Voir la source de Nombre constructible

{{sources à lier|date=avril 2017}}
{{Homon|Constructible|Constructivisme (mathématiques)}}
{{Nombres irrationnels}}
Un '''nombre constructible''' (sous-entendu ''à la règle et au compas'') est la mesure d'une longueur associée à deux points [[Construction à la règle et au compas|constructibles à la règle (non graduée) et au compas]]. Ainsi, [[Racine carrée de deux|{{racine|2}}]] est un nombre constructible, mais ni [[racine cubique|{{racine|2|n=3}}]] ni [[Pi|{{math|π}}]] ne le sont. 

C'est effectivement en termes de longueurs que pensaient les mathématiciens grecs et ceux qui, à leur suite, ont cherché à déterminer quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon. 

Du temps de la mathématique grecque, on distinguait les problèmes dont les solutions ne faisaient intervenir que des [[droite (mathématiques)|droites]] et des [[cercle]]s dans le plan, de ceux faisant intervenir d'autres procédés (utilisation de courbes dites « mécaniques » telles la [[spirale d'Archimède]] ou les [[conchoïde]]s, utilisation de [[conique]]s pour les [[Géométrie du solide|problèmes dits solides]]…). Cette distinction est à la source de problèmes célèbres comme la [[quadrature du cercle]], la [[trisection de l'angle]] et la [[duplication du cube]].

Les mathématiciens, jusqu'au {{s-|XVII}}, n'accordaient aucune réalité concrète aux [[Nombre négatif|nombres négatifs]]. Il est cependant commode d'appliquer la définition, non seulement à des longueurs, mais également à des coordonnées de points constructibles.

== Définition d'un nombre constructible ==
On donne ici une définition mathématique précise de la notion de point constructible (sous-entendu, à la règle et au compas). 

=== Points constructibles ===
==== Points constructibles en une étape ====
Soit ''E'' un sous-ensemble du [[Plan (mathématiques)|plan euclidien]], qu'on assimile ici à [[Nombre réel|ℝ]][[Produit cartésien|{{2}}]]. On dit qu'un point ''P'' = (''x, y'') est constructible en une étape à partir de ''E'' si ''P'' est un point de ''E'' ou si ''P'' est dans l'[[Intersection (mathématiques)|intersection]] de deux objets distincts parmi :
* l'[[ensemble]] des [[Droite (mathématiques)|droites]] qui passent par deux éléments distincts de ''E'' ;
* l'ensemble des [[cercle]]s centrés en un point de ''E'' et dont le [[rayon (géométrie)|rayon]] est la [[Distance (mathématiques)|distance]] de deux quelconques points de ''E''.

On note ''C''{{ind|1}}(''E'') l'ensemble des points constructibles en une étape à partir de ''E''.

On peut remarquer que si ''E'' est [[Ensemble fini|fini]], alors, ''C''{{ind|1}}(''E'') l'est aussi.

==== Points constructibles en ''n'' étapes ====
Partant des mêmes données, on définit, naturellement et par [[relation de récurrence|récurrence]], l'ensemble ''C{{ind|n}}''(''E'') des points constructibles en {{math|''n''}} étapes à partir de ''E''. Pour {{math|''n''}} = 1, c'est la construction précédente. Sinon, on pose : <center><math>C_{n+1}(E)=C_1 \left ( C_{n}(E)\right ).</math></center>

==== Points constructibles ====
Enfin, l'ensemble des points constructibles à partir de ''E'', qu'on note ''C''(''E''), est la [[Union (mathématiques)|réunion]] (croissante) des ''C{{ind|n}}''(''E''), c'est-à-dire : un point ''P'' est dit constructible à partir de ''E'' s'il existe {{math|''n''}} tel que ''P'' soit constructible en {{math|''n''}} étapes.

<center><math>C(E)=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_n(E).</math></center>

=== Nombres constructibles ===
On se place dans le même cadre, c'est-à-dire le plan euclidien assimilé à ℝ{{2}} ; on se donne ''E'' un sous-ensemble de ℝ{{2}}.

