Voir la source de Nombre triangulaire

[[Fichier:Nombre triangulaire.gif|centré|sans_cadre|400x400px]]
[[Fichier:TriangleNumbers.svg|droite|vignette|upright=1.3|Représentation figurée des quatre premiers nombres triangulaires.]]
[[Fichier:Die Gartenlaube (1887) b 320 3.jpg|vignette|upright=1.3|Le septième nombre triangulaire est égal à 28.]]
En [[arithmétique]], un '''nombre triangulaire''' est un cas particulier de [[nombre polygonal]]. Il correspond à un [[entier naturel]] non nul égal au nombre de pastilles dans un [[triangle]] construit à la manière des deux figures de droite. La seconde montre que le septième nombre triangulaire — celui dont le côté porte 7 pastilles — est égal à 28. Une définition plus formelle de cette [[suite d'entiers]] s'obtient [[Définition par récurrence|par récurrence]] : le premier nombre triangulaire est 1, et le ''n''-ième est la somme de <math>n</math> et du précédent. Les dix premiers nombres triangulaires sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 ({{OEIS|id=A000217}}). Il existe différentes manières de calculer le ''n''-ième nombre triangulaire ; l'une d'elles est graphique et s'obtient par un raisonnement d'[[algèbre géométrique|arithmétique géométrique]]. On trouve, si <math>T_n</math> désigne le ''n''-ième nombre triangulaire :
<center><math>\forall n\in\N^*\quad T_n=\frac{n(n+1)}2={n+1 \choose 2},</math></center>
où <math>{i \choose j}</math> est le symbole d'un [[coefficient binomial]]. Les nombres triangulaires sont donc ceux de la troisième colonne du [[triangle de Pascal]].

Cette formule est ancienne — on la doit à l'école de [[Pythagore]] — et probablement connue depuis le début du {{Ve siècle av. J.-C.}}

Elle est citée par [[Alcuin]] au {{IXe siècle}} dans un recueil de [[Mathématiques récréatives|récréations mathématiques]]<ref>{{Lien web|langue = français|url = http://www.recreomath.qc.ca/art_alcuin.htm|site = récréomath|titre = Les propositions d'Alcuin|passage = proposition 42. "Des barreaux d'une échelle"}}.</ref>.

== Définition et calculs ==
=== Définitions ===
[[Fichier:Triangular number 10 as sum of gnomons.svg|vignette|upright=0.8|Le ''n''-ième nombre triangulaire s'obtient en ajoutant <math>n</math> au précédent et est donc la somme des entiers de 1 à <math>n</math>.]]

Formellement, les nombres triangulaires sont définis à partir d'une suite, notée <math>(T_n)</math> dans cet article, où <math>n</math> est un indice<ref>Le terme d'indice est celui souvent utilisé pour les suites : Axel Delmotte, William Seck et Hubert Silly, ''Réussir les tests d'entrée des {{3e|cycles}} et écoles de gestion'', Jeunes Editions, 2005 {{ISBN|978-2844725769}}, [https://books.google.fr/books?id=2LUNvDUV1oEC&pg=PA67 {{p.|67}}]. {{Lesquels|date=août 2014|D'autres auteurs}} parlent néanmoins de rang et non pas d'indice.</ref> parcourant les entiers strictement positifs :
{{Théorème|Définition<ref name="Villemin Def">Gérard Villemin ''[http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbTrianB.htm#Départ Nombre triangulaire]'' Nombres - Curiosités, théorie et usages (2007)</ref>|Pour tout entier ''n'' strictement positif, le ''n''-ième nombre triangulaire est<ref>C'est donc le prototype de la [[Suite arithmétique#Somme des termes|somme des termes d'une suite arithmétique]].</ref> la [[Somme (arithmétique)#Somme des premiers entiers|somme des entiers de 1 à ''n'']].}}

