Voir la source de Norme (mathématiques)

{{Voir homonymes|Norme (homonymie)}}

En [[géométrie]], la '''norme''' est une extension de la [[valeur absolue]] des nombres aux [[vecteur]]s. Elle permet de mesurer la [[longueur]] commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un [[espace affine]], mais définit aussi une [[distance (mathématiques)|distance]] entre deux vecteurs invariante par [[Translation (géométrie)|translation]] et compatible avec la multiplication externe.

La norme usuelle dans le [[Plan (mathématiques)|plan]] ou l'[[Géométrie dans l'espace|espace]] est dite euclidienne car elle est associée à un [[produit scalaire]], à la base de la [[géométrie euclidienne]].

D'autres normes sont très utilisées sur les [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] (de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie ou infinie), appelés alors '''[[Espace vectoriel normé|espaces vectoriels normés]]'''. Elles sont notamment très importantes en [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] pour obtenir des [[majoration]]s, exprimer la [[différentiation]] sur les [[Espace fonctionnel|espaces de fonctions]] d'une ou [[Fonction de plusieurs variables|plusieurs variables réelles]] ou [[Fonction de plusieurs variables|complexes]], calculer estimations et [[approximation]]s.

Il existe une deuxième notion de norme, utilisée en [[arithmétique]] : elle est traitée dans l'article « [[Norme (théorie des corps)]] ».
<!--À DISCUTER
Conceptuellement, les normes sont à l'origine de la construction d'espaces de fonctions comme les [[Espace Lp|espaces ''L<sup>p</sup>'']] et les [[espace de Sobolev|espaces de Sobolev]] ''W<sub>k,p</sub>'' qui permettent d'exprimer les solutions d'une [[équation aux dérivées partielles]] sous forme faible.-->

== Géométrie euclidienne usuelle ==
=== Définition ===

Si ''A'' et ''B'' sont deux points du plan ou de l'espace usuel, la '''norme''' du vecteur <math>\overrightarrow{AB}</math> est la distance ''AB'', c’est-à-dire la longueur du segment [''AB'']. Elle se note à l'aide d'une double barre : <math>\big\|\overrightarrow{AB}\big\|</math>, symbole proposé par [[Stefan Banach]] dans sa thèse ''Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales'', présentée en juin 1920.

La norme, la direction et le sens sont les trois données qui caractérisent un vecteur et qui ne dépendent donc pas du choix du représentant.
{{Article détaillé|Vecteur}}

Dans Unicode, la double barre « ‖ » est le caractère [[Table des caractères Unicode/U2000|U+2016]], qui est distinct du symbole de parallélisme « ∥ » [[Table des caractères Unicode/U2200|U+2225]].

=== Calcul ===

* La norme usuelle (euclidienne) d'un vecteur peut se calculer à l'aide de ses coordonnées dans un [[repère orthonormé]] à l'aide du [[Théorème de Pythagore#Distance euclidienne|théorème de Pythagore]].
** Dans le plan, si le vecteur <math>\vec u</math> a pour coordonnées <math>(x,y)</math>, sa norme s'écrit<center><math>\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2}.</math></center><br/> Si les points <math>A</math> et <math>B</math> ont pour coordonnées respectives <math>(x_A, y_A)</math> et <math>(x_B, y_B)</math> alors : <center><math>\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.</math></center>
** Dans l'espace, si le vecteur <math>\vec u</math> a pour coordonnées <math>(x,y,z)</math>, sa norme s'écrit : <center><math>\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.</math></center><br/> Si les points <math>A</math> et <math>B</math> ont pour coordonnées respectives <math>(x_A,y_A,z_A)</math> et <math>(x_B,y_B,z_B)</math> alors : <br/><br/><center><math>\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}.</math></center>
*La norme (euclidienne) d'un vecteur peut s'obtenir à partir du [[produit scalaire]] du vecteur avec lui-même :<center><math>\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot \vec u}.</math></center>

=== Propriétés ===

* La norme ne s'annule que pour le vecteur nul <math>\vec 0</math>.
* La norme du produit par un nombre est le produit de la norme par la valeur absolue de ce nombre :<center><math>\|k\vec u\| = |k|\times \|\vec u\|.</math></center>En particulier, tout vecteur a la même norme que son opposé :<center><math>\|-\vec u\| = \|\vec u\|.</math></center>

== Sur un espace vectoriel quelconque ==
=== Définition formelle ===

Soient {{math|''K''}} un [[corps commutatif]] muni d'une [[Valeur absolue#Valeur absolue dans un corps|valeur absolue]] et {{math|''E''}} un {{math|''K''}}-[[espace vectoriel]].

