Voir la source de Nombre de Bernoulli

En [[mathématiques]], les '''nombres de Bernoulli''', notés {{mvar|B{{ind|n}}}} (ou parfois {{mvar|b{{ind|n}}}} pour ne pas les confondre avec les [[polynôme de Bernoulli|polynômes de Bernoulli]] ou avec les [[nombre de Bell|nombres de Bell]]), constituent une [[Suite (mathématiques)|suite]] de [[nombre rationnel|nombres rationnels]].

Il existe deux conventions pour la définition de ces nombres qui ne diffèrent que par le signe du terme d'indice 1. La convention prise dans la suite de l'article est de considérer le terme d'indice 1 comme négatif.   

Ces nombres ont d'abord été étudiés par [[Jacques Bernoulli]] (ce qui a conduit [[Abraham de Moivre]] à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes, dites [[formule de Faulhaber|sommes de Faulhaber]],  du type:
<center><math>\sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m.</math></center>

Pour des valeurs entières de {{mvar|m}}, cette somme s'écrit comme un polynôme de la variable ''n'' dont les premiers termes sont :
<center><math>\sum_{k=0}^{n-1} k^m =\frac1{m+1}\left(n^{m+1}-\frac12{m+1\choose1}{n^m}+\frac16{m+1\choose2}{n^{m-1}}-\frac1{30}{m+1\choose4}{n^{m-3}}+\frac1{42}{m+1\choose6}{n^{m-5}}+\ldots\right).</math></center>

C'est-à-dire, qu'il existe une suite <math>(B_i)</math> de rationnels, les nombres de Bernoulli,  tels que, pour tout <math>m</math> et  tout <math> n</math>
<center><math>\sum_{k=0}^{n-1} k^m =\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m {m+1\choose i}B_i n^{m+1-i}.</math></center>

Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante :
{| class="wikitable centre" style="margin:auto;" style="text-align:center;"
|-
! scope=row| {{mvar|n}}
! scope=col width="30px" | 0
! scope=col width="50px" | 1
! scope=col width="50px" | 2
! scope=col width="30px" | 3
! scope=col width="50px" | 4
! scope=col width="30px" | 5
! scope=col width="50px" | 6
! scope=col width="30px" | 7
! scope=col width="50px" | 8
! scope=col width="30px" | 9
! scope=col width="50px" | 10
! scope=col width="30px" | 11
! scope=col width="50px" | 12
! scope=col width="30px" | 13
! scope=col width="50px" | 14
|- style="text-align:center;"
! scope=row | {{mvar|B{{ind|n}}}}
| 1
| {{math|–{{sfrac|1|2}}}}<ref>B<sub>1</sub> = {{math|–{{sfrac|1|2}}}} selon la convention choisie dans l'article. En sommant les puissances jusqu'à l'entier <math> n</math>, le coefficient de <math>n^m</math> aurait été {{math|{{sfrac|1|2}}}}.</ref> 
| {{sfrac|1|6}}
| 0
| {{math|–{{sfrac|1|30}}}}
| 0
| {{sfrac|1|42}}
| 0
| {{math|–{{sfrac|1|30}}}}
| 0
| {{sfrac|5|66}}
| 0
| {{math|–{{sfrac|691|2730}}}}
| 0
| {{sfrac|7|6}}
|}
On peut les définir par l'intermédiaire du développement en [[série entière]] (convergent si {{math|{{!}}''x''{{!}} < 2π}}) :
<center><math>\frac x{{\rm e}^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}B_k\,\frac{x^k}{k!}= 1-\frac12\,x+\frac16\,\frac{x^2}{2!}
-\frac1{30}\,\frac{x^4}{4!}
+\frac1{42}\,\frac{x^6}{6!}
-\frac1{30}\,\frac{x^8}{8!}
+\frac5{66}\,\frac{x^{10}}{10!}
-\frac{691}{2\;730}\,\frac{x^{12}}{12!}
+\frac76\,\frac{x^{14}}{14!}+\ldots</math>
</center>

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la [[formule d'Euler-Maclaurin]] :
<center><math>\sum_{k=0}^{n-1} f(k)\approx\int_0^n f(x)\,{\rm d}x-\frac12 (f(n)-f(0))+\frac16\frac{f'(n)-f'(0)}{2!}-\frac1{30}\frac{f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0)}{4!}+\frac1{42}\frac{f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0)}{6!}+\ldots</math>,</center>
ou les sommes définissant la [[fonction zêta de Riemann]], dues à [[Leonhard Euler]] :
<center><math>\zeta(2p)=1+\frac1{2^{2p}}+\frac1{3^{2p}}+\frac1{4^{2p}}+\cdots+\frac1{n^{2p}}+\cdots=|B_{2p}|\frac {2^{2p-1}}{(2p)!}\pi^{2p},</math></center>
jusqu'à l'approche par [[Ernst Kummer|Kummer]] du [[dernier théorème de Fermat]].

[[Fichier:JakobBernoulliSummaePotestatum.png|thumb|Jakob Bernoulli, ''Summae Potestatum'', extrait de ''Ars Conjectandi'', 1713.]]
Les nombres {{math|''A'' {{=}} {{sfrac|1|6}}, ''B'' {{=}} –{{sfrac|1|30}}, ''C'' {{=}} {{sfrac|1|42}}, ''D'' {{=}} – {{sfrac|1|30}}, ...}} apparaissent dans ''[[Ars Conjectandi]]'' de Bernoulli, 1713, {{nobr|page 97}}.

Les nombres de Bernoulli avec <math>B_1=1/2</math> au lieu de <math>-1/2</math> sont la transformée binomiale des premiers et s'obtiennent à partir des nombres de Worpitzky ou, ce qui est équivalent, en appliquant l'algorithme d'Akiyama-Tanigawa<ref>{{Article
|langue=
|auteur1= Masanobu Kaneko
|titre= The Akiyama-Tanigawa algorithm for
Bernoulli numbers
|périodique= Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000)
|volume= 3
|numéro article = 00.2.9
|date= 2000
|pages=
|issn=
|lire en ligne= https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/KANEKO/AT-kaneko.pdf
|consulté le=19 décembre 2022
}}.</ref> à {{math|1/(''n''+1)}}.
À la suite de l'article [http://luschny.de/math/zeta/The-Bernoulli-Manifesto.html « The Bernoulli Manifesto »] de Peter Luschny, [[Donald Knuth]] a adopté la valeur <math>B_1=1/2</math>, aussi dans les récentes réimpressions du livre ''Concrete Mathematics''<ref>[https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/news.html Knuth:Recent News]</ref>{{,}}<ref> « the new (34th) printing of Concrete Mathematics, released in January 2022 contains the much more extensive changes that are needed to tell a more comprehensive story »</ref> ; Knuth présente les nouvelles versions dans un texte à part<ref>[https://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/gkp34.pdf Replacement pages].</ref>.

