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{{En-tête label|BA|année=2017}}
{{Nombres irrationnels}}
Un '''nombre irrationnel''' est un [[nombre réel]] qui n'est pas [[nombre rationnel|rationnel]], c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une [[Fraction (mathématiques)|fraction]] {{mvar|{{sfrac|a|b}}}}, où {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont deux [[entier relatif|entiers relatifs]] (avec {{mvar|b}} non nul). Les nombres irrationnels peuvent être caractérisés de manière équivalente comme étant les [[Nombre réel|nombres réels]] dont le [[développement décimal]] n'est pas périodique<ref group=N name=Per/> ou dont le développement en [[fraction continue]] est infini.

On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux [[Inclusion (mathématiques)|sous-ensembles]] [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaires]] : les [[Nombre algébrique|nombres algébriques]] non rationnels et les [[nombre transcendant|nombres transcendants]]. Les nombres algébriques sont définis comme les [[racine d'un polynôme|racines des polynômes]] à coefficients rationnels ; cet [[ensemble dénombrable]] [[Nombre algébrique#Exemples|inclut tous les nombres rationnels]], mais aussi [[#Irrationalité de nombres manifestement algébriques|certains irrationnels]]. Les nombres non algébriques, comme [[Pi|{{math|π}}]] et [[e (nombre)|{{math|e}}]], sont dits transcendants ; ils sont tous irrationnels. Cependant, certains ensembles de nombres irrationnels classiquement étudiés peuvent aussi regrouper à la fois des nombres algébriques et des nombres transcendants ; c'est par exemple le cas des [[Nombre réel calculable|nombres calculables]]. On [[conjecture]] également qu'il existe des [[Nombre normal|nombres normaux]] algébriques, et on en connait qui sont transcendants.

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les [[Racine carrée|racines carrées]] des entiers qui ne sont pas des [[Carré parfait|carrés parfaits]], entre autres [[Racine carrée de deux|{{racine|2}}]], [[#Exemple préliminaire|dont l'irrationalité a été établie]] dans l'[[Antiquité]] ; plus généralement les [[Nombre constructible|nombres constructibles]] irrationnels, sous-ensemble des nombres algébriques dans lequel on trouve entre autres le [[nombre d'or]], ont une grande importance [[Histoire des mathématiques|historique]] car ils sont liés aux problèmes de [[construction à la règle et au compas]] essentiels à la [[géométrie]] de l'époque d'[[Euclide]].

L'irrationalité de {{math|π}} et celle de {{math|e}} ont été établies bien plus tard, au {{s-|XVIII}} ; ce sont les premiers nombres transcendants dont on a prouvé l'irrationalité. Il a de plus été montré au {{s-|XIX}} que [[Ensemble négligeable|presque tous]] les nombres réels sont irrationnels, et même transcendants. En 2018, on ignore le statut de plusieurs constantes importantes telle que la [[constante d'Euler-Mascheroni]].

== Histoire ==
Les travaux antiques les plus connus concernant les irrationnels ont été produits dans [[Mathématiques de la Grèce antique|le monde grec]]<ref>Certains historiens ont estimé que les [[Śulba-Sūtras]], des traités difficiles à dater qui auraient été composés entre 800 et {{nobr|200 {{av JC}}}}, témoigneraient de la connaissance de l'irrationalité dans l'[[Inde]] de l'époque ; ils se fondent sur une construction de la diagonale du carré qui peut s'interpréter comme une (bonne) approximation rationnelle de √2, et sur la mention que cette construction n'est pas exacte, voir {{ouvrage|langue=en| nom = Datta| prénom = Bibhutibhusan| titre = The Science Of The Sulba: A Study In Early Hindu Geometry| date = 1932| url = http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.512150 |passage=195-202}}. Mais pour d'autres, il s'agit là de « spéculations injustifiées » qui ignorent tant la vraie signification de l'irrationalité que l'objet pratique des Śulba-Sūtras {{chapitre|langue=en |auteur=S. G. Dani |titre chapitre=Geometry in the Śulvasūtras|passage=9-38| éditeur = Hindustan Book Agency| isbn = 978-93-86279-49-1| auteur ouvrage = C. S. Seshadri| titre = Studies in the History of Indian Mathematics |collection=Culture And History Of Mathematics |année=2010 |url=https://www.springer.com/gp/book/9789386279491}}.</ref>.

=== Antiquité grecque ===
L'[[historiographie]] a longtemps décomposé l'étude de l'irrationalité en trois grandes étapes : la découverte, sans doute par un [[École pythagoricienne|pythagoricien]]<ref>{{Harvsp|Szabó|1978|p=25}}.</ref>, d'un cas particulier de grandeurs non commensurables, puis l'établissement de l'irrationalité de quelques exemples analogues et enfin, l'étude systématique de celle-ci, notamment par [[Euclide]]. Il n'est cependant pas aisé de reconstituer l'enchaînement précis des différentes phases, car tous les textes de l'époque ne sont pas connus et ceux qui le sont ont fait l'objet de controverses, concernant notamment leur interprétation.

==== Vocabulaire employé ====
L'une des difficultés de [[Philologie|l'étude des textes antiques]] traitant d'irrationalité réside dans le fait que les termes employés pour ce faire ainsi que leur sens varient selon les époques, et que certains peuvent apparaître conjointement dans un même texte. En [[grec ancien]], le concept d'irrationalité peut ainsi être représenté par les mots suivants<ref name="Szabo93">{{Harvsp|Szabó|2000}}.</ref> :
* {{grec ancien|ἂρρητος|arrêtos}} : ''inexprimable'' ;
* {{grec ancien|ἀσύμμετρος|asymmetros}} : ''[[Commensurabilité (mathématiques)|incommensurable]]'', ce terme pouvant être précisé :
** {{grec ancien|μήκει ἀσύμμετρος|mêkei asymmetros}} : incommensurable en longueur ;
** {{grec ancien|σύμμετρος δυνάμει|symmetros dynamei}} : commensurable en carré ;
* {{grec ancien|ἄλογος|alogos}} : littéralement ''qui ne peut former de rapport'' ; c'est le plus proche du terme moderne ''irrationnel''.

De tous ces termes, seul {{grec ancien|ἂρρητος}} n'apparaît pas dans le {{lnobr rom|livre X des Éléments d'Euclide|livre X}} des [[Éléments (Euclide)|''Éléments'' d'Euclide]]<ref name="Szabo93"/>. En revanche, le mot {{grec ancien|ῥητος}} (qui d'un point de vue strictement [[Lexique|lexical]] est le contraire du mot {{grec ancien|ἂρρητος}}) est employé comme le contraire du mot {{grec ancien|ἄλογος}} signifiant ''irrationnel'' ; sa définition inclut cependant le concept {{grec ancien|σύμμετρος δυνάμει}} (''commensurable en carré'')<ref>{{Ouvrage|langue=en|langue originale=grc|auteur1=[[Euclide]]|titre=Les Éléments|lire en ligne=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/bookX.html|partie=X}}, définition 3.</ref> : le nombre {{racine|2}} serait donc « rationnel » selon cette définition, ce qui n'est pas le cas dans des textes plus anciens comme ceux de [[Platon]]<ref name="Szabo93"/>. Il y a donc eu un glissement de sens entre les époques des deux auteurs, et la notion moderne d'irrationalité ne se superpose pas parfaitement à celle d'Euclide. De plus, il n'existe pas pour les Grecs de nombre irrationnel, mais des couples de grandeurs telles que la première n'est pas un multiple rationnel de la seconde<ref>{{PlaLoi}}, VII, 820 a - c.</ref>.

La compréhension des textes est rendue difficile également par l'utilisation de termes techniques traduisant des concepts n'ayant pas d'équivalent dans les langues actuelles. Par exemple, le nom {{grec ancien|δύναμις|dynamis}} signifie « puissance » dans la langue courante, mais cette acception n'a pas de sens dans les textes mathématiques antiques. Il a souvent été traduit par « racine carrée » en raison du contexte dans lequel il est employé. Cependant, son sens véritable, probablement emprunté à la finance où il exprime la valeur d'une monnaie, est plutôt la désignation d'un carré dont l'[[Aire (géométrie)|aire]] est égale à celle d'une surface déjà identifiée<ref name="Szabo93"/> ; ainsi, le {{grec ancien|δύναμις}} d'un [[rectangle]] de longueur {{math|2}} et de largeur {{math|1}} est un carré d'aire {{math|2}}. Ce terme, attesté dès l'époque d'[[Hippocrate de Chios]], a introduit de nombreux contresens dans l'interprétation de plusieurs textes, dont le ''[[Théétète (Platon)|Théétète]]'' de Platon<ref name="Szabo93"/>.

==== Découverte des irrationnels ====

La date à laquelle la notion d'irrationalité a été découverte par les Grecs n'est pas connue avec certitude : elle est généralement située entre le début du {{-s-|V}} et le premier quart du {{-s-|IV}}<ref name="Szabo93"/>. Elle est en tout cas antérieure au livre de [[Démocrite]] intitulé ''Des Nombres irrationnels et des Solides'', qui date de cette période.

Contrairement à une idée reçue, rien n'indique avec certitude que la découverte de l'incommensurabilité provienne de l'étude de la [[diagonale]] et de l'un des côtés d'un carré<ref>{{Article |langue=français |auteur1=Benoît Rittaud |titre=Le Fabuleux destin de {{racine|2}} |périodique=[[Gazette des mathématiciens]]|numéro=107 |date=janvier 2006|p.=28-37|lire en ligne=http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2006/107/smf_gazette_107_27-38.pdf}}.</ref>, propriété équivalente à l'irrationalité de {{racine|2}}. La découverte est parfois attribuée au mathématicien [[Hippase de Métaponte]] pour ses travaux sur la section d'extrême et de moyenne raison, maintenant appelée [[nombre d'or]], qui est également le rapport de la longueur de la diagonale d'un [[Pentagone#Deux pentagones réguliers|pentagone régulier]] sur celle d'un de ses côtés<ref>{{Article|langue=anglais|auteur=[[Kurt von Fritz]]|titre=The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum |périodique=[[Annals of Mathematics|Ann. Math.]]|vol=46|numéro=2|année=1945|p.=242-264|jstor=1969021}}.</ref>. Il est également possible que la notion d'irrationalité ait été mise à jour par l'étude du problème [[arithmétique]] de la recherche d'un entier qui soit à la fois un [[carré parfait]] et le double d'un autre carré parfait<ref name="Szabo93" /> ; l'insolubilité de ce problème est en effet équivalente à l'irrationalité de {{racine|2}}. Si la découverte en elle-même reste entourée de mystère, l'exemple le plus connu chez les intellectuels de l'époque de Platon est celui de l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré<ref name="Szabo93" />.

La nature exacte des premières grandeurs non commensurables découvertes n'est pas connue, et la manière dont cette non-commensurabilité a été établie ne l'est pas plus et plusieurs
idées de démonstration ont été imaginées. L'une d'elles repose sur le [[Racine carrée de deux#Le pair et l.27impair|principe du pair et de l'impair]]<ref>{{Article|langue=de|auteur=[[Oskar Becker]]|titre=Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente|revue=Quellen und Studien sur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik|série=B|vol=3|année=1936|p.=533-553}}.</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre|langue=allemand|auteur=Árpád Szabó|titre=Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden?|auteurs ouvrage=J. Christianidis|titre ouvrage=Classics in the History of Greek Mathematics|passage=45-80|éditeur=Springer|année=2004|pages totales=461|isbn=978-1-4020-2640-9|lire en ligne={{Google Livres|L8HcBwAAQBAJ|page=67}}}}.</ref>, elle est notamment citée par [[Aristote]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Thomas Heath]]|titre=Mathematics in Aristotle|traduction titre=Les mathématiques chez Aristote|lieu=Oxford|année=1949|pages totales=310|isbn=978-1-317-38059-7|présentation en ligne={{Google Livres|asRgCgAAQBAJ}}|partie=III|numéro chapitre=1|titre chapitre=Incommensurability of the diagonal (of a square with its side)}}.</ref>. D'autres reconstitutions des preuves antiques sont envisagées : certaines ont recours à une [[Méthode de descente infinie|descente infinie]], d'autres à un algorithme qu'en termes modernes on apparenterait aux [[fraction continue|fractions continues]]. Cette dernière technique serait héritée des cultures de [[Mésopotamie]]<ref>Voir, pour un exposé des différentes méthodes possibles : {{Harvsp|Caveing|1998}}.</ref>.

