Voir la source de Nombre palindrome

{{Voir homonymes|Palindrome (homonymie)}}
[[Fichier:12022021 (hoy) ambigrama.png|vignette|12022021 est un nombre palindrome.]]
Un '''nombre palindrome''' en [[système de numération|base]] ''b'' est un [[entier naturel|nombre]] (entier) dont l'écriture dans cette base est un [[palindrome]], c'est-à-dire qu'elle se lit de la même façon de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche. Quand la base n'est pas précisée, il s'agit de l'écriture [[décimal]]e usuelle. Ainsi, 1, 11, 272 ou 9669 sont des nombres palindromes.

== Palindromes en base dix==
{{Ancre|Palindromes en base 10}}
Tous les nombres en [[système de numération|base]] [[dix]] d'un [[chiffre]] {[[0 (nombre)|0]], [[1 (nombre)|1]], [[2 (nombre)|2]], [[3 (nombre)|3]], [[4 (nombre)|4]], [[5 (nombre)|5]], [[6 (nombre)|6]], [[7 (nombre)|7]], [[8 (nombre)|8]], [[9 (nombre)|9]]} sont palindromes. Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres :
:{[[11 (nombre)|11]], [[22 (nombre)|22]], [[33 (nombre)|33]], [[44 (nombre)|44]], [[55 (nombre)|55]], [[66 (nombre)|66]], [[77 (nombre)|77]], [[88 (nombre)|88]], [[99 (nombre)|99]]}.
Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :
:{[[101 (nombre)|101]], [[111 (nombre)|111]], [[121 (nombre)|121]], [[131 (nombre)|131]], [[141 (nombre)|141]], [[151 (nombre)|151]], [[161 (nombre)|161]], [[171 (nombre)|171]], [[181 (nombre)|181]], [[191 (nombre)|191]],..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}
et aussi 90 nombres palindromes de quatre chiffres :
:{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},
donc, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 10{{exp|4}}. Il existe {{formatnum:1099}} nombres palindromes inférieurs à 10{{exp|5}} et pour les autres exposants de 10<sup>n</sup>, nous avons : 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,{{formatnum:1099999}},... ({{OEIS|id=A070199}}). Pour certains types de nombres palindromes, ces valeurs sont indiquées dans la table ci-dessous. Ici, [[0 (nombre)|0]] est inclus.
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-----
| bgcolor="#90ee90" |  || bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|1}}
| bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|2}}
| bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|3}} || bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|4}}
| bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|5}}
| bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|6}} || bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|7}}
| bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|8}}
| bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|9}} || bgcolor="#90ee90" | 10{{exp|10}}
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' [[nombre naturel|naturel]]
| 10 || 19 || 109 || 199 || 1099 || 1999
| 10999 || 19999 || 109999 || 199999
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' [[Nombres pairs et impairs|pair]]
| 5 || 9 || 49 || 89 || 489 || 889 || 4889 || 8889
| 48889 || 88889
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' [[Nombres pairs et impairs|impair]]
| 5 || 10 || 60 || 110 || 610 || 1110 ||  6110 || 11110
| 61110 || 111110
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' [[carré parfait]]
| colspan="2" | 4 || colspan="2" | 7 || 14
| 15 || colspan="2" | 20 || colspan="2" | 31
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' [[nombre premier|premier]]
| 4 || 5 || colspan="2" | 20
| colspan="2" | 113 || colspan="2" | 781
| colspan="2" | 5953
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' [[sans carré]]
| 6 || 12 || 67 || 120 || 675 || 1200 || 6821 || 12160
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' avec carré ([[fonction de Möbius|μ(''n'')]]=0)
| 3 || 6 || 41 || 78 || 423 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' carré avec racine première
| colspan="2" | 2 || colspan="2" | 3 || colspan="6" | 5
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' avec un nombre pair de facteurs premiers distincts (μ(''n'')=1)
| 2 || 6 || 35 || 56 || 324 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' avec un nombre impair de facteurs premiers distincts (μ(''n'')=-1)
| 5 || 7 || 33 || 65 || 352 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' pair avec un nombre impair de facteurs premiers
|  ||  ||  ||  || 
|  ||  ||  ||  || 
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' pair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts
| 1 || 2 || 9 || 21 || 100 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' impair avec un nombre impair de facteurs premiers
| 0 || 1 || 12 || 37 || 204 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' impair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts
| 0 || 0 || 4 || 24 || 139 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' pair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts
| 1 || 2 || 11 || 15 || 98 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' impair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts
| 1 || 4 || 24 || 41 || 226 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' impair avec exactement deux facteurs premiers
| 1 || 4 || 25 || 39 || 205 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' pair avec exactement deux facteurs premiers
| 2 || 3 || colspan="2" | 11 || 64 || +
| + || + || + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' pair avec exactement trois facteurs premiers
| 1 || 3 || 14 || 24 || 122 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' pair avec exactement trois facteurs premiers distincts
|  ||  ||  ||  || 
|  ||  ||  ||  || 
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' impair avec exactement trois facteurs premiers
| 0 || 1 || 12 || 34 || 173 || + || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' [[nombre de Carmichael]]
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1+ || + || +
| + || +
|-----
| bgcolor="#fff8cd" | ''n'' pour lequel [[fonction multiplicative|σ(''n'')]] est palindrome
| 6 || 10 || 47 || 114 || 688 || + || + || +
| + || +
|}
[[Buckminster Fuller]] a qualifié les nombres palindromes « nombres de Schéhérazade » dans son livre ''{{Langue|en|Synergetics}}'', parce que [[Schéhérazade]] est le nom de la conteuse dans ''[[Les Mille et Une Nuits|Les Mille et Une (1001) Nuits]]''<ref name=":1">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Elena Deza|auteur2=[[Michel Deza]]|titre=Figurate Numbers|lieu=Singapour|éditeur=[[World Scientific|World Scientific Publishing]]|année=2012|pages totales=456|passage=277|isbn=978-981-4355-48-3|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=cDxYdstLPz4C&pg=PA451&q=2.6+%22Centered+space+figurate+numbers%22&redir_esc=y#v=snippet&q=palindromic&f=false}}</ref>.

