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{{Confusion|Nombre de Pythagore|Constante de Pythagore}}

[[Fichier:Squared_right_triangle.svg|vignette|upright=2|Le nombre premier pythagoricien 5 et sa racine carrée sont tous deux les hypoténuses d'un triangle rectangle à [[cathète]]s entières. Les formules montrent comment transformer tout triangle rectangle à cathètes entières d'hypoténuse ''z'' en un triangle rectangle à cathètes entières d'hypoténuse ''z''{{2}}.]]

En [[arithmétique]], {{refsou<!--ref en français pour au moins l'un de ces 2 noms ? article à renommer si ref seulement pour le 1er nom-->|date=juillet 2016|on appelle parfois '''nombre premier de [[Pythagore]]''' (ou '''nombre premier pythagoricien''')}} un [[nombre premier]] ''p'' qui est l'[[hypoténuse]] d'un [[triangle rectangle]] à côtés [[Entier naturel|entiers]], c'est-à-dire ([[théorème de Pythagore]]) :
<center><math>p^2=a^2+b^2\quad(a,b\in\N^*).</math></center>
D'après la [[Triplet pythagoricien#Théorème fondamental|caractérisation des  triplets pythagoriciens primitifs]], les nombres premiers de Pythagore sont donc les nombres premiers impairs sommes de deux [[Carré (algèbre)|carrés]] :
<center><math>p=x^2+y^2>2\quad(x,y\in\N),</math></center>
c'est-à-dire, par le [[Théorème des deux carrés de Fermat#Le cas des nombres premiers|théorème des deux carrés de Fermat dans le cas des nombres premiers]], les nombres premiers [[Congruence sur les entiers|congrus à 1 modulo 4]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[William J. LeVeque]]|titre=Fundamentals of Number Theory|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2014|année première édition=1977|passage=183|lire en ligne={{Google Livres|0y3DAgAAQBAJ|page=183}}}}.</ref> :
<center><math>p=4k+1\quad(k\in\N).</math></center>
Par exemple, le nombre premier 5 est de Pythagore : 5{{2}} = 3{{2}} + 4{{2}}, 5 = 1{{2}} + 2{{2}}, 5 = 4×1 + 1.

== Valeurs et densité ==
Les dix premiers<ref>Pour les {{Nombre|10000}} premiers, voir la {{OEIS|id=A002144}}.</ref> nombres premiers de Pythagore sont [[5 (nombre)|5]], [[13 (nombre)|13]], [[17 (nombre)|17]], [[29 (nombre)|29]], [[37 (nombre)|37]], [[41 (nombre)|41]], [[53 (nombre)|53]], [[61 (nombre)|61]], [[73 (nombre)|73]] et [[89 (nombre)|89]].

Il y a une infinité de nombres premiers de chacune des deux formes, 4''k'' + 1 et 4''k'' + 3 : on peut invoquer le [[théorème de la progression arithmétique]] ou, plus élémentairement, adapter la méthode du [[théorème d'Euclide sur les nombres premiers]] :

