Voir la source de Nombres premiers jumeaux

[[Fichier:Anzahl Primzahl-Zwillingspaare.png|vignette|nombre de nombres premiers jumeaux avec leur position sur la droite des réels]]
En [[mathématiques]], deux '''nombres premiers jumeaux''' sont deux [[Nombre premier|nombres premiers]] qui ne diffèrent que de [[2 (nombre)|2]]. Hormis pour le [[couple (mathématiques)|couple]] ([[2 (nombre)|2]], [[3 (nombre)|3]]), cet [[écart entre nombres premiers]] de 2 est le plus petit possible. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont [[3 (nombre)|3]] et [[5 (nombre)|5]], [[5 (nombre)|5]] et [[7 (nombre)|7]], [[11 (nombre)|11]] et [[13 (nombre)|13]].

En {{date-|octobre 2019}}, les plus grands nombres premiers jumeaux connus, découverts en 2016 dans le cadre du projet de [[calcul distribué]] ''{{Lang|en|[[PrimeGrid]]}}''<ref>{{Lien web|url=http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=7021|titre= World Record Twin Primes Found!|date=14 septembre 2016|consulté le=13 octobre 2019}}</ref>, sont {{Formatnum: 2996863034895}} × 2{{exp|{{Formatnum: 1290000}}}} ± 1 ; ils possèdent {{Formatnum: 388342}} [[Système décimal|chiffres en écriture décimale]].

Selon la '''conjecture des nombres premiers jumeaux''', il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ; les observations numériques et des raisonnements [[heuristique (mathématiques)|heuristiques]] justifient la conjecture, mais aucune démonstration n'en a encore été faite.

== Définition ==

Soient ''p ''et ''q ''deux [[nombres premiers]]. On dit que (''p'', ''q'') forme un couple de nombres premiers jumeaux si ''q ''= ''p ''+ 2.

== Liste des premiers nombres premiers jumeaux ==

Suite des couples de nombres premiers jumeaux<ref>{{en}} Suite {{OEIS2C|id=A001097}} de l'[[OEIS]].</ref> jusqu'à 1 000 :

{| class="wikitable"
|-
| ([[3 (nombre)|3]], [[5 (nombre)|5]])
| ([[5 (nombre)|5]], [[7 (nombre)|7]])
| ([[11 (nombre)|11]], [[13 (nombre)|13]])
| ([[17 (nombre)|17]], [[19 (nombre)|19]])
| ([[29 (nombre)|29]], [[31 (nombre)|31]])
|- {{ligne grise}}
| ([[41 (nombre)|41]], [[43 (nombre)|43]])
| ([[59 (nombre)|59]], [[61 (nombre)|61]])
| ([[71 (nombre)|71]], [[73 (nombre)|73]])
| ([[101 (nombre)|101]], [[103 (nombre)|103]])
| ([[107 (nombre)|107]], [[109 (nombre)|109]])
|-
| ([[137 (nombre)|137]], [[139 (nombre)|139]])
| ([[149 (nombre)|149]], [[151 (nombre)|151]])
| ([[179 (nombre)|179]], [[181 (nombre)|181]])
| ([[191 (nombre)|191]], [[193 (nombre)|193]])
| ([[197 (nombre)|197]], [[199 (nombre)|199]])
|- {{ligne grise}}
| ([[227 (nombre)|227]], [[229 (nombre)|229]])
| ([[239 (nombre)|239]], [[241 (nombre)|241]])
| ([[269 (nombre)|269]], [[271 (nombre)|271]])
| ([[281 (nombre)|281]], [[283 (nombre)|283]])
| ([[311 (nombre)|311]], [[313 (nombre)|313]])
|-
| (347, 349)
| (419 , 421)
| (431 , 433)
| (461 , 463)
| (521 , 523)
|-{{ligne grise}}
| (569 , 571) 
| (599 , 601)
| (617 , 619)
| (641 , 643) 
| (659 , 661)
|-
| (809 , 811)
| (821 , 823)
| (827 , 829)
| (857 , 859)
| (881 , 883)
|}

