Voir la source de Objet exceptionnel

De nombreuses branches des [[mathématiques]] étudient des objets d'un certain type et démontrent à leur sujet un {{Lien|trad=classification theorem|lang=en|fr=théorème de classification}}. Ces classifications produisent en général des suites infinies d’objets, et un nombre fini d’exceptions n’appartenant à aucune de ces suites, et connues sous le nom d’'''objets exceptionnels'''. Ces objets jouent souvent un rôle important dans le développement de la théorie, et les objets exceptionnels de divers domaines ont fréquemment des relations les uns avec les autres.
== Polytopes réguliers ==
{{Article principal|Polytope régulier}}
Les premiers exemples d’objets exceptionnels proviennent de la classification des [[polytope régulier|polytopes réguliers]] (convexes) : en deux dimensions, ils correspondent à la suite des [[polygone régulier|polygones réguliers]] à ''n'' côtés (pour tout {{nobr|''n'' ≥ 3}}) ; en toute dimension (supérieure à 2) il existe un analogue du cube, du [[tétraèdre régulier]] et de l’[[octaèdre régulier]]. À ces quatre suites s’adjoignent 5 polytopes exceptionnels : le [[dodécaèdre régulier]] et l’[[icosaèdre régulier]] en dimension 3, et, en dimension 4, le [[hécatonicosachore|120-cellules]], le [[hexacosichore|600-cellules]] et le [[icositétrachore|24-cellules]].

En incluant les polytopes non convexes, on rencontre une situation analogue : une suite infinie de [[polygone régulier étoilé|polygones réguliers étoilés]] en dimension 2 (essentiellement, un pour chaque rationnel ''p/q''< 1), et {{nobr|14 objets}} exceptionnels, les quatre [[Solide de Kepler-Poinsot|polyèdres de Kepler–Poinsot]] en dimension 3, et les 10 [[Polychore de Schläfli-Hess|polychores de Schläfli-Hess]] en dimension 4 (il n'existe pas de polytopes réguliers non convexes en dimension supérieure à 4).

Ces résultats se généralisent aux [[pavage]]s, en particulier aux {{Lien|trad=Uniform tiling|lang=en|fr=pavage uniforme|texte=pavages uniformes}} de l'espace euclidien (les [[nid d'abeille (géométrie)|nids d'abeille]]) ou de l'[[géométrie hyperbolique|espace hyperbolique]]. Il existe divers objets exceptionnels en dimension < 6 et une famille infinie de pavages du plan hyperbolique, mais à partir de la dimension 6, on ne rencontre que quatre familles de pavages (correspondant au simplexe, à l'hypercube, et à deux autres réseaux duaux des précédents).

=== Triangles de Möbius ===
{| class="wikitable" align=right
|Les {{Lien|trad=Schwarz triangle|lang=en|fr=triangle de Schwarz|texte=triangles de Möbius}} sont des triangles  qui pavent la sphère (plus généralement le plan  euclidien ou le plan hyperbolique) par action du {{Lien|trad=triangle group|lang=en|fr=groupe du triangle}} formé des réflexions autour de leurs côtés. En lien avec les  polyèdres et les pavages  exceptionnels discutés précédemment, on trouve sur la  sphère  3 triangles de Möbius exceptionnels  correspondant à l'octaèdre, au tétraèdre et à l'icosaèdre (ainsi qu'une famille infinie à un paramètre entier) ; de même, dans le plan euclidien, il n'existe que 3 triangles de Möbius, le [[triangle équilatéral]], le triangle rectangle isocèle, et le demi-triangle équilatéral (les pavages correspondants sont représentés ci-contre).
|[[Fichier:Tile 3,6.svg|120px]]<br />(3 3 3)
|[[Fichier:Tile V488 bicolor.svg|120px]]<br />(4 4 2)
|[[Fichier:Tile V46b.svg|120px]]<br />(6 3 2)
|}

{{clr}}

== Groupes simples finis ==
{{article principal|Groupe sporadique}}
[[Fichier:SporadicGroups.svg|thumb|Relations entre les groupes sporadiques (la plupart sont reliés au groupe monstre).]]