Une autre manière de définir cette suite est de le faire par [[Suite définie par récurrence|récurrence]]. Les deux formulations sont équivalentes :
{{Théorème|Définition<ref name="Villemin">Gérard Villemin ''[http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbTrianC.htm Nombre triangulaire]'' Nombres - Curiosités, théorie et usages (2007)</ref>|La suite des nombres triangulaires est définie par :
<center><math>T_1 = 1 \quad\text{et}\quad \forall n \in\N^* \quad T_n = 1 + 2 + \cdots + (n-1) + n = T_{n-1} + n .</math></center>
}}

Chez les Pythagoriciens, le quatrième nombre triangulaire, c'est-à-dire 10, est nommé tetraktys. Il dispose d'une dimension symbolique<ref>{{Ouvrage|lang=en|lien auteur=Walter Burkert|prénom=Walter|nom=Burkert|titre=Lore and Science in Ancient Pythagoreanism|lien éditeur=Harvard University Press|éditeur=HUP|année=1972|page={{douteux|date=août 2014|{{p.|463}}}}|isbn=978-0674539181|url=https://books.google.fr/books?id=0qqp4Vk1zG0C&pg=PA463}}.</ref>.

Remarque : <small>Le choix de ne pas définir le nombre triangulaire d'indice 0 se justifie historiquement, le zéro n'existant pas chez les [[Mathématiques de la Grèce antique|Grecs de l'Antiquité]]. Cette convention est choisie pour certaines présentations didactiques<ref name="Villemin Def" />. Elle est aussi choisie historiquement dans l'encyclopédie de [[Denis Diderot|Diderot]] et [[Jean le Rond D'Alembert|D'Alembert]] pour tous les nombres figurés<ref>[[Denis Diderot]] [[Jean le Rond D'Alembert]] ''[https://books.google.fr/books?id=mxwPAAAAQAAJ&pg=PA478&dq=nombre+triangulaire&cd=4#v=onepage&q=nombre%20triangulaire&f=false Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences des arts et des métiers]'' (1781)</ref>. Mais elle n'est pas toujours suivie. Si l'on admet 0 comme nombre triangulaire, tout entier positif est somme de trois nombres triangulaires. Cette raison pousse [[Pierre de Fermat|Fermat]] et [[Gauss]] à choisir d'accepter 0 comme nombre triangulaire<ref name="Gauss">C. F. Gauss, ''[[Recherches arithmétiques]]'', [https://books.google.fr/books?id=VzEVAAAAQAAJ&pg=PA353 {{p.|353}} de la traduction de 1807].</ref>.</small>

=== Méthodes de calcul ===
[[Fichier:Computation of a triangular number.jpg|vignette|Le double du ''n''-ième nombre triangulaire (que l'on peut appeler le ''n''-ième [[nombre oblong]]) est représenté par un [[rectangle]] ''n'' × (''n'' + 1).|gauche]]
Une vieille méthode de calcul provient de l'[[école pythagoricienne]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Thomas Little|nom1=Heath|lien auteur1=Thomas Heath|titre=A History of Greek Mathematics|volume=1|titre volume=From Thales to Euclid|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2013|année première édition=1921|passage=76-77|isbn=978-1-108-06306-7|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=J-kaAgAAQBAJ&pg=PA76}}.</ref>. Les Grecs de cette époque usaient de [[géométrie]] pour résoudre les questions de cette nature. Cette approche est qualifiée d'[[algèbre géométrique|arithmétique géométrique]]. La figure de droite permet de comprendre comment ils calculaient le {{8e|nombre}} triangulaire. La zone rouge de la figure correspond à ce nombre, c'est-à-dire la somme 1&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;+&nbsp;5&nbsp;+&nbsp;6&nbsp;+&nbsp;7&nbsp;+&nbsp;8. À cette zone rouge, on accole la zone bleue de la figure, contenant exactement le même nombre de pastilles que la rouge. La zone bleue et rouge contient un nombre de pastilles égal à deux fois le {{8e|nombre}} triangulaire. Or cette zone est un rectangle de base 9 et de hauteur 8. Le double du {{8e|nombre}} triangulaire est égal à 8 × 9&nbsp;=&nbsp;72 donc ce {{8e|nombre}} est égal à 36. On retrouve bien la formule annoncée en introduction :