Une '''norme''' sur {{math|''E''}} est une application <math>\mathcal N</math> sur {{math|''E''}} à valeurs [[nombre réel|réelles]] et satisfaisant les hypothèses suivantes<ref>{{Ouvrage|auteur=Xavier Gourdon|titre=Analyse|éditeur=|date=2020|isbn=978-2-340-03856-1|oclc=1160201780}}.</ref> :
* '''[[Espace séparé|séparation]]''' : <math> \forall x \in E\quad\mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E </math> ;
* '''[[Fonction homogène|absolue homogénéité]]''' : <math> \forall (\lambda, x)\in K\times E\quad\mathcal N (\lambda x) = |\lambda|\operatorname{\mathcal N}(x) </math> ;
* '''[[sous-additivité]]''' (appelée également '''[[inégalité triangulaire]]''') : <math> \forall (x,y) \in E^2\quad\mathcal N (x + y) \leq \mathcal N (x) + \mathcal N (y) </math>.

;Remarques.
:*La réciproque de l'axiome de séparation est vraie.{{Retrait|En effet, par homogénéité, <math> \mathcal N (0_E)= \mathcal N( 0\cdot0_E)=0\operatorname{\mathcal N}(0_E)=0</math>.}}
:*Une norme est toujours positive.{{Retrait|En effet, pour tout vecteur <math>x</math>, <math>0=\mathcal N(0_E)=\mathcal N(x-x)\le\mathcal N(x)+\mathcal N(-x)</math> (par sous-additivité), c'est-à-dire (par homogénéité) <math>0\le2\operatorname{\mathcal N}(x)</math>.}}
:*Les corps des réels et des complexes ne sont pas les seuls à admettre une valeur absolue.<br />Dans le cas des [[corps valué]]s, une norme peut même être [[norme ultramétrique|ultramétrique]] si elle vérifie une certaine condition plus forte que la sous-additivité.
:*Une fonction de {{math|''E''}} dans ℝ<sup>+</sup> qui ne satisfait que les hypothèses d'homogénéité et de sous-additivité est appelée [[semi-norme]].

Un espace vectoriel muni d'une norme est appelé '''espace vectoriel normé''' (parfois abrégé en EVN).
{{Article détaillé|Espace vectoriel normé}}

L'image d'un vecteur ''x'' par la norme se note usuellement ║''x''║ et se lit « norme de ''x'' ».

=== Premières propriétés ===

* La norme est '''sous-linéaire''', c'est-à-dire qu'elle vérifie la propriété suivante :<center><math>\forall (\lambda,x,y) \in K\times E^2\ ,\ \|\lambda x + y\| \leq |\lambda|\|x\| + \|y\|,</math></center>qui se généralise par [[Raisonnement par récurrence|récurrence]] en :<center><math> \|\lambda_1 x_1 +\ldots+ \lambda_n x_n\| \le| \lambda_1|\|x_1\|+\ldots+|\lambda_n|\|x_n\|.</math></center>
* La séparation et l'homogénéité garantissent les propriétés de séparation et de symétrie de la fonction<center><math>d \colon (x,y) \mapsto \|y-x\|.</math></center>(Pour la symétrie, on utilise que [[Valeur absolue#Valeur absolue sur un corps|<math>\mid -e\mid = 1</math>]], où ''e'' désigne le [[Élément neutre|neutre]] multiplicatif de ''K'', d'où, pour tout vecteur ''z'', ║–''z''║ = ║(–''e'')''z''║ = |–''e''|║''z''║ = ║''z''║.)<br />La sous-additivité justifie alors l'[[inégalité triangulaire]],<center><math>\|z - x\| \leq \|z - y\| + \|y - x\|,</math></center>nécessaire pour montrer que {{math|''d''}} est une [[distance (mathématiques)|distance]] sur ''E'', qui plus est invariante par translation.<br />Un espace vectoriel normé est donc un [[espace métrique]] homogène et la [[Espace topologique|topologie]] associée est [[espace vectoriel topologique#Définition|compatible]] avec les opérations vectorielles.
* La sous-additivité permet d'obtenir la propriété suivante :<center><math>\forall (x,y) \in E^2\ ,\ \big| \|x\|- \|y\|\big| \leq \|x-y\|,</math></center>qui montre que la norme est une application [[application lipschitzienne|1-lipschitzienne]] donc [[continue]].
* La norme est aussi, comme toute semi-norme, une [[fonction convexe]], ce qui peut être utile pour résoudre des problèmes d'[[optimisation (mathématiques)|optimisation]].

