Voir la source de Nombre algébrique

{{Voir homonymes|Algébrique}}
{{Confusion|entier algébrique}}
{{Nombres irrationnels}}

Un '''nombre algébrique''', en [[mathématiques]]<ref group=alpha>En [[physique]] et en [[chimie]], on dit souvent de la valeur d'une [[grandeur physique|grandeur]] que c'est un « nombre algébrique » pour dire que c'est un [[nombre réel]] qui peut prendre des valeurs positives, nulles ou négatives (pas seulement positives ou nulles).</ref>, est un [[nombre complexe|nombre réel ou complexe]] solution d'une [[équation polynomiale]] à coefficients dans le [[Corps commutatif|corps]] <math>\Q</math> des [[nombre rationnel|rationnels]]<ref group=alpha>On peut remplacer ces coefficients par des [[entier relatif|entiers]] en les multipliant par un [[Multiple (mathématiques)|multiple]] commun de leurs dénominateurs.</ref> (autrement dit [[racine d'un polynôme]] non nul à coefficients rationnels).

Les nombres [[Entier relatif|entiers]] et [[Nombre rationnel|rationnels]] sont algébriques, ainsi que toutes les [[Racine d'un nombre|racines]] de ces nombres. Les nombres réels ou complexes qui ne sont pas algébriques, comme [[Pi|π]] et [[E (nombre)|e]] ([[théorème de Lindemann-Weierstrass]]), sont dits [[Nombre transcendant|'''transcendants''']]. L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent fait partie de la [[théorie de Galois]].

== Exemples ==

* Tout [[nombre rationnel]] <math>a</math> est algébrique, car il est solution de l'équation <math>x-a=0</math>.
* Un [[nombre irrationnel]] peut être ou non algébrique. Par exemple [[Racine carrée de deux|{{racine|2}}]] ou ({{racine|n=3|3}})/2 sont algébriques (car ils sont solutions de <math>x^2-2=0</math> et <math>8x^3 - 3 = 0</math>, respectivement), tandis que le [[e (nombre)|nombre {{math|e}}]] est [[Nombre transcendant|transcendant]] (c'est-à-dire non algébrique).
* L'[[unité imaginaire]] {{math|i}} est algébrique, car elle est solution de l'équation <math>x^2 + 1 = 0</math>.
* Le nombre <math>\pi+\rm i</math> est transcendant mais on ne connait pas la nature de <math>\pi+\rm e</math>.

== Propriétés ==
L'ensemble des nombres algébriques est [[Ensemble dénombrable|dénombrable]]<ref>Histoire des sciences : [http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/cantor-et-les-infinis L'article de 1874 de Cantor sur la dénombrabilité des nombres algébriques] en ligne et commenté sur le site [[Bibnum]]</ref> — donc [[Ensemble négligeable#Mesure de Lebesgue|négligeable]] — puisque les polynômes non nuls à coefficients rationnels sont dénombrables et que chacun d'eux possède un nombre fini de [[Racine d'un polynôme|zéros]].

Le [[polynôme minimal d'un nombre algébrique]] est le [[polynôme unitaire]] à coefficients rationnels de plus petit degré dont ce nombre est racine. On définit aussi le polynôme minimal ''sur <math>\mathbb{Z}</math>'' comme le polynôme de plus petit degré à coefficients entiers (premiers entre eux dans leur ensemble et tels que le coefficient du terme de plus haut degré soit positif) dont le nombre est racine (il est identique au précédent à multiplication près par une constante). Le degré du polynôme minimal est appelé le degré du nombre algébrique. Par exemple, les nombres algébriques de degré 1 sont les rationnels ; {{math|i}} et {{racine|2}} sont algébriques de degré 2. La hauteur d'un nombre algébrique est le maximum des valeurs absolues des coefficients du polynôme minimal sur <math>\mathbb{Z}</math>.

Tout nombre algébrique appartient au [[corps de rupture]] [[Extension simple|ℚ(''x'')]] de son polynôme minimal, qui est un [[corps de nombres]] c'est-à-dire une [[extension finie]] de ℚ. Réciproquement, tout élément d'un corps de nombres est algébrique. En particulier :
*L'opposé et l'inverse d'un nombre algébrique non nul ''x ''sont algébriques, puisqu'ils appartiennent au corps de nombres  ℚ(''x'')  (on construit d'ailleurs très facilement leurs polynômes minimaux à partir de celui de ''x'').
*La somme et le produit de deux nombres algébriques ''x ''et ''y ''sont encore algébriques, puisqu'ils appartiennent au corps [[Extension de corps#Définition|ℚ(''x'', ''y'')]], [[Extension algébrique#Définitions et premières propriétés|qui est une extension finie de ℚ]] (le calcul de leurs polynômes minimaux est moins évident et passe par l'utilisation du [[résultant]]).

Un nombre complexe est algébrique si et seulement si sa [[partie réelle]] et sa [[partie imaginaire]] le sont.

== Le corps des nombres algébriques ==

[[File:Algebraic number in the complex plane.png|thumb|Les nombres algébriques dans le [[plan complexe]]. Couleur d'après degré. (bleue=4, cyan=3, rouge=2, vert=1). Le cercle unité est noir.]]

