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{{Autre4|le concept mathématique}}

Un '''nombre''' est un [[concept (philosophie)|concept]] [[mathématiques|mathématique]] permettant d’évaluer et de [[Relation d'ordre|comparer]] des quantités ou des [[Ordre de grandeur|rapports de grandeurs]], mais aussi d’[[Nombre ordinal|ordonner des éléments]] en indiquant leur rang<ref>{{CNRTL|Nombre|Nombre ordinal}}</ref>. Souvent [[écriture|écrits]] à l’aide d’un ou plusieurs [[chiffre]]s, les nombres interagissent par le biais d’[[opération (mathématiques)|opérations]] qui sont résumées par des règles de [[calcul (mathématiques)|calcul]]. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont traitées d’abord dans le cadre de l’[[arithmétique]] des entiers, puis plus largement au sein des diverses branches de la [[théorie des nombres]].

En l’absence d’une définition générale satisfaisante de cette notion<ref>Le ''Petit Robert de la langue française'' et le ''Trésor de la Langue Française Informatisé'' rapportent que « le nombre est une des notions fondamentales de l’entendement […] qu’on ne peut définir. » Le ''Petit Larousse illustré'' soutient que le nombre « ne peut faire l’objet d’une définition stricte ».</ref>, divers types de nombres ont été introduits, des [[entier naturel|entiers naturels]] aux [[nombre réel|nombres réels]], et encore au-delà avec d’autres objets comme les [[nombre complexe|nombres complexes]]<ref>Les nombres complexes sont notamment mentionnés dans {{Larousse|mot=nombre|numéro=54801|consulté le=1 octobre 2023}} et {{Britannica}} (consulté le 1 octobre 2023)</ref>, les [[nombre p-adique|nombres ''p''-adiques]]<ref>Gouvêa, Fernando Q. ''[[The Princeton Companion to Mathematics]], Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics"'', p. 82. Princeton University Press, September 28, 2008. {{isbn|978-0-691-11880-2}}. "Today, it is no longer that easy to decide what counts as a 'number.' The objects from the original sequence of 'integer, rational, real, and complex' are certainly numbers, but so are the ''p''-adics. The quaternions are rarely referred to as 'numbers,' on the other hand, though they can be used to coordinatize certain mathematical notions."</ref>, des infinitésimaux de l’[[analyse non standard]] ou des [[nombre transfini|transfinis]] de la [[théorie des ensembles]]. Ces concepts permettant d’exprimer des [[mesure physique|mesures physiques]], résoudre des [[équation]]s, encoder des [[théorie de l'information|informations]], voire appréhender l’[[infini]].

En [[physique]], certains nombres apparaissent comme des [[grandeur sans dimension|grandeurs sans dimension]], tels le [[nombre de Reynolds]] en [[mécanique des fluides]] ou les [[nombre quantique|nombres quantiques]].

En dehors de leur utilisation scientifique, certains nombres ont aussi acquis une charge [[symbolique]] forte dans différentes cultures. C'est par exemple le cas du [[Trinité (christianisme) | nombre trois pour les chrétiens]] ou du [[Tétraktys | nombre dix pour les pythagoriciens]].

== Conception ==
=== Principe ===
Le concept de nombre trouve son origine dans l’idée d’[[appariement]], c’est-à-dire de la mise en correspondance d’ensembles (par exemple des êtres humains d’une part et des chevaux d’autre part). Si l’on tente de répartir tous les éléments en [[couple (mathématiques)|couple]]s comprenant un élément de chaque ensemble, il se peut qu’il reste des éléments d’un ensemble en trop, ou qu’il en manque, ou encore qu’il y en ait juste assez. L’expérience montre alors que la manière de faire la répartition ne change pas le résultat, d’où la notion de [[quantité]], caractère intrinsèque et qui peut être comparé.

