Voir la source de Nabla

'''Nabla''', noté <math>\overrightarrow \nabla</math> ou <math>\nabla</math> selon les conventions utilisées, est un symbole [[Mathématiques|mathématique]] pouvant aussi bien désigner le [[gradient]] d'une fonction en [[analyse vectorielle]] qu'une [[connexion de Koszul]] en [[géométrie différentielle]]. Les deux notions sont reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En [[physique]], il est utilisé en dimension 3 pour représenter aisément plusieurs [[Opérateur différentiel|opérateurs vectoriels]], couramment utilisés en [[électromagnétisme]] et en [[dynamique des fluides]].

C'est un moyen mnémotechnique pour les opérateurs différentiels de champs : les formules du gradient, de la [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] et du [[rotationnel]] se retrouvent en appliquant les règles habituelles du produit scalaire et du produit vectoriel à cet opérateur ; néanmoins, la formule du laplacien vectoriel (qui s'écarte de la formule du double produit vectoriel) montre les limites de ce formalisme (à l'origine du concept d'[[Algèbre géométrique (structure)|algèbre géométrique]]).

== Origine historique ==
[[Fichier:William Rowan Hamilton painting.jpg|vignette|Peinture de William Rowan Hamilton.|360x360px]]
La forme de nabla vient de la [[Alphabet grec|lettre grecque]] [[delta]] majuscule (Δ) renversée, à cause d'une utilisation comparable, la lettre grecque à l'endroit étant déjà utilisée pour désigner un [[Opérateur différentiel|opérateur]], le [[Opérateur laplacien|laplacien]], en [[calcul différentiel]].

La définition du nabla a été introduite  en 1847, quoique sans intitulé, par [[William Rowan Hamilton]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur=[[Ivor Grattan-Guinness]]|titre=Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 |éditeur=[[Elsevier (éditeur)|Elsevier]] |année=2005 |pages totales=1022 |passage=466 |isbn=0-444-50871-6}}.</ref>, et [[Peter Guthrie Tait]] en a développé la théorie à partir de 1867. Temporairement surnommé avec malice « atled » (« delta » à l'envers) par [[James Clerk Maxwell|James Maxwell]] dans ses correspondances<ref name=EKU>{{Lien web|lang=en|url=http://jeff560.tripod.com/n.html|auteur=Jeff Miller|titre=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (N)}}.</ref>, le nom ''nabla'' lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une [[harpe]] hébraïque qui dans l'[[Antiquité]] portait ce nom (νάβλα, ''nábla'', en grec, et נבל en hébreu)<ref>{{Ouvrage |langue=en |titre=Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait |éditeur=[[Cambridge University Press]] |année= |pages totales=383 |passage=143-145 |isbn=}}.</ref>{{,}}<ref name=EKU/>. Dans les Psaumes, ''nabla'' désigne un instrument de musique sur lequel joue le roi David.

== Emploi moderne ==

{{voir|Analyse vectorielle}}

Nabla est un [[opérateur différentiel]] vectoriel. En [[coordonnées cartésiennes]] <math>\{x,y,z\}</math> par rapport à une [[Base (algèbre linéaire)|base]] <math>\{\vec\mathbf{i}, \vec\mathbf{j}, \vec\mathbf{k}\}</math> de l'[[espace euclidien]] de [[trois dimensions]], il s'écrit sous la forme :
:<math>\vec \nabla = \frac{\partial}{\partial x}\vec\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec\mathbf{k}</math>, ou sous forme matricielle : <math>\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix}</math>.

Dans la définition d'origine proposée par le mathématicien et physicien irlandais [[William Rowan Hamilton]], la base <math>\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}</math> était initialement formée par les trois éléments de base des [[quaternion]]s.

Cet [[Opérateur différentiel|opérateur]] est employé en [[analyse vectorielle]]. Si <math>f</math> est un [[champ scalaire]] et <math>\overrightarrow A</math> un [[champ vectoriel]], l'opérateur nabla permet d'exprimer formellement trois opérations fondamentales :
* le [[gradient]] d'une fonction scalaire en un point correspond formellement au produit du vecteur nabla par un [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] fonction de ce point, dont le résultat est un vecteur :
:<math>\overrightarrow \operatorname {grad}\, f=\overrightarrow \nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix}</math>.
:On remarque que, dans cette notation, le vecteur nabla précède le scalaire, contrairement à l'ordre habituel de notation ;
* la [[Divergence (analyse vectorielle)|divergence]] d'une fonction vectorielle d'un point correspond formellement au [[produit scalaire]] de nabla par cette fonction vectorielle, dont le résultat est un scalaire : 
:<math>\operatorname {div} \overrightarrow A =\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} </math> ;
* le [[rotationnel]] d'une fonction vectorielle d'un point correspond formellement au [[produit vectoriel]] de nabla par cette fonction vectorielle, dont le résultat est un [[pseudo-vecteur]] :
:<math>\overrightarrow \operatorname {rot} \, \overrightarrow A = \overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow A  = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} & \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} & \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\end{pmatrix} </math>.