<center><math>T_n=1+2+\cdots+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}2.</math></center>
{| class="wikitable right" style="text-align:center"
|+Les nombres triangulaires sont ceux de la colonne d'indice 2 du [[triangle de Pascal]]
!
!0
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
|-
!1
|1
|1
|
|
|
|
|
|
|
|-
!2
|1
|2
| bgcolor="#FFFF00" |1
|
|
|
|
|
|
|-
!3
|1
|3
| bgcolor="#FFFF00" |3
|1
|
|
|
|
|
|-
!4
|1
|4
| bgcolor="#FFFF00" |6
|4
|1
|
|
|
|
|-
!5
|1
|5
| bgcolor="#FFFF00" |10
|10
|5
|1
|
|
|
|-
!6
|1
|6
| bgcolor="#FFFF00" |15
|20
|15
|6
|1
|
|
|-
!7
|1
|7
| bgcolor="#FFFF00" |21
|35
|35
|21
|7
|1
|
|-
!8
|1
|8
| bgcolor="#FFFF00" |28
|56
|70
|56
|28
|8
|1
|}
Cette formule se réinterprète comme l'expression du ''n''-ième nombre triangulaire sous la forme d'un [[coefficient binomial]] :

<center><math>T_n={n+1\choose 2}.</math></center>

Il en existe une preuve directe [[Preuve sans mots|sans mots]], [[Preuve bijective|par bijection]] entre les pastilles du triangle et les [[paire]]s contenues dans un ensemble à <math>n+1</math> éléments<ref>Cette preuve de {{Article|lang=en|titre=A Discrete Look at 1 + 2 + ⋯ + ''n''|prénom=Loren C.|nom=Larson|revue={{Lien|College Mathematics Journal}}|vol=16|numéro=5|année=1985|p.=369-382}} ({{p.|375}}, figure 7) est reproduite par {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Claudi|nom1=Alsina|prénom2=Roger B.|nom2=Nelsen|titre=Charming Proofs|sous-titre=A Journey Into Elegant Mathematics|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|année=2010|passage=6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=mIT5-BN_L0oC&pg=PA6}} et par {{Chapitre|lang=en|titre=Visual Gems of Number Theory|titre ouvrage=Biscuits of Number Theory|auteurs ouvrage=[[Arthur T. Benjamin]] et [[Ezra Brown]]|prénom=Roger B.|nom=Nelsen|éditeur=MAA|année=2009|url=https://books.google.fr/books?id=_g5TvMCJQB4C&pg=PA53|page=53}}.</ref>.

Pour d'autres preuves, purement algébriques, voir l'article [[Somme (arithmétique)#Somme des premiers entiers|''Somme (arithmétique)'', § « Somme des premiers entiers »]].

== Résultats géométriques ==
Les Grecs de l'école de Pythagore n'avaient pas connaissance des théorèmes fondamentaux de l'[[arithmétique élémentaire]], comme le [[lemme d'Euclide]], le [[théorème de Bachet-Bézout]] ou encore le [[théorème fondamental de l'arithmétique]]. Ils ont développé une arithmétique différente et les résultats présentés ici sont un peu à l'image de leur conception de l'arithmétique<ref>{{Harvsp|Burkert|1972|p=427-446}}.</ref>. Néanmoins, comme il n'existe pas de texte directement écrit sur cette question par les membres de cette école, il est difficile de relier des résultats précis à des dates ou des noms de membres de l'école<ref>{{douteux|date=août 2014|Dans {{Harvsp|Burkert|1972|p=439}}, on trouve :}} {{Citation étrangère|lang=en|1=The only certainty about the discovery of irrationality is that [[Théodore de Cyrène|Theodorus of Cyrene]] proved that √n (for n = 3, ... 17 and not a perfect square) is irrational.}}</ref>, ainsi que d'être catégorique sur le fait qu'un résultat était bien connu d'eux.