Cette quantité n’est pas encore un nombre mais est parfois désignée comme un « nombre-de »<ref>Expression utilisée par Stella Baruk dans son ''Dictionnaire de mathématiques élémentaires''.</ref>. Le nombre en tant que tel ne possède pas d’[[unité de mesure]]. Il est, d’après [[Euclide]], « un assemblage composé d’unités », où « l’unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une »<ref>''[[Éléments (Euclide)|Éléments]]'', livre VII. [[Euclide]]</ref>.

Parallèlement à la notion de quantité, liée à l’aspect « cardinal », la notion de repérage dans une liste mène à la définition du nombre « ordinal » : le premier nombre<ref group="Note">Le premier entier dit « naturel » est le nombre <math>1</math> avant la reconnaissance du zéro mais encore après dans le langage courant et encore aujourd’hui dans les mathématiques anglo-saxonnes.</ref> est suivi d’un deuxième, lui-même suivi d’un autre et ainsi de suite « jusqu’à l’infini ».

=== Extension progressive ===
{{Nombres irrationnels}}
Sans calcul, les nombres sont limités à la quantité de symboles utilisables. La découverte des opérations numériques élémentaires (addition et multiplication notamment) va permettre aux mathématiques de faciliter la description des nombres beaucoup plus grands à l’aide de divers [[système de numération|systèmes de numération]]. La [[Babylone (civilisation)|civilisation babylonienne]] découvre notamment la [[notation positionnelle]] dès le {{IIIe}} millénaire avant notre ère et pratique alors le calcul avec des nombres ayant une [[partie fractionnaire]].

Les [[fraction (mathématiques)|fractions]] sont conçues en [[Mathématiques dans l'Égypte antique|Égypte antique]] sous forme de « quantièmes », c’est-à-dire d’inverses d’entiers. Leur manipulation est alors soumise à [[fraction égyptienne|certaines contraintes]] qui ne seront surmontées que par l’interprétation géométrique comme rapport de longueurs (entières). Toutefois, ni les fractions ni les autres proportions géométriques telles que [[pi]], le [[nombre d'or]] ou la [[racine carrée de deux|diagonale du carré]] ne seront vraiment considérées comme des nombres par les [[Mathématiques de la Grèce antique|mathématiciens de la Grèce antique]], pour qui les seuls nombres sont [[entier naturel|entiers]].

Même si le ''chiffre'' « 0 » est employé dans certains systèmes de numération positionnelle par plusieurs civilisations antiques<ref group="Note">On le trouve notamment dans la [[numération grecque]] à partir du {{s-|II}} avant notre ère et la [[numération maya]] au cours du {{Ier}} millénaire.</ref>, le ''nombre'' [[zéro]] n’apparaît en tant que tel qu’au {{s-|VII}} dans les [[mathématiques indiennes]]. Il est repris par la civilisation de l’Islam et importé en Europe au {{s-|X}}. Sous le qualificatif d’« absurdes », les [[nombre négatif|nombres négatifs]] sont déjà étudiés au {{s-|XVI}} mais leurs propriétés arithmétiques font encore polémique au début du {{s-|XIX}}.

Les [[nombre algébrique|nombres algébriques]] [[nombre réel|réels]] positifs sont étudiés avec le développement de l’[[algèbre]] par les [[Mathématiques arabes|mathématiciens arabes]]. Ces derniers en calculent des valeurs approchées en [[nombre décimal|notation décimale]] dès le {{s-|XII}}. Cette même algèbre conduira certains mathématiciens italiens à inventer au {{s-|XVI}} des nombres « imaginaires », première approche des [[nombre complexe|nombres complexes]] qui ne seront définis de manière satisfaisante qu’au {{s-|XVIII}}. Leur construction géométrique sera d’ailleurs rapidement suivie de celle des [[quaternion]]s puis d’autres [[nombre hypercomplexe|nombres hypercomplexes]] pendant le siècle suivant.