==== Étude ultérieure des irrationnels ====
À la suite de la découverte d'un cas particulier d'irrationalité, il y a longtemps eu consensus pour affirmer que l'étude des grandeurs incommensurables s'était poursuivie par l'établissement par [[Théodore de Cyrène]] d'autres exemples se ramenant aux nombres {{racine|''n''}} (pour {{mvar|n}} entier non carré compris entre {{math|3}} et {{math|17}})<ref>{{Citation étrangère|langue=en|1=The only certainty about the discovery of irrationality is that [[Théodore de Cyrène|Theodorus of Cyrene]] proved that {{racine|n}} (for n = 3, ..., 17 and not a perfect square) is irrational.}} — {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|langue=de|Árpád Szabó}}|titre=The Beginnings of Greek Mathematics|éditeur=[[Springer Science & Business Media|Springer]]|année=1978|pages totales=358|passage=35|isbn=978-90-277-0819-9|lire en ligne={{Google Livres|VCj2CAAAQBAJ|page=35}}}}, citant {{Ouvrage|langue=de|auteur1=[[Walter Burkert]]|titre=Weisheit und Wissenschaft|année=1962|passage=439}}.</ref>. Cette supposition a donné lieu à des recherches concernant la méthode utilisée pour ce faire, et les raisons qui ont empêché Théodore de Cyrène d'aller plus loin que {{racine|17}}<ref name="HardyWright4"/> ; il est cependant probable qu'elle soit erronée<ref name="Szabo93"/>. En effet, elle résulte d'un passage du ''[[Théétète (Platon)|Théétète]]'', mais le texte de Platon ne mentionne pas de démonstration et n'indique donc pas que Théodore en aurait produit une<ref name="Szabo93"/>. Une autre hypothèse est que les premières preuves d'irrationalité reposent essentiellement sur la notion de parité, ce qui ne permet pas de montrer l'irrationalité de {{racine|17}}<ref>{{Article|langue = anglais|titre =The arithmetic of the even and the odd|auteur = Victor Pambuccian|doi=10.1017/S1755020315000386|périodique=[[Association for Symbolic Logic#Publications|The Review of Symbolic Logic]]|vol=9|numéro=2|date = 2016|p.=359-369}}.</ref>.

Il est difficile, en l'état actuel des connaissances, de proposer une chronologie précise des débuts de l'étude grecque de l'incommensurabilité<ref name="Szabo93"/>. Le [[Livre X des Éléments d'Euclide|livre X des ''Éléments'']], écrit vers [[300 av. J.-C.|-300]], présente une classification des grandeurs irrationnelles ; on ne sait cependant pas de quand datent les propositions qui y sont démontrées, les textes mathématiques antérieurs étant perdus<ref name="Szabo93"/>.

Par la suite, les mathématiciens grecs ont développé des méthodes d'évaluation de grandeurs incommensurables. [[Archimède]] a notamment utilisé la [[méthode d'exhaustion]] pour donner une estimation de {{math|π}} et [[Héron d'Alexandrie]] expose une [[Méthode de Héron|méthode pour évaluer une racine carrée]]<ref group = N>Ces propriétés sont énoncées ici avec une formulation moderne, ni {{math|π}} ni les racines carrées n'étant considérés comme des nombres à proprement parler dans l'Antiquité grecque.</ref>.

==== Débat sur l'existence antique d'une « crise des fondements » ====
Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu'un pythagoricien, parfois nommé [[Hippase de Métaponte]], périt noyé (jeté à la mer depuis une barque) pour avoir révélé aux profanes l'incommensurabilité<ref>{{Lien web|auteur=J.-L. Périllié|url=https://archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.cndp.fr%2FRevueCPhil%2F91%2F00902911.pdf|titre=La découverte des incommensurables et le vertige de l'infini}}, transcription d’une conférence donnée le {{date-|16 mai 2001}} à Grenoble, {{p.|14}}.</ref>. Cette légende indiquerait que la découverte serait bien pythagoricienne et qu'elle aurait fait l'objet d'un tabou<ref>Sous la forme indiquée ici, la légende est critiquée. Le narrateur principal, [[Jamblique]], est à la fois tardif et imprécis dans ses témoignages. La référence suivante précise que : {{Citation étrangère|langue=en|Hence, when late writers, like Iamblichus, make ambitious claim for Pythagorean science […], we have occasion for scepticism.}}, cf. {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Wilbur Knorr|Wilbur Richard Knorr]]|titre=The Evolution of the Euclidean Elements : A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry|éditeur=[[D. Reidel]]|année=1975|passage=5|lire en ligne={{Google Livres|_1H6BwAAQBAJ|page=5}}}}.</ref> ; elle est souvent citée pour accréditer la thèse selon laquelle l'irrationalité aurait posé un problème fondamental aux mathématiciens antiques.

L'existence d'une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs due à la découverte de l'irrationalité a été longtemps admise par les historiens<ref>{{Harvsp|Périllié|}}.</ref>, et ce dès les travaux de [[Paul Tannery]] en 1887<ref>{{Ouvrage|auteur1=Paul Tannery|titre=La Géométrie grecque, comment son histoire nous est parvenue et ce que nous en savons.|lieu=Paris|éditeur=[[Gauthier-Villars]]|année=1887|lire en ligne=https://archive.org/details/lagomtriegre01tannuoft}}.</ref>, et plus encore dans les premières décennies du {{s|XX}}<ref name="Knorr">{{Article|langue=anglais|auteur = Wilbur Knorr|périodique=Revue d'histoire des mathématiques|titre = The impact of modern mathematics on ancient mathematics|année=2001|volume=7|page = 121-135|lire en ligne = http://www.numdam.org/article/RHM_2001__7_1_121_0.pdf}}.</ref>. D'autres historiens ont par la suite émis l'hypothèse que la crise engendrée par les irrationnels était plutôt une reconstruction ''a posteriori'' par laquelle les mathématiciens du {{s-|XX}} auraient calqué leur [[crise des fondements]] sur l'Antiquité, en jugeant les travaux mathématiques grecs [[wikt:à l'aune de|à l'aune de]] concepts mathématiques modernes. Des recherches menées dans la seconde moitié du {{s-|XX}} ont ainsi [[wikt:battre en brèche|battu en brèche]] le concept de {{citation|crise antique des fondements}}<ref>{{Article|auteur=[[Hans Freudenthal]] |année = 1966 |périodique = Bulletin de la société mathématique de Belgique |titre =Y avait-il une crise des fondements des mathématiques dans l'Antiquité ?|volume = 18 | pages = 43-55 |lire en ligne = https://www.researchgate.net/publication/266283734_Y_Avait-Il_une_Crise_des_Fondements_des_Mathematiques_Dans_L%27Antiquite}}.</ref>.

=== Moyen-Orient médiéval ===
Le [[Moyen Âge]] voit le développement de l'[[algèbre]] au sein des [[mathématiques arabes]], ce qui permet aux nombres irrationnels de devenir des objets de même nature algébrique que les entiers et les nombres rationnels<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Arabic_mathematics|title=Arabic mathematics : forgotten brilliance?|année=1999}}.</ref>.
Les mathématiciens du [[monde arabo-musulman]] cessent en effet, contrairement à ceux du monde grec qui les ont précédés, de ne manipuler des grandeurs géométriques que par leurs [[Rapport (mathématiques)|rapports]]<ref name="Matvievskaya-259">{{Article|nom1=Matvievskaya|prénom1=Galina|lien auteur1=Galina Pavlovna Matvievskaya|année=1987|titre=The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics|périodique=[[New York Academy of Sciences|Annals of the New York Academy of Sciences]]|volume=500|titre volume=From Deferent to Equant: A Volume of Studies on the History of Science of the Ancient and Medieval Near East in Honor of [[Edward Stewart Kennedy|E. S. Kennedy]]|pages=253-277 (254) |doi=10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x|langue = anglais}}.</ref>.
Dans son commentaire du livre X des ''Éléments'', le mathématicien [[empire perse|persan]] [[Al-Mahani]] étudie et classifie les [[Irrationnel quadratique|irrationnels quadratiques]] et cubiques, en les considérant comme des nombres à part entière bien qu'il utilise également un point de vue géométrique pour les désigner<ref name="Matvievskaya-259"/>.
Il donne en outre une approche algébrique des irrationnels, en expliquant que si l'on additionne ou multiplie un irrationnel et un rationnel (non-nul dans le cas du produit), le résultat est irrationnel<ref name="Matvievskaya-259"/>.

Le mathématicien [[Égypte|égyptien]] [[Abu Kamil|Abū Kāmil Shujā ibn Aslam]] est le premier à accepter qu'un nombre irrationnel représenté par une racine carrée, cubique ou [[Racine d'un nombre|Racine ''n''-ième]] puisse être solution d'une [[Équation du second degré|équation quadratique]] ou qu'il soit un [[coefficient]] d'une [[équation]]<ref>{{Chapitre|langue=en|auteur=Jacques Sesiano|titre=Islamic mathematics|page=148|titre ouvrage=Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics|auteurs ouvrage=Helaine Selin|année=2000|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=1-4020-0260-2|url={{Google Livres|2hTyfurOH8AC|page=148}}}}.</ref>.

Les mathématiciens arabes ont aussi repris et perfectionné des méthodes d'[[Analyse numérique|approximation numérique]] ; les {{nobr|16 premières}} décimales de [[Pi|{{math|π}}]] sont par exemple trouvées par [[Al-Kashi]] grâce à des méthodes géométriques<ref>{{article|langue=en|prénom1=Mohammad K.|nom1=Azarian|titre=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary|journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences|volume=22|numéro=2|année=2010|pages=64-85|url=http://projecteuclid.org/euclid.mjms/1312233136|mode=cs2}}.</ref>.

=== Époque moderne ===
==== Débats sur la nature des nombres irrationnels ====
{{encadré texte|align=right|width=250px| texte={{citation|IRRATIONNEL, adject. (Arithm. & Alg.) les nombres irrationnels sont les mêmes que les nombres sourds ou incommensurables. Voyez Incommensurable, Sourd, & Nombre.}}<br>{{citation|INCOMMENSURABLE, adj. (terme de Géométrie.) il se dit de deux quantités qui n’ont point de mesure commune, quelque petite qu’elle soit, pour mesurer l’une & l’autre. Voyez Commensurable, Sourd & Irrationnel.}}<br>{{citation|SOURD, adj. en termes d’Arithmétique, signifie un nombre qui ne peut être exprimé, ou bien un nombre qui n’a point de mesure commune avec l’unité. Voyez Nombre. C’est ce qu’on appelle autrement nombre irrationnel ou incommensurable. Voyez Irrationnel & Incommensurable.}}|légende=Définitions de nombre irrationnel, incommensurable et sourd selon l’''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]]'' de [[Diderot]] et [[Jean Le Rond d'Alembert|D'Alembert]].}}
Au {{s-|XVI}}, la communauté mathématique accueille les [[Fraction (mathématiques)|fractions]]. Au {{s-|XVII}}, les mathématiciens emploient de plus en plus fréquemment les [[nombre décimal|fractions décimales]] et représentent déjà ces nombres avec la notation moderne. La notation décimale permet des calculs numériques sur les nombres irrationnels<ref name="Cousquer"/>. Pourtant bien que ceux-ci soient utilisés couramment, le débat sur leur nature n'est pas tranché. [[Simon Stevin]] et [[Isaac Newton]] considèrent que les irrationnels, appelés à l'époque {{citation|nombres sourds}}, sont des nombres au même titre que les entiers et les rationnels<ref name="Cousquer">{{Harvsp|Cousquer|1998|p=174}}.</ref> tandis que d'autres comme [[Blaise Pascal]] conservent le cadre fourni par les ''Éléments'' d'Euclide, dans lequel les irrationnels ne sont pas des nombres<ref name="Cousquer"/>. Dans l'''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]]'', [[Jean Le Rond d'Alembert|D'Alembert]] rend compte des deux positions et prend parti pour l'idée selon laquelle les irrationnels ne sont pas des nombres, mais qu'ils sont approchables par ceux-ci avec une précision aussi fine que l'on veut<ref name="Cousquer"/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=D'Alembert|titre=[[L'Encyclopédie]]|wikisource=L’Encyclopédie/1re édition/INCOMMENSURABLE|titre chapitre=Incommensurable}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=D'Alembert|titre=L'Encyclopédie|wikisource=L’Encyclopédie/1re édition/NOMBRE|titre chapitre=Nombre}}.</ref>. [[Abraham Gotthelf Kästner|Abraham Kästner]] propose par la suite d'expliquer les propriétés algébriques des nombres irrationnels par celles des rationnels, qu'il peut étendre grâce à la [[Partie dense|densité]] des rationnels dans les irrationnels<ref name="Cousquer"/>.

==== Méthodes d'approximation numérique ====
Isaac Newton met au point à la fin du {{s-|XVII}} un algorithme permettant le calcul numérique de racines de polynômes, ''a priori'' irrationnelles<ref group = N>Les nombres rationnels potentiellement racine d'un polynôme donné sont en nombre fini, et ne nécessitent pas de calcul approché pour être identifiés {{infra|Propriété des polynômes à coefficients entiers}}.</ref>. Cet algorithme, connu depuis sous le nom de [[méthode de Newton]], a ensuite été adapté pour calculer les [[Zéro d'une fonction|zéros de fonctions]] non polynomiales.

