Voir la source de Nombre décimal

{{confusion|Système décimal}}
{{Exemple flottant|contenu=<math>1{,}75 = \frac{175}{100}</math>
|légende=Notation fractionnaire d’un nombre décimal}}
[[Fichier:Decimal set in number sets.svg|vignette|Position de l'ensemble des décimaux '''𝔻''' par rapport à l'ensemble des entiers relatifs '''ℤ''' et à l'ensemble des rationnels '''ℚ'''.]]
Un '''nombre décimal''' est un nombre qui peut s’écrire exactement avec un nombre fini de [[chiffre]]s après la virgule<ref>Ou un point en notation anglaise.</ref> en [[écriture décimale positionnelle]]. Les nombres décimaux sont les [[Division|quotients]] d’[[entier relatif|entiers]] par des [[Puissance d'un nombre|puissances]] de [[10 (nombre)|10]] et se présentent ainsi comme des [[nombre rationnel|rationnels]] particuliers.

Les nombres décimaux permettent d’[[approximation|approcher]] n’importe quel nombre réel et d’effectuer des calculs et comparaisons sur ces valeurs avec des méthodes semblables à celles en usages sur les entiers en numération décimale. Leur usage, qui se répand du {{s|X}} [[civilisation arabe|arabe]]<ref>Stella Baruk renvoie à l’article « Épistémologie et histoire » de l’[[IREM]] dans ''Mathématiques au fil des âges'', Bordas, 1987.</ref> au {{s|XVI}} [[civilisation occidentale|occidental]] avec [[François Viète]] et [[Simon Stevin]], aboutit à la mise en place du [[système métrique]] à la [[Révolution française]].

L’ensemble des nombres décimaux, noté <math>\mathbb{D}</math>, est un [[anneau intègre]], [[partie dense|dense]] dans la [[topologie de la droite réelle|droite réelle]], qui est la [[localisation (mathématiques)|localisation]] de [[Entier relatif|ℤ]] par rapport à l'ensemble des puissances entières positives de 10.

Le choix d’autres [[base (arithmétique)|bases]] que la [[Système décimal|base dix]] mène à la définition d’ensembles de nombres analogues aux nombres décimaux, comme les [[fraction dyadique|fractions dyadiques]].

== Notations et opérations ==
Un nombre décimal peut s’écrire avec un ou plusieurs chiffres (éventuellement précédés d’un [[signe moins]]) comme un [[nombre entier]], suivi ou non d’un [[séparateur décimal]] (virgule ou point) et d’un ou plusieurs chiffres. Dans certains [[langage de programmation|langages de programmation]], on peut n’indiquer aucun chiffre avant ou après le séparateur décimal, ce qui revient à écrire le chiffre 0 dans l’emplacement laissé vide. Le séparateur décimal est désigné par sa notation habituelle dans les pays francophones, à savoir la virgule, même si sa saisie à la calculatrice et dans les langages informatiques se fait essentiellement à l’aide du point<ref>À l’exception notable de la version francophone de certains [[tableur]]s comme celui de [[LibreOffice]].</ref>.

L’écriture d’un nombre décimal s’interprète comme le quotient du nombre obtenu en supprimant la virgule par autant de facteurs 10 qu’il y a de chiffres après la virgule.

[[Fichier:Decimal Fraction Addition Demonstration.svg|vignette|upright=0.8|Pose d’une addition de décimaux {{math|45,1 + 4,34}} (écrite avec le point pour [[séparateur décimal]]).]]
Cette interprétation permet de définir les opérations arithmétiques élémentaires sur les nombres décimaux. Pour une comparaison, une addition ou une [[soustraction]] avec deux nombres décimaux, la mise au même dénominateur de deux fractions sur des puissances de 10 revient à compléter éventuellement une écriture décimale par des [[zéro]]s pour égaler le nombre de chiffres après la virgule sur chacun des décimaux. Ces opérations s’effectuent alors en alignant les virgules verticalement.