Les [[Groupe simple|groupes simples]] finis ont été [[classification des groupes simples finis|classifiés]] en quatre familles infinies ([[groupe cyclique|groupes cycliques]], [[groupe alterné|alternés]], [[groupe classique|classiques]] et [[groupe de type de Lie|de type de Lie]]) ; 26 [[groupe sporadique|groupes sporadiques]] n'appartiennent pas à ces familles. Parmi eux, 20 sont des sous-groupes ou des groupes quotients du [[groupe Monstre]], connus sous le nom de « famille heureuse », tandis que les 6 autres sont appelés les « {{Lien|trad=Pariah group|lang=en|fr=groupe paria|texte=parias}} ».

Plusieurs des groupes sporadiques sont liés au [[réseau de Leech]], en particulier le groupe de Conway Co<sub>1</sub>, qui est le quotient du groupe d'automorphismes du réseau par son centre.

== Algèbres à division ==

Il n'existe que trois [[algèbre à division|algèbres à division]] associatives de dimension finie au-dessus des réels : les réels eux-mêmes, les nombres complexes et les [[quaternion]]s ; de plus, la seule algèbre à division non associative est l'algèbre des [[octonion]]s. Les octonions en particulier sont liés à une grande variété d'objets exceptionnels. Ainsi, l'unique [[Algèbre de Jordan#Alg.C3.A8bres de Jordan sp.C3.A9ciales et exceptionnelles|algèbre de Jordan]] formellement réelle exceptionnelle est l'[[algèbre d'Albert]] des matrices 3x3 auto-adjointes sur les octonions.

== Groupes de Lie simples ==

Les [[groupe de Lie|groupes de Lie]] simples forment quatre suites (les [[Groupe classique#Groupes de Lie classiques|groupes de Lie classiques]]) traditionnellement notées A, B, C et D. De plus, il existe 5 groupes exceptionnels : [[G2 (mathématiques)|G<sub>2</sub>]] (le groupe d'automorphismes des octonions), [[F4 (mathématiques)|F<sub>4</sub>]], [[E6 (mathématiques)|E<sub>6</sub>]], [[E7 (mathématiques)|E<sub>7</sub>]] et [[E8 (mathématiques)|E<sub>8</sub>]]. Les quatre derniers peuvent être vus comme les groupes de symétries de plans projectifs construits respectivement au-dessus de '''O''', '''C'''⊗'''O''', '''H'''⊗'''O''' et '''O'''⊗'''O''', '''O''' notant les octonions et le [[produit tensoriel]] étant défini sur les réels.

La classification des groupes de Lie correspond à la classification des [[système de racines|systèmes de racines]], et donc les groupes de Lie exceptionnels correspondent à des systèmes de racines et à des [[Système de racines#Diagrammes de Dynkin|diagrammes de Dynkin]] exceptionnels.

== Algèbres supersymétriques ==
Quelques algèbres exceptionnelles sont munies de {{Lien|trad=Supersymmetry_algebra|lang=en|fr=algèbre supersymétrique|texte=supersymétrie}}. En dimension finie, les principaux exemples sont les [[superalgèbre de Lie|superalgèbres de Lie]] '''G(3)''' en dimension 31 et '''F(4)''' en dimension 40 , ainsi que les superalgèbres de Jordan '''K<sub>3</sub>''' et '''K<sub>10</sub>'''.