== Histoire ==

Les nombres de Bernoulli ont été découverts à peu près en même temps et indépendamment par le mathématicien suisse [[Jacques Bernoulli]], dont ils portent le nom, et par le mathématicien japonais [[Seki_Kōwa|Seki Takakazu]]. La découverte de Seki a été publiée à titre posthume en 1712<ref>{{Article|auteur1=Tomoko L. Kitagawa |date=2021-07-23|titre=The Origin of the Bernoulli Numbers: Mathematics in Basel and Edo in the Early Eighteenth Century|url=https://link.springer.com/10.1007/s00283-021-10072-y|journal=The Mathematical Intelligencer|langue=en|doi=10.1007/s00283-021-10072-y|issn=0343-6993|accès doi=libre}}</ref> dans son ouvrage ''Katsuyō Sanpō'' ; celle de Bernoulli, également à titre posthume, dans son ''[[Ars Conjectandi]]'' publié en 1713. [[Ada Lovelace]], en 1842, traduisant et annotant une description de la machine analytique de [[Charles_Babbage|Babbage]] publiée par le mathématicien italien [[Louis-Frédéric Ménabréa]] en français dans un journal suisse<ref>{{Article |titre=Notions sur la machine analytique de M. Charles Babbage |périodique=Bibliothèque universelle de Genève |date=1842 |auteur1=[[Louis-Frédéric_Ménabréa]] |lire en ligne=https://www.google.fr/books/edition/Biblioth%C3%A8que_universelle_de_Gen%C3%A8ve_Nou/ZKBCAAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=menabrea%20babbage%201842&pg=PA352&printsec=frontcover |pages=352-376 |volume=41 |consulté le=3 août 2021 }}</ref>, décrit dans la note G un algorithme permettant de générer des nombres de Bernoulli avec cette machine<ref>{{Ouvrage|titre=Sketch of the Analytical Engine invented by Charles Babbage, Esq. By L. F. Menabrea of Turin, officer of the military engineers, with notes by the translator|langue=anglais|auteur1=[[Louis-Frédéric Ménabréa]]|passage=722|lieu=Londres|éditeur=Richard and John E. Taylor|date=1843|auteur2=[[Ada_Lovelace|Ada King, comtesse de Lovelace]] |lire en ligne=https://www.google.fr/books/edition/Sketch_of_the_Analytical_Engine_invented/EIVqHUm9WlkC?hl=fr&gbpv=1&pg=PA722&printsec=frontcover}}</ref>. Par conséquent, les nombres de Bernoulli ont la particularité de faire l'objet du premier programme informatique complexe publié<ref>{{Article |titre=La visionnaire Ada Lovelace |périodique=Le Monde - Blog Binaire |date=2015-03-07 |auteur1=Anne-Marie Kermarrec |lire en ligne=https://www.lemonde.fr/blog/binaire/2015/03/07/la-visionnaire-ada-lovelace/ }}</ref>.
[[Fichier:Diagram for the computation of Bernoulli numbers.jpg|vignette|upright=1|center|« Programme » de calcul des nombres de Bernoulli dans la note G d'[[Ada Lovelace]] (1843).]]

== Introduction : sommes de puissances ==
{{article détaillé|Formule de Faulhaber}}
[[Jacques Bernoulli]] connaissait quelques formules comme<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Kenneth|nom1=Ireland|prénom2=Michael|nom2=Rosen|lien auteur2=Michael Rosen (mathématicien)|titre=A Classical Introduction to Modern Number Theory|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=84|année=1990|numéro d'édition=2|réimpression=1998|pages totales=389|passage=228|isbn=978-0-387-97329-6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=jhAXHuP2y04C&pg=PA228|id=Ireland et Rosen 1990}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom1={{Lien|Alain M. Robert}}|titre=A Course in p-adic Analysis|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=198|année=2000|passage=273|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=H6sq_x2-DgoC}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Henri|nom1=Cohen|lien auteur1=Henri Cohen (mathématicien)|titre=Number Theory|volume={{II}}|titre volume=Analytic and Modern Tools|éditeur=Springer|année=2007|passage=31|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=5Lp-tGZR25sC&pg=PA31}}.</ref> :

<center><math>	\begin{align} 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1)&=\frac1{2}n^2-\frac n2&&=\frac{n(n-1)}2\,; \\
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {(n-1)}^2 &= \frac13n^3-\frac12n^2+\frac n6 &&=\frac{n(n-1)(2n-1)}6\,; \\
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + {(n-1)}^3  &= \frac14n^4-\frac12n^3+\frac14n^2 &&=\frac{n^2(n-1)^2}4\,;\\
1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + {(n-1)}^4 &= \frac15n^5-\frac12n^4+\frac13n^3-\frac n{30}&&=\frac{n(n-1)(2n-1)(3n^2-3n-1)}{30}\,;\\
1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + {(n-1)}^5  &= \frac16n^6-\frac12n^5+\frac{5}{12}n^4-\frac1{12}n^2&&={n^2(n-1)^2(2n^2-2n-1)\over 12}.\end{align}</math></center>

Bernoulli observa que l'expression 
<center><math>S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m</math></center> 
est toujours un [[polynôme]] en {{mvar|n}}, de degré {{math|''m'' + 1}}, de terme constant nul, dont le monôme dominant (de degré {{mvar|m}} + 1) est {{math|{{sfrac|''n''{{exp|''m''+1}}|''m''+1}}}} et le monôme de degré {{mvar|m}} est, si {{math|''m'' > 0}}<ref name="Ireland229">{{Harvsp|Ireland et Rosen 1990|p=229}}.</ref>, {{math|–{{sfrac|2}}''n{{exp|m}}''}}.