=== Topologie ===
{{Article détaillé|Espace vectoriel topologique}}
La distance {{math|''d''}} associée à la norme (cf. ci-dessus) munit {{math|''E''}} d'une structure d'[[espace métrique]], donc d'[[espace topologique]] [[Espace séparé|séparé]]. Un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] pour cette topologie est une partie {{math|''O''}} de {{math|''E''}} telle que :<center><math>\forall x\in O,\; \exists\varepsilon>0\quad\{y\in E~|~\|x-y\|<\varepsilon\}\subset O.</math></center>

Muni de cette topologie, ''E'' est un « e.v.t. » ([[espace vectoriel topologique]]), c'est-à-dire que :
{{Théorème|Proposition|
L'addition de {{math|''E''×''E''}} dans {{math|''E''}} et la multiplication externe de {{math|''K''×''E''}} dans {{math|''E''}} sont continues.|style=display:table}}

{{Démonstration|contenu=
Soient {{math|(''x'', ''y'')}} un point de {{math|''E''×''E''}} et {{math|(''h'', ''k'')}} un accroissement, alors :
:<math>\left\Vert(x + h + y + k)-(x+y)\right\Vert=\|h+k\|\le\|h\|+\|k\|\le2\max(\|h\|,\|k\|)=2\|(h,k)\|_{E\times E}.</math>
La majoration précédente montre que l'addition est 2-[[Application lipschitzienne|lipschitzienne]] donc [[continuité uniforme|uniformément continue]].

Soient <math>(\lambda,x)</math> un point de {{math|''K''×''E''}} et <math>(\mu,h)</math> un accroissement, alors, si <math>\|(\lambda,x)\|_{K\times E}\le M</math> et <math>\|(\mu,h)\|_{K\times E}\le\varepsilon\le 1</math> :
:<math>\left\Vert(\lambda +\mu)(x+h)-\lambda x\right\Vert\le
\|\lambda h\|+\|\mu x\|+\|\mu h\|\le
2M\varepsilon+\varepsilon^2\le(2M+1)\varepsilon.</math>
La dernière majoration montre l'uniforme continuité de la multiplication externe sur toute boule de {{math|''K''×''E''}} de centre 0 et rayon {{math|''M''}}, donc la continuité sur {{math|''K''×''E''}}.
}}
Puisqu'une norme sur un espace vectoriel <math>E</math> induit sur <math>E</math> une topologie <math>T</math> d'e.v.t. et même d'espace localement convexe {{infra|Boule}} séparé, on peut se demander si la topologie <math>T</math> d'un e.v.t. donné <math>(E,T)</math> peut être induite par une éventuelle norme sur <math>E</math>. Lorsque c'est le cas, on dit que l'e.v.t. <math>(E,T)</math> est ''normable''. Les espaces localement convexes séparés ne sont pas tous normables (par exemple, un [[espace de Montel]] de dimension infinie n'est jamais normable).

=== Boule ===
{{Article détaillé|Boule (mathématiques)}}
Cette construction d'une topologie donne toute son importance à la notion de [[boule ouverte]] de centre ''x'' et de rayon ''r'', c'est-à-dire l'ensemble des points dont la distance à ''x'' est strictement inférieure à ''r''. Toute boule ouverte est l'image de la [[boule unité]] (ouverte) par la [[Composition de fonctions|composée]] d'une translation de vecteur ''x'' et d'une [[homothétie]] de rapport ''r''.

