Voir la source de Nombre de Mersenne premier

[[Fichier:Marin mersenne.jpg|vignette|droite|Le moine français [[Marin Mersenne]] (1588-1648)]]
En [[mathématiques]] et plus précisément en [[arithmétique]], un '''nombre de Mersenne''' est un nombre de la forme {{math|2{{exp|''n''}} − 1}} (souvent<ref name=":0">{{MathWorld|nom_url=MersennePrime|titre=Mersenne Prime}}.</ref> noté {{var|M{{ind|n}}}}), où {{var|n}} est un [[entier naturel]] non nul ; un '''nombre de Mersenne premier''' (ou '''nombre premier de Mersenne''') est donc un [[nombre premier]] de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien [[France|français]] du {{XVIIe siècle}} [[Marin Mersenne]] ; mais, près de {{unité|2000|ans}} auparavant, [[Euclide]] les utilisait déjà pour étudier les [[Nombre parfait|nombres parfaits]]. Avant Mersenne, et même un certain temps après lui, la recherche des nombres de Mersenne premiers est intrinsèquement liée à celle des nombres parfaits. 

Si le nombre de Mersenne {{math|2{{exp|''n''}} − 1}} est premier, alors {{var|n}} est premier. Par exemple, les nombres de Mersenne {{math|§=2{{2}} − 1 = 3, 2{{3}} − 1 = 7}} sont premiers, et leurs exposants {{math|2, 3}} le sont bien aussi. Cette condition que {{var|n}} soit premier est nécessaire pour que le nombre de Mersenne {{math|2{{exp|''n''}} − 1}} soit premier. Par exemple, {{math|1, 4}} ne sont pas premiers, et les nombres de Mersenne {{math|§=2{{1}} − 1 = 1, 2{{4}} − 1 = 15 = 3 × 5}} ne le sont effectivement pas. Mais cette condition n'est pas suffisante. Par exemple, {{math|11}} est premier, mais le nombre de Mersenne {{math|§=2{{11}} – 1 = 2 047 = 23 × 89}} ne l'est pas.

Il existe un [[test de primalité]] efficace pour les nombres de Mersenne, le [[Test_de_primalité_de_Lucas-Lehmer_pour_les_nombres_de_Mersenne|test de primalité de Lucas-Lehmer]] ; de ce fait, les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne. Les nombres de Mersenne premiers sont pourtant rares : seulement {{math|52}} sont connus en octobre 2024<ref>https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841</ref>. On ne sait même pas s'il en existe une infinité.

La recherche de grands nombres de Mersenne premiers fait l'objet d'un projet de calcul collaboratif, le projet [[Great Internet Mersenne Prime Search|GIMPS]].

== Nombres de Mersenne et nombres parfaits ==
Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux [[Nombre parfait|nombres parfaits]], qui sont les nombres « égaux à la somme de leurs [[Diviseur strict|diviseurs stricts]] ». Historiquement, c'est cette connexion qui a motivé l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le {{IVe siècle av. J.-C.}}, [[Euclide]] démontrait que si {{math|''M'' {{=}} 2{{exp|''p''}} – 1}} est un nombre premier, alors {{math|''M''(''M'' + 1)/2 {{=}} 2{{exp|''p''–1}}(2{{exp|''p''}} – 1)}} est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au {{s|XVIII}}, [[Leonhard Euler|Euler]] prouvait que tous les nombres parfaits ''pairs'' sont de cette forme. Par ailleurs, aucun nombre parfait ''impair'' n'est connu.

== Propriétés des nombres de Mersenne ==
=== Propriété fondamentale des nombres de Mersenne ===
Soit {{math|''n'' ∈}} <math>\N^*</math> ; si {{var|n}} n'est pas premier, alors le {{var|n}}-ième nombre de Mersenne {{math|§=(''M{{ind|n}}'' = 2{{exp|''n''}} – 1)}} n'est pas premier. En effet :
* Si {{math|§=''n'' = 1}}, alors {{math|§=''M{{ind|n}}'' = 2{{1}} − 1 = 1}}.
* Si {{math|§=''n'' = ''kl''}} est composé, alors {{math|§=''M{{ind|n}}'' = 2{{exp|''kl''}} − 1}} est composé. En effet :
** {{math|''k'' > 1}} et {{math|''l'' > 1}}, donc {{math|''kl'' > ''k''}}, et donc {{math|2{{exp|''kl''}} − 1 > 2{{exp|''k''}} − 1 > 1}} ;
** {{math|§=2{{exp|''kl''}} − 1 = (2{{exp|''k''}} − 1)×(2{{exp|''k''(''l''−1)}} + 2{{exp|''k''(''l''−2)}} + ... + 2{{exp|''k''×2}} + 2{{exp|''k''}} + 1)}}.
Les deux plus petits exemples avec indices composés sont :<br>{{math|§=4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3}} sont composés, et {{math|§=''M''{{ind|4}} = 2{{4}} – 1 = 15 = 3 × 5, ''M''{{ind|6}} = 2{{6}} – 1 = 63 = 3{{2}} × 7}} sont bien composés.

Plus précisément :<br>{{math|2}} divise {{math|4, 6}}, et {{math|§=''M''{{ind|2}} = 3}} divise bien {{math|§=''M''{{ind|4}} = 15, ''M''{{ind|6}} = 63}}.

Autrement dit ([[Proposition contraposée|contraposée]]) :<br>Soit {{math|''n'' ∈}} <math>\N^*</math> ; si le {{var|n}}-ième nombre de Mersenne {{math|§=(''M{{ind|n}}'' = 2{{exp|''n''}} – 1)}} est premier, alors {{var|n}} est premier<ref>De façon générale :<br>Soient {{math|''a'' > 1}} et {{math|''n'' > 1}} ; si {{math|''a''{{exp|''n''}} − 1}} est premier, alors {{math|§=''a'' = 2}} et {{var|n}} est premier. En effet :
* Si {{math|''a'' > 2}}, alors {{math|''a''{{exp|''n''}} − 1 > ''a'' − 1 > 1}} ; or {{math|''a'' − 1}} divise {{math|''a''{{exp|''n''}} − 1}} : absurde. Donc {{math|§=''a'' = 2}}.
* Si {{math|§=''n'' = ''kl''}}, alors {{math|2{{exp|''k''}} – 1}} divise {{math|2{{exp|''n''}} − 1}} : absurde. Donc {{var|n}} est premier.<br>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=G. H. Hardy|auteur2=E. M. Wright|titre=An introduction to the theory of numbers|lieu=University Press, Oxford|éditeur=Oxford at the Clarendon Press|année=1968|passage=p.15|isbn=0-19-853310-1}}.</ref>.