On démontre (voir plus bas le paragraphe « [[#Formules de récurrence|Formules de récurrence]] ») que plus généralement, pour {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''m''}}, le [[coefficient]] de {{math|''n''{{exp|''m''+1–''k''}}}} est le produit de {{math|[[Factorielle|''m''!]]/(''m'' + 1 – ''k'')!}} par un nombre rationnel {{mvar|B{{ind|k}}}} qui dépend seulement de {{mvar|k}} et pas de {{mvar|m}}. On peut donc définir les nombres de Bernoulli {{mvar|B{{ind|k}}}} par :
<center><math>S_m(n)=\sum_{k=0}^m\frac{m!}{(m+1-k)!}\frac{B_k}{k!}\,n^{m+1-k}={1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m {m+1\choose k}B_k\,n^{m+1-k}=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\,\frac{n^{m+1-k}}{m+1-k}.</math></center>
En particulier, le coefficient de {{mvar|n}} dans le polynôme {{math|''S{{ind|m}}''(''n'')}} est le nombre {{mvar|B{{ind|m}}}}.

== Premiers nombres de Bernoulli ==
En donnant à {{mvar|m}} la valeur 0, on obtient (avec [[0^0|0{{exp|0}} = 1]]) : pour tout entier {{math|''n'' > 0}},
:<math>B_0n=S_0(n)=0^0+1^0+\cdots +(n-1)^0=n,</math>
ce qui montre que {{math|''B''{{ind|0}} {{=}} 1}}.

En donnant à {{mvar|m}} la valeur 1, on obtient :
:<math>\frac12(B_0n^2+2B_1n)=S_1(n)=0+1+2+\ldots+(n-1)=\frac12(n^2-n),</math>
ce qui confirme que {{math|''B''{{ind|0}} {{=}} 1}} et montre que {{math|''B''{{ind|1}} {{=}} –1/2}}.

En donnant à {{mvar|m}} la valeur 2, on obtient :
:<math>\frac13(B_0 n^3+3B_1n^2+3B_2n)=S_2(n)=0^2+1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2=\frac13\left(n^3-\frac32n^2+\frac n2\right),</math>
ce qui montre de plus que {{math|''B''{{ind|2}} {{=}} 1/6}}.

En donnant à {{mvar|m}} la valeur 3, on obtient :
:<math>\frac14(B_0 n^4+4B_1n^3+6B_2n^2+4B_3n)=S_3(n)=0^3+1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3=\frac14(n^4-2n^3+n^2),</math>
ce qui montre aussi que {{math|''B''{{ind|3}} {{=}} 0}}.

== Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence ==
À partir de la condition initiale {{math|''B''{{ind|0}} {{=}} 1}}, on peut calculer les nombres de Bernoulli par récurrence en utilisant le fait que
<center><math>\forall m\in\N^*\quad\frac1{m+1}\sum_{k=0}^m{m+1\choose k}B_k=S_m(1)=\sum_{k=0}^0k^m=0^m=0,</math></center>
ce qui peut se voir comme une relation de récurrence<ref name="Ireland229"/> :
<center><math>(m+1)B_m=-\sum_{k=0}^{m-1}{m+1\choose k}B_k.</math></center>
Cette suite d'[[équations linéaires]]<ref>{{Harvsp|Ireland et Rosen 1990|p=230}}.</ref>
:<math>1+2B_1=0,</math>
:<math>1+3B_1+3B_2=0,</math>
:<math>1+4B_1+6B_2+4B_3=0,</math>
:<math>1+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=0,</math> {{etc.|virgule=non}}
donne successivement {{math|''B''{{ind|1}} {{=}} –1/2, ''B''{{ind|2}} {{=}} 1/6, ''B''{{ind|3}} {{=}} 0, ''B''{{ind|4}} {{=}} –1/30}}{{etc.}}
Par exemple, le détail du calcul de {{math|''B''{{ind|4}}}} est :
:<math>5B_4=-(1+5B_1+10B_2+10B_3)=-\left(1-\frac52+\frac{10}6\right)=-\frac16.</math>

== Lien avec les polynômes de Bernoulli ==
{{Voir|Polynôme de Bernoulli}}
Les [[polynôme de Bernoulli|polynômes de Bernoulli]] {{math|''B{{ind|m}}''(''X'')}} sont reliés aux nombres de Bernoulli par 
<center><math>B_m(x)=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\,x^{m-k}.</math></center>

Ils vérifient les relations : 
* <math>B_0(X)=1</math> ;
* <math>\forall n\in\N\quad B'_{n+1}(X)=(n+1)B_n(X)</math> ;
* <math>\forall n\in\N^*\quad\int_0^1B_n(x){\rm d}x=0</math> ;
* {{math|''B{{ind|m}}'' (0) {{=}} ''B{{ind|m}}''}} si {{math|''m'' ≥ 0}} (le terme constant du polynôme de Bernoulli est égal au nombre de Bernoulli de même indice) ;
* {{math|''B{{ind|m}}'' (1) {{=}} ''B{{ind|m}}''}} si {{math|''m'' ≠ 1}}.

Les polynômes {{math|''S{{ind|m}}''(''n'')}} sont également liés aux polynômes de Bernoulli :
<center><math>\forall m,n\in\N\quad S_m(n)=\frac{B_{m+1}(n)-B_{m+1}(0)}{m+1}.</math></center>

De
:<math>B'_{n+1}=(n+1)B_n,</math>
on déduit que
:<math>S'_m(X)=\frac{B'_{m+1}(X)}{m+1}=B_m(X).</math>

Par conséquent, les polynômes {{mvar|S{{ind|m}}}} sont les [[primitive]]s des polynômes de Bernoulli qui s'annulent en zéro :
<center><math>S_m(x)=\int_0^xB_m (t){\rm d}t=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\, \frac{x^{m+1-k}}{m+1-k}.</math></center>

== Autres conventions et notations utilisées pour définir les nombres de Bernoulli ==
On utilise parfois la notation {{mvar|b{{ind|n}}}} pour distinguer les nombres de Bernoulli des [[nombre de Bell|nombres de Bell]].