Un [[nombre réel]] est dit ''constructible à partir de ''E'' '' s'il est l'abscisse d'un point constructible à partir de ''E''.

Un '''nombre constructible''' est un nombre qui est constructible à partir de l'ensemble { (0,0), (0,1) }<ref>A. Bouvier, M. Georges et F. Le Lyonnais, ''Dictionnaire des mathématiques'', PUF, {{4e|éd.}}, 1993, {{p.|190}}.</ref>.

== Rappel sur quelques constructions possibles ==
{{Article détaillé|Construction à la règle et au compas}}
À l'aide d'une règle et d'un compas, on peut [[Construction à la règle et au compas|construire]] des cercles et des droites, bien sûr, mais aussi des parallèles et des perpendiculaires :

; Parallèle à une droite (AB) passant par un point C.

[[Fichier:Parallele constructible.png|center]]

On construit le quatrième point X du parallélogramme ABCX en :

* traçant un arc de cercle de centre C et de rayon BA ;
* et un arc de cercle de centre A et de rayon BC ;

; Perpendiculaire à une droite (AB) passant par un point C extérieur à cette droite ; symétrique d'un point C par rapport à une droite (AB).

[[Fichier:Perpendiculaire constructible.png|center]]

On utilise les propriétés des [[symétrie (transformation géométrique)|symétries]] axiales en traçant :

* le cercle de centre A passant par C ;
* le cercle de centre B passant par C.

Ces cercles (si C n'appartient pas à la droite (AB)), ont deux points d'intersection : C et un autre point C' tel que la droite (CC') est perpendiculaire à (AB). On peut remarquer que C' est le symétrique du point C par rapport à la droite (AB).

; Symétrique d'un point C par rapport à un point A.

Le cercle de centre A passant par C et la droite (AC) ont deux points d'intersection : C et C', tel que C' est le symétrique de C par rapport à A.

<gallery mode="packed">
File:Ruler compass parallel.ogg|Construction d'une parallèle
File:Ruler compass orthogonal.ogg|Construction d'une perpendiculaire
</gallery>

== Opération sur les nombres constructibles ==
=== Addition et soustraction ===
L'addition et la [[soustraction]] ne nécessitent que deux opérations : tracer un [[Segment (mathématiques)|segment de droite]] de longueur ''x'' puis un segment de longueur ''y'', aligné au premier ; en le traçant dans le même sens, on obtient un segment de longueur {{nobr|''x'' + ''y''}}, et dans le sens opposé, à condition que {{nobr|''x'' > ''y''}}, cela donne un segment de longueur {{nobr|''x'' – ''y''}}.

<gallery mode="nolines" widths="450px">
Fichier:Somme constructible.png|Somme
Fichier:Difference constructible.png|Différence
</gallery>

{{clr}}

=== Multiplication ===
  
[[File:Number construction multiplication.svg|right]]
À partir d'un point A, on trace une droite passant par A et on y place E tel que {{nobr|AE {{=}} 1}}, et B tel que {{nobr|AB {{=}} b}}. Sur une droite passant par E non confondue avec la première, on place C tel que {{nobr|CE {{=}} a}} et on trace la droite AC. On trace enfin la parallèle à EC passant par B, qui croise AC en D. Alors {{nobr|BD {{=}} a×b}}.

En effet, une simple utilisation du [[théorème de Thalès]] permet de montrer que BD est égal au produit des distances AB et CE.
{{clr}}

=== Division ===

[[File:Number_construction_division.svg|left]]

C'est l'opération réciproque de la précédente, s'appuyant également sur le théorème de Thalès.