Les huit plus petits exemples sont :<br>{{math|§=''M''{{ind|2}} = 2{{2}} − 1 = 3, ''M''{{ind|3}} = 2{{3}} − 1 = 7, ''M''{{ind|5}} = 2{{5}} − 1 = 31, ''M''{{ind|7}} = 2{{7}} − 1 = 127, ''M''{{ind|13}} = 2{{13}} − 1 = 8 191, ''M''{{ind|17}} = 2{{17}} − 1 = 131 071, ''M''{{ind|19}} = 2{{19}} − 1 = 524 287, ''M''{{ind|31}} = 2{{31}} − 1 = 2 147 483 647}} ({{OEIS2C|id=A000668}}) sont premiers, et {{math|2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31}} ({{OEIS2C|id=A000043}}) sont bien premiers.

La [[Implication réciproque|réciproque]] est fausse. En effet :<br>Soit {{math|''n'' ∈}} <math>\N^*</math> ; même si {{var|n}} est premier, le {{var|n}}-ième nombre de Mersenne {{math|§=(''M{{ind|n}}'' = 2{{exp|''n''}} – 1)}} peut ne pas être premier.

Les trois plus petits contre-exemples sont :<br>{{math|11}}, {{math|23}}, {{math|29}} ({{OEIS2C|id=A054723}}) sont premiers, mais {{math|§=''M''{{ind|11}} = 2{{11}} − 1 = 2 047 = 23 × 89, ''M''{{ind|23}} = 2{{23}} − 1 = 8 388 607 = 47 × 178 481, ''M''{{ind|29}} = 2{{29}} − 1 = 536 870 911 = 233 × 1 103 × 2 089}} ({{OEIS2C|id=A065341}}) sont composés<ref name=":1">{{Lien web |langue=fr |titre=Décomposition en Facteurs Premiers - Factorisation en Ligne |url=https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers |site=www.dcode.fr |consulté le=2022-03-23}}</ref>.

Conséquences :<br>Pour trouver des nombres de Mersenne premiers, on sait déjà qu'il faut se limiter à des {{var|M{{ind|p}}}} avec {{var|p}} premier, mais que ce n'est pas suffisant. Il faut ensuite affûter les critères de sélection des nombres premiers {{var|p}}.