D'après les propriétés ci-dessus, les nombres algébriques forment un [[sous-corps]] de ℂ, différent de ℂ. On peut montrer que toute solution d'une équation polynomiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est encore algébrique, autrement dit : le corps des nombres algébriques est [[corps algébriquement clos|algébriquement clos]]. En fait, c'est le plus petit corps algébriquement clos contenant les nombres rationnels, et il est par conséquent appelé [[clôture algébrique]] du corps  ℚ des rationnels et noté {{surligner|ℚ}}.

Tous les énoncés ci-dessus se généralisent aux [[#Généralisation|éléments algébriques d'une extension de corps]].

Tous les nombres algébriques sont des [[Algèbre des périodes|périodes]] donc sont [[nombre calculable|calculables]].

== Nombres définis par des radicaux ==
Tous les nombres qui peuvent être obtenus à partir des entiers en utilisant un nombre [[ensemble fini|fini]] d'[[addition]]s, de [[soustraction]]s, de [[multiplication]]s, de [[division (mathématiques)|divisions]] et d'extractions de [[Racine d'un nombre|racines ''n''-ièmes]] (où ''n'' est un [[Entier naturel|entier strictement positif]]) sont algébriques. La [[réciproque]] est fausse : il existe des nombres algébriques qui ne peuvent pas être obtenus de cette manière (c'est le [[Théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel-Ruffini]]) ; d'après la [[théorie de Galois]], tous ces nombres sont de degré supérieur ou égal à 5. Un exemple d'un tel nombre est l'unique solution réelle de ''x''{{5}} – ''x ''– 1 = 0.
{{Article détaillé|équation quintique}}

== Entiers algébriques ==

[[File:Algebraic integers.gif|thumb|Entiers algébriques dans le plan complexe.]]

{{Article détaillé|entier algébrique}}

Tout nombre algébrique est racine d'un polynôme à coefficients [[entier relatif|entiers]]. On dit que ce nombre est un [[entier algébrique]] s'il est racine d'un [[Polynôme unitaire|polynôme ''unitaire'']] à coefficients entiers ou, ce qui est équivalent, si son polynôme minimal (unitaire) est à coefficients entiers. Ainsi, 3 + 2{{racine|2}}, racine de ''x''{{2}} – 6''x ''+ 1 et 2 – 5{{math|i}}, racine de ''x''{{2}} – 4''x ''+ 29, sont des entiers algébriques ; il en est de même du [[nombre d'or]] {{nobr|(1 + {{racine|5}})/2,}} qui est racine de ''x''{{2}} – ''x ''– 1 ; ce dernier exemple montre que les « coefficients » d'un entier algébrique peuvent ne pas être entiers ; cette question est développée dans l'article consacré aux [[Entier quadratique|entiers quadratiques]]. Des exemples d'entiers quadratiques sont les [[Entier de Gauss|entiers de Gauss]], les [[Entier d'Eisenstein|entiers d'Eisenstein]] ou les [[Anneau des entiers de Q(√5)|entiers du corps ℚ({{racine|5}})]]. Les [[Racine de l'unité|racines de l'unité]] sont des entiers algébriques (non quadratiques en général) donc les [[période de Gauss|périodes de Gauss]] aussi (ce sont des sommes particulières de racines de l'unité). Les [[Nombre de Salem|nombres de Salem]] et [[Nombre de Pisot-Vijayaraghavan|ceux de Pisot-Vijayaraghavan]] sont des types particuliers d'entiers algébriques.

Les entiers algébriques forment un [[sous-anneau]] [[Algèbre involutive|involutif]] de ℂ, ce qui signifie que la somme, la différence, le produit et le [[conjugué]] d'entiers algébriques sont encore des entiers algébriques. Cet anneau ne contient aucun [[élément irréductible]], puisqu'il est [[Partie stable|stable]] par [[Racine d'un nombre complexe|racine carrée]].

Le nom ''entier algébrique'' {{refsou|date=juillet 2012|provient du fait que}} les seuls nombres rationnels qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et que les entiers algébriques dans tout [[corps de nombres]] sont, sous bien des aspects, analogues aux entiers : ce sont les exemples les plus typiques d'[[anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]]. Si ''K ''est un corps de nombres, l'« anneau de ses entiers » est le sous-anneau des entiers algébriques dans ''K ''et est fréquemment noté ''O{{ind|K}}''.

== Généralisation ==
Le concept de nombre algébrique peut être généralisé à d'autres corps que <math>\Q</math>, comme le corps des [[nombre p-adique|nombres ''p''-adiques]] ; les éléments dans de telles extensions qui satisfont aux équations polynomiales sont appelés des [[élément algébrique|éléments algébriques]].

Soient ''K ''un corps et ''L ''une [[extension de corps|extension]] de ''K. ''Un élément de ''L ''est dit [[élément algébrique|algébrique]] sur ''K ''s'il est racine d'une équation polynomiale à coefficients dans ''K'', non tous nuls ; il est dit transcendant sur ''K ''dans le cas contraire.

La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas particulier où ''K ''est le corps <math>\Q</math> des rationnels et ''L ''est le corps <math>\Complex</math> des nombres complexes.

== Voir aussi ==

* [[Nombre transcendant]]
* [[Algèbre des périodes]], sous-anneau dénombrable de <math>\Complex</math> contenant strictement le corps des nombres algébriques.
* [[Nombre calculable|Corps des nombres calculables]], sous-corps dénombrable de <math>\Complex</math> contenant strictement l'algèbre des périodes.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Algebraic number|76711084|type=n}}

=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

{{Palette|Notion de nombre}}

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Théorie algébrique des nombres]]
[[Catégorie:Type de nombres|Algébrique]]