Les boules ouvertes centrées en un point forment une [[Voisinage (mathématiques)|base de voisinages]] de ce point ; elles caractérisent donc la topologie. Si {{math|''E''}} est un espace vectoriel sur ℝ (en particulier si c'est un espace vectoriel sur ℂ), toute boule ouverte est [[ensemble convexe|convexe]]. En effet, comme la convexité est conservée par translation et homothétie, il suffit de montrer cette propriété pour la boule ouverte unité. Si {{math|''x''}} et {{math|''y''}} sont deux points de cette boule et si {{math|''θ''}} est un réel compris entre 0 et 1, alors :<center><math>\|\theta x+(1-\theta)y\|\le\theta\|x\|+(1-\theta)\|y\|<1.</math></center>
La propriété suivante est donc vérifiée :
{{Théorème|Propriété|
Un espace vectoriel normé réel est [[Espace localement convexe|localement convexe]].|style=display:table}}
Ce qui signifie que tout point admet une base de voisinages convexes, par exemple les boules ouvertes centrées en ce point.

=== Norme équivalente ===
{{Article détaillé|Norme équivalente}}
Plus la topologie contient d'ouverts, plus précise devient l'analyse associée. Pour cette raison, une topologie contenant au moins tous les ouverts d'une autre est dite plus fine. La question se pose dans le cas de deux normes <math>\mathcal N_1</math> et <math>\mathcal N_2</math> sur un même espace vectoriel {{math|''E''}}, de savoir à quel critère sur les normes correspond une telle comparaison entre leurs topologies associées.
* <math>\mathcal N_1</math> est dite plus fine que <math>\mathcal N_2</math> (on dit aussi que <math>\mathcal N_1</math> domine <math>\mathcal N_2</math>) si toute suite de vecteurs de {{math|''E''}} convergeant pour <math>\mathcal N_1</math> converge pour <math>\mathcal N_2</math>, ou encore, s'il existe un réel strictement positif <math>\alpha</math> tel que :<center><math>\forall x \in E, \ \mathcal N_2(x) \leq \alpha \mathcal N_1(x).</math></center>Cette définition est légitimée par le fait que <math>\mathcal  N_1</math> est plus fine que <math>\mathcal N_2</math> si et seulement si sa topologie associée <math>\mathcal T_1</math> est plus fine que <math>\mathcal T_2</math>.
* <math>\mathcal N_1</math> et <math>\mathcal N_2</math> sont dites ''[[Norme équivalente|équivalentes]]'' si chacune des deux est plus fine que l'autre, ou encore, s'il existe deux réels strictement positifs <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> tels que :<center><math>\forall x\in E,~\alpha\mathcal N_1(x)\le\mathcal N_2(x)\le\beta\mathcal N_1(x).</math></center>Cela correspond au fait que les [[Ouvert (topologie)|boules ouvertes]] des deux normes puissent s'inclure l'une dans l'autre à dilatation près, ou encore que les deux topologies associées soient les mêmes. En termes [[espace métrique|métriques]], les deux structures sont même [[continuité uniforme|uniformément]] isomorphes. Sur un espace vectoriel réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (voir l'article « [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie]] »).

=== Constructions génériques ===

* Tout [[produit scalaire]] sur un espace vectoriel réel {{math|''E''}} définit la '''norme euclidienne''' associée par :<center><math>\forall x\in E,\ \|x\| = \sqrt{x\cdot x}.</math></center>Une norme <math>\mathcal N</math> est euclidienne (c'est-à-dire provient d'un produit scalaire) si et seulement si l'application<center><math>(x,y)\mapsto\frac12\left(\mathcal N(x+y)^2-\mathcal N(x)^2-\mathcal N(y)^2\right)</math></center>est [[bilinéaire]], et dans ce cas cette application est le produit scalaire associé (voir l'article « [[Identité de polarisation]] »).
* Si {{math|''f''}} est une [[application linéaire]] [[Injection (mathématiques)|injective]] de {{math|''E''}} dans {{math|''F''}} alors toute norme sur {{math|''F''}} induit une norme sur {{math|''E''}} par l'équation<center><math>\mathcal \|x\|_E = \|f(x)\|_F.</math></center>
* Si {{math|''C''}} est un [[ouvert (topologie)|ouvert]] [[ensemble convexe|convexe]] [[Partie bornée|borné]] et [[Espace vectoriel topologique#Noyau équilibré d'une partie|équilibré]] d'un espace vectoriel réel {{math|''E''}}, alors la [[Jauge d'un convexe|jauge de {{math|''C''}}]] est une norme {{math|''J''}} définie par<center><math>\forall x\in E~J(x)=\inf\left\{\lambda>0~\left|~\frac1\lambda x\in C\right.\right\}</math></center>et dont {{math|''C''}} est la [[boule unité]] ouverte.
* Si {{math|''E''}} et {{math|''F''}} sont deux espaces vectoriels normés réels ou complexes, l'espace <math>\mathcal L(E,F)</math> des [[Opérateur borné|applications linéaires continues]] est muni de la ''[[norme d'opérateur]] subordonnée'' aux normes respectives de {{math|''E''}} et {{math|''F''}} s'écrivant :<center><math>\forall T \in\mathcal L(E,F),\ \|T\| = \sup_{x\in E\setminus\{0\}}\frac{\|T(x)\|_F}{\|x\|_E}.</math></center>