=== Autres propriétés des nombres de Mersenne ===
* Ils constituent la suite des [[répunit]]s en [[Système binaire|base 2]].
* [[Répunit#Propriétés|Conséquence]] :<br>Pour tous entiers {{math|''m'' ≥ 1}} et {{math|§=''n'' ≥ 1, [[Plus grand commun diviseur de nombres entiers#Propriétés|pgcd]](''M{{ind|m}}'', ''M{{ind|n}}'') = ''M''{{ind|pgcd(''m'',''n'')}}}}.<br>En particulier, si {{var|m}} divise {{var|n}}, alors {{var|M{{ind|m}}}} divise {{var|M{{ind|n}}}}. Donc, si {{var|n}} n'est pas premier, alors {{var|M{{ind|n}}}} n'est pas premier.
:
: Exemple :<br>{{math|§=pgcd(''M''{{ind|4}}, ''M''{{ind|6}}) = pgcd(2{{4}} – 1, 2{{6}} – 1) = pgcd(15, 63) = 3 = 2{{2}} – 1 = ''M''{{ind|2}} = ''M''{{ind|pgcd(4,6)}}}}.
* Tous les nombres de Mersenne {{math|''M{{ind|n}}'' ≥ 7}}, premiers ou composés, sont des [[Nombre brésilien|nombres brésiliens]]. En effet :<br>{{math|§=''M{{ind|n}}'' = (111...111){{ind|2}}}} avec {{var|n}} fois la présence du chiffre {{math|1}} dans l'écriture en base {{math|2}}.<br>Le nombre {{math|7}} est d'ailleurs le plus petit nombre brésilien.
* D'après le [[test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne]], pour un nombre premier {{var|p}} impair, {{var|M{{ind|p}}}} est premier si et seulement si {{var|M{{ind|p}}}} divise {{math|''S''{{ind|''p''–1}}}}, où {{math|§=''S''{{ind|1}} = 4}} et pour tout {{math|§=''n'' ≥ 1, ''S''{{ind|''n''+1}} = ''S{{ind|n}}''{{2}} – 2}}.
:
: Les six plus petits termes de cette suite de Lucas-Lehmer sont :<br>{{math|§=''S''{{ind|1}} = 4, ''S''{{ind|2}} = 4{{2}} – 2 = 14, ''S''{{ind|3}} = 14{{2}} – 2 = 194, ''S''{{ind|4}} = 194{{2}} – 2 = 37 634, ''S''{{ind|5}} = 37 634{{2}} − 2 = 1 416 317 954, ''S''{{ind|6}} = 1 416 317 954{{2}} – 2 = 2 005 956 546 822 746 114}} (voir la {{OEIS|id=A003010}}).
:
: ({{math|§=''M''{{ind|2}} = 3}} ne divise pas {{math|§=''S''{{ind|1}} = 4}} mais {{math|2}} est pair, et {{math|§=''M''{{ind|2}} = 3}} est bien premier.)<br>{{math|§=''M''{{ind|3}} = 7}} divise {{math|§=''S''{{ind|2}} = 14 = 2 × 7, ''M''{{ind|5}} = 31}} divise {{math|§=''S''{{ind|4}} = 37 634 = 2 × 31 × 607, ''M''{{ind|7}} = 127}} divise {{math|§=''S''{{ind|6}} = 2 005 956 546 822 746 114 = 2 × 127 × 7 897 466 719 774 591}}, et {{math|§=''M''{{ind|3}} = 7, ''M''{{ind|5}} = 31, ''M''{{ind|7}} = 127}} sont bien premiers.<br>{{math|§=''M''{{ind|4}} = 15 = 3 × 5}} ne divise pas {{math|§=''S''{{ind|3}} = 194 = 2 × 97, ''M''{{ind|6}} = 63 = 3{{2}} × 7}} ne divise pas {{math|§=''S''{{ind|5}} = 1 416 317 954 = 2 × 708 158 977}}, et {{math|''M''{{ind|4}}, ''M''{{ind|6}}}} sont bien composés<ref name=":1" />.
* Si {{var|a}} divise {{var|M{{ind|p}}}} avec {{var|p}} premier impair, alors :<center><math>a \equiv 1 \pmod{2p} \quad\text{et}\quad a \equiv \pm 1 \pmod8.</math></center>
* Un théorème d'Euler entraîne que pour {{var|q}} premier {{math|≥ 5}},<br>{{var|M{{ind|q}}}} est premier si et seulement s'il existe un unique couple {{math|(''x'', ''y'')}} d'entiers {{math|≥ 1}} tel que {{math|''M{{ind|q}}'' {{=}} (2''x''){{2}} + 3(3''y''){{2}}}}.
:
: Exemples :<br>Pour {{math|§=''M''{{ind|5}} = 31 : ''q'' = 5}} est premier {{math|§=≥ 5 ; (2 × 1){{2}} + 3 (3 × 1){{2}} = 31}} ; ni {{var|x}} ni {{var|y}} ne peut diminuer, donc ni {{var|y}} ni {{var|x}} ne peut augmenter ; donc il existe un unique couple {{math|(''x'', ''y'')}} d'entiers {{math|≥ 1}} tel que {{math|§=(2 ''x''){{2}} + 3 (3 ''y''){{2}} = 31}} (à savoir {{math|(1, 1)}}) ; et {{math|§=''M''{{ind|5}} = 31}} est bien premier.<br>Pour {{math|§=''M''{{ind|11}} = 2 047 : ''q'' = 11}} est premier {{math|≥ 5 ; 2 047}} est impair et {{math|(2 ''x''){{2}}}} est pair, donc {{var|y}} doit être impair ; {{math|§=2 047 − 3 (3 × 1){{2}} = 2 020 = 2{{2}} × 5 × 101, 2 047 − 3 (3 × 3){{2}} = 1 804 = 2{{2}} × 11 × 41, 2 047 − 3 (3 × 5){{2}} = 1 372 = 2{{2}} × 7{{3}}, 2 047 − 3 (3 × 7){{2}} = 724 = 2{{2}} × 181}} ne sont pas des carrés, et {{math|§=2 047 − 3 (3 × 9){{2}} = –140 < 0}} ; donc il n'existe aucun couple {{math|(''x'', ''y'')}} d'entiers {{math|≥ 1}} tel que {{math|§=(2 ''x''){{2}} + 3 (3 ''y''){{2}} = 2 047}} ; et {{math|§=''M''{{ind|11}} = 2 047 = 23 × 89}} n'est effectivement pas premier.
:
: (Bas Jansen<ref>{{en}} B. Jansen, ''[http://www.math.leidenuniv.nl/scripties/jansen.ps On Mersenne primes of the form x{{2}} + d·y{{2}}]'' (2002), thèse.</ref> a étudié {{math|''M{{ind|q}}'' {{=}} ''x''{{2}} + ''d·y''{{2}}}} pour {{var|d}} compris entre {{math|0}} et {{math|48}}.)
* Si {{math|''q'' ≡ 3 (mod 4)}} est premier, alors :<br>[[Nombre premier de Sophie Germain|{{math|2''q'' + 1}} est aussi premier]] si et seulement si {{math|2''q'' + 1}} divise {{var|M{{ind|q}}}}<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://primes.utm.edu/notes/proofs/MerDiv2.html|titre=Proof of a result of Euler and Lagrange on Mersenne Divisors|site=[[Prime Pages]]' list of proofs|auteur=Chris Caldwell}}.</ref>.
:
: Exemples :<br>{{math|§=7 = 3 + 1 × 4, 7}} est premier, {{math|§=2 × 7 + 1 = 15 = 3 × 5}} ne divise pas {{math|§=''M''{{ind|7}} = 127}}, et {{math|15}} n'est effectivement pas aussi premier.<br>{{math|§=11 = 3 + 2 × 4, 11}} est premier, {{math|§=2 × 11 + 1 = 23}} divise {{math|§=''M''{{ind|11}} = 2 047 = 23 × 89}}, et {{math|23}} est effectivement aussi premier.
* [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] a conjecturé (en [[1913]]) que l'équation {{math|§=''M{{ind|q}}'' = 6 + ''x''{{2}}}}, appelée [[équation de Ramanujan-Nagell]], n'a que cinq solutions : {{math|(''q'', ''x'') ∈ {(3, 1), (4, 3), (5, 5), (7, 11), (15, 181)}<nowiki />}} ; ce fut démontré par [[Trygve Nagell]] en [[1948]].
* La [[constante d'Erdős-Borwein]] <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n-1}</math>, définie comme la somme de la [[Série convergente|série]] des inverses des nombres de Mersenne (premiers ou non), est [[Nombre irrationnel|irrationnelle]]<ref>{{Article|lang=en|prénom=P.|nom=Erdős|titre=On arithmetical properties of Lambert series|revue=J. Indian Math. Soc.|vol=12|année=1948|p.=63–66|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1948-04.pdf}}.</ref>.

== Historique ==
=== Historique des outils théoriques ===
[[Marin Mersenne]], moine de l'[[ordre des Minimes]] au début du {{XVIIe siècle}}, est l'auteur de la proposition : si {{var|M{{ind|n}}}} est premier, alors {{var|n}} aussi ; {{Douteux|date=janvier 2014|il l'aurait par ailleurs démontrée<ref>Roger Beslan, Daniel Lignon, ''Les maths : cent théorèmes'', Le Polygraphe éditeur, 2008, 176 pages. Illustrations : Pascal Jousselin {{ISBN|978-2-909051-38-3}}.</ref>}}{{,}}<ref>Voir cependant {{Dickson1}}, [https://books.google.fr/books?hl=fr&id=FYWn8XWrAI0C&pg=PA12 vol. 1, {{p.|12}}, note 59].</ref>.

En [[1732]], [[Euler]] rappelle que la [[réciproque]] est fausse : {{var|M{{ind|p}}}} peut être composé alors que {{var|p}} est premier. Il donne le plus petit [[contre-exemple]] : 11 est premier mais {{math|§=''M''{{ind|11}} = 2 047 = 23 × 89}} ne l'est pas<ref name=E26>[http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E026.pdf E26], [http://eulerarchive.maa.org/pages/E026.html informations sur la publication].</ref>; il mentionne que c'est aussi le cas pour {{math|§=''p'' = 23, 83, 131, 179, 191}}, et {{math|239}}<ref name=E26/>.

En [[1878]], [[Édouard Lucas]] développe une méthode pour tester si un nombre de Mersenne {{var|M{{ind|p}}}} (avec {{var|p}} premier) est premier. Dans les [[années 1930]], [[Derrick Lehmer]] l'améliore. Le [[test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne]] est exceptionnellement simple comparativement à la taille des nombres considérés. Grâce à ce test très rapide, depuis longtemps les plus grands nombres premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne.