La définition employée dans cet article vérifie {{math|1=''B{{ind|m}}'' = ''B{{ind|m}}''(0)}} où {{math|''B{{ind|m}}''(''x'')}} désigne le polynôme de Bernoulli.

On rencontre également la convention {{math|1=''B{{ind|m}}'' = ''B{{ind|m}}''(1)}}, où {{math|''B{{ind|m}}''(''x'')}} désigne le polynôme de Bernoulli.

Les deux conventions ne diffèrent que pour le signe de {{math|''B''{{ind|1}}}} ; on a : 
<center><math>B_1(0)=-\frac12\qquad\,;\qquad B_1(1)=+\frac12.</math></center>

Une autre notation, utilisée en [[topologie]]<ref>Voir aussi {{Serre1}}, {{p.|147}}.</ref>, est de considérer les termes pairs sans leur signe (on a {{math|''b''{{ind|2''k''}} {{=}} (–1){{exp|''k''–1}}{{!}}''b''{{ind|2''k''}}{{!}}}}) :
<center><math>b_m=B_m(0)\qquad\, ;\,\qquad B_m=|b_{2m}|.</math></center>

== Définition par une fonction génératrice ==

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire d'une [[série génératrice|fonction génératrice]]. La série génératrice exponentielle associée à la suite est {{math|''x'' / (e{{exp|''x''}} – 1)}}, de telle sorte que

<center><math>\frac x{{\rm e}^x-1}=\sum_{n=0}^{\infin}B_n\frac{x^n}{n!}</math></center>

pour tout {{mvar|x}} de [[valeur absolue]] inférieure à {{math|2π}} (le [[rayon de convergence]] de cette série entière).

Cette définition peut être montrée équivalente à la précédente à l'aide d'un [[raisonnement par récurrence]] : le premier terme de la série est clairement {{math|''B''{{ind|0}}}} (par [[prolongement par continuité]]).
:Pour obtenir la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]], on multiplie les deux côtés de l'équation par {{math|e{{exp|''x''}} – 1}}. Alors, en utilisant les [[série de Taylor|séries de Taylor]] pour la [[fonction exponentielle]], <math>x=\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^j}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k x^k}{k!}\right).</math>

En développant ceci en [[produit de Cauchy]] et en réarrangeant légèrement, on obtient
<center><math>x=\sum_{m=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^m{m+1\choose j}B_j\right)\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}.</math></center>

Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série entière satisfont la même relation de récurrence que les nombres de Bernoulli (voir paragraphe : « [[#Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence|Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence]] »).

== Valeurs ==
Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :
{|class="wikitable centre"
|+Nombres de Bernoulli
|-----
|
{|class="wikitable" style="text-align:center;"
!{{mvar|n}}!!{{mvar|B<sub>n</sub>}}
!Valeur décimale
|-
|0|| colspan=2 | 1
|-
|1||−1 / 2 ||= −0,5
|-
|2||1 / 6|| ≈  0,166 7
|-
|3 || colspan=2 | 0
|-
|4||−1 / 30|| ≈  −0,033 3
|-
|5|| colspan=2 |0
|-
|6||1 / 42|| ≈  0,023 81
|-
|7|| colspan=2 |0
|-
|8||−1 / 30|| ≈  −0,033 3
|-
|9|| colspan=2 |0
|-
|10||5 / 66|| ≈  0,075 76
|-
|11|| colspan=2 |0
|-
|12||−691 / 2 730|| ≈  −0,253 1
|-
|13|| colspan=2 |0
|-
|14||7 / 6|| ≈  1,166 7
|-
|15|| colspan=2 |0
|-
|16||−3 617 / 510|| ≈ −7,092 2
|}
|
{|class="wikitable centre" style="text-align:center;"
!{{mvar|n}}!!{{mvar|B<sub>n</sub>}}
!Valeur décimale
|-
|17|| colspan=2 |0
|-
|18||43 867 / 798|| ≈  54,971 2
|-
|19|| colspan=2 |0
|-
|20||−174 611 / 330|| ≈  −529,124
|-
|21|| colspan=2 |0
|-
|22||854 513 / 138|| ≈  6 192,12
|-
|23|| colspan=2 |0
|-
|24||−236 364 091 / 2 730|| ≈  −86 580,3
|-
|25|| colspan=2 |0
|-
|26||8 553 103 / 6|| ≈  1 425 517
|-
|27|| colspan=2 |0
|-
|28||−23 749 461 029 / 870|| ≈  −27 298 231
|-
|29|| colspan=2 |0
|-
|30||8 615 841 276 005 / 14 322|| ≈  601 580 874
|-
|31|| colspan=2 |0
|-
|32||−7 709 321 041 217 / 510|| ≈  −15 116 315 767
|-
|33|| colspan=2 |0
|}
|}

== Signe des nombres de Bernoulli ==
À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que {{math|''B{{ind|n}}'' {{=}} 0}} lorsque {{mvar|n}} est [[nombres pairs et impairs|impair]] et différent de 1, et que les signes des {{mvar|B{{ind|n}}}} alternent pour {{mvar|n}} pair. On a donc :
<center><math>B_{2k}=(-1)^{k-1}|B_{2k}|.</math></center>

== Formules de récurrence ==
On justifie ici la définition des nombres de Bernoulli annoncée dans l'introduction. Repartons des sommes
<center><math>S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1}k^m</math>
</center>
pour tous entiers naturels {{mvar|m}} et {{mvar|n}} (en particulier, [[Somme vide|{{math|''S{{ind|m}}''(0) {{=}} 0}}]]).