Dans le cas particulier du nombre {{math|π}}, [[John Machin]] publie en [[1706 en science|1706]] [[Formule de Machin|une formule]] donnant {{math|π}} à l'aide de la fonction [[arc tangente]] :
<center><math>\frac{\pi}4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}</math>.</center>

Une amélioration de cette formule par [[Jurij Vega]] lui permet en 1789 de calculer {{math|π}} avec une précision de {{nobr|126 décimales}}<ref group=N>Voir l'article « [[Formule de Machin]] » pour plus de détails.</ref>.
D'autres formules permettant d'exprimer <math>\pi</math> ont été exhibées au {{s-|XVIII}}, notamment la résolution par Euler du [[problème de Bâle]] qui donne une identité, peu utile pour un calcul pratique, reliant {{math|π}} et la série des inverses des carrés des entiers<ref>{{Article|langue = français|année = 2007|numéro = 29|périodique = [[Tangente (magazine)|Hors-série Tangente]]|titre = Comment Euler calculait ζ(2)}}.</ref> :
<center><math>\sum_{n=1}^\infin \frac1{n^2} = \frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}6</math>.</center>
Un autre exemple d'identité, lui aussi peu utile pour un calcul pratique, permettant le calcul numérique de {{math|π}} est fourni par la [[Arc tangente#Développement en série de Taylor|formule de Leibniz]], découverte en Europe au {{s-|XVII}}, mais qui était déjà connue de manière indépendante en Inde depuis deux siècles par l'[[école du Kerala]]<ref group=N>Voir l'article « [[Formule de Leibniz]] » pour plus de détails.</ref> :
<center><math>
\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots=\frac\pi4
</math>.</center>

Des approximations d'autres constantes mathématiques sont publiées, notamment pour la [[Constante d'Euler-Mascheroni|constante {{math|γ}} d'Euler]] : celui-ci en calcule 16 décimales dès 1781 en utilisant la [[formule d'Euler-Maclaurin]]<ref name="Demailly">{{Article|langue = français|périodique = [[Gazette des mathématiciens]]|auteur = [[Jean-Pierre Demailly]]|titre = Sur le calcul numérique de la constante d'Euler|lire en ligne = https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/gamma_gazmath.pdf|volume = 27|année = 1985}}.</ref>{{,}}<ref group = N name = "gamma">En fait il n'est pas prouvé que la constante γ d'Euler est irrationnelle, mais des calculs numériques poussés laissent penser que c'est bien le cas {{infra|Problèmes ouverts}}.</ref>.

==== Découverte de nouveaux nombres irrationnels ====
Les [[fraction continue|fractions continues]] (dues à [[Pietro Cataldi|Cataldi]] en 1613<ref>{{Ouvrage|langue=it|auteur1=[[Pietro Cataldi]]|titre=Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri et regole da approssimarsi di continuo al vero nelle radici de' numeri non quadrati, con le cause & invenzioni loro|année=1613}}.</ref>), étroitement liées aux nombres irrationnels, sont prises en considération par [[Leonhard Euler|Euler]], qui montre ainsi<ref name=IrrationalitéE group=N>Voir la [[Fraction continue et approximation diophantienne#Exemple : le nombre e|section « Exemple : le nombre e » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »]].</ref> notamment, en 1737, l'irrationalité de {{math|e}} et de {{math|e{{2}}}}<ref name=Maor>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Eli Maor]] |titre=E : The Story of a Number |éditeur=[[Princeton University Press]] |année=1994 |passage=192 |isbn=0-691-05854-7 |lire en ligne={{Google Livres|CtPvBvouvmYC|page=192}}}}.</ref>.

[[Jean-Henri Lambert|Lambert]] démontre en 1761 que {{math|π}} n'est pas rationnel. Pour cela, il montre que la [[Tangente (trigonométrie)|tangente]] et la [[tangente hyperbolique]] de tout rationnel non nul sont des irrationnels<ref name=Maor/>, en les approchant par des [[Suite (mathématiques)|suites]] de rationnels issues de [[fraction continue généralisée|fractions continues généralisées]] particulières<ref name=IrrationalitéPi group=N>Voir la [[Fraction continue et approximation diophantienne#Irrationalité|section « Irrationalité » de l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »]].</ref>. Il [[conjecture]] par la suite la transcendance de {{math|π}} et {{math|e}}, mais ne remarque pas que sa méthode fournit une démonstration que {{math|π{{2}}}} est lui aussi irrationnel<ref group="N">Ce résultat a pour conséquence l'irrationalité de la somme <math>\sum_{n=1}^\infin \frac1{n^2}</math> calculée par Euler 30 ans plus tôt, et que l'on note aujourd'hui {{math|ζ(2)}}.</ref>. Cette constatation est faite plus tard par [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=A. M.|nom1=Legendre|titre=Éléments de géométrie|lieu=Paris|année=1802|lire en ligne=https://archive.org/stream/lmentsdegomtrie10legegoog#page/n308/mode/2up|titre chapitre=Note IV. Où l'on démontre que le rapport de la circonférence au diametre et son quarré, sont des nombres irrationnels}}.</ref>{{,}}<ref>Voir cependant {{Chapitre|langue=en|prénom=Rolf|nom=Wallisser|titre=On Lambert's proof of the irrationality of {{math|π}}|titre ouvrage=Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis (Graz, 1998)|lieu=Berlin|année=2000|page=521-530|url={{Google Livres|hQKII4bYBisC|page=521}}|auteurs ouvrage=Franz Halter-Koch et Robert F. Tichy|éditeur=Walter de Gruyer}}.</ref>.
Lambert montre également que l'[[Fonction exponentielle|exponentielle]] et le [[logarithme]] de tout rationnel non nul (et également différent de 1 dans le cas du logarithme) est un irrationnel<ref name="Cousquer"/>.

=== Époque contemporaine ===
==== Définition rigoureuse des nombres réels ====
{{article détaillé|Construction des nombres réels}}
Jusqu'au {{s-|XIX}}, l'existence et les propriétés des nombres irrationnels sont admises sans qu'en soit proposée de définition rigoureuse. En effet — contrairement aux [[Construction des nombres rationnels|rationnels, qu'il est facile de construire algébriquement]] à partir des entiers — la notion de nombre réel est encore mal définie au début de la seconde moitié du {{s-|XIX}}. L'une des premières tentatives en ce sens remonte aux travaux de [[Bernard Bolzano]] dans la première moitié du {{s-|XIX}}, mais ces travaux sont peu diffusés et n'influencent guère les constructions ultérieures<ref name="Boniface"/>. [[Karl Weierstrass]] travaille également sur la formalisation des nombres réels comme limites de rationnels, mais il ne publie rien à ce sujet et cette partie de son œuvre n'est connue que par les notes prises par son étudiant [[Adolf Hurwitz]] ayant suivi ses cours ; notes qui ne sont cependant pas publiées avant les années 1880<ref name="Boniface"/>.

Deux types de [[Construction des nombres réels|construction rigoureuse des nombres réels]] ont été présentées dans les années 1870 :
* [[Charles Méray|Méray]], puis [[Georg Cantor|Cantor]] et [[Eduard Heine|Heine]] après lui, fondent leur construction sur des propriétés [[Analyse (mathématique)|analytiques]] des suites de rationnels<ref name="Boniface">{{Harvsp|Boniface|2002}}.</ref> ; les nombres réels y sont les [[Classe d'équivalence|classes d'équivalence]] des [[Suite de Cauchy|suites de Cauchy]] de rationnels par la [[relation d'équivalence]] telle que deux suites sont en relation si et seulement si leur différence [[Limite d'une suite|tend vers]] {{math|0}}. Cette approche revient intuitivement à définir les réels comme les [[limite (mathématiques)|limites]] de suites de Cauchy rationnelles. On construit ainsi <math>\R</math> comme un [[espace complet]] ;
* l'approche de [[Richard Dedekind|Dedekind]], poursuivie par [[Jules Tannery|Tannery]] et [[Leopold Kronecker|Kronecker]]<ref>{{Article|revue=J. reine angew. Math.|vol=101|langue=de|titre=Ueber den Zahlbegriff|auteur=L. Kronecker|année=1887|p.=337-355|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002160471}}.</ref>, se fonde elle aussi sur la [[théorie des ensembles]]. Un réel y est défini comme une [[coupure de Dedekind]], correspondant intuitivement à l'ensemble des rationnels qui le [[Majorant ou minorant|minorent]] strictement : ainsi, {{racine|2}} correspond à l'ensemble des rationnels négatifs ou de carré inférieur à 2.
Ces deux approches sont équivalentes<ref group=N>Voir l'article détaillé « [[Construction des nombres réels]] ».</ref>.

==== Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels ====
Plusieurs sous-ensembles particuliers de nombres irrationnels sont étudiés durant les {{s2-|XIX|XX}}. Il était connu depuis l'Antiquité que certains nombres irrationnels tels que {{racine|2}} sont [[Nombre constructible|constructibles]], mais ce n'est qu'au {{s-|XIX}} que [[Pierre-Laurent Wantzel|Wantzel]] caractérise l'ensemble des nombres constructibles<ref group=N name=TheoWantzel>Voir l'article « [[Théorème de Wantzel]] ».</ref>, qui est le plus petit [[Corps (mathématiques)|corps]] stable par la racine carrée contenant <math>\Q</math>. Cela permet de montrer<ref group=N name=TheoWantzel/> que les [[Trois grands problèmes de l'Antiquité|problèmes antiques]] de [[trisection de l'angle]] et de [[duplication du cube]] sont impossibles [[Construction à la règle et au compas|à l'aide de la règle et du compas seuls]].

À la même période sont aussi étudiés les [[Nombre transcendant|nombres transcendants]], dont les premiers exemples sont exhibés par [[Joseph Liouville|Liouville]] en 1844<ref group = N>L'existence même de nombres transcendants n'était cependant pas certaine pour les mathématiciens de l'époque.</ref>{{,}}<ref name=Liouville group=N>Voir l'article « [[Nombre de Liouville]] ».</ref>. [[Charles Hermite|Hermite]] montre en 1873 la transcendance de {{math|e}}<ref group=N name="transcendencePi+e"/> et en 1882, [[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] montre celle de {{math|π}}<ref group=N name="transcendencePi+e">Voir l'article « [[Théorème d'Hermite-Lindemann]] ».</ref>. Ce dernier résultat permet de répondre par la négative<ref group=N name=TheoWantzel/> au problème de la [[quadrature du cercle]], qui était ouvert depuis l'[[Mathématiques de la Grèce antique|Antiquité grecque]]. Les nombres transcendants sont par ailleurs l'objet du [[septième problème de Hilbert]], qui demande si le nombre {{mvar|a{{exp|b}}}} est transcendant dès que {{mvar|a}} est algébrique et différent de {{math|0}} ou {{math|1}} et que {{mvar|b}} est algébrique et irrationnel. La réponse, affirmative, est apportée en 1934 par le [[théorème de Gelfond-Schneider]].

Le {{s-|XX}} voit également l'étude des [[nombre univers|nombres univers]] qui contiennent l'ensemble des séquences de chiffres possibles dans leur développement décimal, ainsi que des [[nombre normal|nombres normaux]] qui sont des nombres univers particuliers dans le développement décimal desquels toutes les séquences de chiffres d'une longueur donnée sont [[équiprobabilité|équiprobables]]. Bien que [[Émile Borel|Borel]] ait prouvé en 1909 que [[presque tous]] les nombres irrationnels sont normaux en toute base<ref group=N name=normal/>, on connaît peu de nombres normaux. Parmi ceux dont la normalité a été établie au moins pour la {{nobr|base 10}}, on peut citer la [[constante de Champernowne]] (qui est même transcendante), ou [[Constante de Copeland-Erdős|celle de Copeland-Erdős]]. De plus il est conjecturé que les nombres {{racine|2}} (et même tous les nombres algébriques irrationnels<ref name="BaileyCrandall"/>), {{math|π}} et {{math|e}} sont normaux mais bien que cela semble vrai expérimentalement<ref name="BaileyCrandall">{{Article |langue=anglais |auteur1=David H. Bailey|auteur2=Richard Crandall |titre=On the Random Character of Fundamental Constant Expansions |périodique= Experimental Mathematics|volume=10 |date=2001 |pages=175-190|lire en ligne = http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/bcrandom.pdf}}.</ref>, cela n'a pu être démontré pour aucun de ces exemples.

Le développement de l'informatique théorique dans les [[années 1930]] a, parallèlement à cela, mené à l'étude des [[Nombre réel calculable|nombres calculables]], c'est-à-dire pour lesquels il existe une [[machine de Turing]] capable d'en énumérer les décimales ainsi que de quantifier l'erreur d'approximation. L'ensemble des réels calculables contient l'[[algèbre des périodes]], donc tous les nombres algébriques et {{math|π}}, et il est [[Nombre réel calculable#Construction de nombres calculables|stable par l'exponentielle]]. En particulier, tous les nombres non calculables sont transcendants et ''a fortiori'' irrationnels. Bien que l'ensemble des réels non calculables soit [[Codénombrabilité|codénombrable]], on connait peu de nombres qui en fassent partie. Parmi ceux-ci on trouve par exemple toute limite d'une [[suite de Specker]], dont la définition est liée au [[problème de l'arrêt]].