=== Historique des nombres de Mersenne premiers découverts ===
Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne sont connus dès l'Antiquité. Au {{s-|XII}}, [[Ibn Fallus]] donne une liste de nombres parfaits dans un commentaire de l'introduction à l'arithmétique de [[Nicomaque de Gérase|Nicomaque]]. On y trouve ceux correspondant aux cinquième, sixième, et septième nombres de Mersenne. Mais il ne fournit aucun calcul et sa liste comporte des erreurs, qui peuvent laisser penser qu'il s'est appuyé sur des hypothèses fausses ou insuffisantes, et n'a pas vérifié la primalité de ces nombres de Mersenne<ref>{{Article|prénom1=Roshdi|nom1=Rashed|titre=Ibn al-haytham et les nombres parfaits|périodique=Historia Mathematica|volume=16|numéro=4|date=1989-11|issn=0315-0860|doi=10.1016/0315-0860(89)90081-5|lire en ligne=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0315086089900815|pages=343–352}}, p. 349-350.</ref>. On trouve le cinquième ({{math|2{{13}} – 1}}) dans un manuscrit anonyme daté de [[1456]] ou [[1461]]. Les deux suivants ({{math|2{{17}} – 1}} et {{math|2{{19}} – 1}}) sont donnés par [[Pietro Cataldi]] en [[1588]]. Au début du {{s-|XVII}}, Marin Mersenne fournit une liste des nombres premiers « de Mersenne » jusqu’à l'exposant 257, qui se révélera fausse : elle inclut par erreur 67 et 257, et omet 61, 89, et 107<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Raymond Clare Archibald]]|titre=Mersenne's Numbers|revue=[[Scripta Mathematica]] |vol=3|année=1935|p.=112-119|url=https://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_008s.htm}}.</ref>.
{| class="wikitable collapsible collapsed floatright" style="text-align:center; font-size:small;"
|+ Table des prévisions de Mersenne sur {{var|M{{sub|p}}}} pour {{var|p}} premier {{math|≤ 263}}
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!colspan="9"|
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|colspan="9" style="text-align: center;"|P : {{var|M{{sub|p}}}} est premier<br />— : {{var|M{{sub|p}}}} n'est pas premier<br /><span style="background-color:#00FFFF">Cyan : Mersenne l'avait prévu</span><br /><span style="background-color:#FFC0CB">Rose : il avait prévu le contraire</span>
|-
! {{var|p}}
! 2 !! 3 !! 5 !! 7 !! 11 !! 13 !! 17 !! 19
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| {{var|M{{sub|p}}}}
| style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P
|-
! {{var|p}}
! 23 !! 29 !! 31 !! 37 !! 41 !! 43 !! 47 !! 53
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| {{var|M{{sub|p}}}}
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | —
|-
! {{var|p}}
! 59 !! 61 !! 67 !! 71 !! 73 !! 79 !! 83 !! 89
|-
| {{var|M{{sub|p}}}}
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#FFC0CB" | P || style="background-color:#FFC0CB" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#FFC0CB" | P
|-
! {{var|p}}
! 97 !! 101 !! 103 !! 107 !! 109 !! 113 !! 127 !! 131
|-
| {{var|M{{sub|p}}}}
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#FFC0CB" | P || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | —
|-
! {{var|p}}
! 137 !! 139 !! 149 !! 151 !! 157 !! 163 !! 167 !! 173
|-
| {{var|M{{sub|p}}}}
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | —
|-
! {{var|p}}
! 179 !! 181 !! 191 !! 193 !! 197 !! 199 !! 211 !! 223
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| {{var|M{{sub|p}}}}
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | —
|-
! {{var|p}}
! 227 !! 229 !! 233 !! 239 !! 241 !! 251 !! 257 !! 263
|-
| {{var|M{{sub|p}}}}
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#FFC0CB" | — || style="background-color:#00FFFF" | —
|}
En [[1772]], Euler vérifie que {{math|2{{31}} – 1}} est premier. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique), {{math|2{{exp|127}} – 1}}, est trouvé par Lucas en [[1876]] ; puis {{math|2{{exp|61}} – 1}} est démontré premier par [[Ivan Mikheïevitch Pervouchine|Ivan Pervouchine]] en [[1883]]. Encore deux autres sont trouvés au début du {{s-|XX}} par [[Ralph Ernest Powers]] en [[1911]] et en [[1914]].

La recherche des nombres premiers de Mersenne est révolutionnée par l'utilisation des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen a lieu à 22 heures le {{Date|30|janvier|1952}} par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (''Institute for Numerical Analysis'') du campus de l'[[université de Californie à Los Angeles]], sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par [[Raphael Robinson]].

C'est le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis {{math|38}} ans. Le suivant est découvert moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouve trois de plus dans les mois suivants.

En [[décembre 2018]], {{math|51}} nombres premiers de Mersenne sont connus, le plus grand étant {{var|M}}{{ind|{{formatnum:82589933}}}}, qui est aussi à la même date le plus grand nombre premier connu<ref name=plusgrand>{{Lien web|lang=en|url=https://www.mersenne.org/primes/press/M82589933.html|titre=GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2{{exp|{{formatnum:82589933}}}} – 1|date=21/12/2018|site=GIMPS}}.</ref>. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il est découvert par un [[calcul distribué]] sous l'égide du projet [[Great Internet Mersenne Prime Search|GIMPS]], <cite lang=en>Great Internet Mersenne Prime Search</cite> (qui signifie « grande recherche par [[Internet]] de nombres premiers de Mersenne »).

== Liste des nombres de Mersenne premiers connus ==
On ne sait pas si l'ensemble des nombres de Mersenne premiers est fini ou infini (mais [[Nouvelle conjecture de Mersenne|on conjecture]] qu’il est infini). En [[octobre 2024]], {{math|52}} nombres de Mersenne premiers étaient connus<ref name="Note"/> (suite {{OEIS2C|id=A000043}} pour {{var|p}}, et suite {{OEIS2C|id=A000668}} pour {{var|M{{ind|p}}}}).

Historiquement, ils ne furent pas toujours découverts par ordre croissant. Par exemple : en [[1983]] fut trouvé le {{30e}}, {{var|M}}{{ind|132 049}} ; en [[1988]] fut trouvé le {{29e}}, {{var|M}}{{ind|110 503}}.