=== Des additions ayant un palindrome pour résultat ===
Prenez un nombre au hasard.
Additionnez-le avec son symétrique en lecture. Selon le nombre, en appliquant successivement le même processus au résultat, on peut obtenir un palindrome.

1234 + 4321 = 5555, c'est un palindrome.
Autre exemple :
149 + 941 = 1090 ; 1090 + 0901 = 1991, on obtient un palindrome en deux étapes.

Cette règle fonctionne presque pour tous les nombres. Le premier pour lequel cela ne fonctionne pas est 196. De tels nombres sont rares. Ils sont appelés [[Nombre de Lychrel|nombres de Lychrel]].

=== Des multiplications ayant un palindrome pour résultat ===
12 multiplié par 21 donne 252.

{{formatnum:111111111}} multiplié par {{formatnum:111111111}} donne {{formatnum:12345678987}} {{formatnum:654321}}.

=== Propriété ===
Les nombres palindromes de taille paire sont multiples de 11 (voir [[Liste de critères de divisibilité#Critère de divisibilité par 11]]).

== Définition formelle ==
Bien que les nombres palindromes soient le plus souvent représentés dans le [[système décimal]], le concept de '''palindromicité''' peut être appliqué aux [[Entier naturel|entiers naturels]] dans n'importe quel [[système de numération]]. Considérons un nombre ''n'' > 0 en [[Base (arithmétique)|base]] ''b'' ≥ 2, où il est écrit en notation standard avec ''k''+1 [[chiffre]]s tel que :
: <math>n=\sum_{i=0}^ka_ib^i</math>
avec 0&nbsp;≤&nbsp;''a''<sub>''i''</sub>&nbsp;<&nbsp;''b'' pour tout ''i'' et ''a''<sub>''k''</sub>&nbsp;≠&nbsp;0. Alors ''n'' est un nombre palindrome si et seulement si ''a''<sub>''i''</sub>&nbsp;=&nbsp;''a''<sub>''k''−''i''</sub> pour tout ''i''.

== Bases autres que dix ==
Les nombres palindromes [[Système binaire|binaires]] sont :
: 0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

ou en décimal : 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … {{OEIS|id=A006995}}. Tous les [[Nombre de Fermat|nombres de Fermat]] et [[Nombre de Mersenne premier|de Mersenne]] sont des nombres palindromes binaires.