==== Informatique et calcul numérique ====
[[Fichier:William Shanks PI.png|vignette|445px|droite|Première approximation de {{math|π}} calculée par [[William Shanks (mathématicien)|William Shanks]] en 1853, incluant les décimales incorrectes.]]
[[Fichier:Record pi approximations fr.svg|vignette|upright=2|Graphique montrant l'évolution historique de la précision record des approximations numériques de {{math|π}}, mesurée en décimales (représentée sur une [[échelle logarithmique]]).]]
Avant l'essor de l'informatique à la fin des [[années 1940]], il était extrêmement laborieux de calculer effectivement plus de quelques centaines de décimales d'un nombre irrationnel donné. En 1940, on ne connaissait par exemple que 527 décimales exactes de {{math|π}}, grâce au travail de [[William Shanks (mathématicien)|William Shanks]] publié en [[1873 en science|1873]]<ref name="PoursuitePi">{{Ouvrage|langue=fr|langue originale=de|auteur1=Jörg Arndt|auteur2=Christoph Haenel|traducteur=Henri Lemberg et François Guénard|titre=À la poursuite de {{math|π}}|titre original=Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik|éditeur=[[Vuibert]]|date=mars 2006|année première édition=1998|pages totales=273|isbn=978-2-7117-7170-7|numéro chapitre=13|titre chapitre=L'histoire de {{math|π}}}}.</ref>{{,}}<ref group = N>Shanks donnait en fait 707 décimales mais son calcul, effectué à la main, était faux au-delà de la {{528e}}.</ref>. En [[1949 en science|1949]], l'ordinateur [[Electronic Numerical Integrator and Computer|ENIAC]] en donne {{formatnum:2037}} en {{unité|70|h}}, en utilisant la formule de Machin<ref name="PoursuitePi"/>.

Des algorithmes génériques sont développés, comme la [[transformée de Fourier rapide]] qui accélère le [[Algorithme de multiplication|calcul des multiplications]]<ref name="PoursuitePi"/>. Dans le même temps, la puissance de calcul des ordinateurs [[Loi de Moore|augmente de manière exponentielle]]. Ainsi en 1978, on connaissait déjà {{nombre|116000 décimales}} de {{math|e}}<ref name="wozniak198106">{{Article |langue = anglais| lire en ligne=https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981_06_BYTE_06-06_Operating_Systems#page/n393/mode/2up |périodique = Byte Magazine |titre=The Impossible Dream: Computing ''e'' to 116,000 Places with a Personal Computer | date=juin 1981 | consulté le=12 décembre 2017 | auteur=[[Steve Wozniak]] | passage=392}}.</ref> et en 2000, plus de 10{{12}} décimales de {{math|π}}<ref name="PoursuitePi"/> et plus d'un million de décimales de la [[Constante d'Euler-Mascheroni|constante {{math|γ}} d'Euler]]<ref>{{Lien web|titre = The Euler constant: {{math|γ}}|langue = anglais|auteur = Xavier Gourdon|auteur2 = Pascal Sebah|site = Numbers, constants and computation|url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.pdf|consulté le = 12 décembre 2017}}.</ref> étaient calculées<ref group = N name = "gamma"/>.

Des algorithmes spécifiques sont également conçus pour le calcul de certains nombres en particulier. Dans le cas de {{math|π}}, les premiers algorithmes utilisant des formules proches de la formule de Machin sont ainsi abandonnés au profit d'autres formules plus efficaces, comme celle obtenue par [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] en [[1914 en science|1914]]<ref name="PoursuitePi"/> : <center><math> \frac1{\pi} = \frac{2\sqrt 2}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>.</center>

Les premiers calculs d'approximations de nombres irrationnels donnaient toutes les décimales de la première jusqu'à une borne plus ou moins élevée, mais on ne savait pas calculer une décimale donnée sans connaître celles qui la précèdent<ref name="PoursuitePi"/>. En [[1995 en science|1995]], les mathématiciens [[Simon Plouffe]], [[David H. Bailey]] et [[Peter Borwein]] découvrent la [[formule BBP]], qui permet de calculer tout chiffre du développement de {{math|π}} en [[Système hexadécimal|base 16]] sans avoir à déterminer ceux qui précèdent<ref name="PoursuitePi"/>{{,}}<ref group=N>Aucune formule analogue pour la [[Système décimal|base dix]] n'est connue en 2017.</ref>. Avant de découvrir cette formule, ils avaient déjà établi qu'il est possible de calculer séparément tout chiffre du [[Système binaire|développement binaire]] du [[logarithme naturel|logarithme]] de {{math|2}} grâce à l'égalité<ref name="PoursuitePi"/> :
<center><math>\ln2= \sum^\infty_{n=1} \frac1{n2^n}</math>.</center>

== Propriétés des nombres irrationnels ==
=== Développement décimal ===
{{Article détaillé|Développement décimal périodique#Développement périodique et nombre rationnel{{!}}Développement décimal périodique et nombre rationnel}}
La caractérisation des irrationnels peut s'effectuer via leur développement décimal, grâce au théorème suivant<ref name="HardyWright9">{{Harvsp|Hardy|Wright|texte=Hardy et Wright 2007|loc=chap. 9}}.</ref>, démontré dans l'article détaillé :
{{Théorème|énoncé = Un nombre réel est irrationnel [[Équivalence logique|si et seulement si]] son [[développement décimal]] propre n'est pas périodique<ref group=N name=Per>Dans tout cet article, « périodique » signifie « périodique à partir d'un certain rang ».</ref>.
|style=display:table}}
On démontre de même la caractérisation analogue via le développement dans n'importe quelle [[Base (arithmétique)|base]] (entière et supérieure ou égale à 2).

Ainsi le calcul du développement d'un nombre rationnel est aisé puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de chiffres à calculer pour le caractériser complètement, tandis que le calcul des développements de nombres irrationnels nécessite généralement la mise en œuvre de techniques mathématiques d'autant plus avancées que la précision souhaitée est élevée {{supra|Informatique et calcul numérique}}.

=== Développement en fraction continue ===
{{Article détaillé|Fraction continue|Table de constantes mathématiques}}
Les fractions continues permettent entre autres de caractériser l'irrationalité, d'identifier des types particuliers d'irrationnels, et de fournir de bonnes approximations des irrationnels par des rationnels.

==== Caractérisation de l'irrationalité à l'aide du développement en fraction continue ====
Pour tout nombre réel <math>x</math>, le caractère fini ou infini de son développement en fraction continue peut être lié à son caractère rationnel ou irrationnel. Plus précisément<ref name="HardyWright10">{{Harvsp|Hardy|Wright|texte=Hardy et Wright 2007|loc=chap. 10}}.</ref> :
{{Théorème|
*Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction continue simple ''finie''.
*Toute fraction continue simple ''infinie'' converge vers un nombre irrationnel et tout nombre irrationnel peut être représenté de manière unique par une fraction continue simple infinie.
|style=display:table}}

==== Cas des irrationnels quadratiques ====
{{Article détaillé|Fraction continue d'un irrationnel quadratique}}
Un irrationnel est dit [[irrationnel quadratique|quadratique]] s'il est solution d'une [[équation du second degré]] à coefficients entiers.
{{Théorème|Théorème de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]<ref group=N>Voir la [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Période|section « Période » de l'article « Fraction continue d'un irrationnel {{nobr|quadratique »}}]].</ref>|Un irrationnel est quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est périodique<ref group=N name=Per/>.
|style=display:table}}

==== Application à l'approximation des irrationnels ====
La [[Suite (mathématiques)|suite]] des [[Fraction continue#Réduites d'une fraction continue|réduites]] du développement en fraction continue d'un irrationnel <math>x</math> [[Suite convergente|converge]] vers <math>x</math> « rapidement » : toute réduite <math>p/q</math> du développement vérifie <math>\left|x-p/q\right|<1/q^2</math><ref name="HardyWright10"/>.

Par exemple, le début du [[Pi#Fractions continues|développement en fraction continue de {{math|π}}]] est [3, 7, 15, 1, 292, …]. À partir de ce début de développement, on trouve comme [[Pi#Approximations numériques|approximation de {{math|π}}]] : <math>\pi \approx \frac{103\;993}{33\;102} \approx 3{,}14159265301</math> avec une erreur inférieure à <math>\frac1{33\;102^2} < 10^{-9} </math>, c'est-à-dire que l'on a au moins 9 décimales exactes.

Il est possible de comparer la précision obtenue en approchant un irrationnel par les premiers termes de son développement en fraction continue ou par les premiers chiffres de son développement décimal.
En effet pour [[presque tout]] irrationnel <math>x</math>, le [[théorème de Lochs]] affirme que les <math>m</math> premiers entiers du développement en fraction continue de <math>x</math> donnent asymptotiquement <math>\frac { \pi^2}{6 \ln 2 \ln 10} m\approx 1{,}03064083 m</math> décimales exactes.

=== Mesure d'irrationalité ===
{{Article détaillé|Mesure d'irrationalité}}

==== Caractérisation des irrationnels ====
L'ensemble des nombres rationnels est [[Partie dense|dense]] dans celui des réels. Par conséquent, pour tout nombre réel <math>x</math>, rationnel ou irrationnel, il existe une suite de nombres rationnels qui [[Limite (mathématiques)|converge]] vers <math>x</math>. Cependant, tous les réels ne sont pas aussi facilement approchables les uns que les autres. On peut ainsi définir la [[mesure d'irrationalité]] de n'importe quel réel <math>x</math>. Il s'agit de la [[borne supérieure]] de l'ensemble des réels {{math|μ}} pour lesquels il existe une infinité de couples <math>(p, q)</math> d'entiers tels que <math>q > 0</math> et <math> 0 <\left|x-p/q\right|<1/q^\mu</math>. Intuitivement, cela signifie que si un réel <math>x</math> a une mesure d'irrationalité supérieure à celle d'un réel <math>x'</math> alors, à dénominateur égal, il est possible d'approcher <math>x</math> plus finement que <math>x'</math> avec un nombre rationnel.

Le théorème suivant permet de différencier un rationnel d'un irrationnel par leur mesure d'irrationalité<ref name="HardyWright11">{{Harvsp|Hardy|Wright|texte=Hardy et Wright 2007|loc=chap. 11}}.</ref>{{,}}<ref name=bugeaud>{{Ouvrage|langue=en|auteur=Yann Bugeaud|titre=Distribution modulo one and Diophantine approximation |collection=Cambridge Tracts in Mathematics|numéro dans collection=193|lieu=Cambridge|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2012|isbn=978-0-521-11169-0|zbl=1260.11001|<!--math reviews=2953186 (n'apporte rien de plus)-->|doi=10.1017/CBO9781139017732|page=246}}, théorème E.2.</ref> :

{{Théorème|
* La mesure d'irrationalité de tout nombre rationnel est égale à 1.
*La mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2<ref group=N>Le [[Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)|théorème de Hurwitz]] raffine ce résultat en énonçant que pour tout irrationnel {{mvar|x}}, il existe une infinité de rationnels {{sfrac|p|q}} tels que <math>\textstyle{\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^2\sqrt5}}</math> et que la constante {{racine|5}} est optimale : avec n'importe quelle constante plus grande, le théorème est faux pour certains nombres, par exemple le [[nombre d'or]]. Pour plus de détails, voir l'article sur le [[spectre de Lagrange]].</ref>.
|style=display:table}}

On peut renforcer le second point du théorème : si un réel <math>x</math> est irrationnel, l'existence d'une infinité de couples <math>(p, q)</math> d'entiers tels que <math>q>0</math> et <math>\left|x-p/q\right|<1/q^\mu</math> est garantie non seulement pour tout <math>\mu<2</math>, mais même pour <math>\mu=2</math>. Cela se déduit par exemple de l'approximation d'un irrationnel par la suite infinie des réduites de sa fraction continue {{supra|Approximation d'un irrationnel par une fraction continue}}, ou [[Théorème d'approximation de Dirichlet#Utilisations|du théorème d'approximation de Dirichlet]].

Ces théorèmes servent de base à divers résultats permettant de montrer, sous certaines hypothèses, l'irrationalité de la somme d'une [[Série (mathématiques)|série]] dont le terme général est rationnel et qui [[Vitesse de convergence|converge suffisamment rapidement]]<ref>{{article|langue=en|revue=J. Math. Sci. Univ. Tokyo|volume=8|année=2001|p.=275-316|titre=Irrationality of Fast Converging Series of Rational Numbers|auteur=Daniel Duverney|url=http://journal.ms.u-tokyo.ac.jp/pdf/jms080206.pdf}}.</ref>.