=== Somme de deux nombres triangulaires consécutifs ===
[[Image:Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg|vignette|upright=0.8|La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un [[nombre carré]].]]

La figure de droite montre que la somme du quatrième et du cinquième nombre triangulaire forme le cinquième [[carré parfait]], c'est-à-dire 25. Ce résultat n'est pas uniquement vrai pour la valeur cinq :

{{Théorème|||énoncé=Pour tout entier <math>n<1</math>, la somme des deux nombres triangulaires d'indices <math>n</math> et <math>n-1</math> est égale à <math>n^2</math>.|nom=Proposition}}

La formule précédente permet d'établir ce résultat :
<center><math>T_n+T_{n-1}=2T_{n-1}+n=n(n-1)+n=n^2.</math></center>
{{clr}}

=== Un nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires ===
[[Fichier:Somme-de-quatre-nombres-triangulaires (pair).jpg|vignette|gauche|upright=0.8|Cas pair.]]
[[Fichier:Somme-de-quatre-nombres-triangulaires (impair).jpg|vignette|droite|upright=0.8|Cas impair.]]
Les deux graphiques ci-contre indiquent que le ''n''-ième nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires. Ceci est vrai quelle que soit la parité de l'indice <math>n</math>. En effet, ''T''{{ind|14}} est la somme de trois fois ''T''{{ind|7}} et de ''T''{{ind|6}} et ''T''{{ind|15}} est la somme trois fois ''T''{{ind|7}} et de ''T''{{ind|8}}. Cette proposition s'exprime de la manière suivante :

{{Théorème|Proposition<ref name="Villemin" />|À partir de l'indice 3, tout nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires. Plus précisément : pour tout entier <math>n\geqslant2</math>,
<center><math>T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_n\quad\text{et}\quad T_{2n}=3T_n+T_{n-1}.</math></center>}}

En effet :
<center><math>(3T_n+T_{n-1})+(3T_{n-1}+T_n)=4(T_n+T_{n-1})=4n^2=(2n)^2=T_{2n}+T_{2n-1},</math></center>
<center><math>(3T_n+T_{n-1})-(3T_{n-1}+T_n)=2(T_n-T_{n-1})=2n=T_{2n}-T_{2n-1}.</math></center>
{{clr}}

=== Un carré parfait moins 1 est somme de huit nombres triangulaires identiques ===
[[Fichier:Somme de huit nombres triangulaires.jpg|vignette|upright=0.8|La somme de 8 fois un nombre triangulaire et de 1 est un [[nombre carré]].]]
La figure de droite montre qu'il est possible d’emboîter huit nombres triangulaires d'indice 7 pour former un carré de côté 15, auquel il manque la pastille centrale, en gris sur la figure ; résultat qui se généralise à tous les carrés de nombres impairs :

{{Théorème|Proposition<ref name="Villemin" />|Pour tout entier <math>n>0</math>, le carré parfait <math>(2n+1)^2</math> est la somme de 8 fois <math>T_n</math> et de 1 :
<center><math>8T_n+1=(2n+1)^2.</math></center>}}

En effet, ce résultat est directement l'application d'[[Identité remarquable#Énoncés|une identité remarquable]] :
<center><math>(2n+1)^2-1=(2n+1-1)(2n+1+1)=4n(n+1)=8T_n.</math></center>

=== Cubes et nombres triangulaires ===
{{Voir|Somme des n premiers cubes{{!}}Somme des ''n'' premiers cubes}}
Un autre résultat traite des cubes. Il s'énonce ainsi :
{{Théorème|Proposition<ref name="Villemin" />|Si <math>n</math> est un entier supérieur à 2, la différence entre les carrés des nombres triangulaires d'indices <math>n</math> et <math>n-1</math> est égale au [[cube (algèbre)|cube]] de <math>n</math>.|style=display:table}}

Ceci vient de ce que <math>T_n+T_{n-1}=n^2</math> et <math>T_n-T_{n-1}=n</math>, donc <math>T_n^2-T_{n-1}^2=n^3 </math>.