== Exemples ==
=== En dimension finie ===
{{Article détaillé|Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie}}

[[File:Vector-p-Norms qtl1.svg|thumb|L'ensemble des vecteurs de ''p''-norme 1 dans '''R'''{{2}} pour différentes valeurs de ''p''.]]

Dans cette section, on note <math>\vec{x}</math> un vecteur <math>(x_1, \dots, x_n)</math> de {{math|''K{{exp|n}}''}} ;
* la '''norme euclidienne''' est obtenue à partir du [[produit scalaire]] ou du [[Hermitien#Produit scalaire hermitien et espace hermitien|produit hermitien]] [[Produit scalaire canonique|canonique]] :<center><math> \|\vec{x}\|_2 = \sqrt{|x_1|^2 +\ldots+|x_n|^2}</math></center>et elle correspond à la norme habituellement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace usuels (la présence du 2 en indice est expliquée juste après - dans le cas de ''p'' = 2 : ''norme 2'') ;
* la '''norme 1''' est donnée par la somme des modules (ou valeurs absolues) des coefficients :<center><math> \|\vec{x}\|_1 = |x_1| +\ldots+|x_n|</math></center>et induit la distance de déplacement à angle droit sur un damier, dite [[distance de Manhattan]]<ref>La norme 1 est aussi appelée ''{{Lang|en|Manhattan norm}}'' en anglais.</ref> ;
* plus généralement, pour tout ''p'' supérieur ou égal à 1, la '''norme ''p''''' (il s'agit des normes de [[Otto Hölder|Hölder]]) est donnée par la formule suivante :<center><math> \|\vec{x}\|_p=\left(|x_1|^p+\ldots+|x_n|^p\right)^{\frac1p}.</math></center>Elle identifie donc la norme euclidienne avec la norme 2, mais n'a surtout d'intérêt que dans sa généralisation aux espaces de fonctions ;
* la '''norme « infini »'''<ref name=NormeInfini>Le mot « infini » est le nom de la norme et non un adjectif qualificatif. Il ne s'accorde donc pas avec le mot « norme ».</ref> est donnée par :<center><math> \|\vec{x}\|_{\infty}=\max\left(|x_1|, \dots, |x_n|\right).</math></center>Elle induit la distance de déplacement par les faces et par les coins dans un réseau, comme celui du [[Règles du jeu d'échecs#Déplacements|roi]] sur l'échiquier, dite [[distance de Tchebychev]].

Toutes ces normes sont équivalentes, puisque
{{retrait|<math>\|\vec{x}\|_\infty\le\|\vec{x}\|_p\le n^{\frac1p}\|\vec{x}\|_\infty</math>.}}