Pour une multiplication de décimaux, on applique la méthode de calcul habituelle sur les entiers obtenus en supprimant la virgule de chaque facteur, puis on inscrit une virgule sur le résultat de façon à laisser autant de chiffres après la virgule qu’il y en a au total dans les deux facteurs initiaux.

Pour une division, on peut multiplier chacun des termes par une puissance de 10 suffisante pour se ramener à une division d’entiers.

== Propriétés mathématiques ==
Une [[fraction (mathématiques)|fraction d’entiers]] [[fraction irréductible|irréductible]] décrit un nombre décimal si et seulement si son [[dénominateur]] est un produit d’une puissance de [[2 (nombre)|2]] et d’une puissance de [[5 (nombre)|5]].
Ainsi, la fraction {{math|3/4}} représente un décimal, ce qui n’est pas le cas de la fraction {{math|1/3}}.

Pour tout entier naturel {{mvar|p}}, tout nombre réel admet une unique approximation par défaut à <math>10^{-p}</math> par un nombre décimal avec {{mvar|p}} chiffres après la virgule. Dans le cas d’un nombre positif, cette approximation est le début de son [[développement décimal]].

{{Exemple flottant|contenu=<math>2{,}15 = 2{,}14999...</math>
|légende=Développement décimal impropre du nombre décimal {{math|2,15}}}}
Les nombres décimaux non nuls sont les seuls à admettre un développement décimal ''impropre'' en plus de leur développement décimal fini. En effet, comme dans le [[développement décimal de l'unité]] <math>1 = 0,9999...</math>, il est possible de [[décrémentation|décrémenter]] le dernier chiffre non nul de l’écriture d’un nombre décimal et de le faire suivre d’une infinité de chiffres 9.

== Codage informatique ==
La plupart des langages de programmation prennent en charge des entrées et sorties de nombres flottants sous forme décimale, mais traitent la plupart du temps les données via des [[Virgule flottante|nombres en virgule flottante]] [[fraction dyadique|binaires]] qui sont une approximation. Ainsi, le nombre {{math|1,1}} étant représenté en base 2 par la suite {{math|1,0001100110011...}} son codage coupe le développement à 52 chiffres binaires dans le format ''binaire double précision'' de la norme [[IEEE 754]], le plus courant<ref>La norme IEEE 754-2008 propose des formats pour les nombres décimaux en virgule flottante, mais leur prise en charge dans les processeurs et les langages de programmation est moins généralisée que pour les formats binaires.</ref>. Cette erreur d’arrondi donne lieu à des résultats parfois surprenants comme dans le calcul de {{math|3 × 1,1}} en [[Python (langage)|Python]] :
 >>> 3*1.1
 3.3000000000000003

Pour obtenir un comportement plus cohérent avec le calcul décimal, il existe des bibliothèques spécifiques comme le module <code>Decimal</code> en Python.

== Ensemble des nombres décimaux ==
L'[[ensemble]] des décimaux s’écrit <math>\mathbb{D} = \left\{\frac{n}{10^p}, n \in \Z, p\in\N\right\}</math>. Il est stable par addition et multiplication et contient l’entier [[1 (nombre)|1]] donc il constitue un [[anneau unitaire]] dans le [[corps commutatif|corps]] des réels, donc il est [[anneau intègre|intègre]] et son [[corps des fractions]] est le corps ℚ des [[nombre rationnel|nombres rationnels]].

La construction de <math>\mathbb D</math> est une [[localisation (mathématique)|localisation]] de l’anneau <math>\mathbb Z</math> des [[Entier relatif|entiers relatifs]] par rapport à l'ensemble des puissances entières positives de 10.

L'ensemble <math>\mathbb D</math> est [[ordre dense|dense dans lui-même]] au sens de la [[théorie des ordres]] et [[Partie dense|topologiquement dense]] dans [[Topologie de la droite réelle|ℝ]]. Autrement dit, tout [[nombre réel]] est la [[limite d'une suite]] de nombres décimaux : par exemple, ses [[Développement décimal#Cas des nombres réels|approximations décimales]] à tout ordre ([[Valeur approchée|par défaut ou par excès]])<ref>{{Ouvrage|auteur1=Claude Deschamps|auteur2=François Moulin|auteur3=[[André Warusfel]]|et al.=oui|titre=Mathématiques tout-en-un [[MPSI]]|éditeur=[[Dunod]]|année=2015|numéro d'édition=4|passage=399|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|caH1CQAAQBAJ|page=399}}}}.</ref>.