On en déduit :
{{Théorème|Proposition|Si <math>n</math> est un entier strictement positif, la somme des <math>n</math> premiers [[Nombre cubique|nombres cubiques]] est le carré du ''n''-ième nombre triangulaire.|style=display:table}}En effet <math>\sum_{k=1}^n k^3=\sum_{k=1}^n(T_k^2-T_{k-1}^2)=T_n^2</math>.

Ceci est redécouvert par le [[Mathématiques arabes|mathématicien perse]] [[Al-Karaji]]<ref>{{DahanPeiffer}}, {{p.|90}}.</ref>, qui le démontre sur l'exemple <math>n</math> = 10 en considérant des [[Gnomon (géométrie)|gnomons]].

== Autres propriétés ==
=== Entier somme de trois nombres triangulaires ===
En 1638, Fermat affirma détenir une preuve du fait que tout entier est somme de trois nombres triangulaires (à condition de considérer zéro comme un nombre triangulaire) et même d'une généralisation (le [[théorème des nombres polygonaux de Fermat]], finalement démontré par [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] en 1813) et proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique<ref>[[Paul Tannery]] et [[Charles Henry]], ''Œuvres de Fermat'', t. 3, 1896, [https://archive.org/stream/oeuvresdefermat03ferm#page/252 p. 252 : Commentaire de Bachet sur IV, 31].</ref>, mais aucun livre ne parut<ref>[[Joseph Louis Lagrange]], « Démonstration d'un théorème d'arithmétique », ''Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin'', 1770, {{p.|123-133}} – [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f190 ''Œuvres complètes'', tome 3, {{p.|189-201}}].</ref>. En 1796<ref>{{Citation|1={{Page h'|Eurêka|ΕΥΡΗΚΑ}}. num. = Δ + Δ + Δ}}, [[Journal de Gauss]], 10 juillet 1796 {{Lire en ligne|url=http://webdoc.sub.gwdg.de/ebook/e/2005/gausscd/html/gauss-tagebuch/Seite2.htm|texte=v. o.}}, {{Lire en ligne|url=http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1956_num_9_1_4346|texte=v. f.}}.</ref>, Gauss découvrit la preuve suivante<ref name="Gauss" />.

La démonstration ici n'est pas géométrique. L'arithmétique telle qu'on la concevait à l'époque de Pythagore est impuissante pour prouver des résultats de cette nature. La partie difficile de la preuve est le [[théorème des trois carrés]] de [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], qui a pour conséquence que tout entier positif [[Congruence sur les entiers|congru à 3 modulo 8]] est somme de trois carrés parfaits. Soit ''M'' un nombre entier positif, 8''M''&nbsp;+&nbsp;3 est somme de trois carrés. De plus chaque carré de la somme est impair, sinon leur somme ne serait pas congrue à 3 modulo 4. On en déduit l'existence de trois entiers ''x'', ''y'' et ''z'' tels que :
<center><math>8M+3 = (2x+1)^2 + (2y+1)^2 + (2z + 1)^2 = 8\left(\frac {x(x+1)}2 + \frac {y(y+1)}2 + \frac {z(z+1)}2\right) + 3.</math></center>

Cette dernière égalité implique le résultat recherché : ''M'' est la somme des trois nombres triangulaires d'indices ''x'', ''y'' et ''z''.

=== Nombres triangulaires qui sont aussi ''k''-gonaux ===
Il s'agit de résoudre l'[[équation diophantienne]] <math>2T_n\left (= n^2+n \right )=2P_{k,m}\left (= (k-2)m^2-(k-4)m \right ) </math>.

En posant <math>X=2n+1,Y=2(k-2)m-(k-4) </math>, l'équation se met sous la forme de l'[[équation de Pell-Fermat]] : <math>Y^2-(k-2)X^2=(k-3)(k-6) </math><ref name=":0">{{Article|auteur1=Richard Choulet|titre=Pourquoi tant de TROCS et ... si peu de TRONZ|périodique=Bulletin de l'APMEP|numéro=479|pages=788-791|date=Novembre décembre 2008|lire en ligne=https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA08094.pdf}}</ref>.