== Quelques propriétés ==

* Le couple (2, 3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs.
* Si l'on omet le couple (2, 3), la plus petite distance possible entre deux nombres premiers est 2 ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux [[Nombre impair|nombres impairs]] consécutifs.
* À l'exception du [[n-uplet|triplet]] (3, 5, 7), il ne peut y avoir de [[triplet de nombres premiers]] (''p'', ''p'' + 2, ''p'' + 4), puisque l'un des trois nombres ''p'', ''p'' + 2 et  ''p'' + 4 est divisible par 3.  
* Tout couple de nombres premiers jumeaux, à l'exception du couple (3, 5), est de la forme (6''n ''– 1, 6''n ''+ 1) pour un certain [[entier relatif|entier]] ''n''. En effet, tout triplet d'entiers consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; l'entier qui se trouve entre les deux nombres premiers jumeaux est à la fois ce multiple de 2 et ce multiple de 3, car cela ne peut pas être l'un des nombres premiers.
* La [[racine numérique d'un entier naturel|racine numérique]] (c'est-à-dire la [[somme des chiffres]] itérée jusqu'à obtenir un nombre entre 0 et 9) du produit des deux nombres premiers jumeaux est toujours 8, à l'exception du couple (3,5)<ref>{{Youtube|langue = anglais|id = n4gmYjyI3vo|chaîne = [[Numberphile]]|titre = Twin Proofs for Twin Primes}}.</ref>. Par exemple 11 × 13 = 143 et 1 + 4 + 3 = 8. Dit autrement, le produit de nombres premiers jumeaux, hors 3 et 5, est congru à 8 modulo 9. Cette propriété se déduit de la précédente ; en fait, le produit de tout couple de nombres de la forme (6''n ''– 1, 6''n ''+ 1) sera toujours congru à 8 modulo 9, qu'ils soient premiers ou non.
* Pour tout entier ''m ''≥ 2, le couple (''m'', ''m ''+ 2) est constitué de nombres premiers jumeaux [[Équivalence logique|si et seulement si]] 4<nowiki>[</nowiki>[[Factorielle|(''m ''– 1)!]] + 1<nowiki>]</nowiki> + ''m ''est [[divisible]] par ''m''(''m ''+ 2). Cette caractérisation des nombres premiers jumeaux, remarquée par P. A. Clement en [[1949]]<ref>{{Article|lang=en|prénom=P. A.|nom=Clement|titre=Congruences for sets of primes|revue=[[American Mathematical Monthly|Am. Math. Monthly]]|vol=56|année=1949|p.=23-25|url=http://www.math.sunysb.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1949%20ClementCongruences%20for%20Sets%20of%20Primes.pdf}}.</ref>, résulte du [[théorème de Wilson]].
* Alors que la [[série des inverses des nombres premiers]] est divergente, la [[Série (mathématiques)|série]] des [[inverse]]s de nombres premiers jumeaux est convergente (vers un nombre appelé [[constante de Brun]]). Cette propriété fut démontrée par [[Viggo Brun]] en 1919<ref>{{Article|prénom=Viggo|nom=Brun|titre=La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les dénominateurs sont « nombres premiers jumeaux » est convergente ou finie|revue=Bulletin des Sciences Mathématiques|vol=43|année=1919|p.=100-104 et 124-128}}.</ref>.

== Records ==

Le {{date-|15 janvier 2007}}, les deux projets de calcul distribué ''{{Lang|en|[[Twin Prime Search]]}}'' et ''{{Lang|en|[[PrimeGrid]]}} ''ont découvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux connu à l'époque, de {{Formatnum:58711}} chiffres en écriture décimale. Le découvreur était le Français Éric Vautier<ref name=TopTwenty>{{Lien web|langue=en|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1|titre=Twin Primes|site=Top Twenty}}</ref>.

En {{date-|septembre 2016}}, le couple record<ref name=TopTwenty/> est {{Formatnum:2996863034895}} × 2{{exp|{{Formatnum:1290000}}}} ± 1 ; les deux nombres possèdent {{Formatnum:388342}} chiffres.

== Conjecture des nombres premiers jumeaux ==

La [[conjecture]] des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux :
{{énoncé|Conjecture des nombres premiers|Il existe une infinité de nombres premiers ''p'' tels que ''p'' + 2 soit aussi premier.}}

Cette conjecture partage avec l'[[hypothèse de Riemann]] et la [[conjecture de Goldbach]] le numéro 8 des [[problèmes de Hilbert]], énoncés par ce dernier en 1900.
Bien que la plupart des chercheurs en [[théorie des nombres]] pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Ils se basent sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.