{| class="wikitable centre alternance" style="text-align:center"
|+ Liste des nombres premiers de Mersenne connus<ref>{{Lien web|lang=en|site=GIMPS|url=http://mersenne.org/prime.htm|titre=List of Known Mersenne Prime Numbers}}.</ref>
|-
! scope="col" | Rang
! scope="col" | {{var|p}}
! scope="col" | {{var|M{{ind|p}}}}
! scope="col" | Écriture de {{var|M{{ind|p}}}}<br>en base dix
! scope="col" | Nombre<br>de chiffres<br>en base dix
! scope="col" | Date de découverte
! scope="col" | Découvreur(s)
|-
! scope="col" | 1
| 2 || {{var|M}}{{ind|2}} || [[3 (nombre)|3]] || 1 || rowspan=4 | [[Antiquité]]  ||  rowspan=4 | remarqué<br /> (en tant que nombre premier)<br /> par les [[Mathématiques de la Grèce antique|mathématiciens grecs]]
|-
! scope="col" | 2
| 3 || {{var|M}}{{ind|3}} || [[7 (nombre)|7]] || 1
|-
! scope="col" | 3
| 5 || {{var|M}}{{ind|5}} || [[31 (nombre)|31]] || 2
|-
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| 7 || {{var|M}}{{ind|7}} || [[127 (nombre)|127]] || 3
|-
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| 13 || {{var|M}}{{ind|13}} || [[8 191]] || 4 || {{XVe siècle}} || align="left" | manuscrit anonyme (1456 ou 1461)
|-
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| 17 || {{var|M}}{{ind|17}} || [[Nombres 100 000 à 999 999#Nombres dans l'intervalle (100 000 - 249 999) | {{formatnum:131071}}]] || 6 || 1588 || align="left" | [[Pietro Cataldi|Cataldi]]
|-
! scope="col" | 7
| 19 || {{var|M}}{{ind|19}} || [[524 287]] || 6 || 1588 || align="left" | Cataldi
|-
! scope="col" | 8
| 31 || {{var|M}}{{ind|31}} || [[2 147 483 647]] || 10 || 1750 || align="left" | [[Leonhard Euler|Euler]]
|-
! scope="col" | 9
| 61 || {{var|M}}{{ind|61}} || [[2 305 843 009 213 693 951]] || 19 || 1883 || align="left" | [[Ivan Mikheïevitch Pervouchine|Pervouchine]]
|-
! scope="col" | 10
| 89 || {{var|M}}{{ind|89}} || 618970019…449562111 || 27 || 1911 || align="left" | [[R. E. Powers|Powers]]
|-
! scope="col" | 11
| 107 || ''M''<sub>107</sub> || 162259276…010288127 || 33 || 1914 || align="left" | Powers<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://primes.utm.edu/notes/fauquem.html|titre=M{{ind|107}}: Fauquembergue or Powers?|site=Prime Pages|auteur=Chris Caldwell}}.</ref>
|-
! scope="col" | 12
| 127 || ''M''<sub>127</sub> || [[170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727|170141183…884105727]] || 39 || 1876 || align="left" | [[Édouard Lucas|Lucas]]
|-
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| 521 || ''M''<sub>521</sub> || 686479766…115057151  || 157 || 30 janvier 1952 || align="left" | [[Raphael Robinson|Robinson]] ([[Standards Western Automatic Computer|SWAC]])
|-
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| 607 || ''M''<sub>607</sub> || 531137992…031728127 || 183 || 30 janvier 1952 || align="left" | Robinson (SWAC)
|-
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| {{formatnum:1279}} || ''M''<sub>1279</sub> || 104079321…168729087 || 386 || 25 juin 1952 || align="left" | Robinson (SWAC)
|-
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| {{formatnum:2203}} || ''M''<sub>2203</sub> || 147597991…697771007 || 664 || 7 octobre 1952 || align="left" | Robinson (SWAC)
|-
! scope="col" | 17
| {{formatnum:2281}} || ''M''<sub>2281</sub> || 446087557…132836351 || 687 || 9 octobre 1952 || align="left" | Robinson (SWAC)
|-
! scope="col" | 18
| {{formatnum:3217}} || ''M''<sub>3217</sub> || 259117086…909315071 || 969 || 8 septembre 1957 || align="left" |[[Hans Riesel|Riesel]] ({{Lien|langue=en|trad=BESK|fr=BESK}})
|-
! scope="col" | 19
| {{formatnum:4253}} || ''M''<sub>4253</sub> || 190797007…350484991 || {{formatnum:1281}} || 3 novembre 1961 || align="left" | Hurwitz ([[International Business Machines Corporation|IBM]])
|-
! scope="col" | 20
| {{formatnum:4423}} || ''M''<sub>4423</sub> || 285542542…608580607 || {{formatnum:1332}} || 3 novembre 1961 || align="left" | Hurwitz (IBM)
|-
! scope="col" | 21
| {{formatnum:9689}} || ''M''<sub>9689</sub> || 478220278…225754111  || {{formatnum:2917}} || 11 mai 1963 || align="left" | {{Lien|langue=en|trad=Donald B. Gillies|fr=Donald B. Gillies|texte=Gillies}} ([[ILLIAC]] II)
|-
! scope="col" | 22
| {{formatnum:9941}} || ''M''<sub>9941</sub> || 346088282…789463551 || {{formatnum:2993}} || 16 mai 1963 || align="left" | Gillies (ILLIAC II)
|-
! scope="col" | 23
| {{formatnum:11213}} || ''M''<sub>11213</sub> || 281411201…696392191 || {{formatnum:3376}} || 2 juin 1963 || align="left" | Gillies (ILLIAC II)
|-
! scope="col" | 24
| {{formatnum:19937}} || ''M''<sub>19937</sub> || 431542479…968041471  || {{formatnum:6002}} || 4 mars 1971 || align="left" | [[Bryant Tuckerman|Tuckerman]] (IBM)
|-
! scope="col" | 25
| {{formatnum:21701}} || ''M''<sub>21701</sub> || 448679166…511882751 || {{formatnum:6533}} || 30 octobre 1978 || align="left" | {{Lien|langue=en|trad=Landon Curt Noll|fr=Landon Curt Noll|texte=Noll}} et Nickel ([[Control Data Corporation|CDC]])
|-
! scope="col" | 26
| {{formatnum:23209}} || ''M''<sub>23209</sub> || 402874115…779264511  || {{formatnum:6987}} || 9 février 1979 || align="left" | Noll (CDC)
|-
! scope="col" | 27
| {{formatnum:44497}} || ''M''<sub>44497</sub> || 854509824…011228671 || {{formatnum:13395}} || 8 avril 1979 || align="left" | {{Lien|langue=en|trad=Harry Nelson|fr=Harry Nelson|texte=Nelson}} et {{Lien|langue=en|trad=David Slowinski|fr=David Slowinski|texte=Slowinski}}<br /> ([[Cray Inc.|Cray Research]])
|-
! scope="col" | 28
| {{formatnum:86243}} || ''M''<sub>86243</sub> || 536927995…433438207  || {{formatnum:25962}} || 25 septembre 1982 || align="left" | Slowinski (Cray)
|-
! scope="col" | 29
| {{formatnum:110503}} || ''M''<sub>110503</sub> || 521928313…465515007 || {{formatnum:33265}} || 28 janvier 1988 || align="left" | Colquitt et Welsh ([[NEC]])
|-
! scope="col" | 30
| {{formatnum:132049}} || ''M''<sub>132049</sub> || 512740276…730061311 || {{formatnum:39751}}  || 19 septembre 1983 || align="left" | Slowinski (Cray)
|-
! scope="col" | 31
| {{formatnum:216091}} || ''M''<sub>216091</sub> || 746093103…815528447 || {{formatnum:65050}} || {{1er}} septembre 1985 || align="left" | Slowinski (Cray)
|-
! scope="col" | 32
| {{formatnum:756839}} || ''M''<sub>756839</sub> || 174135906…544677887 || {{formatnum:227832}} || 19 février 1992 || align="left" | Slowinski et [[Paul Gage|Gage]]
