Voir la source de Nerf d'un recouvrement

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En [[mathématiques]], le '''nerf d'un recouvrement''' est un [[Complexe simplicial#Approche combinatoire|complexe simplicial abstrait]] associé à un [[Recouvrement (mathématiques)|recouvrement]] [[Ouvert (topologie)|ouvert]] d'un [[espace topologique]]. Il peut éventuellement intervenir dans la définition de la [[cohomologie de Čech]] d'un [[Préfaisceau|faisceau]].

Un recouvrement ouvert d'un espace topologique ''E ''est un ensemble 𝒰 d'ouverts de ''E'' dont la réunion est ''E''. Son nerf<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Edwin|nom1=Spanier|lien auteur1=Edwin Spanier|titre=Algebraic Topology|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1981|pages totales=528|passage=109|isbn=978-0-387-90646-1}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|prénom1=Michel|nom1=Zisman|titre=Topologie algébrique élémentaire|éditeur=[[Armand Colin]]|année=1972|passage=225|isbn=}}</ref> est l'ensemble des parties finies non vides ''J ''de 𝒰 telles que
<center><math>\bigcap_{U\in J}U\ne\varnothing.</math></center>

Supposons que le recouvrement est [[Glossaire de topologie#L|localement fini]], et que les intersections sont toutes [[Espace contractile|contractiles]]. Alors la [[Complexe simplicial#Réalisation géométrique|réalisation géométrique]] de ''X'' a le même [[type d'homotopie]] que ''E''. Toute [[variété topologique]] de dimension finie (supposée séparée) admet un recouvrement ouvert localement fini. Elle a donc le même type d'homotopie qu'un complexe simplicial.

== Notes et références ==
{{reflist}}
{{en}} S. I. Gelfand et [[Yuri Manin|Yu. I. Manin]], ''Methods of Homological Algebra'', chap. 1

== Articles connexes ==
* [[Ensemble simplicial]]
* [[Nerf (théorie des catégories)]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Topologie algébrique]]