En 1849, [[Alphonse de Polignac]] émit une conjecture plus générale, la [[conjecture de Polignac]] :
{{énoncé|Conjecture de Polignac|Tout [[Parité (arithmétique)|nombre pair]] ''n'' est égal à la [[Soustraction|différence]] de deux nombres premiers consécutifs d'une [[infinité]] de manières.}}
dont le cas ''n'' = 2 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Il existe également une version plus forte de cette conjecture : la [[#La conjecture de Hardy-Littlewood|première conjecture de Hardy-Littlewood]] (cf. infra), qui fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et qui s'inspire du [[théorème des nombres premiers]].

La conjecture des nombres premiers jumeaux et celle de Hardy-Littlewood sont des cas particuliers d’une conjecture quantitative très générale, la [[conjecture de Bateman-Horn]].

=== Résultats partiels ===

En 1940, [[Paul Erdős]] démontra l'existence d'une constante positive ''c'' < 1 pour laquelle l'ensemble des nombres premiers ''p'' tels que ''p{{'}}'' – ''p'' < ''c'' ln(''p'') est infini, où ''p''' désigne le nombre premier suivant immédiatement ''p''.

Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, [[Helmut Maier]] montra que ''c ''peut être choisi inférieur à 1/4. En 2005, [[Daniel Goldston]], [[János Pintz]] et [[Cem Yıldırım]] démontrèrent que ''c'' peut être choisi arbitrairement petit.

Par ailleurs, en 1966, [[Chen Jingrun]] démontra l'existence d'une infinité de « [[Nombre premier de Chen|nombres premiers de Chen]] », c'est-à-dire de nombres premiers ''p'' tels que ''p'' + 2 soit premier ou [[semi-premier]] (un nombre semi-premier est le produit de deux nombres premiers). Son approche est celle de la [[théorie des cribles]], qu'il a utilisée pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la [[conjecture de Goldbach]] (voir [[Théorème de Chen]]).

À partir de 2009, à la suite de la découverte d'une optimisation du [[crible d'Eratosthène]], [[Zhang Yitang]] établit qu'il existe une infinité de nombres premiers consécutifs dont l'écart est inférieur à {{Formatnum:70000000}}, résultat qui constitue une forme faible de la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Le résultat de Zhang a été publié dans les ''[[Annals of Mathematics]]''<ref>{{Article|lang=en|auteur=Y. Zhang|titre=Bounded gaps between primes|revue=Ann. Math.|vol=179|année=2014|p.=1121-1174}}.</ref>. Dans un premier temps, il a été difficile de trouver des relecteurs acceptant d'évaluer le travail<ref>
{{article|lang=en
|titre= Prime Numbers: A Much Needed Gap Is Finally Found
|auteur=[[John Friedlander]]
|date=juin 2015
|numéro= 6 |volume =62
|périodique=[[Notices of the American Mathematical Society|Notices Amer. Math. Soc.]]
|lire en ligne=http://www.ams.org/notices/201506/rnoti-p660.pdf}}.</ref>.

Début 2013, le [[projet Polymath]], un projet de mathématiques collaboratives mené par [[Tim Gowers]] et [[Terence Tao]], a proposé de réduire progressivement cet écart ''N'' = {{unité|70|millions}} pour le faire tendre vers 2 : en {{date-|septembre 2013}} l'écart a été réduit à ''N'' = {{Formatnum:4680}}<ref>[https://www.lemonde.fr/sciences/article/2013/06/24/l-union-fait-la-force-des-mathematiciens_3435624_1650684.html L'union fait la force des mathématiciens], ''[[Le Monde]]'', 24/06/2013.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|titre=Bounded gaps between primes|site=[[Polymath]] 8}}.</ref>. En {{date-|novembre 2013}}, une amélioration significative de ces résultats est annoncée indépendamment par [[James Maynard]] et Terence Tao<ref>{{en}} [http://terrytao.wordpress.com/2013/11/19/polymath8b-bounded-intervals-with-many-primes-after-maynard/ Polymath8b: Bounded intervals with many primes, after Maynard], sur le blog de Terence Tao.</ref> : non seulement l'écart entre deux nombres premiers consécutifs est inférieur ou égal à 600 infiniment souvent, mais un résultat équivalent est valable pour ''m'' nombres premiers consécutifs, quel que soit ''m ''≥ 2. Une nouvelle amélioration est annoncée par le projet Polymath (section Polymath8) début 2014 : d'une part, l'écart serait inférieur à 270 infiniment souvent, d'autre part, en admettant une version généralisée de la [[conjecture d'Elliott-Halberstam]], l'écart serait alors inférieur ou égal à 6<ref>{{en}} [http://gilkalai.wordpress.com/2013/09/20/polymath-8-a-success/ Annonce de ce résultat] sur le blog de [[Gil Kalai]].</ref>. L'écart inconditionnel a été réduit à 246 quelques mois plus tard<ref>
{{Lien arXiv
   | author = DHJ Polymath
   | title = Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes
   | year = 2014
   | version =
   | eprint = 1407.4897
 }}</ref>, puis le projet a été suspendu, l'équipe estimant avoir atteint la limite des techniques employées<ref>{{Lien web|lang=en|url=https://terrytao.wordpress.com/2014/07/20/variants-of-the-selberg-sieve-and-bounded-intervals-containing-many-primes/|titre=Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes|site=[[Polymath]] 8}}</ref>.