Ces observations permettent de dire que l'ensemble des nombres constructibles (si on accepte les distances négatives) est un corps commutatif.
Les Grecs ont ainsi pu établir que tous les [[nombre rationnel|nombres rationnels]] positifs étaient constructibles. Mais leur première surprise est venue de la dernière opération.
{{clr}}



=== Extraction de racine carrée ===

[[Fichier:Root_construction_geometric_mean5.svg|thumb|Construction de {{racine|''p''}}.]]On peut utiliser le [[théorème de la moyenne géométrique]] qui établit que, dans un triangle ABC rectangle en C, si D est le pied de la hauteur issue de C, on a

: DB×DA = DC{{2}}

C'est une conséquence immédiate du fait que les triangles ADC et BDC sont [[Triangles semblables|semblables]].

Pour construire la racine carrée d'un nombre {{mvar|p}}, on trace donc un segment  [AB] dont la longueur est égale à {{formule|''p'' + 1}}, puis un demi-cercle de diamètre AB, ensuite  le point D sur [AB] tel que BD  soit égal à 1, enfin la perpendiculaire à (AB) menée par D, qui rencontre le demi-cercle en un point C. D'après le [[Théorème de Thalès (cercle)|théorème de Thalès sur le cercle]], le triangle ABC est rectangle en C. On en déduit l'égalité {{formule|DC{{2}} {{=}} 1×''p''}}, qui assure que DC={{racine|''p''}}. 

Les racines carrées sont donc constructibles.

=== Exemples vidéos ===

<gallery mode="packed">
File:Ruler compass addition.ogg|Addition de ''a'' et ''b''
File:Ruler compass difference.ogg|Différence de ''a'' et ''b''
File:Ruler compass product.ogg|Produit de ''a'' et ''b''
File:Ruler compass division.ogg|Division de ''a'' par ''b''
File:Ruler compass squareeroot.ogg|Racine carrée de ''p''
</gallery>

== Ensemble des nombres constructibles ==
Les opérations précédentes permettent donc de dire que tout rationnel est constructible, mais aussi que la racine carrée d'un rationnel positif est constructible et même que l'on peut construire un nombre comme
:<math>5 + \sqrt{23-\frac{3/2 +\sqrt{17} }{\sqrt{3}-\sqrt{\sqrt{2}}}}.</math>

L'intuition semble dire que les seuls nombres constructibles sont ceux pouvant s'écrire uniquement à l'aide des 5 opérations précédentes.
Il faut attendre les travaux de [[Pierre-Laurent Wantzel]] qui, grâce à ceux de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] sur les polygones constructibles, peut énoncer [[théorème de Wantzel|son théorème]] et affirmer que les seuls nombres constructibles sont ceux de cette forme (plus exactement sont dans une [[extension algébrique|extension quadratique]] d'une extension quadratique… d'une extension quadratique de ℚ). Une telle construction s'appelle une [[tour d'extensions quadratiques]]. 

On peut exprimer ce résultat différemment : l'ensemble des nombres constructibles (à la règle et au compas) est le plus petit [[sous-corps]] de ℝ stable par racine carrée, ou encore le [[Objet initial et objet final|plus petit]] [[corps euclidien]].

Grâce à ce théorème, tombent deux des problèmes de l'Antiquité : la [[trisection de l'angle]] et la [[duplication du cube]], qui reviennent à résoudre une équation de degré 3 (donc extension impaire). L'ensemble des nombres constructibles ne regroupe donc qu'une petite partie de l'ensemble des [[nombre algébrique|nombres algébriques]]. L'article « [[Tour d'extensions quadratiques]] » propose une démonstration rigoureuse de ces résultats.

Le problème de la [[quadrature du cercle]] tombera un peu plus tard, quand [[Ferdinand von Lindemann]] aura prouvé en 1882 que {{math|π}} n'est pas [[nombre algébrique|algébrique]], c’est-à-dire n'est solution d'aucune équation de degré n à coefficients dans ℚ. Le nombre {{math|π}} ne peut donc pas se trouver dans une extension quadratique d'une extension quadratique… d'une extension quadratique de ℚ.

