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En [[arithmétique]], un '''nombre brésilien''' est un [[entier naturel]] <math>n</math> non nul de la forme
<center><math>n \ =\ a \frac{b^c-1}{b-1}, \qquad a < b<n-1,\quad c \geqslant 2</math>.</center>

Autrement dit, <math>n</math> est la [[Suite géométrique|somme géométrique]] : 

<center><math>n \ =\ a + a\times b + a\times b^2 + ... + a\times b^{c-1}</math>.</center>

Un nombre brésilien <math>n</math> possède donc, dans une [[Base (arithmétique)|base]] <math>b</math> vérifiant <math>1<b<n-1</math>, une [[Nombre uniforme|représentation uniforme]] s'écrivant avec au moins deux chiffres tous égaux.

Plus précisément, <math>n =(aa\cdots aa)_b </math> avec <math>c\geqslant2</math> fois la présence du chiffre <math>a\leqslant b-1  </math>  en base <math>b\leqslant n-2</math>.

La condition <math>b\leqslant n-2</math> est importante car tout nombre <math>n</math>  s'écrit : <math>n=11_{n-1} </math> et, de ce fait, tout nombre serait brésilien si on ne la donnait pas.

La condition <math>c\geqslant2</math> s'en déduit car si <math>c=1</math>, <math>n=a</math> et on aurait <math>a\geqslant b+2</math>.

'''Exemples'''

20 est un nombre brésilien car 20 s'écrit 22 en base 9 : 20 = 22<sub>9</sub>.

9 n'est pas un nombre brésilien car 9 = 1001<sub>2</sub> = 100<sub>3</sub> = 21<sub>4</sub> = 14<sub>5</sub> = 13<sub>6</sub> = 12<sub>7</sub> et aucune de ces écritures n'est brésilienne. 

== Historique ==

En 1994, lors de la neuvième Olympiade ibéro-américaine de mathématiques qui se déroulait à [[Fortaleza]] au Brésil, le premier problème, proposé par le Mexique, a été repris par Pierre Bornsztein dans son livre ''Hypermath''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Pierre|nom1=Bornsztein |titre=Hypermath |éditeur=[[Vuibert]] |lieu=Paris |année= 2001 |passage= {{nobr|exercice a35}}, {{p.|7}}|ISBN=9782711753017|pages totales=352}}.</ref> : {{Citation|Un nombre ''n'' > 0 est dit « brésilien » s'il existe un entier ''b'' tel que 1 <  ''b'' < ''n'' – 1 pour lequel la représentation de ''n'' en base ''b'' s'écrit avec des chiffres tous égaux. Montrer que 1994 est brésilien et que 1993 ne l'est pas.}}

Séduit par cet énoncé, Bernard Schott l'a proposé comme thème de réflexion en 2007 sur le forum du site ''les-mathematiques.net''<ref>{{lien web|titre=2007 est-il un nombre brésilien?|site=les-mathematiques.net |url=https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/350062/2007-est-il-un-nombre-bresilien|date=janvier 2007|consulté le=19 octobre 2023}}.</ref> puis a rédigé en 2010 un article sur ces nombres dans la revue ''[[Quadrature (revue)|Quadrature]]''<ref>{{Article|prénom1=Bernard|nom1=Schott|titre=Les nombres brésiliens|périodique=[[Quadrature (revue)|Quadrature]]|numéro=76|année=|date=2010|lire en ligne=https://oeis.org/A125134/a125134.pdf}}.</ref>. Entre-temps, [[Neil Sloane|Neil J. A. Sloane]] a approuvé cette suite de nombres brésiliens dans l'[[Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers]], connue en anglais sous le sigle d'OEIS.

== Quelques propriétés ==

* Tout [[nombre uniforme]] <math>(aa\cdots aa)_b </math> avec au moins trois chiffres est brésilien ; le nombre <math>(aa)_b </math> est brésilien ssi <math>2\leqslant a\leqslant b-1 </math>.