On remarque que (d'après la formule du binôme après réindexation) : 
:<math>S_{m+1}(n+1)=\sum_{k=1}^{n}k^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}j k^j=\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}jS_j(n)=S_{m+1}(n)+\sum_{j=0}^m\binom {m+1}jS_j(n),</math> 
:<math>n^{m+1}=S_{m+1}(n+1)-S_{m+1}(n)=\sum_{j=0}^m\binom {m+1}jS_j(n)=(m+1)S_m(n)+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}jS_j(n)</math>
et l'on obtient finalement :
<center><math>\forall m,n\in\N\quad S_m(n)=\frac{n^{m+1}}{m+1}-m!\sum_{j=0}^{m-1}\frac{S_j(n)}{j!(m+1-j)!},</math></center>
ce qu'on peut voir comme une définition des {{math|''S{{ind|m}}''(''n'')}} par récurrence sur {{mvar|m}} ([[Somme vide|incluant]] l'initialisation {{math|''S''{{ind|0}}(''n'') {{=}} ''n''}}). C'est cette approche qui permet de démontrer par récurrence que les coefficients de {{math|''S{{ind|m}}''(''n'')}} sont bien de la forme donnée dans l'introduction : <math>S_m(n)=\sum_{i=0}^m\frac{m!}{(m+1-i)!}\frac{B_i}{i!}\,n^{m+1-i}</math>.

Pour tout {{math|''j'' ≥ 0}}, notons {{mvar|B{{ind|j}}}} le coefficient de {{mvar|n}} dans {{math|''S{{ind|j}}''(''n'')}}, <math>S_j(n)=B_j n+\sum_{k<j}c_{k,j}n^{j+1-k}</math>, et déduisons de la formule de récurrence des {{math|''S{{ind|m}}''(''n'')}} ci-dessus, par récurrence sur {{mvar|j}}, que le coefficient {{math|''c''{{ind|''k'',''j''}}}} de {{math|''n''{{exp|''j''+1–''k''}}}} dans {{math|''S{{ind|j}}''(''n'')}} est le produit de ''j''!/(''j'' + 1 – ''k'')! par ''B{{ind|k}}''/''k''! non seulement pour {{math|''k'' {{=}} ''j''}}, mais aussi pour tout entier naturel {{math|''k'' < ''j''}} (ce qui est immédiat pour {{math|''k'' {{=}} 0}}). En supposant la propriété vraie pour tout&nbsp;{{math|''j'' < ''m''}}, on trouve comme coefficient {{math|''c''{{ind|''m'',''i''}}}} de {{math|''n''{{exp|''m''+1–''i''}}}} dans {{math|''S{{ind|m}}''(''n'')}}, pour {{math|0 < ''i'' < ''m''}} :

<center><math>c_{m,i}=-m!\sum_{{j<m,\,k\geqslant0} \atop  {j+1-k=m+1-i}}{1\over j!(m+1-j)!}{j!\over(j+1-k)!}{B_k\over k!}={m!\over(m+1-i)!}\sum_{k=0}^{i-1}{-B_k\over(i+1-k)!k!}={m!\over(m+1-i)!}{B_i\over i!},</math>
</center>
la première égalité résultant de l'hypothèse de récurrence et 
la dernière égalité résultant du [[#Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence|§ Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence]] :
<center><math>B_i=-\frac1{i+1}\sum_{k=0}^{i-1}{i+1\choose k}B_k =-\sum_{k=0}^{i-1}\frac{i!}{(i+1- k)! k!}B_k.</math></center>

== Les nombres de Bernoulli et la fonction zêta de Riemann ==

La première relation a été obtenue par [[Leonhard Euler]]<ref>{{en}} Ed Sandifer, [http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2005-09.pdf ''{{lang|en|How Euler did it – Bernoulli numbers}}''{{pdf}}], septembre 2005.</ref>{{,}}<ref>{{la}} [http://eulerarchive.maa.org/pages/E212.html E212 — ''{{lang|la|Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum}}''] (1755), {{nobr|partie {{II}}}}, {{chap.|5}}, [https://www.math.nmsu.edu/~davidp/institutionescalcdiff.pdf traduction en anglais{{pdf}}] par David Pengelley (2000).</ref> sous la forme suivante
<center><math>B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\left[1+\frac1{2^{2n}}+\frac1{3^{2n}}+\frac1{4^{2n}}+\cdots\;\right].</math></center>
(On peut l'obtenir comme corollaire du calcul de la [[Polynôme de Bernoulli#Série de Fourier|série de Fourier des polynômes de Bernoulli]].)

La relation s'écrit en utilisant la [[fonction zêta de Riemann]] :
<center><math>B_{2n}=(-1)^{n-1}\frac {2\, (2n)!} {(2\pi)^{2n}}\;\zeta(2n),</math></center>
relation qui entraîne (pour {{math|''n'' > 0}}) : 
<center><math>2\,\zeta(2n)=\frac{(2\pi)^{2n}} {(2n)!} \,|B_{2n}|.</math></center>

[[Fichier:BernoulliNumbersByZetaLowRes.png|thumb|upright=1.5|Les premiers nombres de Bernoulli {{math|''B{{ind|n}}''(1)}} (ordonnées des points rouges) sont donnés par la fonction {{math|–''x'' ζ(1–''x'')}} (courbe en bleu).]]
L'apparition de {{math|''B''{{ind|12}} {{=}} –{{sfrac|691|2730}}}} semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des [[Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann|valeurs de la fonction {{math|ζ}} de Riemann]] pour des valeurs entières négatives de la variable, puisque 
<center><math>\zeta(-n)=(-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}</math></center> et l'on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir [[hypothèse de Riemann]]).
Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante : 
<center><math>B_n = -n \zeta(1-n) \quad n > 1</math></center>
et
<center><math>B_1=\zeta(0).</math></center>
En particulier : 
:<math>\zeta(0)=B_1=-\frac12\,,\qquad\zeta(-1)=-\frac1{12},\qquad\zeta(-3)=\frac1{120},\!\qquad\zeta(-5)=-\frac1{252},\!\qquad\zeta(-7)=\frac1{240}.</math>

== Comportement asymptotique de {{math|{{!}}''B''{{ind|2''n''}}{{!}}}} ==
[[Fichier:Bernoulli numbers logarithmic growth.png|thumb|upright=1.1|Croissance des logarithmes des nombres de Bernoulli d'indice pair.
Le graphe bleu (trait continu) montre <math>\log |B_{\lfloor2x\rfloor}|</math>, le graphe rouge (en pointillés) montre l'équivalent asymptotique <math>\textstyle\log\left(4\sqrt{\pi x}\left(\frac x{\pi{\rm e}}\right)^{2x}\right)</math>.]]