==== Valeurs particulières de mesure d'irrationalité ====
Tout irrationnel <math>x</math> a une mesure <math>\mu(x)</math> supérieure ou égale à 2 ; elle vaut même exactement 2 pour [[presque tout]] réel<ref name=Liouville group=N/>. Il n'est cependant pas toujours aisé de la calculer précisément. Elle est tout de même parfois connue ou au moins estimée :
* pour tout nombre irrationnel algébrique <math>\alpha</math>, <math>\mu(\alpha)</math> est fini d'après le [[Théorème de Liouville (approximation diophantienne)|théorème de Liouville]], et même égal à <math>2</math> d'après le [[théorème de Roth]] ;
* les [[nombre de Liouville|nombres de Liouville]], de mesure infinie par définition, sont les [[#Étude de sous-ensembles particuliers d'irrationnels|premiers nombres transcendants à avoir été exhibés]] ;
* <math>\mu(\mathrm e) = 2</math> ;
* <math>2\le\mu(\pi) < 7{,}11</math><ref name = "zeilberger">{{Article|langue = anglais|auteur1 = [[Doron Zeilberger]]|auteur2 = {{Lien|trad = Wadim Zudilin}} |titre = The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…|périodique = Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory|année = 2020|volume = 9|numéro = 4|doi = 10.2140/moscow.2020.9.407}}.</ref>;
* <math>2\le\mu\left(\zeta(3)\right) < 5{,}52</math><ref>{{Article|langue=en|auteur1=Georges Rhin|auteur2=Carlo Viola|périodique=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#A|Acta Arithmetica]]|titre=The group structure for ζ(3)|volume=97|numéro=3|année=2001|pages=269-293|url=https://eudml.org/doc/278880}}.</ref>, où <math>\zeta(3)</math> désigne la constante d'Apéry {{infra|Irrationalité de la constante d'Apéry}}.
* <math>\mu\left(C_{10}\right) = 10</math><ref>{{Article|langue=en|auteur=Masaaki Amou|titre=Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|J. Number Theor]]|vol=37|no=2|année=1991|p.=231-241|doi=10.1016/S0022-314X(05)80039-3}}.</ref>{{,}}<ref group="N">Plus généralement, les nombres analogues à la constante de Champernowne en base <math>b</math> quelconque à une mesure d'irrationalité égale à <math>b</math>.</ref> où <math>C_{10}</math> désigne la [[constante de Champernowne]] {{infra|Recherche de suites de zéros de longueur arbitraire dans le développement}}.

==== Exemples d'applications ====
* La mesure d'irrationalité peut être utilisée pour montrer l'irrationalité de certains nombres comme la [[constante d'Apéry]] {{infra|Irrationalité de la constante d'Apéry}} ou de la [[Série convergente|somme]] de la [[Série (mathématiques)|série]] des inverses des [[Nombre de Fibonacci|nombres de Fibonacci]] {{infra|Séries d'inverses d'entiers}} ;
* En exploitant le fait que <math>\textstyle{\pi}</math> est irrationnel {{infra|Irrationalité de π}} et donc a une mesure d'irrationalité supérieure à 2, on peut montrer que le terme général de la série <math>\sum_{n\in \mathbb{N^*}}\frac{1}{n^2\sin^2n}</math> ne tend pas vers 0 et donc que celle-ci [[Série divergente|diverge]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Xavier Gourdon|titre=Les maths en tête|sous-titre=Analyse|année=2008|numéro d'édition=2|année première édition=1994|pages totales=432|passage=275-276|isbn=978-2-7298-3759-4|numéro chapitre=4|titre chapitre=Suites et séries}}, problème {{n°|7}}.</ref>;
* La nature, convergente ou divergente, de la série <math>\sum_{n\in \mathbb{N^*}}\frac{1}{n^3\sin^2n}</math> n'est pas connue en 2023, mais si elle converge cela impliquerait que la mesure d'irrationalité de <math>\textstyle{\pi}</math> est inférieure ou égale à 2,5<ref>{{Lien web|langue = anglais|titre = Flint Hills Series|site = [[MathWorld]]|url = https://mathworld.wolfram.com/FlintHillsSeries.html}}.</ref>.

=== Approximations simultanées ===
La mesure d'irrationalité de tout nombre irrationnel est supérieure ou égale à 2 {{supra|Mesure d'irrationalité}}. Par conséquent si l'on se donne un nombre <math>\varepsilon > 0</math> et un nombre irrationnel <math>\xi</math>, il est possible de trouver un entier <math>q</math> tel que le produit <math>q\xi</math> soit à une distance inférieure à <math>\varepsilon</math> d'un entier<ref group="N">Par exemple on détermine un entier <math>q_1 \in \mathbb{N}</math> tel que <math>\frac 1{q_1} < \varepsilon</math>, il existe alors deux entiers <math>q > q_1</math> et <math>p</math> tels que <math>\left| \xi - \frac pq \right| < \frac 1{q^2}</math> et donc <math>|q\xi - p| < \frac 1q < \frac 1{q_1} <\varepsilon</math> d'où le résultat.</ref>.

On peut en fait trouver un tel entier <math>q</math> même si l'on se donne un nombre <math>n</math> arbitraire d'irrationnels <math>\xi_1, \dots, \xi_n</math> quelconques à approcher d'un entier avec une erreur arbitrairement petite<ref name="HardyWright11"/>:
{{Théorème|[[Théorème d'approximation de Dirichlet]]|Soit <math>\xi_1, \dots, \xi_n</math> des nombres irrationnels et soit <math>\varepsilon > 0</math>. Il existe un entier <math>q</math> tels que tous les produits <math>q\xi_1, \dots, q\xi_n</math> diffèrent d'un entier d'au plus <math>\varepsilon</math>.
|style=display:table}}

Il est possible, avec quelques restrictions, d'étendre ce résultat à l'approximation de nombres quelconques<ref name="HardyWright23">{{Harvsp|Hardy|Wright|texte=Hardy et Wright 2007|loc=chap. 23}}.</ref> :
{{Théorème|[[Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)|Théorème de Kronecker]]|Soit <math>\alpha_1, \dots, \alpha_k</math> des nombres quelconques et soit <math>\varepsilon > 0</math> et <math>N\in \mathbb{N} </math>. Soit <math>\theta_1, \dots, \theta_k</math> des nombres irrationnels ℚ-[[Indépendance linéaire|linéairement indépendants]]. Alors il existe un entier <math>n > N</math> tel que pour tout <math>m \in \{1 \dots, k\}</math>, <math>|n\theta_m - \alpha_m|</math> diffère d'un entier d'au plus <math>\varepsilon</math>.
|style=display:table}}

== Propriétés de l'ensemble des irrationnels ==
=== Propriétés de clôture ===
L'ensemble ℚ a une [[structure algébrique|structure]] de [[corps commutatif]], cela permet de déduire des résultats généraux sur l'irrationalité de sommes et de produits impliquant à la fois rationnels et irrationnels.
L'ensemble des irrationnels vérifie par exemple la propriété de [[Clôture (mathématiques)#Clôture pour des opérations|clôture]] suivante : si le [[Carré (algèbre)|carré]] (ou plus généralement, une [[Puissance d'un nombre|puissance entière]]) d'un réel est un irrationnel, alors ce réel lui-même est irrationnel (par [[contraposée]] de la proposition selon laquelle tout produit de rationnels est rationnel). Cela permet, connaissant un nombre irrationnel, d'en construire une infinité d'autres.

On peut aussi, sachant que pour tout nombre irrationnel <math>\alpha</math> et tout rationnel <math>r\ne0</math>, les nombres <math>\alpha+r</math> et <math>\frac r\alpha</math> sont irrationnels<ref name="Niven61">{{Harvsp|Niven|1961|loc=chap. 4}}, {{p.|52}}.</ref>, faire [[Action de groupe (mathématiques)|agir]] le [[Groupe général linéaire#Groupe projectif linéaire|groupe projectif linéaire]] <math>\operatorname{PGL}(2,\Q)</math> (ou <math>\operatorname{PGL}(2,\Z)</math><ref group="N">En restreignant l'action à <math>\operatorname{PSL}(2,\Z)</math>, on trouve tous les irrationnels [[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres équivalents|équivalents]] à un irrationnel donné.</ref>) :
{{Théorème|
Soit <math>\alpha</math> un nombre irrationnel. Alors, pour tous rationnels <math>a,b,c,d</math> tels que <math>ad-bc\ne0</math>, le réel <math>\frac{a\alpha+b}{c\alpha+d}</math> est irrationnel.
|style=display:table}}

Par exemple :
*puisque <math>\sqrt5</math> est irrationnel {{infra|Propriété des polynômes à coefficients entiers}}, <math>-\sqrt5</math> et le [[nombre d'or]] <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2</math> le sont aussi ;
*pour tout angle <math>\theta</math> tel que <math>\cos(2\theta)</math> soit irrationnel, les nombres <math>\cos\theta</math>, <math>\sin\theta</math> et <math>\tan\theta</math> sont irrationnels<ref>{{Harvsp|Niven|1961|loc=chap. 5 (« {{Langue|en|Trigonometric and Logarithmic Numbers}} »)}}, {{p.|68}}.</ref>, d'après les [[Identité trigonométrique#Formules de duplication et d'angle moitié|identités trigonométriques]] <math>\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}</math>.

En revanche, la somme et le produit de deux irrationnels peuvent être rationnels : par exemple, <math>-\sqrt5+\sqrt5=0</math> et <math>-\sqrt5\times\sqrt5=-5</math>.

Un irrationnel (strictement positif) [[Exponentielle de base a|élevé à une puissance irrationnelle]] peut être rationnel<ref group=N>Par exemple {{math|1=e{{exp|ln 2}} = 2}} alors que {{math|e}} et {{math|ln 2}} sont irrationnels {{infra|Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité}}.</ref> ou irrationnel, voire transcendant<ref group=N>Le [[théorème de Gelfond-Schneider]] en fournit toute une famille d'exemples.</ref>. D'après la sous-section suivante, on a même : pour ''tout réel'' {{math|''x'' > 0}} différent de {{math|1}}, {{mvar|x{{exp|y}}}} est transcendant pour « presque tous » les réels {{mvar|y}} (tous sauf un ensemble dénombrable), en particulier pour « presque tout » irrationnel {{mvar|y}}.

=== Cardinalité ===
L'ensemble [[Différence ensembliste|ℝ\ℚ]] des irrationnels a la [[puissance du continu]], c'est-à-dire qu'il est en [[bijection]] avec ℝ, comme le prouve, au choix, l'un des trois arguments suivants :
*ℝ est [[Ensemble infini non dénombrable|indénombrable]]<ref name=Cantor group=N>Voir la [[Georg Cantor#Travaux|section « Travaux » de l'article sur Georg Cantor]].</ref> (et [[Théorème de Cantor|même]] [[équipotent]] à l'[[ensemble des parties]] de ℕ) tandis que [[Ensemble dénombrable#Les rationnels|ℚ est dénombrable]] ;
*le sous-ensemble de ℝ\ℚ constitué des réels transcendants a déjà la puissance du continu, puisque [[Ensemble dénombrable#Autres exemples|l'ensemble des réels algébriques est encore dénombrable]]<ref name=Cantor group=N/> ;
*le [[#Développement en fraction continue|développement d'un irrationnel en fraction continue]] [[Espace de Baire (théorie des ensembles)#Relation avec la droite réelle|fournit une bijection entre]] ℝ\ℚ et l'ensemble [[Exponentiation ensembliste|ℕ{{exp|ℕ}}]] de toutes les [[Suite d'entiers|suites d'entiers positifs]].

Ceci revient à une [[Raisonnement par l'absurde|démonstration par l'absurde]] : comme <math>\mathbb R</math> <math>\mathbb =</math> <math>\mathbb Q</math> ∪ <math>\Q'</math>, l'ensemble des rationnels (ℚ) et l'ensemble des irrationnels (ℝ\ℚ ou ℚ’) sont [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaires]] en ℝ ; or comme l'ensemble ℚ est dénombrable, si ℝ\ℚ était dénombrable, leur réunion ℝ serait dénombrable<ref name="Pansu"> {{Lien web |langue=fr |auteur=[[Pierre Pansu]], Université de Paris-Saclay |titre=Dénombrabilité |jour=14 |mois=mai |année=2005 |url=https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pierre.pansu/websm/denombrabilite.pdf |site=universite-paris-saclay.fr |passage=page 4|consulté le= 12/08/2024}}. </ref>. Or, comme Cantor l'a démontré avec son célèbre « [[Argument de la diagonale de Cantor|argument de la diagonale]] », ℝ est indénombrable, alors l'un au moins de ses sous-ensembles complémentaires l'est, et {{cita|l’ensemble ℝ\ℚ des nombres irrationnels n’est pas dénombrable}}<ref name="Pansu"/>.

=== Propriétés topologiques ===
Les parties ℚ et ℝ\ℚ sont [[Ordre dense#Exemples|toutes les deux denses pour l'ordre]] dans ℝ et ''a fortiori'' [[Partie dense|denses]] pour la [[Topologie de la droite réelle|topologie usuelle de ℝ]]. Pour tous réels <math>a < b</math>, il existe un [[Isomorphisme#Exemples|isomorphisme d'ordres]] entre ℚ<math>~\cap~]a, b[</math> et ℚ (c'est un cas particulier d'[[Théorème de Cantor (théorie des ordres)|un théorème de Cantor]], immédiat si <math>a</math> et <math>b</math> sont rationnels). Par [[prolongement]] [[Canonique (mathématiques)|canonique]], ceci montre que l'ensemble des irrationnels de <math>]a, b[</math> est — au sens de l'ordre et ''a fortiori'' au sens topologique — dense dans <math>]a, b[</math> et isomorphe à ℝ\ℚ.