* Le plus petit nombre brésilien est [[7 (nombre)|7]] (= 111<sub>2</sub>), qui est donc également le plus petit [[nombre premier]] brésilien<ref>{{lien web |url=https://oeis.org/A125134 |titre=Brazilian Number |langue=en |website=The On-Line Encylopaedia of Integer Sequences |consulté le=4 janvier 2022}}.</ref>.
* La suite des nombres brésiliens est [[7 (nombre)|7]], [[8 (nombre)|8]], [[10 (nombre)|10]], [[12 (nombre)|12]], [[13 (nombre)|13]], [[14 (nombre)|14]], [[15 (nombre)|15]], [[16 (nombre)|16]], [[18 (nombre)|18]], [[20 (nombre)|20]], [[21 (nombre)|21]]{{etc.}} ({{OEIS|id=A125134}}).
* Tout [[nombre pair]] ≥ [[8 (nombre)|8]] est brésilien car ''n'' = 2 × ''k'' = 22<sub>''k''–1</sub> avec ''k'' – 1 ≥ 3. Ainsi, il existe une infinité de nombres brésiliens et de [[Nombre composé|nombres composés]] brésiliens.
* La suite des nombres impairs brésiliens est [[7 (nombre)|7]], [[13 (nombre)|13]], [[15 (nombre)|15]], [[21 (nombre)|21]], [[27 (nombre)|27]], [[31 (nombre)|31]], [[33 (nombre)|33]], [[35 (nombre)|35]], [[39 (nombre)|39]], etc. ({{OEIS|A257521}}).
* Tout nombre impair composé  <math>n\geqslant </math> [[15 (nombre)|15]] s'écrivant  <math>n=a\times c </math> avec  <math>a\geqslant 3 </math> et <math>c\geqslant a+2 </math> est brésilien car <math>n = c \times a = (aa)_{c-1}  </math>.
* La suite des nombres composés brésiliens est [[8 (nombre)|8]], [[10 (nombre)|10]], [[12 (nombre)|12]], [[14 (nombre)|14]], [[15 (nombre)|15]], [[16 (nombre)|16]], [[18 (nombre)|18]], [[20 (nombre)|20]], [[21 (nombre)|21]]{{etc.}} ({{OEIS|id=A220571}}).
* Un nombre super-brésilien est un [[nombre uniforme]] dans une base égale à ce nombre uniforme. Le plus petit exemple est 22<sub>22</sub> = [[46 (nombre)|46]]. Sur le site ''Nombres'' de Gérard Villemin<ref>{{Lien web|url=http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/RepDigit.htm#super |auteur=Gérard Villemin |titre=Nombres repbase & nombres super-repdigits}}.</ref>, ces nombres sont appelés super-repdigits car l'écriture 11<sub>11</sub> = 12 est acceptée. La suite des nombres super-brésiliens correspond à {{OEIS2C|id=A287767}}.
* Si ''n'' > 7 n'est pas brésilien, alors ''n'' est un nombre premier ou le carré d'un nombre premier.
* Il existe des nombres brésiliens premiers, des nombres brésiliens composés, des nombres non brésiliens premiers et des nombres non brésiliens composés. Avec 0 et 1, ces quatre ensembles forment une [[Partition (mathématiques)|partition]] de l'ensemble <math>\mathbb{N}</math> des entiers naturels.

== Nombres premiers et répunits ==

Tout nombre premier brésilien ''p'' supérieur ou égal à 7 est un [[répunit]] qui s'écrit avec un nombre premier impair de 1 dans une base ''b'', mais la réciproque est fausse comme le montre 21 = 111<sub>4</sub> = 3 × 7 ou encore 111 = 111<sub>10</sub> = 3 × 37.

Exemples de premiers brésiliens : [[13 (nombre)|13]] = 111<sub>3</sub> et 127 = 1111111<sub>2</sub>.

La suite des nombres premiers brésiliens est [[7 (nombre)|7]], [[13 (nombre)|13]], [[31 (nombre)|31]], [[43 (nombre)|43]], [[73 (nombre)|73]], [[127 (nombre)|127]], [[157 (nombre)|157]], [[211 (nombre)|211]], [[241 (nombre)|241]], [[307 (nombre)|307]], [[421 (nombre)|421]], [[463 (nombre)|463]]{{etc.}} (suite {{OEIS2C|id=A085104}}).