De plus, l'opérateur peut être réitéré, ce qui correspond formellement aux dérivées secondes entrant dans l'expression du laplacien, donnant :
* le [[Opérateur laplacien|laplacien]] : 
:<math>\Delta f = {\overrightarrow \nabla }^2 f= {\overrightarrow \nabla }\cdot({\overrightarrow \nabla }f) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math> ;
* le [[opérateur laplacien vectoriel|laplacien vectoriel]] : 
:<math>\Delta \overrightarrow A = {\overrightarrow \nabla }^2 \overrightarrow A - \overrightarrow \nabla \wedge (\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow A) = {\overrightarrow \nabla }({\overrightarrow \nabla } \cdot \overrightarrow A) - \overrightarrow \operatorname {rot} (\overrightarrow \operatorname {rot} \overrightarrow A)</math>.

Lorsqu'il existe plusieurs repères, le symbole peut être affecté d'une lettre en indice pour préciser celui auquel l'opérateur se réfère.

== Formulaire d'analyse vectorielle ==

La liste ci-dessous rassemble les définitions des principaux [[Opérateur (symbole)|opérateurs]] utilisés en [[analyse vectorielle]] qui peuvent s'exprimer à l'aide de l'opérateur nabla, dans différents [[système de coordonnées|systèmes de coordonnées]].

{| class="wikitable alternance center" align="center"
!align="center" | Opération
!align="center" | [[Coordonnées cartésiennes]] <math>(x,y,z)</math>
!align="center" | [[Coordonnées cylindriques]] <math>(r,\theta, z)</math>
!align="center" | [[Coordonnées sphériques]] <math>(r,\theta, \varphi)</math>
|-
!Définition<br />des<br />coordonnées
|
|<math>\begin{cases}
x =  r\cos\theta  \\
y =  r\sin\theta \\
z =  z \end{cases}</math>
|<math>\begin{cases}
x =  r\sin\theta\cos\varphi \\
y =  r\sin\theta\sin\varphi \\
z =  r\cos\theta \end{cases}</math>
|-
!<math>\overrightarrow A</math>
|<math>A_x \overrightarrow u_x + A_y \overrightarrow u_y + A_z \overrightarrow u_z</math>
|<math>A_r \overrightarrow u_r + A_\theta \overrightarrow u_\theta + A_z \overrightarrow u_z</math>
|<math>A_r \overrightarrow u_r + A_\theta \overrightarrow u_\theta + A_\varphi \overrightarrow u_\varphi</math>
|-
!<math> \overrightarrow \nabla </math>
|<math>\frac{\partial}{\partial x}\vec{u_x} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{u_y} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{u_z}</math>
|<math> {\partial \over \partial r}\overrightarrow u_r
+ {1 \over r}{\partial \over \partial \theta }\overrightarrow u_\theta
+ {\partial \over \partial z} \overrightarrow u_z </math>
|<math> {\partial \over \partial r}\overrightarrow u_r
+ {1 \over r}  {\partial \over \partial \theta}\overrightarrow u_\theta
+ {1 \over r\sin\theta} {\partial \over \partial \varphi}\overrightarrow u_\varphi </math>
|-
!<math> \overrightarrow \nabla f = \overrightarrow{\mathrm{grad}} f</math>
|<math>{\partial f \over \partial x}\overrightarrow u_x + {\partial f \over \partial y}\overrightarrow u_y
+ {\partial f \over \partial z}\overrightarrow u_z</math>
|<math>{\partial f \over \partial r}\overrightarrow u_r
+ {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\overrightarrow u_\theta 
+ {\partial f \over \partial z}\overrightarrow u_z</math>
|<math>{\partial f \over \partial r}\overrightarrow u_r
+ {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\overrightarrow u_\theta
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\overrightarrow u_\varphi</math>
|-
!<math> \overrightarrow \nabla\cdot\overrightarrow A = \mathrm{div} \overrightarrow A</math>
|<math>{\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}</math>
|<math>{1 \over r}{\partial (r A_r) \over \partial r}
+ {1 \over r}{\partial A_\theta \over \partial \theta } 
+ {\partial A_z \over \partial z}</math>
|<math>{1 \over r^2}{\partial (r^2 A_r) \over \partial r}
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial (A_\theta\sin\theta) \over \partial \theta} 
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}</math>
|-
!<math>  \overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow A = \overrightarrow{\mathrm{rot}} {\overrightarrow A}</math>
|<math>\left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \overrightarrow u_x </math>
<math>+ \left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \overrightarrow u_y </math><br /><math>+ \left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \overrightarrow u_z </math>
|<math>\left({1 \over r}{\partial A_z \over \partial \theta}
- {\partial A_\theta \over \partial z}\right) \overrightarrow u_r </math>
<math>+ \left({\partial A_r \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial r}\right) \overrightarrow u_\theta</math><math>+ {1 \over r}\left({\partial (r A_\theta) \over \partial r}
- {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \overrightarrow u_z </math>
|<math>{1 \over r\sin\theta}\left({\partial (A_\varphi\sin\theta) \over \partial \theta}
- {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \overrightarrow u_r</math>
<math> + \left({1 \over r\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}
- {1 \over r}{\partial (r A_\varphi) \over \partial r}\right) \overrightarrow u_\theta </math><br /><math> + {1 \over r}\left({\partial (r A_\theta) \over \partial r}
- {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \overrightarrow u_\varphi </math>
|-
!<math>\Delta f = \overrightarrow \nabla^2 f</math>
|<math>{\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}</math>
|<math>{1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r {\partial f \over \partial r}\right)
+ {1 \over r^2}{\partial^2 f \over \partial \theta^2} 
+ {\partial^2 f \over \partial z^2}</math>
|<math>{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right)
+ {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
+ {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}</math>

