La '''multiplication''' est l'une des quatre [[Opération (mathématiques)|opérations]] de l'[[arithmétique élémentaire]] avec l'[[addition]], la [[soustraction]] et la [[division]]. Selon la norme NF EN ISO 80000-2<ref name=":0">{{Lien web |langue=fr |nom=14:00-17:00 |titre=ISO 80000-2:2019 |url=https://www.iso.org/fr/standard/64973.html |site=ISO |date=2020-05-19 |consulté le=2023-12-07}}</ref>{{,}}<ref name=":1">{{Lien web |langue=fr |titre=NF EN ISO 80000-2 |url=https://www.boutique.afnor.org/fr-fr/norme/nf-en-iso-800002/grandeurs-et-unites-partie-2-signes-et-symboles-mathematiques-a-employer-da/fa180173/1349 |site=Afnor EDITIONS |consulté le=2023-12-07}}</ref>, la multiplication de deux nombres <math>a</math> et <math>b</math> se dit indifféremment en français « <math>a</math> multiplié par <math>b</math> » ou « <math>a</math> fois <math>b</math> » ; cette opération peut être notée <math>a \times b</math>, <math>a \cdot b</math>, <math>a \ b</math> ou <math>a b</math>. Son résultat s'appelle le [[Produit (mathématiques)|produit]], les nombres que l'on multiplie sont les [[Facteur (mathématiques)|facteurs]]. 

La multiplication de deux nombres entiers peut être vue comme une addition répétée plusieurs fois. Par exemple, « 3 fois 4 » peut se voir comme la somme de trois nombres 4 ; « 4 fois 3 » peut se voir comme la somme de quatre nombres 3 :
:<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3</math>,
:<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4</math>,

avec :
:<math>3 \times 4 = 4 \times 3 = 12</math>.
La multiplication permet de compter des éléments rangés dans un [[rectangle]] ou de calculer l'[[Aire (géométrie)|aire]] d'un rectangle dont on connaît la longueur et la largeur. Elle permet aussi de déterminer un prix d'achat connaissant le prix unitaire et la quantité achetée.
 
La multiplication [[Produit (mathématiques)#Généralisation|se généralise à d'autres ensembles]] que les nombres classiques (entiers, relatifs, réels). Par exemple, on peut '''multiplier''' des [[nombre complexe|complexes]] entre eux, des [[application numérique|fonctions]], des [[Matrice (mathématiques)|matrices]] et même des [[vecteur]]s par des nombres.

== Notations ==
Selon la norme NF EN ISO 80000-2<ref name=":0" />{{,}}<ref name=":1" />, la multiplication de deux nombres <math>a</math> et <math>b</math> se dit indifféremment en français « <math>a</math> multiplié par <math>b</math> » ou « <math>a</math> fois <math>b</math> » ; cette opération peut être notée

* avec la [[croix de multiplication]] « × » : <math>a \times b</math> ;
* avec le [[point médian]] « · » :  <math>a \cdot b</math> ;
* mais le signe peut être omis s'il n'y a aucune ambiguïté : <math>a \ b</math> ou <math>a b</math>.
En [[arithmétique]], la multiplication est souvent écrite à l'aide du signe "×" entre les termes, c'est-à-dire en [[notation infixée]]. Par exemple,
:<math>2\times 3 = 6</math> (oralement, « trois fois deux [[signe égal|égale]] six » ou « trois multiplié par 2 égale 6 »)
:<math>3\times 4 = 12</math>
:<math>2\times 3\times 5 = 6\times  5 = 30</math>
:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math>

L'introduction de ce signe est attribuée à [[William Oughtred]]<ref>{{Lien web |langue=en |url=https://www.britannica.com/biography/William-Oughtred |titre=William Oughtred, English mathematician |site=britannica.com |consulté le=13 mai 2021}}.</ref>{{Quand|date=26 décembre 2023}}. Ce symbole est codé en [[Unicode]] par {{unichar|D7|MULTIPLICATION SIGN|nlink=Croix de multiplication|html=}}. En mode mathématique dans [[LaTeX]], il s'écrit <code>\times</code>.

