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En [[mathématiques]] et plus précisément en [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], deux '''normes équivalentes''' sont deux [[Norme (mathématiques)|normes]] sur un même [[espace vectoriel]] ''E ''pour lesquelles les [[Norme (mathématiques)#Topologie|topologies induites sur ''E'']] sont identiques. Cette [[relation d'équivalence]] sur l'ensemble des normes sur ''E'' traduit l'[[équivalence des distances]] associées. Pour des [[Distance (mathématiques)|distances]] associées à des normes, les diverses notions d'équivalence de distances coïncident. Ainsi, si deux normes sont équivalentes alors l'[[continuité uniforme|uniforme continuité]] d'une application de ''E ''dans un [[espace métrique]], ou le fait qu'une [[Suite (mathématiques)|suite]] soit [[suite de Cauchy|de Cauchy]] pour une norme, implique cette propriété pour l'autre.

== Définitions ==
Soient ''N''{{ind|1}} et ''N''{{ind|2}} deux normes sur un même espace vectoriel ''E'' non [[Espace nul|nul]].

{{Théorème|Définitions|
* ''N''{{ind|1}} est plus fine que ''N''{{ind|2}} s'il existe un [[Nombre réel|réel]] ''C ''tel que<center><math>\forall x \in E \quad N_2(x) \leq C N_1(x)</math>.</center>
* ''N''{{ind|1}} et ''N''{{ind|2}} sont équivalentes si chacune est plus fine que l'autre.}}

La définition de « ''N''{{ind|1}} est plus fine que ''N''{{ind|2}} » revient à dire que l'[[application linéaire]] [[application identité|identité de ''E'']] est [[Application lipschitzienne|''C''-lipschitzienne]] de (''E'', ''d''{{ind|1}}) dans (''E'', ''d''{{ind|2}}), où les ''d{{ind|k}} ''sont les distances associées aux ''N{{ind|k}}''. Dans cette définition, le réel ''C ''est automatiquement strictement positif (puisqu'une norme est à valeurs positives et vérifie la séparation) donc l'équivalence des deux normes se traduit par l'existence de deux réels ''c'' et ''C'' strictement positifs tels que :
<center><math>\forall x \in E \quad c N_1(x) \leq N_2(x) \leq C N_1(x)</math>.</center>
[[Trivial]]ement, « est plus fine que » définit sur l'ensemble des normes sur ''E ''un [[préordre]], dont la relation d'équivalence associée est l'équivalence de normes.

== Propriétés ==
L'équivalence des normes correspond, par la définition ci-dessus, à l'équivalence au sens de Lipschitz des distances associées. Mais dans le cas de distances associées à des normes, cette notion la plus forte d'équivalence de distances équivaut à la plus faible : l'équivalence topologique. En effet :
{{Théorème|Proposition 1|
* ''N''{{ind|1}} est plus fine que ''N''{{ind|2}} si (et seulement si) la [[Espace topologique|topologie]] qu'elle induit sur ''E ''est [[Comparaison de topologies|plus fine]] que celle induite par ''N''{{ind|2}}.
* ''N''{{ind|1}} et ''N''{{ind|2}} sont équivalentes si (et seulement si) elles induisent la même topologie sur ''E''.}}

{{Démonstration|
Notons ''T{{ind|k}} ''les topologies des espaces métriques (''E'', ''d{{ind|k}}'') et supposons que ''T''{{ind|1}} est plus fine que ''T''{{ind|2}}. Alors, la [[boule unité]] ouverte pour ''N''{{ind|2}} contient une ''N''{{ind|1}}-boule ouverte centrée en 0 de rayon {{nobr|''R ''> 0}}, autrement dit :