|-
! scope="col" | 33
| {{formatnum:859433}} || ''M''<sub>859433</sub> || 129498125…500142591 || {{formatnum:258716}} || 10 janvier 1994 || align="left" | Slowinski et Gage
|-
! scope="col" | 34
| {{formatnum:1257787}} || ''M''<sub>1257787</sub> || 412245773…089366527 || {{formatnum:378632}} || 3 septembre 1996 || align="left" | Slowinski et Gage
|-
! scope="col" | 35
| {{formatnum:1398269}} || ''M''<sub>1398269</sub> || 814717564…451315711 || {{formatnum:420921}} || 13 novembre 1996 || align="left" | [[GIMPS]] / Joel Armengaud
|-
! scope="col" | 36
| {{formatnum:2976221}} || ''M''<sub>2976221</sub> || 623340076…729201151 || {{formatnum:895932}} || 24 août 1997 || align="left" | GIMPS / Gordon Spence
|-
! scope="col" | 37
| {{formatnum:3021377}} || ''M''<sub>3021377</sub> || 127411683…024694271  || {{formatnum:909526}} || 27 janvier 1998 || align="left" | GIMPS / Roland Clarkson
|-
! scope="col" | 38
| {{formatnum:6972593}} || ''M''<sub>6972593</sub> || 437075744…924193791 || {{formatnum:2098960}} || {{1er}} juin 1999 || align="left" | GIMPS / Nayan Hajratwala
|-
! scope="col" | 39
| {{formatnum:13466917}} || ''M''<sub>13466917</sub> || 924947738…256259071 || {{formatnum:4053946}} || 14 novembre 2001 || align="left" | GIMPS / Michael Cameron
|-
! scope="col" | 40<ref>Prouvé le 11 juillet 2010 comme étant bien le {{40e}}, c'est-à-dire qu'il n'y pas d'autre nombre de Mersenne entre le {{39e}} et celui-ci — voir {{Lien web|lang=en|url=http://mersenne.org/report_milestones/|titre=Older and lower profile GIMPS Milestones|id=GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:20996011}} || ''M''<sub>20996011</sub> || 125976895…855682047 || {{formatnum:6320430}} || 17 novembre 2003 || align="left" | GIMPS / Michael Shafer
|-
! scope="col" | 41<ref>Prouvé le premier décembre 2011 comme étant bien le {{41e}}. Voir {{Harvsp|GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:24036583}} || ''M''<sub>24036583</sub> || 299410429…733969407 || {{formatnum:7235733}} || 15 mai 2004 || align="left" | GIMPS / Josh Findley
|-
! scope="col" | 42<ref>Prouvé le 20 décembre 2012 comme étant bien le {{42e}}. Voir {{Harvsp|GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:25964951}} || ''M''<sub>25964951</sub> || 122164630…577077247 || {{formatnum:7816230}} || 18 février 2005<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Eric W. Weisstein|url=http://mathworld.wolfram.com/news/2005-02-26/mersenne/|titre=42nd Mersenne Prime Found|site=MathWorld Headline News|jour=26|mois=2|année=2005}}.</ref> || align="left" | GIMPS / Martin Nowak
|-
! scope="col" | 43<ref>Prouvé le 23 février 2014 comme étant bien le {{43e}}. Voir {{Harvsp|GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:30402457}} || ''M''<sub>30402457</sub> || 315416475…652943871 || {{formatnum:9152052}} || 15 décembre 2005 || align="left" | GIMPS / [[Curtis Cooper|Cooper]] et Boone
|-
! scope="col" | 44<ref>Prouvé le 8 novembre 2014 comme étant bien le {{44e}}. Voir {{Harvsp|GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:32582657}} || ''M''<sub>32582657</sub> || 124575026…053967871|| {{formatnum:9808358}} || 4 septembre 2006 || align="left" | GIMPS / Cooper et Boone
|-
! scope="col" | 45<ref>Prouvé le 2 septembre 2016 comme étant bien le {{45e}}. Voir {{Harvsp|GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:37156667}} || ''M''<sub>37156667</sub> || 202254405…308220927 || {{formatnum:11185272}} || 6 septembre 2008 || align="left" | GIMPS / Elvenich
|-
! scope="col" | 46<ref>Prouvé le 22 février 2018 comme étant bien le {{46e}}. Voir {{Harvsp|GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:42643801}} || ''M''<sub>42643801</sub> || 169873516…562314751 || {{formatnum:12837064}} || 12 avril 2009 || align="left" | GIMPS / Odd Magnar Strindmo
|-
! scope="col" | 47<ref>Prouvé le 8 avril 2018 comme étant bien le {{47e}}. Voir {{Harvsp|GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:43112609}} || ''M''<sub>43112609</sub> || 316470269…697152511 || {{formatnum:12978189}} || 23 août 2008 || align="left" | GIMPS / Smith
|-
! scope="col" | 48<ref>Prouvé le 6 octobre 2021 comme étant bien le {{48e}}. Voir {{Harvsp|GIMPS Milestones}}.</ref>
| {{formatnum:57885161}} || ''M''<sub>57885161</sub> || 581887266…724285951 || {{formatnum:17425170}} || 25 janvier 2013 || align="left" | GIMPS / Cooper
|-
! scope="col" | 49 ?<ref name="Note">On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres de Mersenne premiers, entre le {{48e}} (''M''<sub>{{formatnum:57885161}}</sub>) et le {{49e}} (''M''<sub>{{formatnum:74207281}}</sub>). Dans cet intervalle, le classement est donc provisoire. Néanmoins, tous les exposants inférieurs au {{50e}} ont été testés au moins une fois ; il est donc probable que le classement est exact. Notons que le {{29e}} nombre premier de Mersenne fut découvert après le {{30e}} et le {{31e}}, de même que ''M''<sub>{{formatnum:43112609}}</sub> fut découvert quinze jours avant ''M''<sub>{{formatnum:37156667}}</sub>, plus petit. De même, le {{46e}} (''M''<sub>{{formatnum:42643801}}</sub>) a été découvert neuf mois après le {{47e}} (''M''<sub>{{formatnum:43112609}}</sub>).</ref>
| {{formatnum:74207281}} || ''M''<sub>74207281</sub> || 300376418…086436351 || {{formatnum:22338618}} || 7 janvier 2016 || align="left" | GIMPS / Cooper
|-
! scope="col" | 50 ?<ref name=plusgrand/>
| {{formatnum:77232917}} || ''M''<sub>77232917</sub> ||  467333183...762179071 || {{formatnum:23249425}} || 3 janvier 2018 || align="left" | GIMPS / Jonathan Pace
|-
! scope="col" | 51 ?<ref>{{lien web |langue=en |titre=Invalid entry |url=https://www.mersenne.org/primes/?press=''M''82589933 |site=mersenne.org |consulté le=14-11-2023}}.</ref>
| {{formatnum:82589933}} || ''M''<sub>82589933</sub> ||  148894445...217902591 || {{formatnum:24862048}} || 7 décembre 2018 || align="left" | GIMPS / Patrick Laroche
|-
! scope="col" | 52 ? <ref>{{lien web |langue=en |titre=Invalid entry |url=https://www.mersenne.org/primes/?press=''M''136279841 |site=mersenne.org |consulté le=14-11-2023}}.</ref>
| {{formatnum:136279841}} || ''M''<sub>136279841</sub> ||  881694327...486871551 || {{formatnum:41024320}} || 12 octobre 2024 || align="left" | GIMPS / Luke Durant
|}

