Voir la source de Nombre parfait

[[File:Perfect number Cuisenaire rods 6.png|thumb|alt=Illustration du caractère parfait du nombre 6 |Illustration du caractère parfait du nombre 6 à l'aide de [[réglettes Cuisenaire]] : 6 est divisible par 1 (réglettes blanches), par 2 (réglettes rouges) et par 3 (réglettes vertes) et la somme de ces trois réglettes redonne bien 6]]
En [[arithmétique]], un '''nombre parfait''' est un [[entier naturel]] égal à la somme de ses diviseurs sauf lui-même ([[Diviseur strict|diviseurs stricts]]). Plus formellement, un nombre parfait ''n'' est un entier tel que σ(''n'') = 2''n'' où σ(''n'') est la [[Fonction somme des diviseurs|somme des diviseurs]] positifs de ''n''. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.

== Nombres parfaits pairs ==

=== Premières découvertes ===
Dans le [[Livre IX des Éléments d'Euclide|Livre IX]] de [[Éléments (Euclide)|ses ''Éléments'']], [[Euclide]], au {{IIIe siècle av. J.-C.}}, a démontré que si ''M'' = 2{{exp|''p''}} − 1 est [[nombre premier|premier]], alors ''M''(''M'' + 1)/2 = 2{{exp|''p''–1}}(2{{exp|''p''}} – 1) est parfait.

Par ailleurs, [[Leonhard Euler]], au {{XVIIIe siècle}}, a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des [[Nombre de Mersenne premier|nombres de Mersenne premiers]] (nombres premiers de la forme ''M{{ind|p}}'' = 2{{exp|''p''}}&nbsp;−&nbsp;1, l'entier ''p'' étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :

<center><math>2^{p-1}(2^p-1)=2^{p-1}M_p=1+2+4+\cdots+2^{p-1}+M_p+2M_p+4M_p+\cdots+2^{p-2}M_p.</math></center>

{{démonstration
| titre = Démonstration du théorème d'Euclide-Euler
| contenu = On veut montrer l'équivalence :
:{{math|1=''A'' = 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} (avec {{math|1=2<sup>''p''</sup> − 1}} premier) ⇔ {{mvar|A}} est un nombre parfait pair.

;Sens direct :

Soit {{math|1=''A'' = 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}}, où {{math|1=2<sup>''p''</sup> − 1}} est premier. 
:<math>\sigma(A) = \sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) = \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1).</math>

Les diviseurs de {{math|2<sup>''p''−1</sup>}} sont {{math|1, 2, 4, 8, ..., 2<sup>''p''−1</sup>}}. Leur somme est celle des termes d'une [[suite géométrique]], qui vaut donc {{math|1=2<sup>''p''</sup> − 1}}. 

Or ce nombre est premier. Ses seuls diviseurs sont {{math|1}} et lui-même et leur somme vaut {{math|1=2<sup>''p''</sup>}}.

En combinant ces résultats : 
:<math>\begin{align}
   \sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) &= \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1) \\
   &= (2^p - 1)(2^p) \\
   &= 2(2^{p-1})(2^p - 1) \\
   &= 2A.
 \end{align}</math>

Par conséquent {{math|''A'' {{=}} 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} est parfait.

;Sens réciproque

Supposons que {{mvar|A}} soit un nombre parfait pair. {{math|1=''A'' = 2<sup>''p''−1</sup>{{mvar|x}}}}, où {{mvar|x}} est un entier impair. 

Comme {{mvar|A}} est parfait, la somme de ses diviseurs vaut deux fois sa valeur : 
:<math>\sigma(A) = 2A = 2^{p}x = \sigma(2^{p-1}x) =  \sigma(2^{p-1}) \sigma(x) = (2^{p} - 1)\sigma(x)</math>.

Ainsi <math>  2^{p}x = (2^{p} - 1)\sigma(x) </math>.

