Voir la source de Nombre et supernombre de Poulet

{{Redirect|Supernombre de Poulet|homonymie=Nombre de Grassmann|autres=les supernombres en [[théorie des anneaux]] et [[physique mathématique]]}}
En [[arithmétique]], un [[test de primalité]] courant pour un nombre impair <math>n</math> consiste à tester si <math>n</math> divise 2{{exp|''n''}} – 2 : dans le cas contraire, en vertu de la [[Proposition contraposée|contraposée]] du [[petit théorème de Fermat]], on conclut que <math>n</math> n'est pas premier. Cependant il existe des [[nombre composé|nombres composés]] qui passent ce test avec succès : on les appelle '''nombres de Poulet''', en l'honneur de [[Paul Poulet]] qui en a listé en 1926, {{refnec|date=janvier 2016|ou nombres de [[Pierre-Frédéric Sarrus|Sarrus]]}}, car F. Sarrus découvrit certains de ces nombres (comme 341) en 1819<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Jean-Paul Delahaye]]|titre=Merveilleux nombres premiers|éditeur=|année=2012|numéro d'édition=2|passage=213|isbn=978-2-84245-117-2}}.</ref>.

* Un nombre composé ''n'' est donc un nombre de Poulet si ''n'' divise 2{{exp|''n''}} – 2, autrement dit si c'est un [[nombre pseudo-premier|nombre faiblement pseudo-premier]] en base 2.
* Un '''supernombre de Poulet''' est un nombre composé dont tous les diviseurs composés sont des nombres de Poulet (ces diviseurs sont alors aussi des supernombres de Poulet), ou encore : un nombre composé dont chaque diviseur ''d'' divise 2{{exp|''d''}} – 2.

== Exemples ==
L'entier 341 est un supernombre de Poulet car 2{{10}} – 1 divisible par 341 = 11 × 31 [[Série géométrique#Terme général|donc 2{{exp|10''k''}} – 1 l'est aussi]] (pour tout entier positif ''k'') et 2{{exp|10''k''+1}} – 2 = 2 × (2{{exp|10''k''}} – 1) l'est également, en particulier :
*2{{11}} – 2 est divisible par 11 ;
*2{{31}} – 2 est divisible par 31 ;
*2{{exp|341}} – 2 est divisible par 341.
Les [[#Nombres de Poulet semi-premiers|nombres de Poulet semi-premiers]] étant des supernombres de Poulet, il suffisait en fait de vérifier le troisième point.

=== Premiers nombres et supernombres de Poulet ===
Les premiers nombres et supernombres de Poulet et leur décomposition sont présentés dans les tables qui suivent :

<center>
{| cellpadding="20%" 
|
{| class="wikitable"
|+ Nombres de Poulet
! Nombre !! Décomposition
|-
| 341 || 11 × 31  
|-----
| 561 || 3 × 11 × 17
|-----
| 645 || 3 × 5 × 43 
|-----
| 1105 || 5 × 13 × 17 
|-----
| 1387 || 19 × 73 
|-----
| 1729 || 7 × 13 × 19
|-----
| 1905 || 3 × 5 × 127
|-----
| 2047 || 23 × 89
|-----
| 2465 || 5 × 17 × 29
|-----
| 2701 || 37 × 73
|-----
| 2821 || 7 × 13 × 31
|}
||
{| class="wikitable"
|+ Supernombres de Poulet
! Nombre !! Décomposition
|-
| 341 || 11 × 31  
|-----
| 1387 || 19 × 73  
|-----
| 2047 || 23 × 89  
|-----
| 2701 || 37 × 73  
|-----
| 3277 || 29 × 113 
|-----
| 4033 || 37 × 109 
|-----
| 4369 || 17 × 257 
|-----
| 4681 || 31 × 151 
|-----
| 5461 || 43 × 127 
|-----
| 7957 || 73 × 109 
|-----
| 8321 || 53 × 157 
|}
||
{| class="wikitable"
|+ Nombres de Poulet pairs
! Nombre !! Décomposition
|-
| 161038 || 2 × 73 × 1103
|-----
| 215326 || 2 × 23 × 31 × 151
|-----
| 2568226 || 2 × 23 × 31 × 1801
|-----
| 3020626 || 2 × 7 × 359 × 601 
|-----
| 7866046 || 2 × 23 × 271 × 631
|-----
| 9115426 || 2 × 31 × 233 × 631
|-----
| 49699666 || 2 × 311 × 79903
|-----
| 143742226 || 2 × 23 × 31 × 100801
|-----
| 161292286 || 2 × 127 × 199 × 3191
|-----
| 196116194 || 2 × 127 × 599 × 1289&nbsp;
|-----
| 209665666&nbsp; || 2 × 7 × 89 × 197 × 881&nbsp;
|}
|}
</center>
On peut remarquer que les supernombres de Poulet présentés ici sont tous semi-premiers.