Il y a d'autres [[notation (mathématiques)|notations mathématiques]] pour la multiplication :
* la multiplication est aussi notée par un point, en hauteur médiane ou basse : {{math|5 ⋅ 2}} ou {{math|5 . 3}} ;
* {{anchor|Implicit|Explicit}}en [[algèbre]], une multiplication impliquant des [[Variable (mathématiques)|variables]] est souvent écrite par une simple [[wikt:juxtaposition|juxtaposition]] (par exemple ''xy'' pour « ''x'' fois ''y'' » ou 5''x'' pour « cinq fois ''x'' »), aussi appelée ''multiplication implicite''. Cette notation peut aussi être utilisée pour des quantités qui sont entourées de [[parenthèses]] (e.g., 5(2) ou (5)(2) pour cinq fois deux). Cet usage implicite de la multiplication peut créer des ambiguïtés quand la [[concaténation]] des variables correspond au nom d'une autre variable, ou quand le nom de la variable devant la parenthèse peut être confondu avec le nom d'une fonction, ou pour la détermination de l'[[ordre des opérations]].
* en [[Produit vectoriel|multiplication vectorielle]], le symboles croix et point ont des sens différents. Le symbole croix représente le [[produit vectoriel]] de deux [[vecteur|vecteurs]] de dimension 3, fournissant un vecteur comme résultat, alors que le symbole point représente le [[produit scalaire]] de deux vecteurs de même dimension (éventuellement infinie), fournissant un [[scalaire (mathématiques)|scalaire]] ;
* en [[programmation informatique]], l'[[astérisque]] (comme dans <code>5*2</code>) est la notation la plus courante. Cela est dû au fait qu'historiquement les ordinateurs étaient limités à un petit [[codage des caractères|jeu de caractères]] (comme [[ASCII]] ou [[EBCDIC]]) n'ayant pas de symbole comme <code>⋅</code> ou <code>×</code>, alors que l'astérisque se trouve sur tous les claviers. Cet usage trouve ses origines dans le langage de programmation [[Fortran|FORTRAN]].

== Multiplication dans les ensembles de nombres ==
=== Multiplication dans les entiers ===
Multiplier un entier par un autre c'est ajouter cet entier à lui-même plusieurs fois. Ainsi multiplier 6 par 4 c'est calculer 6 + 6 + 6 + 6, le résultat de 6 × 4 se dit '''4 fois 6''' (comme dans '''4 fois ''le nombre'' 6''') ou '''6 multiplié par 4'''. On appelle le [[produit (mathématiques)|produit]] de 6 par 4 le résultat de cette opération. Dans cette multiplication, 6 est appelé le '''multiplicande''' car c'est lui qui est répété et 4 est appelé le '''multiplicateur''' car il indique combien de fois 6 doit être répété.

Cependant, le fait que 4 fois 6 soit égal à 6 fois 4, rend cette distinction peu nécessaire, et les deux nombres sont appelés '''facteurs''' du produit. Celui-ci est noté 6 × 4 — qui se lit indifféremment {{citation|quatre fois six}} ou {{citation|six multiplié par quatre}}<ref>[[Charles Briot]], ''Éléments d'arithmétique…'', Dezobry, E. Magdéleine et Cie, 1859, [https://books.google.fr/books?id=4Znu3dCGhBQC&pg=PA27 p. 27].</ref> — ou 4 × 6. Dans les livres scolaires d'arithmétique des deux derniers siècles, on lisait plutôt de la seconde manière à l'origine. "Fois" était ressenti comme moins précis (comme "et" pour l'addition).

Il n'est pas efficace, à long terme, de voir la multiplication comme une addition répétée. Il est donc nécessaire d'apprendre le résultat de la multiplication de tous les entiers de 1 à 9. C'est l'objet de la [[table de multiplication]].