Paradoxalement, il faudra cependant attendre le {{s-|XIX}} pour que soit reconnue l’existence de [[nombre transcendant|nombres transcendants]], juste avant que soit formalisée la notion de [[nombre réel]] indépendamment de la géométrie. La procédure de [[Espace complet|complétion]] des nombres [[nombre rationnel|rationnels]] sera imitée au début du {{s-|XX}} pour construire les [[nombre p-adique|nombres ''p''-adiques]].

Les [[nombre transfini|nombres transfinis]] sont introduits de diverses manières à partir de la fin du {{s-|XIX}}, lorsque [[Georg Cantor]] définit les [[nombre ordinal|ordinaux]] et [[nombre cardinal|cardinaux]]. Dans la seconde moitié du {{s-|XX}}, l’[[analyse non standard]] fait usage de [[nombre hyperréel|nombres hyperréels]] puis [[nombre superréel|superréels]], tandis que [[John Horton Conway|Conway]] présente les [[nombre surréel|nombres surréels et pseudo-réels]].
{{Article détaillé|Histoire des mathématiques}}

=== Pédagogie ===
Diverses expériences explorent les capacités numériques chez l’enfant en bas âge.
{{Article détaillé|Construction du nombre chez l'enfant}}
[[File:NumberSetinR2.svg|thumb|Relations d'inclusion entre les différents ensembles de nombres.]]Dans l’éducation, l’apprentissage du nombre débute avec l’acquisition de la « [[chaîne numérique]] »<ref>[http://www.education.gouv.fr/cid21082/les-nouveaux-programmes-ecole-primaire.html nouveaux programmes de l’école primaire en France] {{p.|7}}.</ref>{{,}}<ref group="Note">Il s’agit de la suite des premiers nombres entiers, commençant généralement à 1</ref>, notamment à l’aide de [[comptine]]s<ref group="Note">Le mot « comptine » dérive lui-même tardivement du verbe « compter » selon le [[dictionnaire historique de la langue française]].</ref> : « un, deux, trois… » Cette liste sera progressivement prolongée pour permettre à l’enfant d’''énumérer'' des objets qu’il manipule afin de les ''[[dénombrement|dénombrer]]'' (en associant à cette quantité le dernier terme de l’énumération), mais aussi pour repérer une position dans une série ordonnée.

Au cours de la scolarité, l’univers des nombres s’étend progressivement avec la manipulation des [[fraction (mathématiques)|fractions]], la notation décimale fractionnaire associée à la [[conversion des unités]] puis les nombres [[nombre négatif|négatifs]]. Le [[développement décimal]] infini est introduit avant la séquence croissante des [[ensemble de nombres|ensembles de nombres usuels]] :
* l’ensemble '''N''' (ou <math>\N</math>) des [[entier naturel|entiers naturels]] ;
* l’ensemble '''Z''' (ou <math>\Z</math>) des [[entier relatif|entiers relatifs]], qui sont munis d’un signe positif (<math>+</math>) ou négatif (<math>-</math>) ;
* l’ensemble '''D''' (ou <math>\mathbb{D}</math>) des [[nombre décimal|nombres décimaux]], qui admettent une [[partie entière]] et une [[partie décimale]] de longueur finie, en général notées de part et d'autre d'une virgule<ref group="Note">Dans plusieurs autres pays, la virgule est remplacée par un [[Point (signe)|point]].</ref> ;
* l’ensemble '''Q''' (ou <math>\Q</math>) des [[nombre rationnel|nombres rationnels]], qui sont représentés par des fractions avec un numérateur et un dénominateur entiers (ou décimaux) ;
* l’ensemble '''R''' (ou <math>\R</math>) des [[nombre réel|nombres réels]], qui repèrent tous les points d’un [[Axe (mathématiques)|axe]] orienté continu ;
* l’ensemble '''C''' (ou <math>\Complex</math>) des [[nombre complexe|nombres complexes]], qui peuvent décrire tous les points d’un plan.
<!-- À VÉRIFIER --
L’enseignement décrit le nombre comme une suite de chiffres, éventuellement précédée d’un signe et munie d’une virgule qui sépare les chiffres de la partie entière et ceux de la partie fractionnaire (de gauche à droite).-->