== Exemples de nombres non constructibles ==
* Tous les [[Nombre transcendant|nombres transcendants]].
* Pour tout entier ''d'' > 0 qui n'est pas une [[puissance de 2]], tous les [[Nombre algébrique|nombres algébriques]] de degré ''d''. On en construit facilement à l'aide :
**du [[critère d'Eisenstein]] : par exemple <math>\sqrt[d]{4n+2}</math> ;
**du [[Théorème de Gauss-Wantzel#Résultats détaillés|théorème de Gauss-Wantzel]] : par exemple [[Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques#Degré algébrique|cos(2π/''n'')]] si 2''d'' est de plus l'[[Indicatrice d'Euler#Les 99 premières valeurs de la fonction φ|indicatrice d'Euler d'un entier ''n'']], comme cos(2π/7), cos(2π/9), cos(π/7) et cos(π/9) pour ''d'' = 3, ou cos(2π/11) et cos(π/11) pour ''d'' = 5{{etc.}} ;
* Pour ''d'' égal à une puissance de 2, certains nombres<ref>Voir [[Théorème d'Abel (algèbre)#Contre-exemples en tout degré supérieur ou égal à 5]].</ref> algébriques de degré ''d'', comme les racines du polynôme ''X{{exp|d}} – X'' – 1<ref>Voir [[Théorie de Galois inverse#Quelques résultats]].</ref>.

== Variantes de constructibilités et liens avec la constructibilité à la règle et au compas ==
On obtient des variantes de nombres constructibles :
* soit en affaiblissant les outils utilisés (utilisation de la règle seule, utilisation du compas seul, utilisation de la règle et du compas dont l'ouverture est bloquée, utilisation de la règle et du compas à pointes sèches permettant seulement de reporter des longueurs, utilisation de la règle et de l'empan permettant seulement de reporter des segments de longueur unité). On obtient des sous-ensembles des nombres constructibles, qui peuvent parfois être égaux à l'ensemble des nombres constructibles. 
* soit en renforçant les outils utilisés (utilisation du compas et de la règle graduée, utilisation de coniques ou d'autres courbes auxiliaires). On obtient une extension des nombres constructibles. 
* soit en utilisant d'autres procédés de construction ([[Mathématiques des origamis|origami]] par exemple, ou miroir semi-réfléchissant<ref>{{Article|lang=en|prénom=John W.|nom=Emert|prénom2=Kay I.|nom2=Meeks|prénom3=Roger B.|nom3=Nelson|titre=Reflections on a mira|lien périodique=The American Mathematical Monthly|revue=Amer. Math. Monthly|vol=101|numéro=6|mois=juin-juillet|année=1994|p.=544-549|doi=10.2307/2975320}}.</ref>). L'ensemble de nombres constructibles par origami dépend des règles que l'on s'autorise à employer. 

=== Constructibilité uniquement à la règle ===
{{Voir|Construction à la règle seule}}
Des points de bases étant donnés, un point est constructible à la règle s'il est point d'intersection de deux droites, chacune de ces deux droites passant par deux points qui sont des points de base ou des points déjà construits.

Les propriétés d'une figure constructible sont conservées par [[projection centrale]]. Ce n'est pas le cas pour les milieux, les parallèles ou les symétries.

Il est démontré qu'il est impossible avec uniquement une règle de construire le milieu d'un segment, ou de mener par un point une parallèle à une droite. 

Cependant, le [[théorème de Poncelet-Steiner]] énonce que, si on se donne un cercle et son centre, alors il est possible avec la règle seule de construire tout point constructible à la règle et au compas. Il en est de même si on se donne deux cercles sécants sans leur centre, ou bien trois cercles non sécants. Ainsi, les centres de deux cercles sécants peuvent être déterminés avec la règle seule.

=== Constructibilité à la règle et à l'empan ===
L'empan permet uniquement de reporter des segments de longueur unité sur une droite. Au moyen de la règle et de l'empan, on est capable de mener une parallèle à une droite donnée, passant par un point P donné, ce qu'on ne peut faire avec la règle seule<ref>[[David Hilbert]], ''[[Axiomes de Hilbert|Les fondements de la géométrie]]'', rééd. Gabay (1995), p. 159-167.</ref>. 

