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En [[mathématiques]], un [[entier naturel]] non nul est un '''nombre heureux''' si, lorsqu'on calcule la somme des carrés de ses [[chiffre]]s dans son écriture en [[base dix]] puis la somme des carrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre [[1 (nombre)|1]]. Un '''nombre''' est '''malheureux''' lorsque ce n'est pas le cas.

[[Fichier:DessinArbreHeureux01.png|vignette|300x300px|Nombres heureux de 1 à 100 représentés sur un arbre]]

== Définition et propriétés ==
Considérons un entier strictement positif <math>a</math> et la [[suite récurrente]] <math>(u_n)</math> obtenue en posant <math>u_0=a, u_n=f(u_{n-1})</math> où <math>f</math> est l'application qui à un entier naturel fait correspondre la somme des carrés de ses chiffres en base 10. Cette suite est dénommée '''suite de Porges''' du nom de [[Arthur Porges]] qui l'a considérée en 1945<ref name=":0">{{Article|langue=en|auteur1=Arthur Porges|titre=A set of eight numbers|périodique=The American Mathematical Monthly|volume=52|numéro=7|date=Aug. - Sep., 1945|lire en ligne=https://fermatslibrary.com/s/a-set-of-eight-numbers|pages=379-382}}</ref>.

Contrairement à la [[suite de Syracuse]] dont le destin est inconnu (en 2023), on peut démontrer que la suite <math>(u_n)</math> finit par boucler sur un des cycles suivants : (1), (cas où <math>a</math> est heureux)  ou (4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20) (cas où <math>a</math> est malheureux)<ref name=":0" />{{,}}<ref>{{Lien web |titre=Olympiades nationales de mathématiques 2017, exercice 1, sommes de carrés en abyme |url=https://www.freemaths.fr/annales-olympiades-mathematiques-premieres-scientifiques-s/mathematiques-olympiades-s-epreuve-nationale-sujet-corrige-2017.pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|auteur1=Karim Zayana, Régis Quéruel, Pierre Michalak|titre=Infomathic, II suite de Porges|périodique=Quadrature|numéro=129|date=2023|lire en ligne=https://www.quadrature-mag.fr/|accès url=payant|pages=25, 26}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |titre=Nombres heureux, démonstration |url=https://blogdemaths.files.wordpress.com/2019/01/Nombres_heureux_demonstration.pdf}}</ref>. Le principe de la démonstration consiste à prouver informatiquement le résultat pour les nombres à 1 ou 2 chiffres, à montrer que si <math>a</math> est à 3 chiffres, <math>f(a)\leqslant a-1</math> et que si le nombre de chiffres de <math>a</math> est <math>p\geqslant4</math>, alors le nombre de chiffres de <math>f(a)</math> est <math>\leqslant p-1</math>.

== Évaluation asymptotique ==
Il existe une infinité de nombres heureux, et il semble qu'environ 1 entier sur 7 soit heureux<ref name=":2" />.  Leur ensemble n'a cependant pas de [[densité asymptotique]] : la densité supérieure des nombres heureux est supérieure à 0,18577 et la densité inférieure est inférieure à 0,1138<ref name=":1">{{Ouvrage|auteur1=Daniel Lignon|titre=Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers|passage=348-349|éditeur=Ellipses|date=2012}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|auteur1=Justin Gilmer|titre=On the density of happy numbers|périodique=ArXiv|date=mars 2015|lire en ligne=https://arxiv.org/pdf/1110.3836.pdf}}</ref>.

== Historique ==
[[Fichier:DessinHeureux 02b.png|vignette|350x350px|Représentation des nombres malheureux de 1 à 100.]]
L'origine de l'appellation "nombre heureux" n'est pas claire. Les nombres heureux ont été portés à l'attention de Reg Allenby (auteur britannique et maître de conférences en mathématiques pures à l'Université de Leeds) par sa fille, qui les avait rencontrés à l'école. Cependant, ils sont « peut-être originaires de Russie »<ref name=":2">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Richard Guy|titre=Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), problem E34|passage=357-359|éditeur=Springer-Verlag|date=2004|isbn=0-387-20860-7}}</ref>.