== Cadre historique ==
L’usage de nombres fractionnaires est déjà présent dans les fractions sexagésimales de la [[numération babylonienne]] et avec les [[mathématiques égyptiennes|quantièmes égyptiens]] il y a plus de {{nombre|3000|ans}}. Le système décimal est aussi développé dans plusieurs civilisations telles la Chine où existe un système décimal positionnel dès l'époque des [[Dynastie Han|Han]]s ({{-s-|II}} - {{sap-|II}})<ref>{{Ouvrage|auteur1=Georges Ifrah|titre=Histoire universelle des chiffres|passage=407-408|lieu=Paris|éditeur=Seghers|date=1981|isbn=2-221-50205-1}}</ref> ou l'Inde où apparaît dès le  {{S-|VI}} des preuves de l'utilisation d'un système décimal positionnel{{Sfn|Ifrah|1981|p=462}} pour la numération des entiers, mais il n’apparait que très ponctuellement dans les fractions.

La pratique des nombres décimaux est vraiment mise en place chez des auteurs arabes. [[Abu'l-Hasan al-Uqlidisi|Al-Uqlidisi]], dès le {{s|X}}, a l'intuition de l'usage du système décimal pour des fractions décimale et le premier exposé sur ces fractions est donné au {{s-|XII}} par [[Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al|al-Samaw'al]]<ref>{{Ouvrage|auteur1=Roshdi Rashed|titre=Histoire des sciences arabes|volume=2|titre volume=Mathématiques et physique|passage=68|éditeur=Seuil|date=1997|isbn=978-2-02-062027-7}}</ref>. Mais cette innovation ne se diffuse dans les mathématiques européennes que plusieurs siècles plus tard. [[François Viète]] promeut l’usage des nombres décimaux pour remplacer les fractions sexagésimales et les utilise dans son calcul de π<ref>{{Article|auteur1=[[Frédéric Ritter]] (œuvre posthume)|titre=Analyse de œuvres de Viete|périodique=La revue occidentale philosophique, sociale et politique:organe du positivisme|date=1895|lire en ligne=https://archive.org/details/larevueoccident01frangoog/page/n370/mode/1up?view=theater&q=d%C3%A9cimal|pages=361}}</ref>. [[Simon Stevin]] publie sa ''Disme'' en 1585 et parvient à convaincre ses contemporains de l’efficacité des décimaux.

C'est dans le but d'harmoniser l'usage des nombres décimaux avec celui des [[unités de mesure]] que les [[Révolution française|révolutionnaires français de 1789]] ont été conduits à introduire le [[Système international d'unités|système métrique]], qui est un [[système d'unités]] décimal.

== Notes et références ==
{{Références}}
*{{Ouvrage|auteur1=[[René Taton]]|titre=Histoire du calcul|volume=198|éditeur=[[PUF]]|collection=[[Que sais-je ?]]|année=1969|passage=60}}
*[[Stella Baruk]], ''Dictionnaire de mathématiques élémentaires'' « Décimaux (nombres) », [[Éditions du Seuil]], 1995.

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wiktionary = nombre décimal
  | wikiversity = Entiers et décimaux
  | wikiversity titre = Entiers et décimaux
}}
=== Articles connexes ===
* [[Base (arithmétique)]], concernant le nombre de [[chiffre]]s considérés
* [[Écriture décimale positionnelle]]
* [[Séparateur décimal]]
* [[Virgule flottante]], concernant la représentation des nombres binaires ou décimaux en informatique
* [[Simon Stevin]]

{{Palette|Notion de nombre}}
{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Type de nombres|Décimal]]