[[Fichier:Construction Parallele.svg|300px|center|Construction d'une parallèle avec la règle et l'empan]]

Soit A un point quelconque de la droite, [AB] et [BC] égaux à l'empan sur cette droite. Soit D un point de (AP). On trace (DB) et (PC) qui se coupent en E. On trace (AE) et (DC) qui se coupent en F. (PF) est la parallèle cherchée. 

Sachant tracer des parallèles, on sait également compléter un parallèlogramme à partir de trois de ces points et donc reporter un segment de longueur quelconque sur une droite parallèle. Plus généralement, on sait reporter un segment de longueur donnée sur une droite quelconque donnée. 

[[Fichier:Report segment.svg|300px|center|Report d'un segment sur une droite avec la règle et l'empan]]

Soit le segment [AB] à reporter sur la droite (AC). On trace D et E tels que AD et AE soient égaux à l'empan. On trace la droite (DE) puis la parallèle (BC) à (DE) passant par B. Le segment [AC] est le report cherché.

Il en résulte que les constructions à la règle et à l'empan sont équivalentes aux constructions à la règle et au compas à pointes sèches, traitées dans le paragraphe suivant.

=== Constructibilité à la règle et au compas à pointes sèches ===
Le compas à pointes sèches est un instrument permettant de reporter des longueurs sur des droites, mais non de tracer des cercles. L'ensemble des nombres constructibles à la règle et au compas à pointes sèches est strictement inclus dans l'ensemble des nombres constructibles à la règle et au compas<ref>{{article |langue=en |nom1={{Lien|lang=de|Roger Alperin|texte=Roger C. Alperin}}|titre=Trisections and totally real origamis|périodique=Amer. Math. Monthly, |volume=112 |numéro=3 |mois=mars |année=2005 |pages=200-211|arxiv=math/0408159}}.</ref>. Il s'agit du plus petit corps contenant les rationnels et stable par la fonction <math>\scriptstyle x \to \sqrt{1 + x^2}</math>. Ses éléments sont les nombres constructibles à la règle et au compas qui sont [[corps totalement réel|totalement réels]]<ref>{{Article|lang=en|prénom=David|nom=Auckly|prénom2=John|nom2=Cleveland|titre=Totally real origami and impossible paper folding|revue=Amer. Math. Monthly|vol=102|numéro=3|mois=3|année=1995|p.=215-226|arxiv=math/0407174}}.</ref>. Les nombres {{racine|2}} et <math>\scriptstyle\sqrt{2+\sqrt2}</math> sont constructibles à la règle et au compas à pointes sèches, mais <math>\scriptstyle\sqrt{1+\sqrt2}</math> ne l'est pas, alors qu'il est constructible à la règle et au compas. Il en résulte que, si on peut construire avec la règle et le compas à pointes sèches un [[triangle rectangle]] dont on donne les longueurs des deux côtés de l'angle droit, on ne sait pas nécessairement construire un triangle rectangle dont on connaît la longueur d'un côté et de l'hypoténuse. Autrement dit, la règle et le compas à pointes sèches permettent de construire la racine carrée de la somme de deux carrés, mais pas la racine carrée de la [[différence de deux carrés]]. 

Les [[Théorème de Gauss-Wantzel|polygones réguliers constructibles]] à la règle et au compas le sont également à la règle et au compas à pointes sèches.

Les nombres constructibles à la règle et au compas à pointes sèches sont également ceux que l'on peut construire avec une règle et un bissecteur d'angle (y compris de l'[[angle#Nom des angles|angle plat]]), ou encore en utilisant les axiomes 1), 2), 3) et 4) des [[Mathématiques des origamis|origamis]].

Voici quelques exemples de constructions. 
[[Fichier:Bissectrice.svg|300px|center|Construction d'une bissectrice avec la règle et l'empan]]
Soit à tracer une [[bissectrice]] de (AB) et (AC). On porte les points D et E tels que AD = AE. On trace les parallèles à (AB) et (AC) passant par D et E ([[#Constructibilité à la règle et à l'empan|ce qu'on sait faire]]). L'intersection de ces deux parallèles donne un point F tel que (AF) est bissectrice.