La multiplication dans les entiers vérifie les propriétés suivantes :

* on peut changer l'ordre des facteurs sans changer le résultat final : a × b = b × a. On dit que la multiplication est [[commutativité|commutative]] ;
* quand on doit multiplier trois nombres entre eux, on peut, au choix, multiplier les deux premiers et multiplier le résultat obtenu par le troisième facteur ou bien multiplier entre eux les deux derniers puis multiplier le résultat par le premier nombre : (a × b) × c = a × (b × c). On dit que la multiplication est [[associativité|associative]] ;
* quand on doit multiplier une somme (ou une différence) par un nombre, on peut, au choix, calculer d'abord la somme et multiplier le résultat par le nombre ou bien, multiplier d'abord chaque terme de la somme par ce nombre et ensuite effectuer la somme : (a + b) × c = (a × c) + (b × c). On dit que la multiplication est [[distributivité|distributive]] pour l'addition car on a distribué c aux deux termes de la somme.

Les parenthèses indiquent l'ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées. En pratique, pour éviter de traîner trop de parenthèses, on utilise, par convention, la règle de priorité suivante : les multiplications s'effectuent toujours avant les additions. Ainsi, dans l'écriture 4 + 5 × 2, il faut lire 4 + (5 × 2), c'est-à-dire 4 + 10 = 14 et non (4 + 5) × 2 qui aurait valu 18.
: <math>4 + 5 \times 2 = 4 + (5 \times 2) = 4 + 10 = 14,</math>
: <math> (4 + 5) \times 2 = 9 \times 2 = 18 \ne 4 + 5 \times 2.</math>
Cette règle s'appelle une [[Ordre des opérations|priorité opératoire]].

La dernière propriété a trait aux comparaisons. Si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et qu'on les multiplie par le même nombre strictement positif, les résultats seront rangés dans le même ordre. Si a < b alors a × c < b × c. On dit que la multiplication par des [[Entier naturel|entiers positifs]] est compatible avec l'ordre.

Le symbole utilisé pour la multiplication est la croix × (a × b) mais on trouve aussi, dans des calculs avec des lettres le point <math>\cdot</math> (a <math>\cdot</math> b) ou même rien (ab) s'il n'y a pas d'ambiguïté possible.

Il existe deux opérations un peu particulières :
* la multiplication par 1 qui ne change pas le facteur : 1 × a = a × 1 = a. On dit que 1 est un [[élément neutre]] pour la multiplication ;
* la multiplication par 0 qui donne toujours 0 : 0 × a = a × 0 = 0. on dit que 0 est un [[élément absorbant]] pour la multiplication.

=== Multiplication dans les décimaux ===
{{Article détaillé|Nombre décimal}}
Pour multiplier entre eux des [[Nombre décimal|nombres décimaux]], on utilise le fait que les produits peuvent être effectués dans n'importe quel ordre. Si l'on cherche à multiplier, par exemple, 43,1 par 1,215, on effectue les remarques suivantes
: <math>\begin{align} 43,1 \times 1,215&= \left(431\times \frac 1{10}\right) \times \left(1\;215\times \frac 1{1\;000}\right)\\
&= (431 \times 1\;215) \times \left(\frac1{10}\times \frac1{1\;000}\right)\\
&= (431 \times 1\;215) \times \frac1{10\;000}.\end{align}</math>

De là naît la règle : pour multiplier entre eux deux décimaux, on compte le nombre de chiffres situés après la virgule dans les deux nombres et on en fait la somme. On effectue ensuite le produit, sans tenir compte de la virgule. Enfin, on place la virgule dans le résultat final en laissant à droite autant de chiffres que la somme que l'on a obtenue précédemment.

: 3,15 × 1,2 = ? (on compte 3 chiffres après la virgule, 2 dans le premier nombre et 1 dans le second nombre)
: 315 × 12 = 630 × 6 = {{formatnum:3780}}
: 3,15 × 1,2= 3,780 = 3,78.
Cette règle fonctionne car le calcul « sans tenir compte de la virgule » revient à multiplier 3,15 par 100, pour obtenir 315 et multiplier 1,2 par 10 pour obtenir 12. Ces multiplications doivent être compensées à la fin du calcul par la multiplication inverse, donc une division, par 100 et par 10 : 3 780 devient alors 378 puis 3,78, donnant le résultat de l’opération demandée.