L'inégalité triangulaire pour les normes ''p'' s'appelle l'[[inégalité de Minkowski]] ; elle est une conséquence de résultats de [[Fonction convexe|convexité]] parmi lesquels l'[[inégalité de Hölder]]. Cette dernière, qui généralise la majoration ci-dessus, montre en outre que pour tout vecteur <math>\vec{x}</math> de ''K{{exp|n}}'', l'[[Fonction monotone|application décroissante]] {{math|''p'' ↦ ║<math>\vec{x}</math>║{{ind|''p''}}}} est continue sur [[Droite réelle achevée|{{math|[1, +∞]}}]]. En effet,
<center><math>1\le p\le q\le\infty\Rightarrow\|\vec{x}\|_q\le\|\vec{x}\|_p\le n^{\frac1p-\frac1q}\|\vec{x}\|_q</math><ref>Par exemple, <math>\|\vec x\|_\infty\le\|\vec x\|_2\le\|\vec x\|_1\le n\|\vec x\|_\infty</math> : {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=|titre=Topologie des espaces vectoriels de dimension finie|passage=2|lieu=Université Paris Diderot|éditeur=|date=2005|pages totales=17|isbn=|lire en ligne=https://webusers.imj-prg.fr/~frederic.helein/cours/topo.pdf}}.</ref>.</center>

<!-- INFORMATION À SOURCER
; Remarque sur les cercles carrés : [[Bertrand Russell]] aimait à donner comme exemple d'[[oxymore]] l'expression « cercle carré ». S'il s'agit bien d'un oxymore en géométrie euclidienne, les cercles carrés existent bel et bien lorsqu'on adopte par exemple la norme « infini ». L'ensemble des points de norme 1 est un carré incliné à 45° et est un cercle dans la mesure où tous leurs points sont à égale distance de l'origine.
-->
D'autres exemples apparaissent classiquement :
* La norme sur l'espace des [[quaternion]]s est la norme euclidienne appliquée à la base <math>(1, i, j, k)</math>.
* L'espace des [[polynôme formel|polynômes]] de degré inférieur ou égal à ''n'' peut être muni de normes issues d'espaces de fonctions (voir ci-dessous).

Notons qu'une mise en œuvre « naïve » de la formule <math>\|\vec{x}\|_2 = \sqrt{|x_1|^2 +\ldots+|x_n|^2}</math> sur un ordinateur peut mener à des erreurs de [[dépassement d'entier|dépassement]] ou de [[soupassement]] pour des valeurs extrêmes (très grandes ou très petites en valeur absolue) : l'étape intermédiaire d'élévation au carré peut mener à des résultats non représentables selon la norme [[IEEE 754]], et donc à un résultat final de 0 ou « infini », alors même que le résultat final est lui-même représentable.
Pour éviter ceci, on peut factoriser <math>\|\vec{x}\|_2</math> par <math>\|\vec{x}\|_\infty = \max\left(|x_1|, \dots, |x_n|\right)</math> : <math>\|\vec{x}\|_2 = \|\vec{x}\|_\infty \times \sqrt{\left|\frac{x_1}{\|\vec{x}\|_\infty}\right|^2 + \ldots + \left|\frac{x_n}{\|\vec{x}\|_\infty}\right|^2}</math>, chaque <math>\left|\frac{x_i}{\|\vec{x}\|_\infty}\right|</math> est compris dans l'intervalle <math>[0, 1]</math> (et au moins l'une des valeurs vaut exactement 1), donc le contenu de la racine est compris dans l'intervalle <math>[1, n]</math>, ce qui empêche les dépassements et soupassements si le résultat final est représentable.
Une autre méthode est [[Somme pythagoricienne#Calcul numérique|celle de Moler et Morrison]].