On a l'égalité suivante pour les nombres de Bernoulli d'indice pair :
<center><math>|B_{2n}|=\frac{(2n)!\zeta(2n)}{2^{2n-1}\pi^{2n}}.</math></center> 
De la définition de la [[fonction zêta de Riemann]], on déduit que {{math|ζ(2''n'') > 1}} (si {{math|''n'' > 0,5}}).
Par conséquent, on a l'encadrement :
<center><math>\frac{2\; (2n)!}{(2\pi)^{2n}}<|B_{2n}| \leqslant \frac{2\zeta (2)\; (2n)!}{(2\pi)^{2n}}.</math></center>
De l'inégalité <math>{\rm e}^{2n}>\frac{(2n)^{2n}}{(2n)!}</math> (si {{math|''n'' > 0}}), on déduit que : <math>(2n)!>\left(\frac{2n}{\rm e}\right)^{2n}</math> (si {{math|''n'' > 0}}) , donc :
<center><math>|B_{2n}|>2\left(\frac n{\pi{\rm e}}\right)^{2n}.</math></center>
Par conséquent :
<center><math>\lim_{n\to\infty}|B_{2n}|=+\infty.</math></center>

On a l'équivalent : <center><math>B_{2n} \sim (-1)^{n-1}\frac{2\; (2n)!}{(2\pi)^{2n}}</math>.</center>
En utilisant la [[formule de Stirling]] pour écrire un [[équivalent]] de {{math|(2''n'')!}}, on démontre l'équivalent quand {{mvar|n}} tend vers l'infini : 
<center><math>\left|B_{2 n}\right|\sim4\sqrt{\pi n}\left(\frac n{\pi{\rm e}}\right)^{2n}</math>.</center>

== Applications en analyse ==
Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en [[série de Taylor]] des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la [[formule d'Euler-Maclaurin]] ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

=== Formule d'Euler-Maclaurin ===
{{Voir|Formule d'Euler-Maclaurin}}
Soit {{mvar|a}} un [[nombre réel]] et {{mvar|N}} un [[entier naturel]]. Si {{mvar|f}} est une application de classe <math>\mathcal{C}^k</math> (avec {{math|''k'' ≥ 1}}) sur {{math|[''a'', ''a'' + ''N'']}}.
<center><math>f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(a+N-1)=\int_a^{a+N}f(x)\,{\rm d}x+\sum_{j=1}^kB_j\frac{f^{(j-1)}(a+N)-f^{(j-1)}(a)}{j!}+R_{k,a,N}</math></center>
avec
<center><math>R_{k,a,N}=\frac{(-1)^{k-1}}{k!}\int_a^{a+N}f^{(k)}(x)\tilde{B_k}(x-a)\,{\rm d}x</math></center>
où <math>\tilde{B_k}(x)</math> est la [[fonction périodique]] de période 1 égale à {{math|''B{{ind|k}}''(''x'')}}, le [[#Lien avec les polynômes de Bernoulli|polynôme de Bernoulli]] d'indice {{mvar|k}}, sur l'intervalle {{math|[0 ; 1[}}.
:<math>\tilde{B_k}(t)=B_k(t-\lfloor t\rfloor)</math> 
où {{math|⌊''t''⌋}} désigne la [[partie entière]] de {{mvar|t}}.

=== Développements en série de Taylor ===
À partir de la fonction génératrice,
<center><math>\frac x{{\rm e}^x-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k\frac{x^k}{k!}=1-\dfrac x2+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, |x|< 2\pi</math>,</center> on démontre les formules suivantes<ref>{{Harvsp|Cohen|2007|p=[https://books.google.fr/books?id=5Lp-tGZR25sC&pg=PA5 5]}}.</ref> :
{{col-begin}}
{{col-2}}
: <math>1-\frac x2\;\operatorname{cotan}\frac x2=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{x^{2n}}{(2n)!},|x|<2\pi,</math>
: <math>x\;\operatorname{cotan} x=1-\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi,</math>
: <math>\operatorname{cotan} x=\dfrac1x-\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,</math>
: <math>\dfrac1{\sin x}=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,</math>
: <math>\tan x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},|x|<\pi/2,</math>
{{col-2}}
: <math>\dfrac2{{\rm e}^x+1}=1-\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi,</math>
: <math>\dfrac12\;\dfrac{{\rm e}^x+1}{{\rm e}^x-1}=\dfrac12\,\operatorname{coth}(\frac x2)=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{x^{2n-1}}{(2n)!}, 0<|x|<2\pi,</math>
: <math>\operatorname{coth} x=\frac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}, 0<|x|<\pi,</math>
:<math>\dfrac1{\operatorname{sh}x}=\dfrac1x-\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,</math>
:<math>\operatorname{th} x=\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},|x|<\pi/2.</math>
{{col-end}}
Les nombres <math>T_n=|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{2n}</math> sont des nombres entiers appelés nombres tangents ou [[Nombre d'Euler|nombres d'Euler]] de deuxième espèce<ref>[[Alain Bouvier]], Michel George et [[François Le Lionnais]], ''Dictionnaire des mathématiques'', [[PUF]], 2001, {{6e}} édition, {{p.|320}}.</ref>.

On a le développement suivant : <math>\operatorname{tan} x=\sum_{n=1}^\infty T_{n}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, |x|<\pi/2.</math>

=== Développements en série des nombres de Bernoulli ===

:<math>\begin{align} 
|B_{2n}|&=\frac{(2n)!}{2^{2n-1}\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^{2n}}\\
&=\frac{2(2n)!}{(2^{2n}-1)\pi^{2n}}\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^{2n}}\\
&=\frac{(2n)!}{(2^{2n-1}-1)\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^{2n}}.
\end{align}</math>