== Numération ==
{{Article détaillé|Numération}}
=== Origine ===
L’idée de quantité et sa codification visuelle sont vraisemblablement antérieures à l’apparition de l’[[écriture]]<ref group="Note">L’[[os d'Ishango|os d’Ishango]] est ainsi interprété comme un artefact antérieur à l’apparition de l’écriture et représentant des valeurs numériques.</ref>. Plusieurs procédés de comptage sont progressivement développés pour décrire la taille d’un troupeau et contrôler son évolution, suivre un [[calendrier]] ou mesurer des récoltes<ref>Georges Ifrah, introduction à l’''Histoire universelle des chiffres''.</ref>.

Au {{IVe}} millénaire avant notre ère, les [[Mésopotamie|civilisations mésopotamiennes]] utilisent ainsi des boules creuses d’argile contenant des jetons, puis des [[Tablette d'argile|tablettes d’argile]] munies de marques. Un [[Notation (mathématiques)|système de notation]] (dit « système S ») est employé pour la désignation des quantités discrètes, tandis que les surfaces et autres grandeurs sont représentées chacune selon un système de notation propre<ref>[[Catherine Goldstein]], « La naissance du nombre en Mésopotamie », ''Histoire des nombres'', éditions Tallandier, 2007.</ref>. Il faut attendre la fusion de ces systèmes, à la fin du {{IIIe}} millénaire avant notre ère, pour voir se former véritablement le concept du nombre abstrait, indépendant de ses réalisations concrètes<ref>Christian Houzel, « Qu’est-ce qu’un nombre ? », ''Histoire des nombres'', éditions Tallandier, 2007.</ref>.

=== Du signe au chiffre ===
{{Article détaillé|Système de numération}}
Dans les systèmes de numération additifs, certains symboles (variables selon les cultures) représentent des quantités précises et sont juxtaposés pour désigner tous les nombres utiles<ref group="Note">Le [[numération égyptienne|système de numération de l’Égypte antique]] s’arrête ainsi au symbole du [[million]], assimilé à l’[[infini]].</ref>.

Les systèmes alphabétiques associent la liste des lettres de l’alphabet (employant en renfort des lettres inusitées, désuètes ou inventées<ref group="Note">Voir par exemple la [[numération grecque]].</ref>) aux neuf unités, neuf dizaines et neuf centaines pour écrire chaque nombre entre 1 et 999 en trois caractères maximum. Pour écrire des valeurs supérieures, un nouveau groupe de trois lettres maximum désignant les milliers est placé à gauche, séparé par une apostrophe.

Ainsi, pour écrire lisiblement un nombre en chiffres, il est d'usage de séparer chaque groupe de 3 chiffres par un espace. Le premier groupe pouvant être composé de 1 à 3 chiffres.

Ce système est proche de l’écriture positionnelle chiffrée, dans laquelle chaque position ne contient (au plus<ref group="Note">Le zéro de position est inventé d’abord pour indiquer l’absence de chiffre sur une position.</ref>) qu’un seul chiffre.

Les chiffres de la [[nombre décimal|numération décimale]] correspondent aux dix premiers nombres entiers : [[zéro]], [[1 (nombre)|un]], [[2 (nombre)|deux]], [[3 (nombre)|trois]], [[4 (nombre)|quatre]], [[5 (nombre)|cinq]], [[6 (nombre)|six]], [[7 (nombre)|sept]], [[8 (nombre)|huit]] et [[9 (nombre)|neuf]].

== Arithmétique ==
{{Article détaillé|Arithmétique}}
=== Opérations ===
Dès lors que les quantités sont représentées par des symboles, la manipulation des quantités doit être traduite par des [[opération (mathématiques)|opérations]] sur les nombres. Ainsi, la réunion de deux quantités définit l’opération d’[[addition]] et la répétition d’une certaine quantité donne lieu à la [[multiplication]]. Ces deux opérations ''directes'' admettent des opérations ''réciproques'' : la [[soustraction]] et la [[division]], qui permettent de retrouver l’un des [[opérande]]s à partir du résultat et de l’autre opérande.