Alors que ℝ est [[espace connexe|connexe]], le [[Topologie induite|sous-espace]] des irrationnels est [[Espace totalement discontinu|totalement discontinu]] (puisqu'il ne contient aucun [[intervalle non trivial]]).

Dans ℝ, les irrationnels forment un G{{ind|δ}} (c'est-à-dire une intersection dénombrable d'[[Ouvert (topologie)|ouverts]]) mais pas un F{{ind|σ}} (c'est-à-dire une union dénombrable de [[Fermé (topologie)|fermés]])<ref group=N>En effet, les rationnels forment un F{{ind|σ}} mais pas un G{{ind|δ}} : voir la [[Hiérarchie de Borel#Propriétés élémentaires|section « Propriétés élémentaires » de l'article « Hiérarchie de Borel »]].</ref>. Autrement dit<ref group=N>Pour cette équivalence, voir la [[Classification des discontinuités#Ensemble des discontinuités d'une fonction|section « Ensemble des discontinuités d'une fonction » de l'article « Classification des discontinuités »]].</ref> : l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction à valeurs réelles peut être égal à ℚ<ref group=N>C'est le cas par exemple de la [[fonction de Thomae]].</ref> mais pas à ℝ\ℚ<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Xavier Gourdon|titre=Les maths en tête|tome=Analyse|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2008|numéro d'édition=2|année première édition=1994|pages totales=432|passage=406|isbn=978-2-7298-3759-4|titre chapitre=Théorème de Baire et applications}}.</ref>.

Alors que l'[[espace métrique]] ℝ est [[Espace complet|complet]], le sous-espace des irrationnels ne l'est pas ([[Espace complet#Quelques théorèmes|puisqu'il n'est pas fermé]] dans ℝ). Cependant, par la bijection évoquée [[#Cardinalité|ci-dessus]], cet [[espace topologique]] est [[homéomorphisme|homéomorphe]] à l'espace métrique complet <math>\N^\N</math>, appelé l'[[Espace de Baire (théorie des ensembles)|espace de Baire]]. Ceci démontre que le [[théorème de Baire]] s'applique aussi à l'espace des nombres irrationnels.

== Exemples de nombres irrationnels et de preuves d'irrationalité ==
Prouver qu'un réel <math> x </math> est irrationnel, c'est prouver qu'il n'existe aucun couple d'entier <math> (p,q) </math> tel que <math> x = \frac pq</math>, or un résultat d'inexistence sur un cas particulier est généralement bien plus difficile à établir qu'un résultat d'existence<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Conjecture and Proof|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|date=2001|auteur=[[Miklós Laczkovich]]|url={{Google Livres|4CP3DwAAQBAJ|page=1}}|numéro chapitre=I|chap=Proofs of Impossibility, Proofs of Nonexistence}}, § 1 : {{Lang|en|Proofs of Irrationality}}.</ref>. Ainsi même s'il est possible de montrer qu'un réel <math> x </math> ne peut pas s'écrire sous la forme <math> x = \frac pq</math> où <math> p </math> et <math> q </math> sont inférieurs à une certaine constante <math> C </math>, cela ne suffit pas pour prouver son irrationalité. Par exemple, on sait que si la [[constante d'Euler-Mascheroni]] est rationnelle alors ce ne peut être qu'une fraction dont le dénominateur comporte au moins {{unité|242080|chiffres}}<ref group=N>Voir la [[Constante d'Euler-Mascheroni#Valeur approchée et propriétés|section « Valeur approchée et propriétés » de l'article « Constante d'Euler-Mascheroni »]].</ref> mais même si cela conduit à supposer son irrationalité, cela n'en constitue aucunement une preuve. Il existe cependant plusieurs techniques de démonstration qui ont permis de statuer sur l'irrationalité de certains cas particuliers.

=== Irrationalité de nombres manifestement algébriques ===
==== Exemple préliminaire ====
{{Article détaillé|Racine carrée de deux#Preuves d'irrationalité{{!}}Irrationalité de {{racine|2}}}}
Le nombre {{racine|2}} est l'un des premiers dont on ait prouvé l'irrationalité. Celle-ci peut en effet être obtenue grâce à des considérations élémentaires de [[Parité (arithmétique)|parité]]<ref name="HardyWright4"/>{{,}}<ref group=N>Cette preuve est traditionnellement attribuée à [[Pythagore]], bien que l'on ne sache pas si elle est de lui ni s'il s'agit de la première à avoir été proposée {{supra|Découverte des irrationnels}}.</ref> :
{{Démonstration/début|titre=Preuve élémentaire de l'irrationalité de {{racine|2}}}}
On [[Raisonnement par l'absurde|raisonne par l'absurde]]. Supposons que <math>\sqrt2</math> soit un nombre rationnel, il existe alors deux entiers <math>a</math> et <math>b</math> [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] tels que <math>\sqrt2 = \frac{a}{b}</math> ce qui est équivalent à dire que <math>2b^2 = a^2</math>. L'entier <math>a^2</math> est donc pair, et par conséquent <math>a</math> est pair, ce qui s'écrit <math>a = 2k</math> où <math>k</math> est un entier. Mais alors comme <math>2b^2 = a^2</math>, il s'ensuit que <math>b^2 = 2k^2</math> et donc <math>b^2</math> et <math>b</math> sont pairs.

<math>a</math> et <math>b</math> sont donc tous les deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux. On a donc abouti à une contradiction en supposant <math>\sqrt2</math> rationnel. C'est donc un nombre irrationnel.
{{Démonstration/fin}}

==== Propriété des polynômes à coefficients entiers ====
*Lorsqu'un [[nombre algébrique]] est irrationnel, le théorème suivant permet souvent de le vérifier :
{{Théorème|Théorème<ref name=Niven4.3>{{Harvsp|Niven|1961|loc=chap. 4, § 3 (« Rational roots of polynomial equations »)}}, {{p.|57-62}} ; c'est une variante plus simple du [[critère d'Eisenstein]].</ref>|Si un rationnel <math>x=\frac ab</math> (mis sous forme [[fraction irréductible|irréductible]]) est solution d'une [[équation polynomiale]] à coefficients entiers<center><math>c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_1x+c_0=0</math>,</center> alors <math>a</math> divise <math>c_0</math> et <math>b</math> divise <math>c_n</math>.
|style=display:table}}
:Il n'y a donc qu'un [[Racine évidente#Racine rationnelle|nombre fini de valeurs possibles, que l'on peut essayer à la main]]. Si aucun de ces rationnels n'est solution, toute solution est irrationnelle.
:;Exemples
::*Les coefficients extrêmes du [[polynôme]] <math>X^2-X-1</math>, dont le [[nombre d'or]] <math>\varphi</math> est racine, sont <math>1</math> et <math>-1</math>, qui ne sont divisibles que par <math>\pm1</math>. Comme <math>1</math> et <math>-1</math> ne sont pas racines du polynôme, on retrouve ainsi {{Supra|Propriétés de clôture}}, sans même résoudre l'[[équation du second degré]], que <math>\varphi</math> est irrationnel.
::*La racine réelle du polynôme <math>P(X)=4X^5+X-3</math> est strictement positive et ne fait pas partie de l'ensemble <math>\left\{\frac14,\frac12,\frac34,1,\frac32,3\right\}</math> ([[Variations d'une fonction|car ''P''(3/4) < 0 < ''P''(1)]]) ; elle est donc irrationnelle.
::*Le nombre <math>\cos\left(\pi/9\right)</math> est racine du polynôme <math>8X^3-6X-1</math><ref group=N name=TheoWantzel/>, dont aucun rationnel n'est racine<ref group=N>Voir la [[Racine évidente#Exemple de preuve d'irrationalité|section « Exemple de preuve d'irrationalité » de l'article « Racine évidente »]].</ref>. Il est par conséquent algébrique de degré 3, donc irrationnel et même non constructible<ref group=N name=TheoWantzel/> (si bien que pour tout entier relatif <math>n</math>, <math>\cos\left(2^n\pi/9\right)</math>, <math>\sin\left(2^n\pi/9\right)</math> et <math>\tan\left(2^n\pi/9\right)</math> sont non constructibles)<ref group="N">Cela se déduit des [[Identité trigonométrique|identités trigonométriques]] classiques valables pour tout réel <math>a</math> : <math>\cos(2a) = 2\cos^2a- 1</math>, <math>\cos^2a+\sin^2a=1</math> et <math>1 + \tan^2a=\frac1{\cos^2a}</math>, ou encore, de la [[Bissectrice#Construction géométrique|constructibilité des bissectrices]].</ref>.
*Dans le théorème ci-dessus, si de plus <math>c_n=1</math>, alors <math>b=1</math> donc <math>x=a</math> (entier)<ref name=Niven4.3/>. Autrement dit : tout [[entier algébrique]] non entier est irrationnel<ref group=N>Pour une démonstration directe dans un cadre plus général, voir la [[Lemme d'Euclide#Fermeture intégrale|section {{nobr|« Fermeture}} intégrale » de l'article « Lemme d'Euclide »]].</ref>. En particulier, on obtient ainsi une généralisation de la [[Racine carrée de deux#Par le lemme de Gauss|preuve de l'irrationalité de {{racine|2}}]] par le [[lemme d'Euclide|lemme de Gauss]]<ref name="HardyWright4"/> :
{{Théorème|Corollaire<ref name=Niven4.3/>|La [[Racine d'un nombre#Racine n-ième d'un nombre réel positif|racine ''n''-ième]] d'un entier ''N'' > 0 est irrationnelle, sauf si ''N'' est la puissance ''n''-ième d'un entier.
|style=display:table}}

==== Nombre d'or : une seconde preuve ====
Toute fraction continue simple infinie représente un irrationnel, et si cette fraction continue est périodique alors l'irrationnel est quadratique {{supra|Développement en fraction continue}}.

La fraction continue la plus simple est [[Nombre d'or#Fraction continue|celle du nombre d'or]], que l'on peut obtenir directement à partir de l'équation <math>\varphi = 1 + \frac1\varphi</math> :
:<math>\varphi = 1+ \cfrac 1{1 + \cfrac 1{1 + \cdots}}</math>.
On retrouve ainsi à nouveau que le nombre algébrique <math>\varphi</math> est irrationnel.

==== [[Fonctions trigonométriques]] ====
{{Article détaillé|Théorème de Niven}}
{{Théorème
 |énoncé =Si un angle en degrés est rationnel et n'est pas un multiple de 30° ni 45°, alors son [[cosinus]], son [[sinus (mathématiques)|sinus]] et sa [[tangente (trigonométrie)|tangente]] sont irrationnels<ref>{{Article|langue=en|auteur=R. S. Underwood|titre=On the irrationality of certain trigonometric functions|périodique=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|vol=28|numéro=10|année=1921|p.=374-376|jstor=2972160}} et {{Article|langue=en|auteur=R. S. Underwood|titre=Supplementary note on the irrationality of certain trigonometric functions|périodique=Amer. Math. Monthly|vol=29|numéro=9|année=1922|p.=346|jstor=2298729}}.</ref>{{,}}<ref group = N>Ce théorème a été redémontré par de nombreux auteurs, notamment Niven : voir [[Théorème de Niven]] et {{Harvsp|Niven|1956|loc=corollaire 3.12 et notes}}, {{p.|41}}.</ref>.
|style=display:table}}

C'est un [[Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques#Rationalité|corollaire du calcul du degré des nombres algébriques {{math|cos(''r''π)}}, {{math|sin(''r''π)}} et {{math|tan(''r''π)}} pour {{mvar|r}} rationnel]], mais on peut aussi le démontrer par une [[preuve sans mots]] utilisant la [[méthode de descente infinie]] dans un [[réseau (géométrie)|réseau]] à deux dimensions<ref>{{YouTube|id = sDfzCIWpS7Q|langue = en|chaîne = [[Burkard Polster|Mathologer]]|titre = What does this prove? Some of the most gorgeous visual "shrink" proofs ever invented}}, le théorème est prouvé à partir de 19 min 52 s à partir des méthodes montrées en début de vidéo.</ref>.

=== Irrationalité de nombres définis par leur développement décimal ===
==== Non-périodicité du développement dans une base ====
Tout rationnel ayant un développement périodique dans toute base, il suffit, pour prouver qu'un réel <math>x</math> est irrationnel, de montrer que dans une certaine base, son développement n'est pas périodique. Cela peut parfois être fait directement comme dans le cas du théorème suivant :
{{Théorème
 |énoncé = La [[constante des nombres premiers]], de [[Système binaire|développement binaire]] <math>0{,}0110101000\dots</math>, est irrationnelle.
 |style=display:table
}}
Ce théorème peut être démontré par l'absurde, en supposant périodique la suite des [[Écart entre nombres premiers|écarts entre nombres premiers consécutifs]] puis en obtenant une contradiction<ref>Consulter {{ouvrage |langue=en 
|auteur1=G. H. Hardy
|auteur2=E. M. Wright
|auteur3=D. R. Heath-Brown
|auteur4=Joseph H. Silverman
|titre=An introduction to the theory of numbers
|éditeur=Oxford University Press|lieu=Oxford
|numéro édition=6
|date=2008
|isbn=978-0-19-921985-8 |oclc=214305907}}</ref>.