De cette égalité, le facteur impair {{math|2<sup>''p''</sup> − 1}} du côté droit doit diviser {{mvar|''x''}}, le seul facteur impair du côté gauche ([[Lemme de Gauss (théorie des nombres)|lemme de Gauss]]). Ainsi il existe un entier {{math|''y'' < ''x''}}, tel que {{math|1=''x'' = ''y''(2<sup>''p''</sup> − 1)}}. On divise les deux côtés de l'égalité par le facteur commun (non nul) {{math|1=2<sup>''p''</sup> − 1}} : 
:<math>2^{p}y = \sigma(x) </math>.

Or <math>2^py = \sigma(x) \ge x+y\ = 2^{p}y</math> (on connait au moins deux diviseurs  distincts de {{mvar|x}} : {{mvar|x}} et {{mvar|y}}. Il pourrait y en avoir d'autres. D'où <math>\sigma(x) \ge x+y</math>).

Comme il y a égalité, <math>\sigma(x) = x + y</math>. Les seuls diviseurs de {{mvar|x}} sont donc {{mvar|x}} et {{mvar|y}}, ce qui prouve que {{mvar|x}} est premier, et donc {{math|1=''y'' = 1}} et {{math|1=''x'' = 1(2<sup>''p''</sup> − 1) = 2<sup>''p''</sup> − 1}}.

Ainsi {{math|1=''A'' = 2<sup>''p''−1</sup>(2<sup>''p''</sup> − 1)}} avec {{math|1=2<sup>''p''</sup> − 1}} premier. Ce qui était recherché.
}}

=== Exemples ===
Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'[[Antiquité]] :
*6 = 2{{1}}(2{{2}} – 1) = (1 + 2) + 3 ;
*28 = 2{{2}}(2{{3}} – 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ;
*496 = 2{{4}}(2{{5}} – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ;
*{{formatnum:8128}} = 2{{6}}(2{{7}} – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + {{formatnum:1016}} + {{formatnum:2032}} + {{formatnum:4064}}).

Depuis, le total est passé à 52 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 52 [[Nombre de Mersenne premier|nombres de Mersenne premiers]], le dernier découvert en octobre 2024<ref> {{lien web|titre=Mersenne Prime Number discovery - 2{{exp|136 279 841}}-1 is Prime!|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841 |site=Great Internet Mersenne Prime Search|date=21 octobre 2024}}</ref>) sans même que l'on sache, à partir du {{47e}}, s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts)<ref name="Caldwell">{{en}} [http://primes.utm.edu/mersenne/index.html Mersenne primes and perfect numbers] sur le site ''[[Prime Pages]]''.</ref>{{,}}<ref name="GIMPS">{{en}} [http://mersenne.org/report_milestones/ GIMPS Milestones] sur le site ''[[Great Internet Mersenne Prime Search]]''.</ref>.

Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant (correspondant à la {{OEIS|A000396}})<ref>La ligne ''p'' = 11 est absente car M{{ind|11}} n'est pas premier. Pour toute la liste connue, voir « [[Nombre de Mersenne premier]] ».</ref> :

{| class="wikitable alternance" style="text-align:center"
|-
!scope="col" | ''p''
!scope="col" |Nombre de Mersenne premier ''M{{ind|p}}''
!scope="col" |Nombre parfait 2{{exp|''p''–1}}''M{{ind|p}}''
|-
| 2|| [[3 (nombre)|3]] ||6
|-
| 3|| [[7 (nombre)|7]] ||28
|-
| 5|| [[31 (nombre)|31]] ||496
|-
| 7|| [[127 (nombre)|127]] ||{{formatnum:8128}}
|-
| 13|| [[8 191 (nombre)|{{formatnum:8191}}]] ||{{formatnum:33550336}}
|-
| 17|| [[Nombres 100 000 à 999 999#Nombres dans l'intervalle (100 000 - 249 999)|{{formatnum:131071}}]] ||{{formatnum:8589869056}}
|-
| 19|| [[524 287 (nombre)|{{formatnum:524287}}]] ||{{formatnum:137438691328}}
|}

=== Propriétés ===
Tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou par 28, mais pas forcément en alternance.