=== Multiplication avec des nombres négatifs ===
{{Article détaillé|Entier relatif}}
[[Fichier:MultiplicationNégative.svg|thumb|Illustration de la multiplication dans les nombres négatifs. Dans la zone bleue, le produit est positif, dans la zone rouge le produit est négatif]]
[[Fichier:Multiplication of Positive and Negative Numbers.svg|thumb|Illustration de la multiplication de nombres relatifs sur la [[Droite réelle achevée|droite numérique]]. Une multiplication par un nombre négatif peut être vue comme un changement de sens du [[vecteur]] de [[Norme (mathématiques)|norme]] égale à la [[valeur absolue]] du produit des facteurs.]]

On peut voir le produit 4 fois (–6) comme la somme de (–6) répété 4 fois soit (–6) + (–6) + (–6) + (–6) = –24.

On peut aussi voir le produit (–4) fois (6) comme un nombre 6 que l'on ôte 4 fois. Ainsi, faire le produit de (–4) fois 6 c'est ôter 24, que l'on écrit (–4) × 6 = –24.

Enfin, on peut voir le produit (–4) fois (–6) comme le nombre (–6) que l'on enlève 4 fois, il s'agit donc d'enlever –24. Enlever –24 consiste à ajouter 24 donc {{nobr|(–4) × (–6) {{=}} 24.}}

Ces exemples expliquent la règle concernant les nombres ayant un signe. Pour effectuer le produit de deux nombres signés, on effectue le produit de leurs valeurs absolues et on affecte au résultat le signe – si les signes des deux facteurs sont différents, et le signe plus (+) si les deux facteurs ont même signe.

Ces règles se résument ainsi
: ''moins'' par ''moins'' égale ''plus''
: ''moins'' par ''plus'' égale ''moins''
: ''plus'' par ''moins'' égale ''moins''
: ''plus'' par ''plus'' égale ''plus''

La multiplication dans les [[Entier relatif|entiers relatifs]] possède les mêmes propriétés que la multiplication dans les entiers naturels (elle est commutative, associative, distributive pour l'addition) à une exception près : elle ne conserve pas toujours l'ordre : si deux nombres sont rangés dans un certain ordre et si on les multiplie par un entier strictement positif, l'ordre est conservé
: –2 < 3 et (–2) × 4 < 3 × 4
mais si on le multiplie par un nombre strictement négatif, l'ordre est inversé
: (–2) < 3 et (–2) × (–4) > 3 × (–4).

=== Multiplication dans les fractions ===
{{article détaillé|Fraction (mathématiques){{!}}Fraction}}

Multiplier entre elles deux fractions, c'est multiplier entre eux les numérateurs et les dénominateurs :
: <math>\frac ab \times \frac cd = \frac{a \times c}{b \times d}.</math>

Dans l'ensemble ℚ des [[nombre rationnel|nombres rationnels]], la multiplication conserve les propriétés déjà énoncées avec la même difficulté concernant l'ordre et la multiplication par un nombre négatif.

=== Multiplication dans les réels ===
C'est une généralisation de la multiplication précédente. Elle conserve les mêmes propriétés.

=== Inverse ===
[[L'inverse]] d'un nombre pour la multiplication est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1.

Par exemple :
* l'inverse de 10 est 0,1 car 10 × 0,1 = 1 ;
* l'inverse de 2 est 0,5 car 2 × 0,5 = 1 ;
* l'inverse de {{frac|3|4}} est {{frac|4|3}} car {{frac|3|4}} × {{frac|4|3}} = {{frac|12|12}} = 1.

L'inverse du nombre ''a'' est noté {{frac|1|''a''}} ou encore ''a''{{-1}}.