Par exemple :

* pour <math>k=4 </math>, <math>X=2n+1,Y=4m=2Y' </math> donne l'équation de Pell-Fermat classique <math>X^2-2Y'^2=1 </math>, voir à [[nombre triangulaire carré]].
* pour <math>k=6 </math>, <math>X=2n+1,Y=8m-2=2Y'</math> donne l'équation <math>X^2-Y'^2=0 </math> et on retrouve que les [[Nombre hexagonal|nombres hexagonaux]] sont les nombres triangulaires d'indice impair.
* pour <math>k=8    </math>, <math>X=2n+1=X'/3,Y=12m-4=2Y'</math> donne l'équation <math>X'^2=6Y'^2-15 </math>, voir la résolution dans <ref name=":0" />, ainsi que la {{OEIS|A046181}}.
* pour <math>k=11 </math>, <math>X=2n+1=X'/3,Y=18m-7</math> donne l'équation <math>Y^2-X'^2=40 </math> qui ne fournit pas d'autres solutions que <math>n=m=1 </math><ref name=":0" />.

== Généralisations ==
Si, au lieu de calculer la somme des <math>n</math> premiers nombres entiers strictement positifs, on calcule celle des <math>n</math> premiers carrés strictement positifs, somme que l'on appelle <math>C_n</math>, on obtient :
<center><math>C_n = \frac {n(n+1)(2n+1)}6.</math></center>
L'intuition de l'exactitude de cette formule est donnée par la [[preuve sans mots]] suivante<ref>Elle provient de {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Roger B.|nom1=Nelsen|titre=Proofs without Words|sous-titre=Exercises in Visual Thinking|éditeur=MAA|année=1997|pages totales=152|isbn=978-0-88385-700-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=Kx2cjyzTIYkC&printsec=frontcover}}.</ref> :
[[Fichier:Somme-des-carrés (cl).jpg|vignette|centré|upright=3|Chacune des trois pyramides a pour volume la somme des carrés de 1 à <math>n</math> (<math>n</math> = 4 dans cette illustration) ; le parallélépipède final est de côtés <math>n</math>, <math>n</math> + 1 et <math>n</math> + 1/2.]]

Ce résultat se généralise pour la somme des <math>n</math> premières puissances strictement positives. Cette somme est obtenue par la [[formule de Faulhaber]]. 

{{Article détaillé|Nombre_polytopique#Nombres_simpliciaux_ou_hypertétraédriques}}

Il est aussi possible de généraliser en considérant le nombre de points <math>S_k{(n)}</math> contenus dans un [[simplexe]] dont les côtés sont de longueurs <math>n</math>, dans un espace de dimension <math>k</math>. On obtient :<math>S_k{(n)} = \frac {n(n+1)\cdots(n+(k-1))} {d!}.</math>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Triangular numbers}}
=== Articles connexes ===
*[[Équation de Ramanujan–Nagell]]
*[[Ensemble triangulaire]]
*[[Nombre ennéagonal centré]] (sous-suite des nombres triangulaires d'indices congrus à 1 modulo 3, c'est-à-dire les nombres triangulaires congrus à 1 modulo 9 — les autres étant divisibles par 3)
*[[Nombre hexagonal]] (sous-suite des nombres triangulaires d'indices impairs)
*[[Nombre triangulaire carré]]
*[[Nombre triangulaire centré]]
*[[Nombre tétraédrique]]
*[[Nombre poli]] (différence de deux nombres triangulaires)
=== Bibliographie ===
{{Article|lang=en|auteur=[[George Andrews (mathématicien)|George E. Andrews]]|titre=EϒPHKA! num = Δ + Δ + Δ|revue=[[J. Number Theory]]|vol=23|numéro=3|date=1986|p.=285-293|url=https://www.sciencedirect.com/journal/journal-of-number-theory/vol/23/issue/3}}

{{Palette|Nombres figurés}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre figuré|Triangulaire]]