En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des [[nombre de Kaprekar|nombres de Kaprekar]] en base deux<ref>{{en}} Douglas E. Iannucci, « [http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/iann2a.html The Kaprekar Numbers] », ''[[OEIS#Histoire|Journal of Integer Sequences]]'', vol. 3, 2000, Article 00.1.2.</ref>.

Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2{{exp|''n''−1}}(2{{exp|''n''}}&nbsp;−&nbsp;1), ce sont des [[nombre triangulaire|nombres triangulaires]] (et même [[Nombre hexagonal|hexagonaux]]) et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence 2{{exp|''n''}}&nbsp;−&nbsp;1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2{{exp|(''n''−1)/2}} premiers cubes impairs. Par exemple :
:28 = 1{{3}} + 3{{3}} ;
:496 = 1{{3}} + 3{{3}} + 5{{3}} + 7{{3}} ;
:8128 = 1{{3}} + 3{{3}} + 5{{3}} + 7{{3}} + 9{{3}} + 11{{3}} + 13{{3}} + 15{{3}}.
La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait pair est égale à 2.

{{Démonstration/début}}

Pour 2{{exp|''p''–1}}(2{{exp|''p''}} – 1), cette somme est égale à <math>\left(\sum_{k=0}^{p-1}\frac1{2^k}\right)\left(1+\frac1{2^p-1}\right)=\frac{1-\frac1{2^p}}{1-\frac12}
\left(1+\frac1{2^p-1}\right)=2</math>.

{{Démonstration/fin}}

== Nombre parfait impair ==

Aujourd'hui, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. En 1496, [[Jacques Lefèvre d'Étaples|Jacques Lefèvre]] a affirmé que tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide<ref>{{Dickson1}}, vol. I, {{p.|6}}.</ref>, ce qui impliquerait bien sûr qu'aucun nombre parfait impair n'existe. En 2003, [[Carl Pomerance]] a présenté une méthode [[Heuristique (mathématiques)|heuristique]] qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe<ref name="oddperfect">{{en}} [http://oddperfect.org/pomerance.html Oddperfect.org].</ref>.