== Exemples ==
Le nombre 7 est heureux, puisque sa suite associée est :
: <math>u_1 = 7^2 = 49;\,</math>
: <math>u_2 = 4^2 + 9^2 = 97\,</math>
: <math>u_3 = 9^2 + 7^2 = 130\,</math>
: <math>u_4 = 1^2 + 3^2 + 0^2 = 10\,</math>
: <math>u_5 = 1^2 + 0^2 = 1.</math>

Dès que, dans la suite associée à un nombre, on rencontre 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 ou 20, la suite devient [[Suite périodique|périodique]] et le nombre en question est malheureux, puisque 
<math>4^2 = 16,\quad 1^2 + 6^2=37,\quad 3^2 + 7^2=58,\quad 5^2 + 8^2=89,\quad 8^2 + 9^2=145,\quad 1^2 + 4^2 + 5^2=42,\quad 4^2 + 2^2=20,\quad 2^2 + 0^2=4.</math>

== Listes associées ==

Les dix plus petits nombres heureux sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44 ({{OEIS|id=A007770}}). Les autres entiers entre 1 et 44 sont donc malheureux ({{OEIS|id=A031177}}).

Un nombre est heureux si et seulement si le nombre obtenu en supprimant ses zéros et en ordonnant ses chiffes dans l'ordre croissant est heureux. La liste de ces derniers commence par <code>1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79</code>  ({{OEIS|id=A124095}}).

Le nombre de nombres heureux inférieurs ou égaux à 1, à 10, à 100, à 1 000{{etc.}} vaut (respectivement) 1, 3, 20 et 143{{etc.}} ({{OEIS|id=A068571}}).

Les nombres heureux [[Nombre premier|premiers]] sont 7, 13, 19, 23, 31, 79{{etc.}} ({{OEIS|id=A035497}}).

La suite de Porges démarrant à <math>a=2</math> est répertoriée {{OEIS2C|A000216}}.

La suite des plus petits nombres heureux nécessitant <math>n</math> étapes pour atteindre la valeur 1 est répertoriée {{OEIS2C|A001273}}.

Les deux premiers couples de nombres heureux consécutifs sont, (31,32), et (129,130). La suite des premiers termes de ces couples est répertoriée {{OEIS2C|A035502}}.

Le premier triplet de 3 nombres heureux consécutifs débute avec 1880. Le premier quadruplet débute avec 7839.

== Généralisations ==
On peut changer de base. La suite des plus petits nombres ''malheureux'' en base <math>n</math> est répertoriée {{OEIS2C|A001273}} (sachant que tous les nombres sont heureux en base 2 et 4).

On peut augmenter l'exposant. Par exemple, pour des cubes, il y a cinq points fixes : [[153 (nombre)|153]], [[370 (nombre)|370]], [[371 (nombre)|371]], [[407 (nombre)|407]] (qui sont donc des [[Nombre narcissique|nombres narcissiques]]), deux cycles de longueur 2, et deux cycles de longueur 3<ref name=":1" />{{,}}<ref>{{Article|auteur1=André-Jean Glière|titre=De surprenantes arithmétique (II)|périodique=Au fil des maths|numéro=531|date=2019|lire en ligne=https://afdm.apmep.fr/rubriques/recreations/de-surprenantes-arithmetiques-ii/|pages=71-76}}</ref>

== Voir aussi ==
=== Liens externes ===
*{{Lien web|url=http://www.recreomath.qc.ca/dict_heureux_nombre.htm|titre=Nombre heureux|site=Récréomath}}
*André-Jean Glière, [https://afdm.apmep.fr/rubriques/recreations/de-surprenantes-arithmetiques-i/ de surprenantes arithmétiques], Au fil des maths, N° 528, 2018
* {{MathWorld|nom_url=HappyNumber|titre=Happy Number}}
* {{en}} [https://web.archive.org/web/20040627170036/http://mathews-archive.com/digit-related-numbers/happy-numbers.html Nombres heureux sur Mathews]
* {{en}} [http://mathsball.blogspot.com.es/2013/07/football-and-happiness.html Football and happiness]

== Bibliographie ==
{{Traduction/Référence|en|Happy number|9569800|type=note}}

[[Catégorie:Propriété décimale|Heureux (nombre)]]
<references />
{{Portail|arithmétique}}