== Nombres de Poulet [[Nombre semi-premier|semi-premiers]] ==
Tout nombre de Poulet semi-premier ''pq'' (où ''p'' et ''q'' sont deux nombres premiers, non nécessairement distincts) est  un supernombre de Poulet.
{{Retrait|En effet, d'après le [[petit théorème de Fermat]], les conditions supplémentaires 2{{exp|''p''}} [[Congruence sur les entiers|≡ 2 mod ''p'']] et 2{{exp|''q''}} ≡ 2 mod ''q'' sont automatiquement satisfaites.}}

Par ailleurs, si ''p'' et ''q'' sont deux nombres premiers distincts, ''pq'' est un (super)nombre de Poulet si et seulement si ''p'' divise 2{{exp|''q''}} – 2 et ''q'' divise 2{{exp|''p''}} – 2.

{{Démonstration|D'après le petit théorème de Fermat, 2{{exp|''pq''}} {{=}} (2{{exp|''q''}}){{exp|''p''}} ≡ 2{{exp|''q''}} mod ''p'' et de même, 2{{exp|''pq''}} ≡ 2{{exp|''p''}} mod ''q''. La condition « 2{{exp|''q''}} ≡ 2 mod ''p'' et 2{{exp|''p''}} ≡ 2 mod ''q'' » est donc équivalente à « 2{{exp|''pq''}} ≡ 2 mod ''p'' et 2{{exp|''pq''}} ≡ 2 mod ''q'' ». Par conséquent, elle est impliquée par la condition « 2{{exp|''pq''}} ≡ 2 mod ''pq'' », et elle lui est même équivalente si ''p'' et ''q'' sont distincts, d'après le [[théorème des restes chinois]].}}

Un nombre semi-premier de la forme ''p''{{2}} est un (super)nombre de Poulet si et seulement si ''p'' est un [[nombre premier de Wieferich]] (on n'en connaît que deux : {{nobr|1=''p'' = 1 093}} et {{nobr|1=''p'' = 3 511}}).

{{Démonstration|
Si 2{{exp|''p''{{2}}}} ≡ 2 mod ''p''{{2}} alors ''p'' ≠ 2 donc (mod ''p''{{2}}) 2 est inversible et son [[ordre multiplicatif]] est un diviseur de ''p''{{2}} – 1. Or ([[Théorème d'Euler (arithmétique)|théorème d'Euler]]) c'est aussi un diviseur de ''p''{{2}} – ''p''. C'est donc un diviseur de ''p'' – 1.

Réciproquement, si 2{{exp|''p''–1}} ≡ 1 mod ''p''{{2}} alors (mod ''p''{{2}}) 2{{exp|''p''{{2}}}} {{=}} 2{{exp|1+(''p''–1)(''p''+1)}} ≡ 2 × 1{{exp|''p''+1}} {{=}} 2.
}}

== (Super)nombres de Poulet à plus de deux facteurs premiers ==

On peut construire des nombres et des supernombres de Poulet à plus de deux facteurs premiers de la façon suivante : 

{{énoncé|Soient ''n''{{ind|1}}, ''n''{{ind|2}}, … , ''n{{ind|k}}'' premiers entre eux, avec ''k'' ≥ 3. Si tous les ''n{{ind|i}}'' et tous les ''n{{ind|i}}n{{ind|j}}'' pour ''i'' ≠ ''j'' sont des nombres de Poulet ou premiers, alors ''n''{{ind|1}}''n''{{ind|2}}…''n{{ind|k}}'' est un nombre de Poulet (donc de même en remplaçant « nombre(s) de Poulet » par « supernombre(s) de Poulet »).
}}

{{Démonstration|Par récurrence, ils suffit de considérer le cas {{math|1=''k'' = 3}}. Soient donc {{math|''a''}}, {{math|''b''}} et {{math|''c''}} trois nombres vérifiant ces conditions. Par hypothèse,