[[Fichier:Perpendiculaire.svg|300px|center|Construction d'une perpendiculaire avec la règle et l'empan]]
Soit à construire une perpendiculaire à une droite donnée. On prend A, B et C sur cette droite de façon que AB = BC. On trace également deux segments [BD] et [BE] de longueur égale à AB. Soit F l'intersection de (AD) et (CE). ADC est rectangle en D, et AEC en E, de sorte que (AE) et (CD) sont deux hauteurs du triangle ACF. Si H est l'intersection de (AE) et (CD), il suffit de tracer (FH) pour avoir la troisième hauteur. On peut alors, quitte à tracer une parallèle à la perpendiculaire précédemment construite, tracer la perpendiculaire à la droite passant par un point donné.

=== Constructibilité uniquement au compas ===
Le [[théorème de Mohr-Mascheroni]], montré par [[Georg Mohr]], puis par [[Lorenzo Mascheroni]] en 1797, affirme que si une construction géométrique est possible à la règle et au compas, alors elle est possible au compas seul.

''Voir aussi'' le [[problème de Napoléon]] qui consiste à construire au compas seul le centre d'un cercle donné, ainsi que la [[carré#Construction au compas seul|construction du carré]] au compas seul.

=== Constructibilité par origami ===
{{Article détaillé|Mathématiques des origamis}}
Les constructions par origami sont les constructions géométriques par pliages de papier. Dans leur développement le plus complet, ces constructions permettent de construire tous les nombres constructibles à la règle et au compas, mais également de [[trisection de l'angle|trisecter un angle]] ou de [[duplication du cube|dupliquer un cube]]. {{Référence nécessaire|Les constructions par origami sont équivalentes aux constructions utilisant la règle et les coniques de foyer, de directrice et d'excentricité constructibles.}}

=== Constructibilité à la règle graduée et au compas ===
{{Article détaillé|Neusis}}
La règle graduée est une règle munie de deux graduations dont l'écart figure l'unité de longueur. Jointe au compas, la règle graduée est plus puissante que les méthodes utilisant les intersections de [[conique]]s utilisées par les Grecs anciens pour résoudre les problèmes dits ''solides''. Les deux instruments permettent de construire tous les points du [[plan complexe]] obtenus à partir des rationnels en itérant résolution d'équation du deuxième ou du troisième degré, et de résoudre certains problèmes faisant intervenir des équations du cinquième ou du sixième degré. Ils résolvent en particulier les problèmes de la [[trisection de l'angle#Utilisation du compas et de la règle graduée|trisection de l'angle]] et de la [[duplication du cube]] et permettent par exemple la construction de l'[[heptagone#Construction par neusis|heptagone régulier]], de l'[[Ennéagone#Construction d'un ennéagone régulier|ennéagone régulier]] et des [[Polygone régulier|polygones réguliers]] de 11<ref>{{en}} B. Elliot et  C. Snyder, ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', 156.3 (mai 2014): 409-424. ([http://www.math.umaine.edu/numbertheory/14/Construction_Q_M_slides.pdf exposé en ligne]).</ref>, 13, 19 ou 27 côtés. Ils ne permettent pas de construire les polygones réguliers de 23, 29, 43 ou 47 côtés. La question reste ouverte pour les polygones réguliers de 25, 31, 41 ou 61 côtés<ref>{{Article|lang=en|prénom=Arthur|nom=Baragar|titre=Constructions using a compass and twice-notched straightedge|revue=Amer. Math. Monthly|vol=109|numéro=2|mois=2|année=2002|p.=151-164|url=https://faculty.unlv.edu/baragar/papers/monthly151-164.pdf}}.</ref>. 