Chacune de ces opérations est réalisée selon diverses techniques de [[calcul (mathématiques)|calcul]]. Mais contrairement aux opérations directes qui sont définies sans restriction, les opérations réciproques n’aboutissent que sous certaines conditions. Ainsi, avant l’utilisation des [[nombre négatif|nombres négatifs]], un nombre ne peut être soustrait qu’à un nombre plus grand<ref group="Note">Même en admettant l’usage des nombres négatifs, pour soustraire un nombre positif à un nombre positif plus petit, on effectue la soustraction contraire et on change le signe du résultat.</ref>. 

De même, la notion de [[divisibilité]] décrit la [[réalisabilité]] d’une division. Le processus de [[division euclidienne]] a cependant l’avantage de fournir un résultat même sans l’hypothèse de divisibilité. Cette dernière s’exprime alors par l’absence de ''reste''.

À partir du moment où la multiplication apparaît comme une opération purement numérique, sa répétition définit les [[puissance (mathématiques élémentaires)|puissances]] d’un nombre, dont les opérations réciproques sont appelées [[racine d'un nombre|racines]]. 

D’autres opérations, telles que la [[factorielle]], sont développées dans le cadre de la [[combinatoire]].
{{Article détaillé|Opération (mathématiques)}}

=== Multiple et diviseur ===
Dans ce paragraphe, les nombres considérés sont des [[entier naturel|entiers naturels]] non nuls.

Étant donné un nombre, l’ensemble de ses [[multiplication|multiples]] est [[ensemble infini|infini]] mais régulièrement réparti et facile à décrire par une [[suite arithmétique]]. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres [[parité (mathématiques)|pairs]], qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l’ensemble des [[diviseur]]s d’un nombre est toujours [[ensemble fini|fini]] et sa répartition n’a pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une [[base (arithmétique)|base]] donnée.

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système de [[écriture décimale positionnelle|numération positionnelle décimale]], plusieurs [[critères de divisibilité]] sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.
{{Article détaillé|Divisibilité}}

=== Nombre premier ===
Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés [[nombre premier|nombres premiers]]. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se [[décomposition en produit de facteurs premiers|décompose]] de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.
{{Article détaillé|Nombre premier|Théorème fondamental de l'arithmétique}}

=== Vers la théorie des nombres ===

{{article détaillé|théorie des nombres}}

L'[[arithmétique]] est littéralement la science des entiers, comprenant la définition des opérations élémentaires d'[[addition]] et de [[multiplication]], de leurs opérations inverses, de la relation de [[divisibilité]] et des propriétés qui s'en déduisent, permettant le traitement d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]]. 

À partir du {{s-|XIX}}, la [[théorie des nombres]] prolonge ces notions à l'aide des outils de l'[[théorie algébrique des nombres|algèbre]] et de l'[[théorie analytique des nombres|analyse]], dans les ensembles de nombres [[nombre réel|réels]], [[nombre complexe|complexes]] ou [[nombre p-adique|<var>p</var>-adiques]].

== Géométrie ==
=== Nombre figuré ===
[[Fichier:Tetractys.svg|thumb|200px|La ''tetraktys'' pythagoricienne.]]
L’évaluation d’une quantité d’objets se fait plus ou moins rapidement selon la manière dont les objets sont rangés. 

Par exemple, seize jetons se comptent bien plus facilement s’ils sont disposés en carré que s’ils sont jetés en désordre sur une table. 

De même, la ''[[Tetractys|tetraktys]]'' des [[École pythagoricienne|pythagoriciens]] est le rangement de dix points en [[nombre triangulaire|triangle]]. 

D’autres formes sont étudiées sous cet angle dans le plan ([[nombre hexagonal|hexagones]] par exemple) ou dans l’espace par des [[nombre pyramidal|empilements]] de figures.