Un nombre parfait impair ''N'' doit remplir les conditions suivantes<ref group="alpha">Dans ce qui suit, <math>k</math> désigne le nombre de facteurs premiers distincts de ''N'' {{nobr|moins un}} (soient q et p<sub>1</sub> à p<sub>k</sub>).</ref>:
* ''N'' est supérieur à<ref name="oddperfect2">{{Article |lang=en |auteur=Pascal Ochem |auteur2=Michaël Rao|titre=Odd perfect numbers are greater than 10{{exp|1500}} |revue=[[Mathematics of Computation |Math. Comp.]] |année=2012 |vol=81 |numéro=279 |url=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf |doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4|p.=1869-1877}}.</ref> 10{{exp|1 500}}.
* ''N'' est de la forme <center><math>N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k}</math></center> où :
** ''q'', ''p''{{ind|1}}, … , ''p{{ind|k}}'' sont des nombres premiers distincts (Euler) ;
** ''q'' [[Congruence sur les entiers|≡ α ≡ 1 (modulo 4)]] (Euler) ;
**le plus petit [[Décomposition en produit de facteurs premiers|facteur premier]] de ''N'' est inférieur à<ref>{{Article |lang=de |auteur=[[Otto Grün]] |titre=Über ungerade vollkommene Zahlen |revue=[[Mathematische Zeitschrift]] |année=1952 |vol=55 |numéro=3 |p.=353-354 |doi=10.1007/BF01181133}}.</ref> (2''k'' + 8) / 3 ;
**la relation ''e''{{ind|1}} ≡ ''e''{{ind|2}} ≡ … ≡ ''e{{ind|k}}'' ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite<ref name=McDaniel1970>{{Article |lang=en |auteur=Wayne L. McDaniel |titre=The non-existence of odd perfect numbers of a certain form |revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#A |Archiv der Mathematik (Basel)]] |vol=21 |année=1970 |p.=52-53 |doi=10.1007/BF01220877}}.</ref> ;
** ''q''{{exp|α}} > 10{{exp|62}} ou ''p{{ind|j}}''{{exp|2''e{{ind|j}}''}} > 10{{exp|62}} pour au moins un<ref name="oddperfect2"/> ''j'' ;
**''N'' est inférieur à<ref>{{Article |lang=en |auteur=Pace P. Nielsen |titre=An upper bound for odd perfect numbers |revue=Integers |année=2003 |vol=3 |p.=A14 |url=http://www.westga.edu/~integers/vol3.html}}.</ref> 2{{exp|4{{exp|''k''}}}}.
* Si ''e{{ind|i}}'' ≤ 2 pour tout ''i'' :
**le plus petit diviseur premier de ''N'' est au moins<ref>{{Article|lang=en|auteur=Graeme L. Cohen|titre=On the largest component of an odd perfect number|revue=J. [[Société mathématique australienne]]|vol=42|numéro=2|p.=280-286|année=1987|date=|url=http://journals.cambridge.org/download.php?file=%2FJAZ%2FJAZ1_42_02%2FS1446788700028251a.pdf&code=99f705901b751a92417e3dfa463249ff}}.</ref> 739 ;
** α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12)<ref name=McDaniel1970/>.
* ''N'' est de la forme 12''m'' + 1 ou 324''m'' + 81 ou 468''m'' + 117<ref name=Roberts2008>{{Article |lang=en |auteur=Tim S. Roberts |titre=On the Form of an Odd Perfect Number |revue=Australian Mathematical Gazette |vol=35 |numéro=4 |année=2008 |p.=244 |url=http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2008/Sep08/CommsRoberts.pdf}}.</ref>.
* Le plus grand diviseur premier de ''N'' est supérieur à<ref>{{Article |lang=en |auteur=Takeshi Goto |auteur2=Yasuo Ohno |titre=Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 |revue=Math. Comp. |année=2008 |url=http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf}}.</ref> 10{{8}}.
* Le second plus grand diviseur premier de ''N'' est supérieur à<ref>{{Article |lang=en |nom=Iannucci |prénom=D. E. |titre=The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand |revue=Math. Comp. |année=1999 |vol=68 |numéro=228 |p.=1749-1760 |url=http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01126-6}}</ref> 10{{4}} et le troisième à<ref>{{Article |lang=en |nom=Iannucci |prénom=D. E. |titre=The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred |revue=Math. Comp. |année=2000 |vol=69 |numéro=230 |p.=867-879 |url=http://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-230/S0025-5718-99-01127-8}}.</ref> 100.
* ''N'' se décompose en au moins 101 facteurs premiers<ref name="oddperfect2"/> dont au moins 10 facteurs premiers distincts<ref>{{Article |lang=en |auteur=Pace P. Nielsen |titre=Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds |revue=Math. Comp. |année=2015 |vol=84 |p.=2549-2567 |url=https://math.byu.edu/~pace/BestBound_web.pdf |doi=10.1090/S0025-5718-2015-02941-X}}.</ref>. Si 3 n'est pas un diviseur de ''N'', alors ''N'' comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts<ref>{{Article |lang=en |auteur=Pace P. Nielsen |titre=Odd perfect numbers have at least nine different prime factors |revue=Math. Comp. |vol=76 |année=2007 |numéro=260 |p.=2109-2126 |url=https://math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf |doi=10.1090/S0025-5718-07-01990-4}}, {{arxiv2 |math.NT/0602485}}.</ref>.
John Voight a trouvé un nombre impair {{Formule||§=''N'' {{=}} ''n''&thinsp;⋅&thinsp;''p''}} où {{Formule||§=''n''}} et {{Formule|''p''}} sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre]] eux, {{Formule|''p''}} premier et <math>\sigma(n)(p-1)=2N</math>, alors qu'il faudrait <math>\sigma(n)(p+1)=2N</math> pour que {{Formule||§=''N''}} soit parfait impair ( <math>n=3^4 7^2 11^2 19^2 </math> et  <math>p=127</math>) <ref name="Quanta">{{Lien web |langue=en |titre=Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem |url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-open-a-new-front-on-an-ancient-number-problem-20200910/ |site=Quanta magazine |date=2020}}</ref>{{,}}<ref name="BYU">{{Article|auteur1=Andersen, Nickolas; Durham, Spencer ; Griffin, Michael J. ; Hales, Jonathan ; Jenkins, Paul ; Keck, Ryan ; Ko, Hankun ; Molnar, Grant; Moss, Eric ; Nielsen, Pace P. ; Niendorf, Kyle ; Tombs, Vandy; Warnick, Merrill ; Wu, Dongsheng|titre=Odd, spoof perfect factorizations|périodique=J. Number Theory|numéro=234|année=2020|arxiv=2006.10697|pages=31-47}} [[arxiv:2006.10697|arXiv version]]</ref>. Il considère alors <math>-N=n(-p)</math> comme nombre parfait impair négatif.