Ainsi :
* l'inverse de [[pi|{{math|π}}]] est noté {{math|{{frac|1|π}}}} ;
* l'inverse de 2 est noté {{frac|1|2}} = 0,5.

Selon les ensembles de nombres, on ne trouve pas toujours un inverse dans l'ensemble :
* dans l'ensemble des entiers, seuls 1 et –1 possèdent des inverses ;
* quel que soit l'ensemble de nombres vérifiant 0 ≠ 1, 0 ne possède pas d'inverse car 0 multiplié par ''a'' donne toujours 0 et jamais 1 ;
* dans l'ensemble des rationnels et dans l'ensemble des réels, tous les nombres, sauf 0, possèdent un inverse.
La quatrième opération des [[mathématiques élémentaires]], la division peut alors être vue comme une multiplication par l'inverse.

=== Multiple ===

On dit qu'un nombre a est multiple d'un nombre b s'il est le résultat de la multiplication de b par un entier (naturel ou relatif)
: a est multiple de b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que a = k × b

Lorsque a et b sont des entiers, on dit aussi que a est [[divisibilité|divisible]] par b.

=== Notion de corps ordonné ===
Dans l'ensemble des [[nombre rationnel|nombres rationnels]], et dans l'ensemble des [[nombre réel|nombres réels]], on retrouve les propriétés suivantes pour la multiplication :
<center>
{| class="wikitable"
! scope=row|Associativité
| Pour tous a, b, c, a ×(b × c) = (a × b) ×c
|-
! scope=row| Commutativité
| Pour tous a et b, a × b = b × a
|-
! scope=row| Élément neutre
| Pour tout a, a × 1 = 1 × a = a
|-
! scope=row| Inverse
| Pour tout a non nul, il existe a{{-1}} tel que a × a{{-1}} =1
|-
! scope=row| Distributivité
| Pour tous a, b, et c, (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
|-
! scope=row|Élément absorbant
| pour tout a, a × 0 = 0 × a = 0
|-
! scope=row|Ordre
| Pour tout a > 0 et tous b et c, si b < c alors ab < ac
|}
</center>

Ces propriétés associées à celles que possède l'addition sur ces ensembles font de ℝ et ℚ, munis de l'addition et de la multiplication, des ensembles spéciaux appelés des [[corps ordonné]]s.

== Techniques de multiplication ==
{{article détaillé|Algorithme de multiplication}}
[[Fichier:Batons de Napier.png|thumb|[[Bâtons de Napier]]]]
Excepté la [[Technique de la multiplication dans l'Égypte antique|multiplication égyptienne]] et sa variante [[Technique de multiplication dite russe|russe]] qui utilisent un principe binaire, les techniques de multiplication qui se sont développées au cours des siècles, utilisent le système décimal et nécessitent pour la plupart de connaitre la [[table de multiplication]] des nombres de 1 à 9 ainsi que le principe de distributivité. Ainsi pour multiplier 43 par 25, on écrit que {{nobr|43 × 25 {{=}} 43 × (2 dizaines + 5 unités)}}. Ensuite, on distribue les différents termes
: 43 × 25 = 43 × 2 dizaines + 43 × 5 unités.
: 43 × 25 = (4 × 2 centaines + 3 × 2 dizaines) + (4 × 5 dizaines + 3 × 5 unités) = {{nobr|8 centaines}} + {{nobr|6 dizaines}} + {{nobr|20 dizaines}} + {{nobr|15 unités}} = {{formatnum:1075}}.
Les différentes méthodes consistent à présenter ce calcul de manière pratique. On trouve ainsi la [[Technique de la multiplication en Chine antique|méthode chinoise]] qui commence par les poids forts, c'est-à-dire la multiplication des chiffres les plus à gauche. Cette méthode est celle utilisée dans la multiplication avec [[boulier]]. Mais d'autres méthodes sont possibles comme celle couramment utilisée dans les écoles consistant à {{citation|poser la multiplication}}<ref>Technique de Multiplication posée des nombres entiers, [http://azbooka.fr/exercice/poser-une-multiplication].</ref> en multipliant 43 d'abord par 5 puis par 2 dizaines et faire la somme.