Alors que la [[série des inverses des nombres premiers]] est [[Série divergente|divergente]], la [[Série (mathématiques)|série]] des [[inverse]]s des nombres premiers brésiliens est convergente vers un nombre appelé « constante des nombres premiers brésiliens » (suite {{OEIS2C|id=A306759}}) et légèrement supérieur à 0,33.

La suite des nombres premiers non brésiliens est [[2 (nombre)|2]], [[3 (nombre)|3]], [[5 (nombre)|5]], [[11 (nombre)|11]], [[17 (nombre)|17]], [[19 (nombre)|19]], [[23 (nombre)|23]], [[29 (nombre)|29]], [[37 (nombre)|37]], [[41 (nombre)|41]], [[47 (nombre)|47]], [[53 (nombre)|53]] {{etc.}} (suite {{OEIS2C|id=A220627}}). Cette suite est infinie.

Les répunits en base dix, définis par <math>R_n=\frac{10^n-1}9\ \mbox{avec } n\ge3</math>, donc supérieurs ou égaux à 111, sont tous brésiliens. Les indices des répunits brésiliens premiers en base dix se trouvent dans la suite {{OEIS2C|id=A004023}} (excepté 2 car [[11 (nombre)|11]] n'est pas brésilien). On [[conjecture]] qu'il existe une infinité de répunits en base dix premiers (donc une infinité de nombres premiers brésiliens), bien que ceux-ci soient relativement rares. Leur nombre de chiffres est nécessairement premier, sinon ils seraient multiples de 11, 111, {{formatnum:11111}}{{etc.}} Par exemple, R<sub>2047</sub> est divisible par, entre autres, R<sub>23</sub> et R<sub>89</sub>.

Tous les nombres de Mersenne <math>M_n=2^n-1, n\ge3</math>, donc supérieurs ou égaux à 7, sont brésiliens, car ce sont des répunits en {{lnobr|Système binaire|base 2}}. En particulier, tout [[nombre premier de Mersenne]] est brésilien.
Par exemple, <math>M_5 = 2^5 - 1 = 31 = 11111_2</math>.

Un [[nombre de Fermat]] <math>F_n = 2^{2^n} + 1</math> est brésilien si et seulement s'il est composé.

La conjecture proposée selon laquelle aucun [[nombre premier de Sophie Germain]] n'est brésilien est fausse. En effet, Giovanni Resta a montré que le {{formatnum:141385}}<sup>e</sup> nombre premier de Sophie Germain, 28792661 = 11111<sub>73</sub>, est brésilien (suite {{OEIS2C|id=A085104}}).

Concernant la rareté des nombres premiers brésiliens : sur les 10{{exp|3}}, 10{{exp|6}}, 10{{exp|9}} et 10{{exp|12}} premiers entiers naturels, il y a respectivement 16,8 %, 7,8 %, 5,1 % et 3,7 % de nombres premiers. Et parmi ces nombres premiers, il n'y a que 8,3 %, 0,26 %, {{nb|0,0076}} % et enfin {{nb|0,000235}} % de premiers brésiliens. Plus précisément, sur le premier [[Billion (nombre)|billion]] d'entiers naturels, {{formatnum:37607912018}} sont premiers et uniquement {{formatnum:88285}} sont des premiers brésiliens.

== Nombres composés non brésiliens ==

Les nombres pairs  ≥ 8, et les nombres impairs ≥ 15 qui possèdent au moins deux facteurs distincts, sont tous brésiliens. Cependant, il existe des nombres composés non brésiliens, comme les carrés des premiers nombres premiers : [[4 (nombre)|4]], [[9 (nombre)|9]], [[25 (nombre)|25]], [[49 (nombre)|49]], mais il existe une unique exception parmi ces carrés.

