Voir la source de Nombre hexagonal

{{Confusion|Nombre hexagonal centré}}
[[Fichier:Nombres hexagonaux.gif|centré|sans_cadre|400x400px]]
[[File:Hexagonal number 28 as sum of gnomons.svg|thumb|Les quatre premiers nombres hexagonaux sont<center><span style="color:red">1</span>, 1 + <span style="color:orange">5</span> = 6, 6 + <span style="color:green">9</span> = 15 et 15 + <span style="color:blue">13</span> = 28.</center>|gauche]]En [[mathématiques]], un '''nombre''' '''hexagonal''' est un [[nombre figuré]] [[Nombre polygonal|polygonal]] qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un [[hexagone]]. Le nombre hexagonal d'ordre <math>n</math> est donné par la formule <ref>{{Article|langue=en|auteur1=Hyun Kwang Kim|titre=On Regular Polytope Numbers|périodique=PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY|volume=131|numéro=1|pages=66|date=2002|lire en ligne=https://www.ams.org/journals/proc/2003-131-01/S0002-9939-02-06710-2/S0002-9939-02-06710-2.pdf}}</ref>{{,}}<ref name=":12">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Elena Deza|auteur2=[[Michel Deza]]|titre=Figurate Numbers|lieu=Singapour|éditeur=[[World Scientific|World Scientific Publishing]]|année=2012|pages totales=456|passage=2|isbn=978-981-4355-48-3|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=cDxYdstLPz4C&pg=PA451&q=2.6+%22Centered+space+figurate+numbers%22&redir_esc=y#v=snippet&q=%22hexagonal%22&f=false}}</ref> :

: <math>H_n=P_{6,n}=n(2n-1)=P_{3,2n-1} </math>.

Ainsi, les nombres hexagonaux sont simplement les [[Nombre triangulaire|nombres triangulaires]] d'indice impair.

Les vingt-deux premiers sont [[1 (nombre)|1]], [[6 (nombre)|6]], [[15 (nombre)|15]], [[28 (nombre)|28]], [[45 (nombre)|45]], [[66 (nombre)|66]], [[91 (nombre)|91]], [[120 (nombre)|120]], [[153 (nombre)|153]], [[190 (nombre)|190]], [[231 (nombre)|231]], [[276 (nombre)|276]], [[325 (nombre)|325]], [[378 (nombre)|378]], [[435 (nombre)|435]], [[496 (nombre)|496]], [[561 (nombre)|561]], [[630 (nombre)|630]], [[703 (nombre)|703]], [[780 (nombre)|780]], [[861 (nombre)|861]] et [[946 (nombre)|946]] ({{OEIS|id=A000384}}).

== Obtention de ces nombres ==
[[File:Hexagonal numbers.svg|thumb|upright=2|Représentation des quatre premiers nombres hexagonaux : celui d'indice ''n'' s'obtient en entourant le précédent d'un hexagone comportant 4''n'' – 3 nouveaux points.]]
Pour avoir <math>n</math> points sur chaque côté de l'hexagone extérieur, on ajoute à l'étape <math>n</math> : <math>6-1</math> points aux sommets de l'hexagone et <math>(6-2)(n-2)</math> points à l'intérieur des côtés, d'où <math>H_n-H_{n-1}=5+4(n-2)=4(n-1)+1 </math>.

Donc <math>H_n=\sum_{k=1}^{n}(4(k-1)+1)=\sum_{k=0}^{n-1}(4k+1)=2n(n-1)+n=n(2n-1)</math>.
== Autre construction ==
[[Fichier:Hexagonal nombre.gif|vignette|250x250px|Nombre hexagonal comme somme d'un nombre carré et de deux triangulaires :<math>H_5=C_5+2T_4=25+2\times10=45</math>|gauche]]
[[Fichier:Nombre figures4.png|vignette]]
De la formule générale <math>P_{k,n} = P_{k-1,n}+T_{n-1}</math>, découle par exemple que <math>H_n</math> est la somme du [[nombre carré]] d'ordre <math>n</math> : <math>C_n=P_{2,n}</math> et de deux [[Nombre oblong|nombres triangulaires]] d'ordre <math>n</math> : <math>H_n = C_n+2T_{n-1}=n^2 + n(n-1)</math>  ; voir la figure de gauche, inscrivant cette construction dans un hexagone non régulier.

La figure de droite montre un hexagone, également non régulier, tracé dans un [[Réseau (géométrie)|réseau]] carré, ce qui donne, pour l'étape <math>n</math> où il y a <math>n</math> points dans chaque côté : un rectangle de <math>n(2n-1)</math> points et deux triangles de <math>1+3+\cdots+2n-3=(n-1)^2</math> points, soit <math>n(2n-1)+2(n-1)^2=4n^2-5n+2</math> points, voir la {{OEIS|A033951}}.
== Propriétés ==

* <math>H_n</math> est la somme du [[nombre triangulaire]] d'ordre <math>n</math> et de trois [[Nombre oblong|nombres triangulaires]] d'ordre <math>n-1</math> : <math>H_n = T_n+3T_{n-1} </math>. 

* <math>H_n = n+4T_{n-1}=n+2n(n-1)</math> est [[Congruence sur les entiers|congru]] à <math>n</math> modulo 4 et a donc même parité que lui.

* [[Congruence sur les entiers|Réduite modulo 9]], la suite des nombres hexagonaux suit périodiquement le motif des neuf valeurs suivantes : 1, 6, 6, 1, 0, 3, 1, 3, 0.

* Tout entier ''n'' > 130 peut être exprimé comme somme d'au plus quatre nombres hexagonaux ; [[Adrien-Marie Legendre]] l'avait démontré en 1830 pour ''n'' > 1791 (voir la {{OEIS|id=A007527}}).

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Hexagonal number|386847649|type=note}}
<references responsive="1"></references>

== Articles connexes ==

* [[Nombre polygonal]]
* [[Nombre hexagonal centré]]

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{{Palette|Nombres figurés}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre figuré|Hexagonal]]