[[Fichier:Poser-une-multiplication.ogv|thumb|Multiplication posée des nombres entiers (couramment utilisée dans les écoles)]]

D'autres techniques utilisant ce même principe ont été développées comme la [[Technique de la multiplication par glissement|multiplication par glissement]] utilisée au {{s|IX|e}} par [[Al-Khawarizmi]] ou la [[Technique de la multiplication par jalousies|multiplication par jalousies]] utilisée au [[Moyen Âge]] en [[Europe]]. Cette dernière a donné lieu à la fabrication de bâtons automatisant le calcul : les [[bâtons de Napier]].

[[Fichier:Hands as2 and 3.svg|thumb|left| 8 × 7 = 56 car il y a 5 doigts dressés (5 dizaines) et 2 et {{nobr|3 doigts}} pliés (2 × {{nobr|3 unités}})]]
Ces techniques nécessitent pour la plupart la connaissance des [[table de multiplication|tables de multiplication]]. Elles furent utilisées très tôt. On en trouve trace par exemple à [[Nippur]] en [[Mésopotamie]] {{unité|2000|ans}} {{av JC}} sur des tablettes réservées à l'entraînement des apprentis scribes<ref>Tablettes NI 2733 ou HS 0217a dans [http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/calcul%20sexagesimal/calcul%20sexagesimal.htm Le calcul sexagésimal en Mésopotamie] de [[Christine Proust]] sur culture math ou ''Mesopotamian mathematics, 2100-1600 BC'' d'[[Eleanor Robson]] p. 175.</ref>.

La mémorisation des tables pour des nombres compris entre 6 et 9 se révèle parfois difficile. [[Georges Ifrah]] signale un moyen simple de multiplier avec les doigts des nombres compris entre 6 et 9<ref>Georges Ifrah, ''Histoire universelle des chiffres'', La première machine à calculer : main - éléments de calcul digital.</ref>. Sur chaque main, on dresse autant de doigts que d'unités dépassant 5 pour chacun des nombres concernés. Ainsi pour multiplier 8 par 7 on dresse {{nobr|3 doigts}} de la main gauche et deux doigts de la main droite. La somme des doigts dressés donne le nombre de dizaines et le produit des doigts repliés donne le nombre d'unités à ajouter. Ainsi, dans l'exemple, il y a {{nobr|5 doigts}} dressés donc {{nobr|5 dizaines}}. Il y a {{nobr|2 doigts}} pliés dans une main et {{nobr|3 doigts}} pliés dans l'autre ce qui donne {{nobr|2 × 3 {{=}} 6 unités soit 7 × 8 {{=}} 56}}.

L'explication mathématique fait appel encore une fois à la distributivité : si on appelle x et y le nombre de doigts repliés, les nombres de doigts dressés sont a = 5 – x et b = 5 – y et l'on effectue la multiplication de 10 – x par {{nobr|10 – y :}}
:(10 – x)(10 – y) = 10(10 – x) – (10 – x) y = 10(10 – x ) – 10y + xy = 10 (10 – x – y) + xy = 10(a + b) + xy.
Une technique analogue existe pour multiplier entre eux des nombres compris entre 11 et 15. On ne se sert alors que des doigts dressés. Le nombre de doigts dressés donne le nombre de dizaines à ajouter à 100, et le produit des doigts dressés donne le nombre d'unités à ajouter.

== Notations ==
{{article détaillé|×}}
Dans les tablettes [[Babylone|babyloniennes]], il existe un idéogramme pour représenter la multiplication A – DU<ref name="Cajori">{{Cajori}}, {{vol.|1}}, paragraphes 219-234.</ref>.