<center><math>\forall y\in E,\quad N_1(y)<R\Rightarrow N_2(y)<1</math>.</center>

Par conséquent,

<center><math>\forall x\in E,\forall r>N_1(x),\quad N_2\left(\frac Rrx\right)<1</math>,</center>

ce qui se simplifie en

<center><math>\forall x\in E,N_2(x)\le\frac1RN_1(x)</math></center>

et prouve que ''N''{{ind|1}} est plus fine que ''N''{{ind|2}}.
}}

Puisque la [[continuité uniforme]] est une notion intermédiaire entre la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] simple et la propriété de Lipschitz, l'équivalence uniforme des distances est une notion intermédiaire entre l'équivalence topologique et l'équivalence de Lipschitz. Il résulte immédiatement de la proposition 1 que pour des distances associées à des normes, ces trois notions d'équivalence coïncident, et plus précisément :

{{Théorème|Proposition 2|
* ''N''{{ind|1}} est plus fine que ''N''{{ind|2}} si (et seulement si) l'application identité, de (''E'', ''d''{{ind|1}}) dans (''E'', ''d''{{ind|2}}), est uniformément continue.
* ''N''{{ind|1}} et ''N''{{ind|2}} sont équivalentes si (et seulement si) elles induisent la même [[Espace uniforme|structure uniforme]] sur ''E''.}}

Par ailleurs, on déduit [[#Définitions|directement de la définition]] que si deux normes sur ''E ''sont équivalentes :
* si une suite dans ''E ''est de Cauchy (resp. convergente) pour l'une alors elle l'est pour l'autre ;
* si ''E'' est [[espace complet|complet]] pour l'une alors il est complet pour l'autre ;
* si une fonction de ''E ''dans un espace métrique — ou d'un espace métrique dans ''E ''— est uniformément continue (resp. lipschitzienne) pour l'une alors elle l'est pour l'autre ;
* en particulier, chacune des deux normes est lipschitzienne de ''E ''dans ℝ lorsque ''E ''est muni de l'autre norme.

== Exemples ==
* Toutes les [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie#Unicité de la topologie, équivalence des normes|normes d'un espace vectoriel réel de dimension finie]] sont équivalentes. Il n'existe donc qu'un seul [[espace vectoriel normé]] [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]] ''n'', [[à quelque chose près|à isomorphisme près]] : l'[[espace euclidien]] de dimension ''n''. Comme un espace vectoriel complexe normé de dimension ''n ''est aussi un espace vectoriel réel normé de dimension 2''n'', toutes les normes d'un espace vectoriel complexe de dimension finie sont, elles aussi, équivalentes.
* Si ''N''{{ind|1}}, … , ''N{{ind|n}}'' sont des [[semi-norme]]s sur un espace vectoriel réel ''E ''alors, pour tout {{math|''p ''∈ [1, +∞]}}, on peut définir une semi-norme ''M{{ind|p}} ''sur ''E ''en posant :<center><math>M_p(x)=\|(N_1(x),\ldots,N_n(x))\|_p</math>,</center>où ║ ║{{ind|{{math|''p''}}}} désigne la [[Norme (mathématiques)#En dimension finie|norme ''p ''sur ℝ{{exp|''n''}}]]. Si l'une des semi-normes ''M{{ind|p}} ''est une norme (par exemple si ''N''{{ind|1}} est une norme) alors les autres aussi, et il résulte du point précédent que toutes ces normes ''M{{ind|p}} ''sont équivalentes.
* D'après le [[théorème de Banach-Steinhaus]], si un espace vectoriel réel est [[Espace de Banach|complet]] pour deux normes comparables alors ces normes sont équivalentes.
* Sur un espace vectoriel réel de dimension infinie [[Exemples d'espaces vectoriels#Généralisation des espaces de suites à support fini|ℝ{{exp|(''X'')}}]], les diverses normes induites par les inclusions de ℝ{{exp|(''X'')}} dans les [[Espace de suites ℓp|espaces ℓ{{exp|''p''}}(''X'')]] pour 1 ≤ ''p'' ≤ {{math|∞}} sont [[Espace Lp#Inclusions|deux à deux non équivalentes]].

== Référence ==
{{Brezis}}

== Article connexe ==
[[Compact de Banach-Mazur]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Espace vectoriel normé]]