Un autre exemple est donné par le théorème suivant :
{{Théorème
 |énoncé = La [[constante de Prouhet-Thue-Morse]] <math>\tau = 0,412~454~033~640 \ldots </math>, dont le développement binaire est la [[suite de Prouhet-Thue-Morse]]  <math>t=0~1~10~1001~10010110~1001011001101001... </math>, est irrationnelle.
 |style=display:table
}}
On peut en effet montrer que la suite de Prouhet-Thue-Morse est sans cube, c'est-à-dire qu'aucun bloc ne se répète trois fois consécutivement : ''a fortiori'' son développement binaire est non-périodique et <math>\tau</math> est donc irrationnelle{{#tag:ref|De plus, [[Kurt Mahler]] a démontré en 1929 que la constante de Prouhet-Thue-Morse est un nombre transcendant<ref>{{article|langue=de | prénom=Kurt | nom=Mahler | lien auteur=Kurt Mahler | titre=Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen | journal=Math. Annalen | volume=101 | année=1929 | pages=342–366 | jfm=55.0115.01 | doi=10.1007/bf01454845| s2cid=120549929 }}</ref>.|group=N}}.

==== Recherche de suites de zéros de longueur arbitraire dans le développement ====
Dans la pratique, la non-périodicité peut être obtenue en établissant l'existence de suites finies de <math>0</math> de longueur arbitraire<ref group="N">Dans le cas de la constante des nombres premiers {{supra|Non-périodicité du développement dans une base}}, on aurait pu aussi montrer l'irrationalité de la constante des nombres premiers en utilisant le fait que pour tout entier <math>n\ge2</math>, les <math>n - 1</math> entiers consécutifs <math>n! + 2, \dots, n! + n </math> sont tous composés.</ref>{{,}}<ref group =N>Certains développements non-périodiques peuvent cependant ne pas comporter de séquences de 0 arbitrairement longues. Par exemple le développement binaire de la constante de Thue-Prouhet-Morse {{supra|Non-périodicité du développement dans une base}} étant sans cube, on n'y trouve jamais trois 0 consécutifs.</ref>. En effet si le nombre est périodique il ne peut comporter des séquences de zéros plus longues que la longueur de sa période à moins d'avoir un développement décimal fini.

Une application élémentaire est fournie par le résultat suivant :
{{Théorème
 |énoncé = La [[constante de Champernowne]] <math>0{,}1234567891011\dots</math> est irrationnelle.
 |style=display:table
}}
En effet, son développement en base <math>10</math> n'est pas périodique parce qu'il contient les entiers de la forme <math>10^k+1</math> pour <math>k</math> arbitrairement grand, et donc des suites de <math>0</math> finies arbitrairement longues. Ce nombre est en fait même [[Nombre normal|normal]] et transcendant.

Un exemple moins [[trivial]] est le suivant :
{{Théorème
 |énoncé = La [[constante de Copeland-Erdős]] <math>0{,}2357111317\dots</math> est irrationnelle.
 |style=display:table
}}
La constante de Copeland-Erdős est définie par <math>C=\sum_{n=1}^\infty p_n10^{-\left(n+\sum_{k=1}^nE(\log_{10}{p_k})\right)}</math> où <math>p_k</math> est le ''k''-ième [[nombre premier]], et où <math>E(\log_{10}{p_k})</math> est la [[partie entière]] de son [[logarithme décimal]]. C'est-à-dire que le [[développement décimal]] de la constante de Copeland-Erdős est la [[concaténation]] des éléments de la suite des nombres premiers.

On montre l'irrationalité de <math>C</math> en exhibant des suites de zéros arbitrairement longues.

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref name="HardyWright9"/>}}
Pour tout entier naturel <math>s</math>, d'après le [[théorème de la progression arithmétique]], la [[suite arithmétique]] <math>\left(k.10^{s+1}+1\right)_{k\in\N^*}</math> contient une infinité de nombres premiers, donc au moins un. Il existe donc au moins un nombre premier dont l'écriture en base dix contient une succession d'au moins <math>s</math> zéros, encadrée par deux chiffres autres que <math>0</math> (le second étant <math>1</math>). Le développement décimal de <math>C</math> contient ainsi des suites de zéros finies mais arbitrairement longues, ce qui prouve qu'il n'est pas périodique, et donc que <math>C</math> n’est pas rationnel.
{{Démonstration/fin}}

L'irrationalité de <math>C</math> peut également se déduire du résultat plus général, mais plus difficile à démontrer, selon lequel la constante de Copeland-Erdős est un [[nombre normal]] en base 10, joint à la propriété élémentaire suivante :
{{Théorème|nom=Propriété<ref group=N name=normal>Voir l'article « [[Nombre normal]] ».</ref>
 |énoncé = Tout nombre normal dans au moins une base est irrationnel.
 |style=display:table
}}

=== Sommes de séries ===
==== Irrationalité de {{math|e}} ====
{{Article détaillé|e (nombre)#Irrationalité{{!}}Irrationalité de {{math|e}}}}

{{Théorème
 |énoncé = Le nombre {{math|e}} est irrationnel.
 |style=display:table
}}
[[Joseph Fourier|Fourier]] redémontre [[#Découverte de nouveaux nombres irrationnels|ce résultat d'Euler]] en utilisant le [[Formulaire de développement en série entière|développement en série entière]] de la [[fonction exponentielle]], évalué en <math>1</math> : <math>\mathrm e=\sum_{n=0}^\infty\dfrac1{n!}</math>.

Cela lui permet de montrer que pour tout entier {{math|''b'' > 0}}, le nombre {{math|''b''! e}} a une [[partie fractionnaire]] non nulle donc n'est pas entier, et donc que {{math|e}} n'est pas rationnel<ref>{{Youtube|langue = en|id = xOXsDfMMTjs|titre = A proof that e is irrational|chaîne = [[Numberphile]]}}.</ref>.

Plus généralement :
*la même méthode<ref name=Niven23>{{Harvsp|Niven|1956|loc=chap. 2 (« {{Langue|en|Simple irrationalities}} »)}}, {{p.|23-24}}.</ref> permet de prouver que pour tout entier {{math|''x'' > 0}} (et donc aussi pour tout rationnel {{math|''x'' ≠ 0}}), {{math|e{{exp|''x''}}}} est irrationnel ;
*pour toute suite <math>(b_n)_{n\in\N}</math> bornée de nombres entiers, les nombres réels <math>\Sigma_{n\geq 0} \frac{b_n}{n!}</math> et <math>\Sigma_{n\geq 0} \frac{b_n 2^n}{n!}</math> ne sont rationnels que si la suite <math>(b_n)_{n\in\N}</math> [[Suite stationnaire|stationne]] à 0<ref name="Boyer">{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Pascal Boyer|titre=Petit compagnon des nombres et de leurs applications|éditeur=Calvage et Mounet|année=2019|pages totales=648|passage=77|isbn=978-2-916352-75-6|partie=I. Arithmétique dans ℤ|numéro chapitre=5|titre chapitre=Nombres réels}}.</ref>.

==== Irrationalité de la constante d'Apéry ====
{{Article détaillé|Théorème d'Apéry}}
Il est possible {{supra|Caractérisation des irrationnels}} de prouver l'irrationalité d'un réel {{mvar|x}} en exhibant une suite de rationnels <math>\frac{p_n}{q_n}\ne x</math> convergeant vers {{mvar|x}} « suffisamment vite », c'est-à-dire telle que, pour un certain {{math|''μ'' > 1}}, on ait <math>\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac1{q_n^\mu}</math> pour tout {{mvar|n}}. C'est grâce à une telle technique que [[Roger Apéry]] a montré en 1978 le résultat suivant, sur l'[[Image (mathématiques)|image]] de 3 par la [[Fonction zêta de Riemann|fonction {{math|ζ}} de Riemann]] :
{{Théorème
 |énoncé = La [[constante d'Apéry]] <math>\zeta(3) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3} \approx 1,202</math> est irrationnelle.
 |style=display:table
}}

==== Séries à croissance exponentielle double ====
Dans le cas des [[Fonction exponentielle double#Suites à croissance exponentielle double|suites à croissance double exponentielle]], on dispose du théorème suivant<ref>{{article|id=Badea (1993)
  | langue = en
  | nom1 = Badea
  | prénom1 = Catalin
  | titre=[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa63/aa6342.pdf A theorem on irrationality of infinite series and applications]
  | année = 1993
  | périodique=[[Acta Arithmetica]]
  | volume = 63
  | pages = 313-323
  }}</ref>:
{{Théorème|énoncé = Soit <math>(a_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> et <math>(b_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> deux suites d'entiers positifs tels qu'au delà d'un certain rang on ait pour tout <math>n</math> l'inégalité <math>a_{n+1} \geq \frac{b_{n+1}}{b_n}a_n^2 - \frac{b_{n+1}}{b_n}a_n + 1</math>. Si la série <math>\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{b_n}{a_n}</math> converge vers un nombre rationnel, alors on a pour tout <math>n</math> au-delà d'un certain rang <math>a_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{b_n}a_n^2 - \frac{b_{n+1}}{b_n}a_n + 1</math> : l'inégalité large est en fait une égalité<ref group = N>La série des inverses des termes de la [[suite de Sylvester]] est un exemple d'une telle série convergeant vers un rationnel, puisqu'elle converge vers 1.</ref>.
|style=display:table}}
En considérant la suite <math>(b_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> constante égale à 1, la [[contraposée]] de ce théorème permet de prouver l'irrationalité de la somme des inverses des [[Nombre double de Mersenne|nombres doubles de Mersenne]]<ref group="N">En effet pour tout entier <math>n</math> on a <math>M_{M_n}^2 - M_{M_n} + 1 = \left (2^{2^n - 1} - 1 \right )^2 - 2^{2^n - 1} + 1 + 1 = 2^{2^{n+1}-2}-2^{2^n}-2^{2^n - 1} + 3</math> et donc <math>M_{M_n}^2 - M_{M_n} + 1 < 2^{2^{n+1}-1} - 1 = M_{M_{n + 1}}</math>.</ref> mais pas de retrouver l'irrationalité de la série des inverses des nombres de Fermat, et ce bien que son terme général croisse comme une exponentielle double<ref group="N">En effet, pour tout entier <math>n</math>, on a <math>F_n^2 - F_n + 1 = \left ( 2^{2^n} + 1 \right )^2 - 2^{2^n} - 1 + 1 = 2^{2^{n+1}} + 2^{2^n} + 1</math> et donc <math>F_{n+1} = 2^{2^{n+1}} + 1 < F_n^2 - F_n + 1</math>. Les nombres de Fermat ne satisfont pas l'hypothèse du théorème, et on ne peut donc pas conclure.</ref> ; ce nombre est cependant bien irrationnel {{infra|Autres séries}} et même [[nombre transcendant|transcendant]], ce qui fut démontré en 1967<ref>{{en}} Schwarz, W.: Remarks on the irrationality and transcendence of certain series. [[Math. Scand.]] 20, 269–274 (1967)</ref>.

==== Autres séries ====
* La [[constante d'Erdős-Borwein]] <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n-1}\approx 1,606695</math>, obtenue comme la somme de la série des inverses des [[Nombre de Mersenne|nombres de Mersenne]], et la somme de la série des inverses des [[Nombre de Fermat|nombres de Fermat]]<ref name=gol>{{Article|langue=en
| périodique=[[Journal canadien de mathématiques|Canad. J. Math.]]
| volume = 15
| auteur   = [[Solomon W. Golomb]]
| url     = https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v15/cjm1963v15.0475-0478.pdf
| titre   = On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities
| pages= 475-478
|année=1963
}}.</ref>{{,}}<ref group = N>Suite {{OEIS2C|A051158}} de l'[[OEIS]].</ref> <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^{2^n}+1}\approx 0{,}596</math> sont irrationnelles. En effet, des suites arbitrairement longues de zéros ont été mises en évidence dans leur développement en [[base 2]]. Le raisonnement mis en œuvre pour ce faire est cependant bien plus technique que dans les exemples précédents.
* En s'inspirant de la méthode d'Apéry {{supra|Irrationalité de la constante d'Apéry}}, Richard André-Jeannin a démontré en 1989<ref>{{Article|auteur=Richard André-Jeannin|titre=Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes|revue=[[CRAS|C. R. Acad. Sci. Paris]]|série=I Math.|vol=308|p.=539-541|date=1989|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5686125p/f9.image}}.</ref> que la [[Série des inverses des nombres de Fibonacci|somme des inverses des nombres de Fibonacci]]<ref>Voir {{MathWorld|nom_url=ReciprocalFibonacciConstant|titre=Reciprocal Fibonacci Constant}}, ainsi que {{OEIS2C|A079586}} ([[développement décimal]]) et {{OEIS2C|A079587}} ([[fraction continue]]).</ref>{{,}}<ref group=N>Nommée par erreur « Constante de Prévost » par {{Lien web|langue=en|auteur=Gérard Michon|titre=Numerical Constants|url=http://nbarth.net/notes/src/notes-calc-raw/others/X-numericana/constants.htm|date=2005|site=Numericana}}, alors que l'article de Marc Prévost sur ce sujet ne date pas de {{Citation|vers 1977}} mais de 1998 et  contient   une généralisation de l'article de Richard André-Jeannin.</ref> est irrationnelle.