Si ''p''{{2}}  est brésilien , alors ''p'' premier doit vérifier l'[[équation diophantienne]] <center>''p''{{exp|2}} = 1 + ''b'' + ''b''{{exp|2}} + ... + ''b''{{exp|''q''–1}} avec ''p'', ''q''  premiers ≥ 3 et ''b'' >= 2.</center> Le mathématicien norvégien [[Trygve Nagell]] a démontré<ref>{{Article|auteur=Trygve Nagell |titre=Sur l'équation indéterminée (x<sup>n</sup>-1)/(x-1) = y<sup>2</sup> |périodique={{lang|no|Norsk Matematisk Forenings Skrifter}} |série=I |volume=3 |année=1921 |pages=17}}.</ref> que cette équation ne possède qu'une solution, quand ''p'' est premier, correspondant à (''p'', ''b'', ''q'') = (11, 3, 5) ainsi, 11{{2}} = 121 = 11111<sub>3</sub> et le seul carré de nombre premier qui soit brésilien est donc 121.

Cette équation possède une autre solution avec ''p'' non premier correspondant à (''p'', ''b'', ''q'') = (20, 7, 4), c'est-à-dire : 20{{2}} = 400 = 1111<sub>7</sub> . Il n'existe seulement que deux carrés d'entiers naturels qui soient répunits dans une certaine base, [[121 (nombre)|121]] et [[400 (nombre)|400]].

Si l'on élargit la recherche aux puissances pures qui sont répunits dans une certaine base, on est amené à résoudre l'[[équation diophantienne]] de Nagell-Ljunggren<ref>{{Article|langue=no |auteur=[[Wilhelm Ljunggren]] |titre=Noen setninger om ubestemte likninger av formen (x<sup>n</sup>-1)/(x-1) = y<sup>q</sup> |périodique={{lang|no|Norsk matematisk tidsskrift}} |volume=25 |année=1943 |pages=17-20}}.</ref><center>''n''{{exp|''t''}} = 1 + ''b'' + ''b''{{exp|2}} +...+ ''b''{{exp|''q''–1}} avec ''b, n, t'' > 1 et ''q'' > 2.</center> 
Yann Bugeaud et Maurice Mignotte conjecturent<ref>{{Article|auteur1=Yann Bugeaud<!-- Wikidata : Q102367643 --> |auteur2=Maurice Mignotte |titre=L'équation de Nagell-Ljunggren (x<sup>n</sup>-1)/(x-1) = y<sup>q</sup> |périodique=[[L'Enseignement mathématique]] |volume= 48 |année=2002 |pages=147-168 |url=https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:2002:48#261}}.</ref> qu'il n'existe que trois [[Puissance d'un nombre| puissances]] pures qui soient des répunits, et donc des nombres brésiliens répunits : [[121 (nombre) |121]], [[343 (nombre)|343]] et [[400 (nombre)|400]]. La seule nouvelle solution est le cube [[343 (nombre)|343]] = 7{{3}} = 111<sub>18</sub>.
 
En conséquence, il existe une infinité de nombres composés non brésiliens, ce que montre la suite des carrés de nombres premiers ≥ 13. Plus précisément, la suite des nombres composés non brésiliens : [[4 (nombre)|4]],  [[6 (nombre)|6]], [[9 (nombre)|9]], [[25 (nombre)|25]], [[49 (nombre)|49]], [[169 (nombre)|169]], [[289 (nombre)|289]], [[361 (nombre)|361]],  [[529 (nombre)|529]],...  est proposée dans la suite {{OEIS2C|id=A190300}} et les carrés non brésiliens de nombres premiers se trouvent dans la suite {{OEIS2C|id=A326708}}.