<math>2\equiv2^a\mod a\quad{\rm et}\quad2^{ab}\equiv2\mod{ab}.</math>

Modulo {{math|''a''}},on a donc :

<math>2^b\equiv(2^a)^b=2^{ab}\equiv2</math>

et de même, {{math|2{{exp|''c''}} ≡ 2}}, donc

<math>2^{abc}=(2^b)^{ca}\equiv2^{ca}=(2^c)^a\equiv2^a\equiv2.</math>

De même, {{math|2{{exp|''abc''}} ≡ 2}} modulo {{math|''b''}} et {{math|''c''}}, donc modulo {{math|''abc''}} puisque {{math|''a''}}, {{math|''b''}} et {{math|''c''}} sont premiers entre eux.
}}

Par exemple, il est facile de lire dans le tableau ci-dessus que les nombres premiers 37, 73 et 109 conviennent. Leur produit : 294409 = 37×73×109 est un supernombre de Poulet.

=== Sept, huit facteurs premiers, et plus encore ===

Les familles de nombres premiers qui suivent permettent d'obtenir des nombres de Poulet avec jusqu'à sept facteurs premiers distincts :

* 103, 307, 2143, 2857, 6529, 11119, 131071
* 709, 2833, 3541, 12037, 31153, 174877, 184081 
* 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301   (*)
* 6421, 12841, 51361, 57781, 115561, 192601, 205441

Ces familles ci permettent d'aller jusqu'à huit facteurs premiers distincts :

* 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201   (*)
* 2383, 6353, 13499, 50023, 53993, 202471, 321571, 476401 
* 2053, 8209, 16417, 57457, 246241, 262657, 279073, 525313 
* 1801, 8101, 54001, 63901, 100801, 115201, 617401, 695701 

Notez la parenté entre les deux lignes marquées (*) ci-dessus ! Cette liste de nombres premiers peut en fait être poursuivie jusqu'à vingt-deux nombres premiers distincts :

* 1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201, 4242661, 52597081, 364831561, 2903110321, 8973817381, 11292210661, 76712902561, 103410510721501, 29126056043168521, 3843336736934094661, 24865899693834809641, 57805828745692758010628581, 9767813704995838737083111101, 934679543354395459765322784642019625339542212601

=== Facteurs carrés ===

Il existe aussi des supernombres de Poulet qui ont des facteurs carrés, comme {{nobr|1 093{{2}} × 4 733}}.

== Nombres de Poulet pairs ==

On connaît des nombres de Poulet pairs ; le plus petit d'entre eux, 161038 = 2 × 73 × 1103, a été découvert par [[Derrick Lehmer]] en 1950.

Il est par ailleurs assez facile de démontrer qu'il n'y a pas de supernombres de Poulet pairs. En effet, un tel nombre admettrait un diviseur composé de la forme <math>2p</math> avec <math>p</math> premier, qui serait un nombre de Poulet. Or
<center><math>
2^{2p}-2 = (2^p-2)(2^p+2) + 2.
</math></center>

Si c'est un nombre de Poulet, il est divisible par <math>2p</math> : on en déduit que 
<center>
<math>p</math> divise <math>(2^p-2)(2^{p-1}+1) + 1.</math>
</center>

Or, d'après le [[petit théorème de Fermat]], <math>p</math> divise <math>(2^p-2)</math>. On a alors <math>p</math> divise <math>1</math>, ce qui est absurde. Il n'existe donc pas de nombre de Poulet de la forme <math>2p</math> avec <math>p</math> premier, et a fortiori pas de supernombre de Poulet pair.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Petit théorème de Fermat]]
* [[Hypothèse chinoise (mathématiques)|Hypothèse chinoise]] (consistant à croire que la conjecture " <math>n</math> premier ssi <math>n</math> divise 2{{exp|''n''}} – 2" est d'origine chinoise ancienne)

=== Liens externes ===
Sur l'[[encyclopédie électronique des suites entières]] de Sloane on trouve :

* [[OEIS:A001567|La suite A001567 des nombres de Poulet]]
* [[OEIS:A050217|La suite A050217 des supernombres de Poulet]]
* [[OEIS:A006935|La suite A006935 des nombres de Poulet pairs]]

Cette page (en anglais) donne beaucoup d'informations sur les nombres et supernombres de Poulet :
* [http://www.numericana.com/answer/pseudo.htm Pseudoprimes (Gérard Michon)]

{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Test de primalité]]
[[Catégorie:Propriété arithmétique|Poulet]]