En 2019, une version transposée aux [[Polynôme irréductible|polynômes irréductibles]] sur un [[corps fini]] a été prouvée par Sawin et Shusterman : étant donné un polynôme R donné, il existe une infinité de paires de polynômes irréductibles (P, Q) dont la différence est égale à R<ref>{{article|auteur=Lucas Gierczak|titre=Nombres premiers jumeaux : la conjecture avance|périodique=Pour la Science|numéro=506|date=décembre 2019|pages=8}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|auteur1=Will Sawin|auteur2=Mark Shusterman|titre=On the Chowla and twin primes conjectures over <math>\mathbb F_q[T]</math>|url=https://arxiv.org/abs/1808.04001|site=arxiv.org|date=07/09/2019|consulté le=05/04/2020|langue=en}}</ref>.

=== La conjecture de Hardy-Littlewood ===

Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de '''première<ref>Il existe une [[seconde conjecture de Hardy-Littlewood]].</ref> conjecture de [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]]-[[John Edensor Littlewood|Littlewood]]''', en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le [[théorème des nombres premiers]]. Soit π<sub>2</sub>(''x'') le nombre de nombres premiers ''p'' ≤ ''x'' tels que ''p'' + 2 soit aussi premier.

On note ''C''<sub>2</sub> le nombre obtenu de la façon suivante :

:<math>C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0{,}66016\ldots</math><ref>{{en}} Suite {{OEIS2C|id=A005597}} de l'OEIS des décimales de cette constante.</ref>

(ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers ''p'' ≥ 3). ''C''<sub>2</sub> est appelé ''constante des nombres premiers jumeaux''<ref>{{MathWorld|nom_url=TwinPrimes|titre=Twin Primes Constant}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|lang=en
|auteur= R. M. Abrarov|auteur2=S. M. Abrarov
|titre= Properties and Applications of the Prime Detecting Function
|arxiv=1109.6557
|année= 2011
|page= 8
}}.</ref> ou ''constante de Shah et Wilson''<ref>[[François Le Lionnais]], ''Les nombres remarquables'', Hermann, 1983, [https://books.google.fr/books?ei=3ArtTczREIfwsgaKwI3oCg&ct=result&id=ZQ2oAAAAIAAJ&dq=constante+de+Shah-Wilson&q=constante+de+Shah+et+Wilson#search_anchor p. 30]</ref>.

Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :

:<math>\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int_2^x {{\rm d}t \over (\ln t)^2}</math>

(ce qui signifie que le quotient des deux expressions [[limite (mathématiques)|tend vers]] 1 quand ''x'' tend vers l'infini).

Comme le second membre a une limite infinie quand ''x'' tend vers l'infini, cette conjecture démontrerait que le nombre de nombres premiers jumeaux est bien infini.

Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(''t'') est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. Cette conjecture est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée ''conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood''<ref>{{MathWorld|nom_url=TwinPrimeConjecture|titre=Twin Prime Conjecture}}.</ref> utilisée dans les recherches sur la [[conjecture de Goldbach]].

== Notes et références ==
{{Références|colonnes=2}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary=nombre premier jumeau}}
=== Articles connexes ===
* [[Conjecture de Dickson]]
* [[Conjecture de Dubner]]

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html ''Introduction to Twin Primes and Brun's Constant''] (Xavier Gourdon, Pascal Sebah)
* [http://arnflo.se/~site_files/Other/twinprimes Liste des 20 000 premiers couples] de nombres premiers jumeaux
* [https://primes.utm.edu/lists/small/100ktwins.txt Liste des 100 000 premiers couples] de nombres premiers jumeaux
{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Nombre premier|Jumeaux]]
[[Catégorie:Conjecture non résolue|Nombres Premiers Jumeaux]]