Voir la source de Nombre premier régulier

{{Ébauche|algèbre}}
En [[mathématiques]], un '''[[nombre premier]]''' <math>p>2</math> est dit '''régulier''' si une certaine propriété liée aux [[Racine d'un polynôme|racines du polynôme]] <math>X^p-1</math> est vérifiée. Cette notion a été introduite par [[Ernst Kummer]] en 1847, en vue de démontrer le « [[dernier théorème de Fermat]] »<ref>{{ouvrage|lang=en|auteur=[[Lawrence C. Washington]]|titre=Introduction to cyclotomic fields|référence simplifiée=Référence:Introduction to cyclotomic fields|année=1997|url={{Google Livres|qea_OXafBFoC}}}}, notes du chapitre 1.</ref>, dans un article intitulé {{Citation étrangère|lang=de|1=Beweis des Fermat'schen Satzes der Unmöglichkeit von <math>x^\lambda+y^\lambda = z^\lambda</math> für eine unendliche Anzahl Primzahlen <math>\lambda</math>}}.

== Définitions ==
Un nombre premier [[impair]] ''p'' est dit régulier s'il ne divise pas le [[nombre de classes]] du [[corps cyclotomique]] <math>\Q(\zeta_p) </math>, où <math>\zeta_p</math> est une racine primitive <math>p</math>-ième de l'unité.

Une manière de tester la régularité en pratique est donnée par le '''critère de Kummer''' : ''p'' est régulier si et seulement s'il ne divise le [[numérateur]] d'aucun des [[nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]] ''B<sub>k</sub>'', pour <math>k</math> prenant les valeurs paires entre <math>2</math> et <math>p-3</math>.

Un '''nombre premier irrégulier''' est un nombre premier impair non régulier<ref>2 n'est donc ni régulier, ni irrégulier.</ref>. Les nombres premiers irréguliers forment la {{OEIS|id=A000928}} : [[37 (nombre)|37]], [[59 (nombre)|59]], [[67 (nombre)|67]], [[101 (nombre)|101]]{{etc.}}, les réguliers formant la suite {{OEIS2C|id=A007703}}.

{{ancre|Théorème de Metsänkylä}}
Il existe une infinité de nombres premiers irréguliers. Plus précisément, un '''théorème de {{Lien|lang=fi|Tauno Metsänkylä|texte=Metsänkylä}}'''<ref>{{harvsp|Washington|1997|p=84}}.</ref> assure que pour tout [[Sous-groupe#Sous-groupe propre|sous-groupe propre]] <math>H </math> du [[Anneau Z/nZ#Groupe des unités|groupe des unités de l'anneau ℤ/''n''ℤ]], il existe une infinité de nombres premiers irréguliers dont la classe modulo <math>n</math> n'appartient pas à <math>H</math>. 

En revanche, l'existence d'une infinité de nombres premiers réguliers reste une question ouverte<ref>En dépit du titre de l'article de Kummer.</ref>.

== Travaux de Kummer ==
Le travail de Kummer permet précisément de montrer l'assertion suivante : si <math>p</math> est un nombre premier régulier, l'équation <math>x^p+y^p=z^p</math> n'a pas de solutions pour <math>x,\ y </math> et <math>z</math> [[Entier relatif|entiers relatifs]] tous non divisibles par <math>p</math>. Le point central de l'argument, développé en termes modernes, est qu'une telle identité se factorise en :
<center><math>\prod_{i=0}^{p-1}(x+\zeta_p^iy)=z^p,</math></center>
dans le corps <math>\Q(\zeta_p) </math>. Cette égalité peut alors être interprétée comme une égalité entre le produit des idéaux <math>(x+\zeta_p^iy)</math> et l'idéal (<math>z</math>) élevé à la puissance <math>p</math>. On peut montrer que les idéaux <math>(x+\zeta_p^iy)</math> sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] ; la théorie de la [[décomposition des idéaux premiers]] et celle des [[anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]] permettent d'assurer que chacun est la puissance <math>p</math>-ième d'un certain autre idéal <math>A_i</math> ; l'idéal <math>A^p_i</math> est principal, l'hypothèse que le nombre <math>p</math> est régulier — il n'est pas [[diviseur]] du nombre de classes de <math>\Q(\zeta_p) </math> — montre alors que l'idéal <math>A_i</math> lui-même est principal, ce qui fournit une égalité de la forme <math>x+\zeta_p^iy=\varepsilon\alpha^p  </math>, pour une certaine [[groupe des unités|unité]] <math>\varepsilon </math>. Quelques calculs permettent d'aboutir à une contradiction.



== Notes et références ==
{{Références|colonnes=3}}

== Articles connexes==
*[[Théorème de Herbrand-Ribet]]
*[[Théorème de Sophie Germain]]
{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Corps cyclotomiques]]
[[Catégorie:Nombre premier|Régulier]]