Cette vision des nombres comme des configurations géométriques permet, entre autres, d’interpréter le produit de deux nombres comme le rectangle dont les côtés sont décrits par ces deux nombres, d’où la nécessaire [[commutativité]] de la multiplication, c’est-à-dire que l’ordre dans lequel on effectue la multiplication n’a pas d’influence sur le résultat. D’autres propriétés arithmétiques peuvent s’énoncer géométriquement. 

Ainsi, un nombre est pair s’il est représentable par un rectangle sur deux lignes ; il est premier si la seule manière de le représenter sous forme de rectangle est une ligne de plusieurs points.
{{Article détaillé|Nombre figuré}}

=== Rapport de grandeur ===
Certains nombres proviennent de rapports géométriques comme [[pi]], rapport de la circonférence du cercle à son diamètre, ou le [[nombre d'or|nombre d’or]], né du problème de la division « en extrême et moyenne raison ».
<!--
Les éléments des [[corps de fonctions algébriques]] de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres.
-->
<!--
Les [[nombre hypercomplexe|nombres hypercomplexes]] furent inventés par [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] ([[quaternion]]s) puis par [[Arthur Cayley|Cayley]] ([[octonion]]s) et les [[sédénion]]s par la [[construction de Cayley-Dickson]]. À chaque composante d’un nombre hypercomplexe, on peut associer une [[Base (algèbre linéaire)|base]] à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les [[biquaternion]]s.
-->
<!--L’apparition des [[nombre p-adique|nombres p-adiques]] est liée à la notion de [[valeur absolue]], et sont très utilisés en [[théorie des nombres]].
-->

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|group=Note}}
=== Références ===
{{Références|taille=40}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
|wiktionary=nombre
|wiktionary titre=nombre
|commons=Category:Numbers
}}

=== Articles connexes ===
* [[Gogol (nombre)|Gogol]]
* [[Nombres en français]]
* [[Nom des grands nombres]]
* [[Nombres dans le monde]]
* [[Liste de nombres]]
* [[Liste de grands nombres]]
* [[Suite d'entiers]]
* [[Table des diviseurs]]
* [[Fondements des mathématiques]]
* [[Philosophie des mathématiques]]
*''[[Principia Mathematica]]''
*''[[Introduction à la philosophie mathématique]]''

=== Bibliographie ===
* [[John H. Conway]] et [[Richard K. Guy]], ''Le Livre des nombres'', Paris, [[Eyrolles]], 1998 {{ISBN|2-212-03638-8}}
* {{Lien|lang=de|Heinz-Dieter Ebbinghaus}} et al., ''Numbers'', New York, [[Springer Verlag|Springer]], 1991 {{ISBN|0-387-97497-0}}
* {{Benoît Chemla Ritter}}
* {{HardyWright}}{{commentaire biblio|{{Citation|Le plus grand classique sur la théorie des nombres}} selon [[Douglas Hofstadter]]}}
* [[Georges Ifrah]], ''Histoire universelle des chiffres'', [[Éditions Robert Laffont]], {{coll.|Bouquins}}
* ''Le Mystère des nombres'', Hors-série de ''[[Science et Avenir]]'', 2004
* [[Denis Guedj]], ''[[L'Empire des nombres]]'', Gallimard, coll. « [[Découvertes Gallimard]] / Sciences et techniques » ([[Liste des volumes de « Découvertes Gallimard » (2e partie)|{{n°|300}}]]), 1996

=== Filmographie ===
''L'empire des nombres'', DVD paru chez Arte édition.

=== Lien externe ===
{{Lien brisé|auteur=Jean-Pierre Dedieu|url=http://www.mip.ups-tlse.fr/~dedieu/Book-20-04-04.pdf|titre=Les Mots des nombres|date=7 février 2007}}

{{Palette|Notion de nombre|Numération|Base de numération positionnelle}}
{{Portail|philosophie|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Nombre|*]]
[[Catégorie:Objet mathématique]]