== Liste de nombres de Mersenne non premiers mais d'indices premiers ==
Les neuf plus petits nombres de Mersenne non premiers mais d'indices premiers (venant s'intercaler entre les {{1er}} et {{9e}} nombres de Mersenne premiers, connus à la fin du {{XIXe siècle}}) sont :

{| class="wikitable centre alternance" style="text-align:center"
|-
! scope="col" | {{numéro avec majuscule}}
! scope="col" | {{var|p}}<br>({{OEIS|id=A054723}})
! scope="col" | {{var|M{{ind|p}}}}
! scope="col" | Écriture de {{var|M{{ind|p}}}}<br>en base dix<br>({{OEIS|id=A065341}})
! scope="col" | Nombre<br>de chiffres<br>en base dix
! scope="col" | Décomposition<ref name=":1" />
<!--
! scope="col" | Date de découverte
! scope="col" | Découvreur
-->
|-
! scope="col" | 1
| 11 || {{var|M}}{{ind|11}} || {{formatnum:2047}} || 4 || 23 × 89<!--|| Antiquité ? || align="left" | ''Inconnu·e''-->
|-
! scope="col" | 2
| 23 || {{var|M}}{{ind|23}} || {{formatnum:8388607}} || 7 || 47 × 178 481<!--|| &nbsp; || align="left" | &nbsp;-->
|-
! scope="col" | 3
| 29 || {{var|M}}{{ind|29}} || {{formatnum:536870911}} || 9 || 233 ×  1 103 × 2 089<!--|| &nbsp; || align="left" | &nbsp;-->
|-
! scope="col" | 4
| 37 || {{var|M}}{{ind|37}} || {{formatnum:137438953471}} || 12 || 223 × 616 318 177<!--|| &nbsp; || align="left" | &nbsp;-->
|-
! scope="col" | 5
| 41 || {{var|M}}{{ind|41}} || {{formatnum:2199023255551}} || 13 || 13 367 × 164 511 353<!--|| &nbsp; || align="left" | &nbsp;-->
|-
! scope="col" | 6
| 43 || {{var|M}}{{ind|43}} || {{formatnum:8796093022207}} || 13 || 431 × 9 719 × 2 099 863<!--|| &nbsp; || align="left" | &nbsp;-->
|-
! scope="col" | 7
| 47 || {{var|M}}{{ind|47}} || {{formatnum:140737488355327}} || 15 || 2 351 × 4 513 × 13 264 529<!--|| &nbsp; || align="left" | &nbsp;-->
|-
! scope="col" | 8
| 53 || {{var|M}}{{ind|53}} || {{formatnum:9007199254740991}} || 16 || 6 361 × 69 431 × 20 394 401<!--|| &nbsp; || align="left" | &nbsp;-->
|-
! scope="col" | 9
| 59 || {{var|M}}{{ind|59}} || 576 460 752 303 423 487 <!--trop grand pour formatnum-->|| 18 || 179 951 × 3 203 431 780 337 <!--|| &nbsp; || align="left" | &nbsp;-->
|}

Le {{10e}} nombre de Mersenne non premier mais d'indice premier, {{math|§=''M''{{ind|67}} = [[147 573 952 589 676 412 927]]}}<!--trop grand pour formatnum-->, figurait dans la liste originelle de Mersenne ; mais Lucas montra en [[1876]] que ce nombre n'est pas premier, sans toutefois pouvoir exhiber ses facteurs. La factorisation {{math|§=''M''{{ind|67}} = {{formatnum:193707721}} × {{formatnum:761838257287}}}} fut déterminée par [[Frank Nelson Cole]] en [[1903]]<ref>{{article|prénom=N|nom=Gridgeman|titre=The search for perfect numbers|journal=New Scientist|année=1963|numéro=334|pages=86–88|url=https://books.google.com/books?id=0Dta7OkNhyoC&lpg=PA87 }}</ref>.

== Généralisations ==
=== [[Suite de Lucas]] ===
Les nombres de Mersenne (premiers ou non) sont les [[répunit]]s en base 2. La suite <math>\left(\frac{b^n-1}{b-1}\right)_{n\in\N^*}</math> des répunits en base ''b'' est la [[suite de Lucas]] ''U''(''b'' + 1, ''b''). Or toute suite de Lucas ''U''(''P'', ''Q'') avec ''P'' et ''Q'' premiers entre eux est [[Suite de Lucas#Divisibilité|à divisibilité forte]]. Par le même raisonnement que pour la suite des nombres de Mersenne {{supra|Propriétés des nombres de Mersenne}}, une condition nécessaire (mais non suffisante) pour que le ''n''-ième terme d'une telle suite soit premier est donc que ''n'' le soit également.