== Propriétés mineures ==
Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres parfaits :
* Un nombre parfait n'est pas divisible par 105<ref>{{Article|lang=de|auteur=Ullrich Kühnel|titre=Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen|revue=Mathematische Zeitschrift|vol=52|année=1949|p.=201-211|url=https://eudml.org/doc/169115}}.</ref>{{,}}<ref group = alpha>Ce résultat ancien est beaucoup moins précis que ceux connus actuellement {{supra|Nombre parfait impair}}.</ref>.
* Le seul nombre parfait pair de la forme {{math|''x''{{3}} + 1}} est 28<ref>{{Article|lang=en|auteur=A. Makowski|titre=Remark on Perfect Numbers|revue=[[Elemente der Mathematik]]|vol=17|numéro=109|année=1962}}.</ref>.
* Un [[nombre de Fermat]] ne peut être parfait<ref>{{Article|lang=en|auteur=Florian Luca|titre=The anti-social Fermat number|revue=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|vol=107|année=2000|p.=171-173}}.</ref>.
* La somme des [[Fonction inverse|inverses]] des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2 :
** pour 6, {{math|1/6 + 1/3 + 1/2+ 1/1 {{=}} 2}} ;
** pour 28, {{math|1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 {{=}} 2}}.
* Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait ''N'' (pair ou impair) est pair, puisque ''N'' ne peut être un carré parfait<ref name="Caldwell"/>.
** De ces deux résultats on déduit que tout nombre parfait est un [[nombre à moyenne harmonique entière]].
* En [[Système décimal|base 10]], tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28 ; en [[Base (arithmétique)|base 9]], à la seule exception de 6, ils se terminent tous par 1<ref>H. Novarese. ''Note sur les nombres parfaits'', Texeira J. VIII (1886), 11-16.</ref>{{,}}<ref>{{Dickson1}}, vol. I, {{p.|25}}.</ref>.
* Le seul nombre parfait [[Entier sans facteur carré|sans facteur carré]] est 6.
== Notions apparentées ==

Si la somme des [[diviseur strict|diviseurs stricts]] est plus petite que le nombre, ce nombre est dit [[nombre déficient|déficient]]. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit [[nombre abondant|abondant]]. Ces termes sont issus de la [[numérologie]] grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs stricts de l'autre est dit [[Nombres amicaux|amical]], les cycles plus étendus sont dits [[nombre sociable|sociables]]. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit [[nombre pratique|pratique]].

== Voir aussi ==

* [[Nombre presque parfait]]
* [[Nombre de Descartes]] (faux nombre parfait impair)

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Perfect number|239526523|type=note}}
=== Notes ===
{{Références |group =alpha}}

=== Références ===
{{références}}

== Liens externes ==
* {{es}} [http://www.polprimos.com Sobre el patrón de los números primos]
* {{en}} [http://amicable.homepage.dk/perfect.htm Known Perfect Numbers]

{{Palette|Notion de nombre|Ensembles de divisibilité}}

{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Propriété arithmétique]]
[[Catégorie:Divisibilité et factorisation]]
[[Catégorie:Nombre premier de Mersenne]]
[[Catégorie:Leonhard Euler]]