{{Démonstration|titre=Démonstration<ref>Extraite de {{HardyWright}}, {{4e}} éd., {{p.|13}}, qui démontre aussi qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6''k'' + 5.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Édouard Lucas]]|titre=Théorie des nombres|année=1891|passage=353-354|lire en ligne=https://archive.org/stream/thoriedesnombre00lucagoog#page/n368/mode/1up}} (référence fournie par {{Harvsp|Hardy|Wright|texte=Hardy et Wright}}).</ref>|1=
*'''Il y a une infinité de nombres premiers congrus à –1 mod 4<ref>Il existe même, pour tout entier ''a'' ≡ –1 mod 4, une infinité de premiers ''p'' ≡ –1 mod 4 tels que ''a'' ne soit pas un [[Résidu quadratique|carré mod ''p'']] : {{Article|lang=en|auteur=[[:de:Winfried Kohnen|Winfried Kohnen]]|titre=An elementary proof in the theory of quadratic residues|revue=Bull. Korean Math. Soc.|vol=45|numéro=2|année=2008|p.=273-275|url=http://www.mathnet.or.kr/mathnet/thesis_file/08_B07-0304.pdf<!--http://pdf.medrang.co.kr/kms01/BKMS/45/BKMS-45-2-273-275.pdf-->}}.</ref> :'''<br />Soient ''p'' un nombre premier et ''q'' = (2{{2}}.3.5.7.….''p'') – 1. Alors, tous les facteurs premiers de ''q'' sont strictement supérieurs à ''p'', et — puisque ''q'' ≡ –1 mod 4 — au moins l'un d'eux n'est pas congru à 1 mod 4.
*'''Il y a une infinité de nombres premiers congrus à 5 mod 4 et même mod 8 :'''<br />Soient ''p'' un nombre premier et ''q'' = (3{{2}}.5{{2}}.7{{2}}.….''p''{{2}}) + 2{{2}}. Alors, ''q'' ≡ 5 mod 8 (car tout carré impair est congru à 1 mod 8) et ''q'' est une somme de deux carrés premiers entre eux, [[Théorème des deux carrés#Fermat et son petit théorème|donc tous ses facteurs premiers sont de la forme 4''k'' + 1]], c'est-à-dire congrus à 1 ou 5 mod 8, et au moins l'un d'eux n'est pas congru à 1 mod 8. De plus, ce facteur premier est strictement supérieur à ''p'' (comme tous les autres).
}}

Plus précisément, il y a, parmi les entiers inférieurs à ''n'', approximativement autant de nombres premiers de la forme 4''k'' + 1 que de nombres premiers de la forme 4''k'' + 3. Cependant, il y en a souvent légèrement moins ; ce phénomène est connu sous le nom de « [[biais de Tchebychev]] ».

== Représentation de la somme de deux carrés ==
L'équivalence entre les trois caractérisations ci-dessus des nombres premiers de Pythagore n'est valide que pour ''p'' premier. Par exemple, toute somme impaire de deux carrés est congrue à 1 modulo 4, mais il existe des [[Nombre composé|nombres composés]], comme 21, qui sont congrus à 1 modulo 4 sans être sommes de deux carrés<ref name=Stewart>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Ian Stewart (mathématicien)|Ian Stewart]]|titre=Why Beauty is Truth|sous-titre=A History of Symmetry|éditeur=[[Basic Books]]|année=2008|pages totales=290|passage=264|isbn=978-0-465-08237-7|lire en ligne={{Google Livres|6akF1v7Ds3MC|page=264}}}}.</ref>.

Si un entier (non nécessairement premier) est somme de deux carrés alors son carré l'est aussi. Plus généralement, si deux entiers sont sommes de deux carrés, alors leur produit est aussi somme de deux carrés, d'après l'[[Identité de Brahmagupta|identité de Diophante]]<ref name=Stewart/>. Une interprétation de cette [[identité remarquable]] met en jeu les [[entiers de Gauss]] (les [[nombres complexes]] dont la [[partie réelle]] et la [[partie imaginaire]] sont deux [[Entier relatif|entiers relatifs]]).
La [[Entier de Gauss#Norme|norme d'un entier de Gauss]] <math>x+y{\rm i}</math> est l'entier <math>(x+y{\rm i})(x-y{\rm i})=x^2+y^2</math>.
Ainsi, l'ensemble des sommes de deux carrés coïncide avec l'ensemble des normes d'entiers de Gauss, qui est stable par produits.

Un nombre premier de Pythagore n'est pas un [[nombre premier de Gauss]], car il peut se factoriser sous la forme
:<math>p=x^2+y^2=(x+y{\rm i})(x-y{\rm i}).</math>
De même, son carré a une autre factorisation que celle dans l'anneau des entiers relatifs :
:<math>p^2=(x+y{\rm i})^2 (x-y{\rm i})^2=(a+b{\rm i})(a-b{\rm i})=a^2+b^2\quad\text{avec}\quad a=x^2-y^2\quad\text{et}\quad b=2xy.</math>

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Pythagorean prime|684235334|type=n}}
{{Références}}
{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{Portail|arithmétique et théorie des nombres}}

[[Catégorie:Nombre premier]]