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Un '''nombre premier délicat''', est un [[nombre premier]] tel que, si l'on considère son écriture en [[Système décimal|base dix]]<ref group = alpha>La notion de délicatesse peut s'étendre de façon analogue à n'importe quelle [[Base (arithmétique)|base]], mais certains théorèmes présentés dans l'article sont propres à la base dix.</ref>, la modification d'un seul chiffre transforme le nombre de départ en un [[nombre composé]]<ref name="PlS526">{{Article |langue=français |auteur=[[Jean-Paul Delahaye]] |titre=Des nombres premiers robustes ou délicats |périodique=[[Pour la Science]] |numéro=526 |mois=août |année=2021 |date= |lire en ligne=https://www.pourlascience.fr/sr/logique-calcul/des-nombres-premiers-robustes-ou-delicats-22187.php |passage=80-85 }}.</ref>{{,}}<ref name=":12">{{lien web|langue = english|nom=Nadis|prénom=Steve|date=30 March 2021|titre=Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes|url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-a-new-class-of-digitally-delicate-primes-20210330/|consulté le=2021-04-01|website=[[Quanta Magazine]]}}</ref>. Leur étude a été proposée en 1978 par {{Lien|trad = Murray S. Klamkin}} et se poursuit encore en 2021<ref name="PlS526"/>.

== Définition et premier exemple ==
On dit qu'un nombre premier <math>p</math> est un ''nombre premier délicat'', si son écriture décimale à <math>k</math> chiffres <math>p = a_{k-1}a_{k-2}\dots a_1a_0</math> est telle que tout remplacement d'une décimale <math>a_i</math> (avec <math>i \in [0 ; k- 1] </math>) a pour résultat un nombre composé. Comme il existe <math>(10 - 1)\times k = 9k</math> remplacements possibles<ref group = alpha>Chacun des <math>k</math> chiffres peut, en base dix, être modifié de 9 façons différentes.</ref>, identifier un nombre premier délicat nécessite de prouver la non-primalité de beaucoup de nombres ; la délicatesse d'un nombre à 11 chiffres nécessite donc d'établir que les <math>9\times 11 = 99 </math> nombres à 11 chiffres correspondants sont des nombres composés.

En base dix, le plus petit nombre premier délicat est {{formatnum:294001}}<ref name="PlS526"/>{{,}}<ref name="reid">{{lien web|auteur=Les Reid|titre=Solution to Problem #12|url=http://people.missouristate.edu/lesreid/Soln12.html|consulté le=18 février 2011|site=Missouri State University's Problem Corner|langue = english}}</ref>. Cela signifie que {{formatnum:294001}} est premier mais que, par exemple,
{{formatnum:274001}}<ref group = alpha><math>274001=7\times 39143</math>.</ref>,
{{formatnum:294005}}<ref group = alpha><math>294005=5\times 58801</math>.</ref>,
{{formatnum:294031}}<ref group = alpha><math>294031=29\times 10139</math>.</ref>,
{{formatnum:294101}}<ref group = alpha><math>294101=19\times 294101</math>.</ref>,
{{formatnum:296001}}<ref group = alpha><math>296001=9\times 32889</math>.</ref>
ou encore {{formatnum:394001}}<ref group = alpha><math>394001=47 \times8383</math>.</ref>
sont composés<ref group = alpha>Pour être complète, la preuve de délicatesse devrait traiter les <math>9 \times 6 = 54</math> remplacements possibles au lieu des six proposés ici.</ref>.

== Les plus petits nombres premiers délicats ==
Il est possible d'étudier la délicatesse dans d'autres bases que la base dix, par exemple dans les bases [[Numération binaire|2]] à 9.
Le plus petit nombre premier délicat dans chacune d'elles est
<ref name="PlS526"/>{{,}}<ref name="reid"/>:

{| class="wikitable"
|+
! scope=col | Base
! scope=col | Écriture dans la base
! scope=col | En base dix
|-
|2
|{{formatnum:1111111}}<sub>2</sub>
|127
|-
|3
|2<sub>3</sub>
|2
|-
|4
|{{formatnum:11311}}<sub>4</sub>
|373
|-
|5
|313<sub>5</sub>
|83
|-
|6
|{{formatnum:334155}}<sub>6</sub>
|{{formatnum:28151}}
|-
|7
|436<sub>7</sub>
|223
|-
|8
|{{formatnum:14103}}<sub>8</sub>
|{{formatnum:6211}}
|-
|9
|{{formatnum:3738}}<sub>9</sub>
|{{formatnum:2789}}
|}
En numération décimale,
les premiers nombres premiers délicats sont :
:{{formatnum:294001}}, {{formatnum:505447}}, {{formatnum:584141}}, {{formatnum:604171}}, {{formatnum:971767}}, {{formatnum:1062599}}, {{formatnum:1282529}}, {{formatnum:1524181}}, {{formatnum:2017963}}, {{formatnum:2474431}}<ref>{{OEIS|A050249}}.</ref>.