Voici par exemple comment on construit la racine cubique d'un nombre ''d'' inférieur à 1.
[[Fichier:Racine_Cubique.svg|300px|center|Racine cubique à la règle graduée et au compas]]
Soit OA = ''d'', OF = 3''d''. On construit le triangle rectangle OAG de façon que AG soit égale à l'unité, longueur séparant les deux graduations de la règle. On trace la parallèle (AH) à (FG) passant par A. Toutes ces constructions se font à la règle et au compas. On utilise alors la règle graduée en la faisant passer par G, l'une des graduations devant être sur (AH), l'autre graduation sur (OA). Une fois cette disposition atteinte, AB est égal à 2''d''{{exp|1/3}}. 

La règle graduée permet des constructions par ajustement (ou [[neusis]]). On peut la faire passer par un point pendant qu'une des graduations parcourt une courbe (droite ou cercle) donnée, jusqu'à ce que l'autre graduation atteigne une autre courbe donnée. Cette deuxième graduation parcourt alors une [[conchoide]] de la première courbe, et l'utilisation de la règle graduée revient à accepter comme constructibles les intersections de conchoïde et de cercle, ou de conchoïde et de droite. Cependant, il n'y a pas de possibilité de tracer la conchoïde et la règle graduée ne permet pas de construire l'intersection de deux conchoïdes. 

Voici par exemple comment on peut construire un angle de 2{{math|π}}/7. On construit à la règle et au compas le cercle de centre (18/5, –2{{racine|7}}/5) et de rayon {{racine|337}}/5. On dispose la règle de façon qu'elle passe par l'origine O, que la première graduation A soit sur la droite ''x'' = 1 et la seconde B sur le cercle. La règle forme alors un angle de 2{{math|π}}/7 avec (OI)<ref>{{Article|prénom=Gérard|nom=Lavau|titre=L'heptagone régulier|revue=Feuille de Vigne|éditeur=[[IREM]] de Dijon|vol=86|mois=10|année=2002|p.=19-25}}.</ref>.

[[Fichier:Heptagone RegleGraduee.svg|center|thumb|Construction de l'angle 2{{math|π}}/7 avec le compas et la règle graduée]]

Rajouter de nouvelles graduations à la règle par rapport aux deux existantes n'apporte aucun bénéfice.

=== Constructibilité avec des allumettes ===
[[File:Carre-allumettes.png|thumb|Construction d'un carré donné par un sommet A et un point B d'un côté adjacent à A à l'aide d'allumettes de même longueur<ref>{{Youtube|langue = fr|id = VgNUGxBDxUA|titre = Deux (deux ?) minutes pour la quadrature du cercle.}} : construction animée d'un carré en allumettes à partir de 17'51''.</ref>.]]
Les nombres constructibles avec des allumettes, c'est-à-dire des segments ayant tous la même longueur <math>l</math><ref group="alpha">Les opérations élémentaires sont au nombre de trois :
*Poser une allumette passant par deux points A et B séparés par une distance inférieure à <math>l</math> ;
*Poser une allumette dont les extrémités sont un point A donné et un point sur une droite dont la distance à A est inférieur à <math>l</math> ;
*Construire un triangle isocèle donné par sa base de longueur inférieure à <math>c = 2l</math> dont la longueur des côtés égaux vaut <math>l</math>.</ref>, sont exactement ceux qui sont [[Construction à la règle et au compas|constructibles à la règle et au compas]]<ref>{{Article|langue = anglais|année = 1939|mois = mai|auteur = T. R. Dawson|périodique = [[The Mathematical Gazette]]|titre = 'Match-Stick' Geometry|volume = 23|numéro = 254|lire en ligne = https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/matchstick-geometry/7E1F1089E56A1C1EDA907BC95BF59129}}.</ref>.
{{-}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|group = alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Ouvrages ==
*{{Carrega}}
* David Hilbert, ''Les fondements de la géométrie'', rééd. Dunod (1971) ou Gabay (1997)

{{Palette|Notion de nombre}}
{{Portail|géométrie|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Type de nombres|Constructible]]
[[Catégorie:Construction géométrique]]
[[Catégorie:Théorie algébrique des nombres]]