Dans les [[éléments d'Euclide]], la multiplication est vue comme le calcul d'une [[Aire (géométrie)|aire]]. Ainsi, pour représenter le produit de deux nombres, on parle d'un [[rectangle]] ABCD, dans lequel les côtés AB et AD représentent les deux nombres. Le produit des deux nombres est alors appelé le {{nobr|rectangle BD}} (sous-entendu l'aire du rectangle de {{nobr|côtés AB}} et AD).

[[Diophante]], lui, n'utilise pas de symbole spécial pour la multiplication, plaçant les nombres côte à côte. On retrouve cette même absence de signe dans les [[mathématiques indiennes]], les nombres sont souvent placés côte à côte, parfois séparés par un point ou parfois suivis de l'abréviation bha (pour bhavita, le produit)<ref name = "Cajori"/>.

En Europe, avant que le langage symbolique ne soit définitivement admis, les opérations s'exprimaient en phrases écrites en latin. Ainsi 3 fois 5 s'écrivait-il 3 in 5.

Au {{s|XVI|e}}, on voit apparaître le symbole M utilisé par [[Michael Stifel|Stifel]] et [[Simon Stevin|Stevin]]. La [[Croix de saint André|croix de St André]] × est utilisée pour désigner une multiplication par [[William Oughtred|Oughtred]] en 1631 (''Clavis mathematicae''). Mais on trouve à cette époque d'autres notations, par exemple une virgule précédée d'un rectangle chez [[Pierre Hérigone|Hérigone]], « 5 × 3 » s'écrivant « ☐ 5 , 3 : ». [[Johann Heinrich Rahn|Johann Rahn]] lui utilise le symbole * en 1659. Le point est utilisé par [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] qui trouve la croix trop proche de la lettre x<ref name = "Cajori"/>. À la fin du {{s|XVII|e}}, il n'existe toujours pas de signe établi pour la multiplication, Dans une lettre à Hermann, Leibniz précise que la multiplication n'a pas besoin de s'exprimer seulement par des croix mais que l'on peut utiliser aussi des virgules, des points ou des espaces<ref>Michel Serfati, ''La révolution symbolique'', {{p.|108}}.</ref>.

Ce n'est qu'au cours du {{s|XVIII|e}} que se généralise l'usage du point pour la multiplication dans le langage symbolique<ref name="Cajori"/>.

== Multiplications de plusieurs facteurs entre eux ==
Puisque la multiplication est associative, il est inutile de définir une priorité sur les multiplications à effectuer. Il reste cependant à définir comment écrire le produit d'un nombre indéterminé de facteurs.
: <math> \underbrace{a \times \cdots \times a}_n</math>
signifie que l'on a multiplié ''n ''fois le facteur ''a ''par lui-même. le résultat est noté ''a{{exp|n}} ''et se lit « ''a ''à la [[puissance d'un nombre|puissance]] ''n'' ».
: <math> 1 \times 2 \times \cdots \times n</math>
signifie que l'on a fait le produit de tous les entiers de 1 à ''n'', le résultat est noté ''n''! et se lit « [[factorielle]] ''n'' ».

Si <math>(x_i)</math> est une suite de nombres, <math> x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n</math>
signifie que l'on a fait le produit de ces ''n ''facteurs entre eux. Ce produit est aussi noté
: <math>\prod_{k=1}^nx_k.</math>
Si l'expression a un sens, la limite du produit précédent quand ''n ''tend vers l'infini est appelée [[produit infini]] et se note
: <math>\prod_{k=1}^{+\infty}x_k.</math>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets
  | wikiversity = Opérations élémentaires
  | wikiversity titre = Opérations élémentaires
}}
* Multiplication dans les [[nombre complexe|complexes]]
* [[Produit matriciel]]
* Multiplication d'un vecteur par un réel dans le [[calcul vectoriel en géométrie euclidienne]]
* [[Croix de multiplication]]

{{Palette|Opérations binaires|Multiplication}}
{{Portail|arithmétique et théorie des nombres}}

[[Catégorie:Arithmétique élémentaire]]
[[Catégorie:Multiplication|*]]
[[Catégorie:Opération]]