<!-- Définition des coordonnées -->|-----
! align="center" | <math>\Delta \overrightarrow A = \overrightarrow \nabla^2 \overrightarrow A - \overrightarrow \operatorname {rot} (\overrightarrow \operatorname {rot} \overrightarrow A)</math>
|<math>\Delta A_x \; \overrightarrow u_x + \Delta A_y \; \overrightarrow u_y + \Delta A_z \; \overrightarrow u_z </math><br />
| align="center" | <math>\left(\Delta A_r - {A_r \over r^2}
- {2 \over r^2}{\partial A_\theta  \over \partial \theta }\right) \overrightarrow u_r</math>
<math> + \left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2}
+ {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta}\right)\overrightarrow u_\theta</math><math> +  \Delta A_z \; \overrightarrow u_z</math>
| align="center" |<math>\left(\Delta A_r - \frac{2 A_r}{r^2} - \frac{2 A_\theta\cos\theta}{r^2\sin\theta} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} - \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) \overrightarrow u_r</math>
<math>+\left(\Delta A_\theta - \frac{A_\theta}{r^2\sin^2\theta} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial A_r}{\partial \theta} - \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) \overrightarrow u_\theta</math><math>+\left(\Delta A_\varphi - \frac{A_\varphi}{r^2\sin^2\theta} + \dfrac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi} + \frac{2 \cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right) \overrightarrow u_\varphi</math><!-- les nabla sur les nabla -->
|}

L'utilisation des expressions de <math>\overrightarrow \nabla</math> dans des systèmes de coordonnées autres que cartésiennes nécessite de rester vigilant quant à l'application des dérivées partielles aux éléments <math>\overrightarrow u_\varphi</math>, <math>\overrightarrow u_r</math> et <math>\overrightarrow u_\theta</math>. Ces derniers sont des [[Champ de vecteurs|champs de vecteurs]] ''non constants'', ils font apparaître des termes spécifiques lorsque soumis à la dérivation (contrairement à <math>\overrightarrow u_x</math>, <math>\overrightarrow u_y</math> et <math>\overrightarrow u_z</math> qui ont des dérivées nulles).

== Autre usage ==
En [[APL (langage)|langage APL]], le signe ''nabla'' ou ''del'' (∇) signifie qu'on désire entrer ou sortir du mode de définition d'une fonction.

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
 | wiktionary        = nabla
 | wikiversity       = Analyse vectorielle/Fiche/Formulaire d'analyse vectorielle
 | wikiversity titre = Formulaire d'analyse vectorielle
}}
* [[Pseudovecteur]]
* [[Dérivée covariante]]
* [[Table de symboles mathématiques]]

{{Palette|Analyse vectorielle}}
{{Portail|analyse|physique}}

[[Catégorie:Théorie des opérateurs]]
[[Catégorie:Analyse vectorielle]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]
[[Catégorie:Symbole mathématique]]