En 2007, il a été établi que le nombre à mille chiffres <math>(17 \times 10^{1000} - 17) / 99 + 21686652</math> est délicat<ref>{{lien web|langue = english|auteur=Carlos Rivera|titre=Puzzle 17 – Weakly Primes|url=http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_017.htm|consulté le=18 février 2011|site=The Prime Puzzles & Problems Connection}}</ref>.

== Répartition ==
Il a été montré en 1978 par [[Paul Erdős]] qu'il existe une infinité de nombres premiers délicats<ref name="PlS526"/>{{,}}<ref name=":12" />. De plus, [[Terence Tao]] a démontré en 2011 qu'en base dix l'ensemble des nombres délicats a une [[Densité asymptotique|densité]] strictement positive dans l'ensemble des nombres premiers<ref name="PlS526"/>{{,}}<ref>{{article|auteur=[[Terence Tao]]|année=2011|titre=A remark on primality testing and decimal expansions|journal={{Lien|trad = Journal of the Australian Mathematical Society}}|volume=91|numéro=3|pages=405–413|arxiv=0802.3361|doi=10.1017/S1446788712000043|s2cid=16931059}}</ref>: les nombres premiers délicats ne se raréfient donc pas par rapport aux nombres premiers, [[Théorème des nombres premiers|contrairement aux nombres premiers]] par rapport aux entiers naturels. La densité exacte des nombres délicats dans l'ensemble des nombres premiers n'est pas connue avec certitude, mais elle est minorée par <math>5 \times 10^{-756576}</math> et semble être voisine de {{formatnum:0.00005}}<ref name="PlS526"/>.

== Nombres premiers gravement délicats ==
En 2021, Michael Filaseta, de l'[[université de Caroline du Sud]] a proposé d'étudier un [[sous-ensemble]] des nombres premiers délicats tels que si l'on ajoute à l'un d'eux une infinité de 0 avant le chiffre de poids fort puis que l'on modifie l'un de ces 0 on obtienne systématiquement un nombre composé<ref name="PlS526"/>. De tels nombres sont appelés ''nombres premiers gravement délicats'' (en anglais {{anglais|widely digitally delicate prime}})<ref>{{lien arXiv|author=Michael Filaseta, Jacob Juillerat|year=2021|title=Consecutive primes which are widely digitally delicate|class=math.NT|eprint=2101.08898}}</ref>. Avec son doctorant, il a établi que cet ensemble est infini, de densité strictement supérieure à <math>5 \times 10^{-756576}</math> et qu'il est possible de trouver des suites de longueur arbitraire de nombres premiers consécutifs qui soient gravement délicats<ref name="PlS526"/>{{,}}<ref name=":12" />{{,}}<ref group = alpha>Le raisonnement utilisé est vulgarisé dans {{Youtube|langue = en|titre = How do you prove a prime is infinitely fragile?|chaine = [[Matt Parker|Stand-up Maths]]|id = p3Khnx0lUDE}} ; il consiste schématiquement à appliquer le [[théorème de la progression arithmétique]] à une [[suite arithmétique]] construite pour que tout nombre premier de la suite soit gravement délicat.</ref>. Ce résultat illustre le fait que les nombres premiers se font de plus en plus rares parmi les grands nombres, et donc qu'il est de moins en moins probable d'obtenir un nombre premier en substituant un chiffre par un autre<ref name="PlS526"/>.

Aucun tel nombre n'est pourtant connu avec certitude, bien qu'un travail non encore publié de 2021 semble en avoir identifié un commençant par {{formatnum:903663}}, se terminant par {{formatnum:399249}} et s'écrivant avec {{formatnum:4030}} chiffres<ref name="PlS526"/>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Delicate prime|id1=1035450597|type=note}}
{{Références}}

{{Palette|Classes de nombres premiers}}

{{Portail|Arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre premier]]