En base [[dix-huit]], certaines puissances de 7 sont palindromes :
{| class="toccolours"
|7<sup>0</sup>
|=
| style="text-align:right" |1
|-
|7<sup>1</sup>
|=
| style="text-align:right" |7
|-
|7<sup>3</sup>
|=
| style="text-align:right" |111
|-
|7<sup>4</sup>
|=
| style="text-align:right" |777
|-
|7<sup>6</sup>
|=
| style="text-align:right" |12321
|-
|7<sup>9</sup>
|=
| style="text-align:right" |1367631
|}
Et dans la base [[vingt-quatre]], les huit premières puissances de 5 sont palindromes :
{| class="toccolours"
|5<sup>0</sup>
|=
| style="text-align:right" |1
|-
|5<sup>1</sup>
|=
| style="text-align:right" |5
|-
|5<sup>2</sup>
|=
| style="text-align:right" |11
|-
|5<sup>3</sup>
|=
| style="text-align:right" |55
|-
|5<sup>4</sup>
|=
| style="text-align:right" |121
|-
|5<sup>5</sup>
|=
| style="text-align:right" |5A5
|-
|5<sup>6</sup>
|=
| style="text-align:right" |1331
|-
|5<sup>7</sup>
|=
| style="text-align:right" |5FF5
|-
|5<sup>8</sup>
|=
| style="text-align:right" |14641
|-
|5<sup>A</sup>
|=
| style="text-align:right" |15AA51
|-
|5<sup>C</sup>
|=
| style="text-align:right" |16FLF61
|}

=== Nombres palindromes dans plusieurs bases ===
Tout nombre ''n'' est palindrome dans toutes les bases ''b'' avec ''b'' ≥ ''n'' + 1 (car ''n'' est alors un nombre à un seul chiffre), mais aussi dans la base ''n'' – 1 (car ''n'' est alors 11<sub>''n'' – 1</sub>).

La plupart des nombres sont palindromes dans plusieurs bases inférieures au nombre lui-même ; par exemple : <math>1221_4=151_8=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}</math>, <math>1991_{10}=7C7_{16}</math>.

6643 est le plus petit nombre à la fois palindrome en base 2 et en base 3<ref name=":0">{{Article|auteur=[[Jean-Paul Delahaye]]|titre=121, 404 et autres nombres palindromes|revue=[[Pour la science]]|date=10/2017|numéro=480|p.=80-85|url=https://stephane-legros.pagesperso-orange.fr/CPGE/tipe/Delahaye/Delahaye63.pdf}}.</ref>.

Un nombre non palindrome dans toutes les bases 2 ≤ ''b'' < ''n'' – 1 est appelé un [[nombre strictement non palindrome]].

== Propriétés des nombres palindromes ==
* La [[Série (mathématiques)|série]] des inverses des nombres palindromes non nuls est [[série convergente|convergente]] quelle que soit la base<ref>{{Article|auteur=[[Jeffrey Shallit]]|responsabilité1=prop.|auteur2=H. Klauser|responsabilité2=sol.|titre=Elementary problems and solutions — B441. Sum of base-b palindrome reciprocals|vol=19|date=1981|p.=469|revue=[[Fibonacci Quarterly]]|url=https://www.fq.math.ca/Scanned/19-5/elementary19-5.pdf}}.</ref>, vers 3,37028… si la base est dix ({{OEIS|A118031}}).
* Pour toute base de numération supérieure ou égale à 5, tout entier est somme d'au plus 3 nombres palindromes, cette borne est optimale car il existe pour toute base supérieure ou égale à 2 une infinité d'entiers qui ne sont pas somme de deux nombres palindromes (en base dix, c'est par exemple le cas de 21)<ref name=":0" />.

==Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Palindromic number|740489489|type=note}}
{{références}}

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* [[Nombre premier palindrome]]
* [[Palindrome]]
* [[Reimerp]]
* [[Répunit]]
* [[Nombre de Demlo]]

=== Lien externe===
[http://www.le-triangle-et-ses-calculs.ch/index_palindromes.php Les nombres palindromes], par Michel Hort

{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Propriété décimale|Palindrome]]
[[Catégorie:Palindrome]]

[[pl:Palindrom#Palindromy liczbowe]]