== Nombres plusieurs fois brésiliens ==
* Il existe des nombres qui ne sont pas brésiliens et des nombres qui sont brésiliens ; parmi ces derniers, certains sont une seule fois brésilien, d'autres deux fois, ou trois fois, ou quatre… Un nombre ''k'' fois brésilien sera appelé ''nombre k-brésilien''.
* À l'exception des nombres [[1 (nombre)|1]] et [[6 (nombre)|6]], les nombres non brésiliens ou ''nombres'' 0-''brésiliens'' sont constitués uniquement de nombres premiers et de carrés de nombres premiers. La suite des nombres non brésiliens débute par [[1 (nombre)|1]], [[2 (nombre)|2]], [[3 (nombre)|3]], [[4 (nombre)|4]], [[5 (nombre)|5]], [[6 (nombre)|6]], [[9 (nombre)|9]], [[11 (nombre)|11]], [[17 (nombre)|17]], [[19 (nombre)|19]], [[23 (nombre)|23]], [[25 (nombre)|25]]{{etc.}} (voir suite {{OEIS2C|id=A220570}}).
* La suite des ''nombres'' 1-''brésiliens'' se compose de nombres premiers, du seul carré de nombre premier qui soit brésilien [[121 (nombre)|121]], et des nombres composés ≥ 8 qui ne sont le produit que de deux facteurs tels que ''n'' = ''a'' × ''b'' = ''aa''<sub>''b''–1</sub> avec 1 < ''a'' < ''b'' – 1. On retrouve cette suite ici : {{OEIS2C|id=A288783}}.
* Parmi les ''nombres'' 2-''brésiliens'' (voir suite {{OEIS2C|id=A290015}}), on ne retrouve que des nombres composés et seulement deux nombres premiers : [[31 (nombre)|31]] et [[Nombres 8 000 à 8 999|8191]]. En effet, selon la [[conjecture de Goormaghtigh]], les seules solutions de l'[[équation diophantienne]] :<center><math>p=\frac{x^m - 1}{x-1}=\frac{y^n - 1}{y - 1}</math> avec ''x'', ''y''&nbsp;>&nbsp;1 et ''n'', ''m''&nbsp;>&nbsp;2</center> sont :
**(''p'',&nbsp;''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''m'',&nbsp;''n'')&nbsp;=&nbsp;(31,&nbsp;5,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;5) correspondant à 31 = 11111<sub>2</sub> = 111<sub>5</sub>, et,
**(''p'',&nbsp;''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''m'',&nbsp;''n'')&nbsp;=&nbsp;(8191,&nbsp;90,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;13) correspondant à 8191 = 1111111111111<sub>2</sub> = 111<sub>90</sub>, où 11111111111 est le répunit constitué de treize fois le chiffre 1.
* Il existe pour chaque suite de ''nombres k-brésiliens'', un nombre qui en est le plus petit élément. La suite de ces plus petits nombres ''k'' fois brésiliens débute par 1, [[7 (nombre)|7]], [[15 (nombre)|15]], [[24 (nombre)|24]], [[40 (nombre)|40]], [[60 (nombre)|60]], [[144 (nombre)|144]], [[120 (nombre)|120]], [[180 (nombre)|180]], [[336 (nombre)|336]], [[420 (nombre)|420]], [[360 (nombre)|360]]{{etc.}} et se trouve dans {{OEIS2C|id=A284758}}.
*:Ainsi, [[40 (nombre)|40]] est le plus petit entier 4-brésilien avec 40 = 1111<sub>3</sub> = 55<sub>7</sub> = 44<sub>9</sub> = 22<sub>19</sub>.  
* Dans le ''Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers''<ref>{{Ouvrage|auteur=Daniel Lignon |titre=Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers |éditeur= [[Éditions Ellipses|Ellipses]] |année=2012 |passage=420}}.</ref>, Daniel Lignon propose qu'un entier soit ''hautement brésilien'' s'il possède davantage d'écritures le définissant comme nombre brésilien que n'importe quel entier inférieur  à lui. Cette définition s'inspire de celle de [[nombre hautement composé]] introduite par [[Srinivasa Ramanujan]] en 1915.
* Les premiers nombres hautement brésiliens sont 1, [[7 (nombre)|7]], [[15 (nombre)|15]], [[24 (nombre)|24]], [[40 (nombre)|40]], [[60 (nombre)|60]], [[120 (nombre)|120]], [[180 (nombre)|180]], [[336 (nombre)|336]], [[360 (nombre)|360]], [[720 (nombre)|720]]{{etc.}} et se trouvent exactement dans {{OEIS2C|id=A329383}}. On remarquera que de 360 à 321 253 732 800 (peut-être plus), il y a {{nobr|80 nombres}} hautement composés successifs qui sont également hautement brésiliens (voir {{OEIS2C|id=A279930}}).

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Mathématiques récréatives]]
[[Catégorie:Suite d'entiers]]
[[Catégorie:Entier naturel]]