=== Autres exemples ===
==== Irrationalité de {{math|π}} ====
{{Article détaillé|Preuve de l'irrationalité de π{{!}}Preuve de l'irrationalité de {{math|π}}}}
{{Théorème
 |énoncé =Le nombre {{math|π}} est irrationnel.
|style=display:table}}
[[Ivan Niven]] redémontre [[Raisonnement par l'absurde|par l'absurde]] [[#Époque moderne|ce résultat de Lambert]], en supposant que <math>\pi=\frac ab</math> avec <math>a</math> et <math>b</math> entiers et en construisant, à partir de cette hypothèse, une expression qui est égale à un nombre entier tout en pouvant être strictement comprise entre 0 et 1, ce qui est absurde. Supposer que <math>\pi</math> est rationnel conduit donc à une contradiction, et donc <math>\pi</math> est irrationnel.

{{Démonstration/début|titre=Démonstration analogue de l'irrationalité de {{math|π{{2}}}}}}
Hardy et Wright, reprenant la méthode de Niven, démontrent de la façon suivante<ref name="HardyWright4">{{Harvsp|Hardy|Wright|texte=Hardy et Wright 2007|loc=chap. 4}}.</ref>{{,}}<ref>{{Harvsp|Niven|1956|loc=chap. 2 (« {{Langue|en|Simple irrationalities}} »)}}, {{p.|19-20}}.</ref> l'irrationalité de {{math|π{{2}}}}, qui implique celle de {{math|π}} {{supra|Propriétés de clôture}}.

Considérons, pour tout entier naturel <math>n</math>, la [[fonction polynomiale]] <math>f_n</math> définie par <math>f_n(x)=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}</math>. Ses dérivées jusqu'à l'ordre {{math|2''n''}} prennent une valeur entière en {{math|0}} (donc aussi en {{math|1}} par symétrie) et la dérivée suivante est nulle.

Supposons que <math>\pi^2=\frac ab</math> avec <math>a</math> et <math>b</math> entiers strictement positifs et posons <math>G_n(x)=\sum_{k\in\N}(-b)^ka^{n-k}f_n^{(2k)}(x)</math>. D'après ce qui précède, <math>G_n(0)</math> et <math>G_n(1)</math> sont des entiers.

De plus, <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(G_n'(x)\sin(\pi x)-\pi G_n(x)\cos(\pi x)\right)=\left(G_n''(x)+\pi^2G_n(x)\right)\sin(\pi x)=\pi^2a^nf_n(x)\sin(\pi x)</math> (par [[Série télescopique|télescopage]]) donc
:<math>\pi\int_0^1 a^n\sin(\pi x)f_n(x)\mathrm dx=\left[\frac{G_n'(x)\sin(\pi x)}{\pi}-G_n(x)\cos(\pi x)\right]_0^1=G_n(0)+G_n(1)\in\Z</math>.

Cependant, sur {{math|]0, 1[}}, la fonction <math>x\mapsto\sin(\pi x)f_n(x)</math> est [[continue]] et strictement comprise entre {{math|0}} et <math>\frac1{n!}</math> [[Théorème des bornes|donc]] <math>0<\pi\int_0^1 a^n\sin(\pi x)f_n(x)\,\mathrm dx<\pi\frac{a^n}{n!}</math>.

De plus, pour {{mvar|n}} suffisamment grand, <math>\pi\frac{a^n}{n!}<1</math> (la [[Fonction exponentielle#Par une série|série {{math|exp(''a'')}}]] est même [[Série convergente|convergente]]). L'entier <math>G_n(0)+G_n(1)</math> est alors strictement compris entre {{math|0}} et {{math|1}}, ce qui est absurde.
{{Démonstration/fin}}

==== Logarithmes d'entiers ====
Puisque (à part {{math|1=e{{exp|0}} = 1}}) toute puissance rationnelle de {{math|e}} est irrationnelle {{supra|Irrationalité de π}}, le [[logarithme népérien]] {{math|ln ''x''}} de tout rationnel positif {{math|''x'' ≠ 1}} est irrationnel<ref name=Niven23/>. Le nombre [[Logarithme décimal|{{math|log{{ind|10}} 2}}]] est lui aussi irrationnel puisqu'il n'existe pas d'entiers ''a, b'' ≠ 0 tels que 2{{exp|''a''}} = 10{{exp|''b''}} ; plus généralement, [[Logarithme|{{math|log}}''{{ind|n}} m'']] = {{sfrac|[[Logarithme naturel|ln ''m'']]|ln ''n''}} est irrationnel<ref group = N>Le [[théorème de Gelfond-Schneider]] permet alors d'en déduire que {{sfrac|ln ''m''|ln ''n''}} est même transcendant.</ref> pour tous entiers ''m, n'' > 1 qui n'ont pas le même ensemble de facteurs premiers<ref name="HardyWright4"/> (ou encore : le même [[radical d'un entier|radical]]). Par exemple : {{math|log{{ind|10}} 15}} et [[Logarithme binaire|{{math|log{{ind|2}} 6}}]] sont irrationnels.

== Problèmes ouverts ==
On ne sait pas si les nombres {{math|π + e}} et {{math|π – e}} sont ou non irrationnels<ref group=N>On sait cependant que l'un au moins de ces deux nombres est irrationnel et même transcendant, puisque leur somme, {{math|2π}}, l'est ; on sait de même qu'un des deux nombres {{math|1=''s'' = π + e}} et {{math|1=''p'' = πe}} est transcendant, car {{math|π}} et {{math|e}} sont racines du polynôme {{math|''X''{{2}} – ''sX'' + ''p''}}.</ref>. On conjecture cependant que {{math|π}}, {{math|e}} et {{math|1}} sont ℚ-[[Indépendance linéaire|linéairement indépendants]]<ref group=N>Et même ({{cf.}} [[Conjecture de Schanuel]]) que  {{math|π}} et {{math|e}} sont ℚ-[[indépendance algébrique|algébriquement indépendants]].</ref>.

<!--ce qui suit tire trop vers les questions de transcendance, hors sujet dans cet article

On sait en revanche que les ensembles {{math|<nowiki>{</nowiki>π, e{{exp|π}}, [[Fonction gamma|Γ(1/4)]]<nowiki>}</nowiki>}}, {{math|<nowiki>{</nowiki>π, e{{exp|π{{racine|3}}}}, Γ(1/3)<nowiki>}</nowiki>}} et {{math|<nowiki>{</nowiki>π, e{{exp|π{{racine|''d''}}}}<nowiki>}</nowiki>}} (pour tout entier {{math|''d'' > 0}}), sont algébriquement libres sur ℚ<ref group = N>Voir l'article [[Indépendance algébrique]].</ref>.
-->

On ne sait pas plus si {{math|2{{exp|e}}}}, {{math|π{{exp|e}}}}, {{math|π{{exp|{{racine|2}}}}}}, la [[constante de Khintchine]] ou la [[constante d'Euler-Mascheroni|constante {{math|γ}} d'Euler-Mascheroni]] sont irrationnels.
On ignore également, pour tout entier impair {{math|''n'' > 3}}, si [[fonction zêta de Riemann|{{math|ζ(''n'')}}]] est irrationnel. En effet, pour les entiers positifs impairs<ref group = N>Les [[Fonction zêta de Riemann#Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul|images des entiers positifs pairs par la fonction {{math|ζ}}]] sont, elles, transcendantes.</ref>, seul le cas de {{math|ζ(3)}} est connu grâce au [[#Utilisation d'approximation par des rationnels|théorème d'Apéry]]. Cependant, il a été prouvé que {{math|ζ}} prend une valeur irrationnelle pour une infinité de nombres impairs, dont au moins l'un des quatre nombres {{math|5}}, {{math|7}}, {{math|9}} ou {{math|11}}<ref group=N>Pour plus de détails, voir la [[Théorème d'Apéry#Généralisations|section « Généralisations » de l'article « Théorème {{nobr|d'Apéry ».}}]]</ref>.
De plus, des [[Mathématiques expérimentales|calculs en haute précision]] rendent extrêmement vraisemblable l'irrationalité et même la transcendance de tous ces nombres.

Certains problèmes ouverts d'autres domaines des mathématiques peuvent être exprimés comme des problèmes d'irrationalité. Par exemple, si la [[Constante de Brun#Prolongements|constante de Brun]] était irrationnelle, cela impliquerait la [[Nombres premiers jumeaux#Conjecture des nombres premiers jumeaux|conjecture des nombres premiers jumeaux]]<ref group = N>En effet une somme finie de termes rationnels est rationnels{{supra|Propriétés de clôture}}. Par [[contraposée]], si la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge vers un nombre irrationnel, alors elle comporte une infinité de termes non nuls et il y a donc une infinité de nombres premiers jumeaux.</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Irrational number|106750593|type=note}}
=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Article annexe ===

* [[Voyages au pays des maths]]

=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
==== Aspects mathématiques ====
* {{Ouvrage|auteur1=Daniel Duverney|titre=Théorie des nombres|éditeur=[[Dunod]]|année=2007}}.
* {{HardyWrightFr}}, particulièrement les chapitres 4 (« Nombres irrationnels »), 9 (« L'écriture décimale des nombres »), 10 (« Fractions continues ») et 11 (« Approximations des irrationnels par des rationnels »). {{plume}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Ivan Niven]]|titre=Irrational Numbers|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1956|lire en ligne={{Google Livres|ov-IlIEo47cC}}}}. {{plume}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Ivan Niven|titre=Numbers|sous-titre=Rational and Irrational|éditeur=The L. W. Singer Company|collection=New Mathematical Library|année=1961|pages totales=136|isbn=978-0-88385-601-7}}. {{plume}}
* {{Ouvrage|langue=de|auteur=[[Oskar Perron]]|titre=Irrationalzahlen|lieu=[[De Gruyter]]|année=1921|url={{Google Livres|GgsOAwAAQBAJ}}}}.
*{{Article|lang=en|titre=Similarities in irrationality proofs for {{math|π}}, {{math|ln2}}, {{math|ζ(2)}}, and {{math|ζ(3)}}|auteur=Dirk Huylebrouck|revue=Amer. Math. Monthly|vol=108|date=2001|p.=222-231|url=https://www.researchgate.net/publication/268494720_Similarities_in_Irrationality_Proofs_for_p_ln2_z2_and_z3}}

==== Aspects historiques ====
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jacqueline Boniface|titre=Les constructions des nombres réels dans le mouvement d'arithmétisation de l'analyse|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2002 |isbn=978-2-7298-1142-6}}. {{plume}}
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Maurice Caveing]]|titre=La constitution du type mathématique de l'idéalité dans la pensée grecque|volume=3|titre volume=L’irrationalité dans les Mathématiques grecques jusqu’à Euclide|éditeur=[[Presses universitaires du Septentrion]]|année=1998|pages totales=343|isbn=2-85939-539-3|bnf=36971590m|présentation en ligne={{Google Livres|ZycSoMNgL2YC}}}}. {{plume}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Éliane Cousquer|titre=La fabuleuse histoire des nombres|éditeur=Diderot multimédia|collection=Jardin des sciences|année=1998|pages totales=259|isbn=2-84352-114-9|numéro chapitre=9|titre chapitre=Des irrationnels aux réels}}. {{plume}}
* {{Article|auteur=[[Édouard des Places]]|titre=Le passage mathématique de l’''Épinomis'' (990 c 5-991 a 4) et la théorie des irrationnelles|périodique= Revue des Études Grecques|tome=48|numéro=228|date= Octobre-décembre 1935|pages=540-550|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/reg_0035-2039_1935_num_48_228_4963|id=ep}}
* {{Ouvrage|langue=fr|langue originale=de|auteur1={{Lien|langue=de|fr=Árpád Szabó}}|traducteur=Michel Federspiel|titre=L'aube des mathématiques grecques|titre original=Entfaltung der grieschischen Mathematik|éditeur=[[Librairie philosophique J. Vrin|Vrin]]|année=2000|année première édition=1993|pages totales=367|isbn=2-7116-1279-1|lire en ligne={{Google Livres|GdinTO2RzDJMC|page=PA151}}|partie=III|titre chapitre=L'irrationalité mathématique}}. {{plume}}

=== Liens externes ===
{{Liens}}
* {{MathWorld|nom_url=IrrationalNumber|titre=Irrational Number}}
* {{YouTube |langue = fr|id = 
3PK2Wm7_HSI | titre = Voyage au pays des maths : les nombres irrationnels | date = 2021 | chaîne = [[Arte]]}}

=== Articles connexes ===
{{colonnes|taille=30|1=
*[[Développement en série de Engel]]
*[[Constante de Lévy]]
*{{Lien|langue=en|trad=Brjuno number|fr=Nombre de Bruno}}
}}

{{Palette|Notion de nombre}}
{{Portail|théorie des nombres}}
{{Bon article|vote=BA|oldid=143355394|date=10 décembre 2017}}

[[Catégorie:Type de nombres|Irrationnel]]