== Propriétés arithmétiques ==

=== Les nombres de Bernoulli et les groupes de classes d'idéaux ===
Les propriétés de [[divisibilité]] des numérateurs des nombres de Bernoulli sont liées aux [[groupe des classes d'idéaux|groupes des classes d'idéaux]] des [[corps cyclotomique]]s par un [[théorème de Kummer]]. En 1847, Kummer démontrait que le [[dernier théorème de Fermat]] était vrai pour un certain ensemble de nombres premiers appelés [[nombre premier régulier|nombres premiers réguliers]]. On dit qu'un nombre premier impair est {{Citation|régulier}} s'il ne divise pas le [[nombre de classes]] de {{math|ℚ(ζ{{ind|''p''}})}}, sinon on dit que {{mvar|p}} est irrégulier. Kummer découvrit un lien avec les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli : un nombre premier {{mvar|p}} impair est régulier si, et seulement si, {{mvar|p}} ne divise le [[numérateur]] d'aucun des nombres {{math|''B''{{ind|2}}, ''B''{{ind|4}}, … , ''B''{{ind|''p''–3}}}}. Le nombre premier 3 est régulier. Les premiers nombres premiers irréguliers sont : 37, 59, 67, 101, 103, 149 et 157. Si {{mvar|p}} est régulier, alors  l'équation {{math|''x{{exp|p}}'' + ''y{{exp|p}}'' {{=}} ''z{{exp|p}}''}} n'a pas de solution entière (à part 1, 0 et 1).
C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes.

Le théorème de Kummer a été renforcé par le [[théorème de Herbrand-Ribet]]. Les nombres de Bernoulli sont également liés aux nombres de classes des corps quadratiques par la [[congruence d'Ankeny-Artin-Chowla]].

=== Liens avec la K-théorie algébrique ===
Il existe aussi un lien avec la [[K-théorie]] algébrique : une conséquence de la {{Lien|langue=en|trad=Quillen–Lichtenbaum conjecture|fr=conjecture de Quillen-Lichtenbaum}} est le résultat suivant<ref>{{Chapitre|lang=en |nom={{Lien|lang=en|trad=Charles Weibel|fr=Charles Weibel (mathématicien)|texte=Charles Weibel}} |titre=Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields |titre ouvrage=Handbook of K-theory |volume=1 |éditeur=Springer |année=2005 |url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0691/KZsurvey.pdf |format=pdf}}.</ref> : 
* si {{math|''n'' {{=}} 4''k'' – 2}} et {{mvar|c{{ind|k}}}} est le numérateur de {{math|''B''{{ind|2''k''}}/''k''}}, alors l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] de {{math|''K{{ind|n}}''(ℤ)}} est {{math|{{!}}''c{{ind|k}}''{{!}}}} si {{mvar|k}} est pair ({{math|''n'' ≡ 6 mod 8}}), et {{math|2''c{{ind|k}}''}} si {{mvar|k}} est impair ({{math|''n'' ≡ 2 mod 8}}) ;
* si {{math|''n'' {{=}} 4''k'' – 1}} et {{mvar|d{{ind|k}}}} est le dénominateur de {{math|''B''{{ind|2''k''}}/''k''}}, alors l'ordre de {{math|''K{{ind|n}}''(ℤ)}} est {{math|4''d{{ind|k}}''}} si {{mvar|k}} est pair ({{math|''n'' ≡ 7 mod 8}}), et {{math|8''d{{ind|k}}''}} si {{mvar|k}} est impair ({{math|''n'' ≡ 3 mod 8}}).

=== Théorème de von Staudt-Clausen ===
Le [[théorème de von Staudt-Clausen]] est aussi relié à la divisibilité. Il énonce ceci : 
: si l'on ajoute à {{mvar|B{{ind|n}}}} les inverses {{frac|1|''p''}} pour chaque [[nombre premier]] {{mvar|p}} tel que {{math|''p'' − 1}} divise {{mvar|n}}, on obtient, si {{math|''n'' {{=}} 1}} ou {{mvar|n}} est pair non nul, un nombre [[entier relatif|entier]].
Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli non entiers {{mvar|B{{ind|n}}}} comme le produit de tous les nombres premiers {{mvar|p}} tels que {{math|''p'' − 1}} divise {{mvar|n}}. En conséquence, si {{math|2''n''}} est un entier non nul, le dénominateur du nombre de Bernoulli {{math|''B''{{ind|2''n''}}}} est [[sans carré]] et divisible {{nobr|par 6}}.

;Exemples
<center><math>B_1+\frac12=0\qquad ;\qquad B_2+\frac12+\frac13=1\qquad ;\qquad B_4+\frac12+\frac13+\frac15=1</math></center>

:<center><math>B_6+\frac12+\frac13+\frac17=1\qquad ;\qquad B_{10}+\frac12+\frac13+\frac1{11}=1</math></center>

:<center><math>B_{12}+\frac12+\frac13+\frac15+\frac17+\frac1{13}=1\qquad ;\qquad B_{14}+\frac12+\frac13=2\qquad ;\qquad B_{16}+\frac12+\frac13+\frac15+\frac1{17}=-6.</math></center>

La propriété se traduit par : {{math|''pB''{{ind|2''m''}} ≡ −1 mod ''p''}} si {{math|''p'' – 1}} divise {{math|2''m''}}. (La notation {{math|''a'' ≡ ''b'' mod ''p''}} signifie que {{mvar|p}} divise le numérateur de {{math|''a'' – ''b''}} mais pas son dénominateur.)

La [[conjecture d'Agoh-Giuga]] postule que {{mvar|p}} est un nombre premier si et seulement si {{math|''pB''{{ind|''p''−1}} ≡ −1 mod ''p''}}.

=== Continuité ''p''-adique ===
{{Article détaillé|Congruences de Kummer}}
Une propriété de congruence, dite [[Congruences de Kummer|congruence de Kummer]], spécialement importante des nombres de Bernoulli peut être caractérisée comme une propriété de [[Continuité (mathématiques)|continuité]] [[Nombre p-adique|''p''-adique]]. Si {{mvar|p}}, {{mvar|m}} et {{mvar|n}} sont des nombres entiers positifs tels que {{mvar|m}} et {{mvar|n}} ne sont pas divisibles par {{math|''p'' − 1}} et <math>m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1),</math> alors 
<center><math>(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b.</math></center>
(La notation {{math|''a'' ≡ ''b'' mod ''p<sup>k</sup>''}} signifie que {{mvar|p<sup>k</sup>}} divise le numérateur de {{mvar|a – b}} mais pas son dénominateur.)