=== En dimension infinie ===

* Sur l'espace <math>\mathcal C^0([a,b])</math> des fonctions continues définies sur un segment <math>[a,b]</math> de ℝ et à valeurs réelles ou complexes, on retrouve, pour ''p'' supérieur ou égal à 1, des '''normes ''p''''' définies de manières analogues à celles sur les espaces vectoriels de dimension finie :<center><math>{\|f\|}_p = \left( \int_a^b |f(t)|^p \mathrm dt\right)^{1/p}</math></center>qui permettent notamment de définir les [[espace Lp|espaces L<sup>''p''</sup>]].<br />En particulier, la '''norme euclidienne''' associée au produit scalaire ou hermitien canonique est définie par<center><math>{\|f\|}_2 = \sqrt{\int_a^b |f(t)|^2~\mathrm dt}.</math></center>La '''norme « infini »<ref name=NormeInfini/>''' ou '''norme ''sup''''' ou encore '''norme de la [[convergence uniforme]]''' s'écrit quant à elle<center><math>{\|f\|}_{\infty} = \sup_{t\in [a, b]} |f(t)|</math></center>et s'obtient là aussi comme limite des normes ''p'' lorsque ''p'' tend vers l'infini.<br />Toutes ces normes ne sont pas équivalentes deux à deux.<br />Par ailleurs, elles s'étendent aisément aux espaces de fonctions continues sur un [[Compacité (mathématiques)|compact]] de ℝ<sup>''n''</sup>, voire aux fonctions continues à [[support de fonction|support]] compact.
<!-- NORMES EXOTIQUES PROSCRITES SAUF MENTION UTILISATION. À RÉSERVER POUR UN COURS
:La continuité des fonctions permet aussi de définir des normes plus exotiques comme celle-ci :
::si <math>(u_n)_{n\in\N}</math> est une suite d'image dense dans le domaine de définition, <math>\mathcal N(f) = \sum_n \frac{1}{2^{n+1}}|f(u_n)|</math>.-->
* Sur l'espace <math>\mathcal C^1([a,b])</math> des fonctions [[Dérivabilité|dérivables]] à [[dérivée]] continue, on peut utiliser l'une des normes ci-dessus ou prendre en compte aussi la dérivée à l'aide d'une norme comme suit :<center><math>\|f\| = \int_a^b (|f(t)| + |f'(t)|)~\mathrm dt</math></center>afin de considérer l'application dérivée de <math>\mathcal C^1([a,b])</math> dans <math>\mathcal C^0([a,b])</math> comme continue.
* Sur l'[[Espace de suites lp|espace ℓ<sup>∞</sup>]] des [[Suite bornée|suites bornées]], la norme naturelle est la '''norme ''sup''''' :<center><math>{\|(u_n)_{n\in\N}\|}_{\infty} = \sup_{n \in \N}|u_n|.</math></center>
<!-- NORMES EXOTIQUES PROSCRITES SAUF MENTION UTILISATION. À RÉSERVER POUR UN COURS
:mais d'autres normes peuvent s'écrire sous les formes suivantes :
:*<math>(u_n)_{n\in\N} \mapsto \sup_{n \in \N}|\cos(n) \times u_n|\quad</math>
:*<math>\quad(u_n)_{n\in\N} \mapsto \sum_{n\in \N}\frac{|u_n|}{1 + n^2}</math>.-->

== Norme d'algèbre ==
{{Article détaillé|Algèbre normée}}

=== Définition ===
Une norme <math>\mathcal N</math> sur une [[Algèbre associative sur un corps|algèbre]] <math>A</math> est une norme d'algèbre si, en plus d'être une norme d'espace vectoriel, elle est sous-multiplicative ({{c.-à-d.}} si <math>\mathcal N(x \times y) \le \mathcal N(x)\mathcal N(y)</math>)<ref>{{Ouvrage|prénom1=El Hage Hassan|nom1=Nawfal|titre=Topologie générale et espace normée|lieu=Malakoff|année=2011|pages totales=574|passage=531|isbn=978-2-100-56948-9|numéro chapitre=12|titre chapitre=Algèbres de Banach}}</ref>.

Dans le cas d'une algèbre réelle ou complexe, la condition est équivalente à la continuité du produit comme application bilinéaire<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Nicolas Bourbaki]]|titre=Topologie générale|lieu=Berlin|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2006|année première édition=1974|pages totales=332|passage=37-39|isbn=978-3-540-34399-8|lire en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-34486-5|accès url=payant|format électronique=pdf|consulté le=2024-05-31|numéro chapitre=IX|titre chapitre=Utilisation des nombres réels en topologie générale}}</ref>.

Si l'algèbre est unitaire, on peut exiger de la norme qu'elle vérifie aussi{{Sfn|Nawfal|2011|p=531|loc=Définition 12.1.1}} :
:<math>\mathcal N(1_A)=1</math>,
{{Référence nécessaire|auquel cas la multiplication par une constante ne peut plus être utilisée pour « renormaliser » la norme|date=18 août 2021}}.