=== Nombres premiers de Solinas ===
Les nombres premiers de Solinas<ref name=Solinas>{{Lien web|lang=en|auteur=Jerome A. Solinas|titre=Generalized Mersenne numbers — Technical Report CORR 99-39|éditeur=Center
for Applied Cryptographic Research, [[University of Waterloo]]|année=1999|url=http://cacr.uwaterloo.ca/techreports/1999/corr99-39.pdf}}.</ref> sont les nombres premiers de la forme ''p = f''(2{{exp|''k''}}) où ''f'' est un [[polynôme unitaire]] à coefficients [[Entier relatif|entiers]]<ref>La suite {{OEIS2C|id=A165255}} de l'[[OEIS]], créée en septembre 2009 à la suite d'[[:en:Special:Diff/312406107|une interprétation hâtive]] (sur [[Wikipédia en anglais]]) de l'article de Solinas, donne, sous le nom de {{Citation étrangère|lang=en|Solinas primes}}, une liste de nombres premiers de la forme 2{{exp|''a''}} ± 2{{exp|''b''}} ± 1, où 0 < ''b'' < ''a''. Cette définition est reprise dans des publications ultérieures.</ref> de faible « poids de réduction modulaire » (une condition technique destinée à ce que les calculs de réduction modulo ''p'' soient rapides et qui, pour simplifier, est parfois remplacée par : les coefficients non nuls de ''f'' sont peu nombreux et valent ±1<ref>{{Chapitre|lang=en|auteur=[[Neal Koblitz|N. Koblitz]]|auteur2=[[Alfred Menezes|A. Menezes]]|titre=Cryptography at high security levels|page=13-36|titre ouvrage=Cryptography and Coding: 10th IMA International Conference Proceedings|auteurs ouvrage=Nigel Paul Smart|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2005|url={{Google Livres|D2WNVKJ-Bi4C|page=24}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en|url=https://eprint.iacr.org/2006/121.pdf|auteur=José de Jesús Angel Angel|auteur2=Guillermo Morales-Luna|site=[[IACR]] Cryptology ePrint Archive|année=2006|titre=Counting Prime Numbers with Short Binary
Signed Representation}}.</ref>{{,}}<ref>Ou encore : {{Citation étrangère|lang=en|1={{math|f(t)}} is a low-degree polynomial with small integer coefficients}}, {{Chapitre|lang=en|auteur=J. A. Solinas|titre=Generalized Mersenne Prime|titre ouvrage=Encyclopedia of Cryptography and Security|numéro d'édition=2|année=2011|année première édition=2005|page=509-510}}.</ref>). Solinas<ref name=Solinas/> donne une série d'exemples, dont le premier est ''f''(''t'') = ''t'' – 1, de « poids » 1 (qui correspond aux nombres de Mersenne) et le dernier est ''f''(''t'') = ''t''{{4}} – ''t''{{3}} + ''t''{{2}} + 1, de « poids » 4, mais qui inclut aussi ''f''(''t'') = ''t{{exp|d}}'' – ''t''{{exp|''d''–1}} + ''t''{{exp|''d''–2}} – … + (–1){{exp|''d''}}, de « poids » 3.

=== Nombres premiers dont l'écriture n'utilise pas un chiffre donné ===
{{Pertinence section|date=juin 2021}}
Puisque les nombres de Mersenne sont les répunits en base 2, leur écriture binaire ne comporte aucun 0. De manière analogue, on peut étudier dans les [[Base (arithmétique)|bases]] supérieures les nombres premiers dont l'écriture est dépourvue d'un certain chiffre<ref>{{YouTube|langue = en|chaîne = [[Numberphile]]|id = eeoBCS7IEqs|titre = Primes without a 7}}.</ref>. Il a été prouvé en 2019 qu'il existe une infinité de nombres premiers dont le développement en [[Système décimal|base dix]] ne comporte pas l'un quelconque des chiffres de 0 à 9<ref>{{Article|langue = anglais|auteur1 = [[James Maynard]]|titre = Primes with restricted digits|date =2019|périodique = [[Inventiones mathematicae]]|vol=217|numéro=1|page=127-218|doi = 10.1007/s00222-019-00865-6|arxiv =1604.01041|lire en ligne=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00222-019-00865-6.pdf}}.</ref>.

== Répartition des nombres de Mersenne premiers ==
Les nombres de Mersenne premiers sont rares. On ne sait pas s'il en existe une infinité. Une conjecture est que le nombre de ceux qui sont inférieurs à un réel {{var|x}} donné est [[Équivalent|asymptotiquement]] proportionnel à {{math|[[Logarithme népérien|ln]] (ln ''x'')}}, soit une croissance très lente et de plus en plus lente<ref name="PrimePages">{{lien web|auteur=Chris K. Caldwell |titre=Heuristics Model for the Distribution of Mersennes |url=https://primes.utm.edu/mersenne/heuristic.html |éditeur=University Tennessee at Martin |site=The PrimePages: prime number research & records |lang=en}}</ref>. Plus précisément, selon une conjecture due à [[Hendrik Lenstra|Lenstra]] et [[Carl Pomerance|Pomerance]], puis reformulée et complétée par [[Samuel Wagstaff|Wagstaff]], il y aurait asymptotiquement {{math|{{sfrac|e{{exp|[[Constante d'Euler-Mascheroni|γ]]}}|ln 2}} ln (ln ''x'')}} nombres de Mersenne premiers inférieurs à {{var|x}}<ref name="PrimePages" />.

Si la conjecture était réalisée, le nombre {{math|''c''(''t'')}} d'exposants {{var|p}} inférieurs à {{var|t}} tels que {{math|2{{exp|''p''}} – 1}} est premier serait asymptotiquement proportionnel à {{math|ln ''t''}}. Une estimation fondée sur les {{math|51}} nombres premiers connus en mars 2022 donne {{math|§=''c''(''t'') = 2,50508 [[Logarithme népérien|ln]] ''t''}}<ref name=":0" />.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Liste de grands nombres]]
* [[Nombre de Fermat]]
* [[Nombre double de Mersenne]]
* [[Nouvelle conjecture de Mersenne]]
* [[Plus grand nombre premier connu]]
* [[Great Internet Mersenne Prime Search]]

=== Liens externes ===
*{{Lien web|lang=en|url=https://primes.utm.edu/mersenne/|titre=Mersenne Primes: History, Theorems and Lists|site=[[Prime Pages]]|auteur=Chris Caldwell}}
*{{Lien web|lang=en|auteur=Bas Jansen|url=http://www.math.leidenuniv.nl/scripties/PhDJansen.pdf|titre=Mersenne primes and class field theory|site=[[Université de Leyde]]}} (thèse, 2012, dir. [[Hendrik Lenstra]])
*{{en}} Suite {{OEIS2C|id=A001348}} de l'[[OEIS]]

{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{Portail|Arithmétique}}

[[Catégorie:Arithmétique modulaire]]
[[Catégorie:Nombre premier de Mersenne|*]]