Puisque {{math|''B{{ind|n}}'' {{=}} –''n''ζ(1–''n'')}} ceci peut être aussi écrit
<center><math>(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b</math></center>
où {{math|''u'' {{=}} 1 − ''m''}} et {{math|''v'' {{=}} 1 − ''n''}}, si bien que {{mvar|u}} et {{mvar|v}} sont négatifs et non congrus à 1 mod {{math|''p'' – 1}}.

Ceci nous indique que la [[fonction zêta de Riemann]] avec {{math|1 − ''p{{exp|−s}}''}} omis dans la formule du [[produit eulérien]], est continue pour les nombres ''p''-adiques sur les nombres entiers négatifs congrus mod {{math|''p'' – 1}} à un entier fixé <math>a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1</math>, et peut donc être étendue en une fonction continue {{math|ζ{{ind|''p''}}(''s'')}} sur l'[[anneau topologique]] ℤ{{ind|''p''}} des entiers ''p''-adiques : la [[Fonction L p-adique|fonction zêta ''p''-adique]].
== Utilisation en topologie ==

La formule de [[Michel Kervaire|Kervaire]]-[[John Milnor|Milnor]] pour l'ordre du [[groupe cyclique]] des classes de [[difféomorphisme]]s des (4''n'' − 1)-[[sphère exotique|sphères exotiques]] qui [[Cobordisme|bordent]] des [[Variété parallélisable|variétés parallélisables]] pour ''n'' ≥ 2 fait intervenir les nombres de Bernoulli : si {{mvar|N{{ind|n}}}} est le numérateur de {{math|''B''{{ind|4''n''}}/''n''}}, alors le nombre de ces classes de difféomorphisme de sphères exotiques est
:<math>2^{2n-2}(1-2^{2n-1})N_n.</math>

La formule donnée dans les articles de topologie diffère car les topologues utilisent une [[#Autres conventions et notations utilisées pour définir les nombres de Bernoulli|convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli]] (ils notent {{mvar|B{{ind|n}}}} la suite 1, 1/6, 1/30…).

== Formules explicites ==
On peut en fait également définir les {{mvar|B{{ind|n}}}} sans récurrence : utilisant les [[Nombre de Stirling#Nombre de Stirling de seconde espèce|nombres de Stirling (de deuxième espèce)]], on a (pour ''n'' > 1)<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Ronald|nom1=Graham|lien auteur1=Ronald Graham|prénom2=Donald|nom2=Knuth|lien auteur2=Donald Knuth|nom3=[[Oren Patashnik]]|titre=[[Concrete Mathematics]]|passage=289}} ({{nobr|eq. 6.99}}) ; on trouvera également [[:v:Recherche:Formule explicite des nombres de Bernoulli|une démonstration de cette formule]] sur [[Wikiversité]].</ref>
:<math>B_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{k!}{k+1}\left\{\begin{matrix}n\\ k\end{matrix}\right\}.</math>

d'où (en utilisant les [[Nombre de Stirling#Formule explicite|formules explicites pour les nombres de Stirling]] et en simplifiant)

:<math>B_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{k!}{k+1}
\left(\frac1{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^{k-j}{k\choose j}j^n\right)=\sum _{k=0}^n\frac1{k+1}\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom kjj^n.</math>

On trouve assez souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas<ref>{{Article|lang=en |nom={{Lien|Henry W. Gould}} |titre=Explicit formulas for Bernoulli numbers |lien périodique=American Mathematical Monthly |revue={{lang|en|Amer. Math. Monthly}} |vol=79 |p.=44-51 |année=1972}}.</ref> ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, {{Lien|langue=de|fr=Louis Saalschütz}} recensait un total de {{nombre|38|formules}} explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.

== Identités remarquables ==
=== Relations de Ramanujan ===
Les trois relations suivantes, dues à [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]], fournissent une méthode plus efficace pour le calcul des nombres de Bernoulli :
* <math>m\equiv 0\,\bmod\,6\qquad {{m+3}\choose m}B_m={{m+3}\over3}-\sum_{j=1}^{m/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j},</math>
* <math>m\equiv 2\,\bmod\,6\qquad {{m+3}\choose m}B_m={{m+3}\over3}-\sum_{j=1}^{(m-2)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j},</math>
* <math>m\equiv 4\,\bmod\, 6\qquad{{m+3}\choose m}B_m=-{{m+3}\over6}-\sum_{j=1}^{(m-4)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}.</math>

=== Une identité de Carlitz ===
Si {{mvar|m}} et {{mvar|n}} sont des entiers strictement positifs :
<center><math>(-1)^m\sum_{r=0}^m{m\choose r}B_{n+r}=(-1)^n \sum_{s=0}^n{n\choose s}B_{m+s}</math><ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Leonard Carlitz|L. Carlitz]]|titre=Bernoulli Numbers|revue={{lang|en|[[Fibonacci Quarterly|Fibonacci Quart.]]}}|vol=6|numéro=3|p.=71-85|année=1968|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/6-3/carlitz.pdf}}.</ref>.</center>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Bernoulli number|7790564|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
[[John Horton Conway|John H. Conway]] et [[Richard K. Guy]], ''Le Livre des nombres'', [[Eyrolles]], 1998 {{ISBN|2-212-03638-8}}

=== Articles connexes ===
* [[Congruence de Kummer]]
* {{Lien|trad=Eisenstein–Kronecker number|Nombre d'Eisenstein-Kronecker}}

=== Liens externes ===
* {{encycloMath|titre=Bernoulli numbers|id=p/b015640}}
* ''[http://www.gutenberg.org/etext/2586 Les {{nombre|498|premiers}} nombres de Bernoulli]'' sur le [[Projet Gutenberg]]
* {{en}} [http://www.bernoulli.org {{lang|en|The Bernoulli Number Page}}]
* {{MathWorld|titre=Bernoulli Number|nom_url=BernoulliNumber}}
* {{en}} [http://oeis.org/wiki/User:Peter_Luschny/ComputationAndAsymptoticsOfBernoulliNumbers ''Calcul et développement asymptotique des nombres de Bernoulli'', par P. Luschny] sur le site de l'[[Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers|OEIS]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Suite d'entiers|Bernoulli]]
[[Catégorie:Combinatoire]]
[[Catégorie:Jacques Bernoulli]]