=== Exemples ===

* L'application ''[[module d'un nombre complexe|module]]'' est une norme d'algèbre sur ℂ considéré comme ℝ-algèbre{{Sfn|Nawfal|2011|p=531-532|loc=Exemple 12.1.1}}.
* La norme d'opérateur sur <math>\mathcal L(E)</math> est une norme d'algèbre.
* La norme « infini » sur ℂ<sup>''n''</sup> induit la norme d'opérateur sur <math>\mathcal M_n(\C)</math> qui s'écrit :
:<math>\forall (a_{i,j}) \in \mathcal {M}_n (\C),\ \|(a_{ij})\| = \max_i\sum_j|a_{ij}|.</math>
<!-- REMARQUE PLUS VALABLE AVEC LA DÉFINITION CHOISIE DE NORME D'ALGÈBRE
:mais la norme définie par
::<math>\forall (a_{i,j}) \in \mathcal M_n (\C),\ \|(a_{ij})\|_\infty = \max_{i,j}|a_{i,j}|</math>
:n'est pas une norme d'algèbre car elle n'est pas sous-multiplicative dès que ''n'' est plus grand que 2.-->
<!-- PRÉCISER UNE UTILISATION DE CETTE NORME
* Si <math>\mathcal A</math> est une partie infinie bornée de ℝ (ou ℂ), l'algèbre <math>K[X]</math> des polynômes sur <math>K</math> peut être normée par la norme d'algèbre suivante :
:<math>\forall P \in K[X],\ \| P \|_\infty^{\mathcal A} = \sup_{x \in \mathcal A}|P(x)|</math>.

À DEPLACER DANS UNE PAGE D'HOMONYMIE
== Norme dans un corps de nombres ==

{{Article détaillé|Norme (arithmétique)}}
Un corps de nombre '''K''' étant une extension finie du corps des rationnels, il s'agit d'un ℚ-espace vectoriel de dimension finie mais la '''norme''' d'un élément ''x'' n'est pas une norme au sens de l'algèbre linéaire.
Il s'agit du [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] de l'endomorphisme de '''K''' <math>m_x \colon y \mapsto x \times y</math>.
Ce déterminant peut également s'obtenir comme le produit de toutes les images de ''x'' par les différents homomorphismes de corps de <math>K</math> dans ℂ.

== Norme zéro ==

Si <math>K</math> est un corps, la '''norme ''zéro''''' d'un vecteur ''x'' de <math>K^n</math> est le nombre de coordonnées non nulles de ''x''.

Il ne s'agit pas d'une norme au sens de l'algèbre linéaire puisqu'elle n'est ni homogène ni sous-additive, mais son nom provient de l'écriture
:<math> \|x\|_0 = \lim_{p\rightarrow 0} {\|x\|_p}^p</math> lorsque <math>K=\R</math>,
où les « normes ''p'' » lorsque ''p'' est compris entre 0 et 1, sont définies de manière analogues aux véritables normes ''p''.

Dans le contexte des [[code correcteur|codes correcteurs d'erreur]], la norme ''zéro'' est aussi appelée [[Distance de Hamming|norme de Hamming]] avec <math>K=\Z/2\Z</math>.
-->

== Notes et références ==

=== Notes ===
<references/>

=== Références ===
* {{Brezis}}{{Commentaire biblio|Une introduction à l'analyse fonctionnelle, il traite surtout deux exemples les espaces [[Espace de Banach|de Banach]] et [[Espace de Hilbert|de Hilbert]].}}
* [[Serge Lang]], ''Analyse réelle'', InterEditions, 1977 {{ISBN|978-2-72960059-4}}{{Commentaire biblio|Le chapitre II traite des [[espace vectoriel topologique|espaces vectoriels topologiques]] en général et en particulier du sujet de l'article.}}

== Voir aussi ==
=== Article connexe ===
* [[Propriétés métriques des droites et plans]]

=== Liens externes ===
*{{Lien web|url=http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node4.php|titre=Espaces métriques et espaces normés|site=les-mathematiques.net}}
* [http://www.lct.jussieu.fr/pagesperso/silvi/cours_ist/node23.html Espace vectoriel normé, espace préhilbertien] par B. Silvi, du laboratoire de [[chimie théorique]] de l'[[université Pierre-et-Marie-Curie]]
* [http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./n/norme.html Norme, etc.] sur le site bibmath.net


{{Palette|Algèbre linéaire}}
{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Espace vectoriel normé]]