== Réseaux unimodulaires ==

À isométrie près, il n'existe qu'un {{Lien|trad=unimodular lattice|lang=en|fr=réseau unimodulaire}} pair (c'est-à-dire dont toutes les normes sont paires) en dimension < 16 : le {{Lien|trad=E8 lattice|lang=en|fr=réseau E8|texte=réseau E<sub>8</sub>}} et, jusqu'en dimension 24, un seul réseau unimodulaire sans [[système de racines]], le [[réseau de Leech]]. Trois des [[groupe sporadique|groupes sporadiques]] furent découverts par Conway en étudiant le groupe d'automorphismes du réseau de Leech : le groupe [[groupes de Conway|Co<sub>1</sub>]] est le groupe d'automorphismes lui-même modulo ±1 ; les groupes [[groupes de Conway|Co<sub>2</sub>]] et [[groupes de Conway|Co<sub>3</sub>]] (ainsi que d'autres groupes sporadiques), sont des stabilisateurs de divers sous-ensembles du réseau de Leech.

== Codes ==
Certains [[code correcteur|codes correcteurs]] peuvent être vus comme des objets exceptionnels, en particulier le code de Golay binaire parfait, qui est étroitement lié au [[réseau de Leech]]. Le [[groupe de Mathieu]] <math>M_{24}</math> est quant à lui le groupe d'automorphismes du [[code de Golay|code de Golay binaire étendu]].

== Systèmes de blocs ==

Parmi les [[Plan en blocs|systèmes de blocs]] exceptionnels figure le [[système de Steiner]] S(5,8,24) (connu aussi sous le nom de ''système de Witt''), dont le groupe d'automorphismes est le [[groupe de Mathieu]] <math>M_{24}</math>.

== Automorphismes extérieurs ==
Le {{Lien|trad=outer automorphism group|lang=en|fr=groupe des automorphismes extérieurs}} est défini comme le quotient du groupe des automorphismes par le [[automorphisme intérieur|groupe des automorphismes intérieurs]] ; certains automorphismes ne correspondant pas de manière canonique aux éléments de ce groupe sont dits exceptionnels.

Parmi les groupes simples finis, le seul exemple<ref>ATLAS p. xvi</ref> vient des {{Lien|trad=automorphisms of the symmetric and alternating groups|lang=en|fr=automorphismes des groupes symétriques et alternés}} : pour <math> 3\leq n < 6</math>, le [[groupe alterné]] <math>A_n</math> a un automorphisme extérieur (correspondant à la conjugaison par un élément impair de <math>S_n</math>), et le [[groupe symétrique]] <math>S_n</math> n'en a aucun. Cependant, pour <math>n=6,</math> il y a un automorphisme extérieur exceptionnel de <math>S_6</math> (d'ordre 2), et le groupe des automorphismes extérieurs de <math>A_6</math> n'est pas <math>C_2</math> (le groupe à deux éléments) mais <math>C_2 \times C_2</math> (le [[groupe de Klein]]).

Si on considère A<sub>6</sub> comme le {{Lien|trad=projective linear group|lang=en|fr=groupe linéaire projectif spécial}} PSL(2,9), l'automorphisme extérieur n'est plus exceptionnel ; ainsi, le caractère exceptionnel vient de l'{{Lien|trad=exceptional isomorphism|lang=en|fr=isomorphisme exceptionnel}} <math>A_6 \cong \operatorname{PSL}(2,9)</math>, réalisé à l'intérieur du [[groupe de Mathieu]] M<sub>12</sub>.

[[Fichier:Dynkin diagram D4.png|thumb|Les symétries du diagramme de Dynkin D<sub>4</sub> correspondent aux automorphismes extérieurs de Spin(8) (par trialité).]]
Parmi les [[groupe de Lie|groupes de Lie]], le [[groupe spinoriel]] Spin(8) a un groupe des automorphismes extérieurs (<math>S_3</math>) exceptionnellement grand, correspondant aux symétries exceptionnelles du [[diagramme de Dynkin]] D<sub>4</sub>. Ce phénomène est connu sous le nom de ''{{Lien|trad=triality|lang=en|fr=trialité}}''.

Les symétries exceptionnelles du diagramme D<sub>4</sub> donnent aussi naissance aux [[Groupe de type de Lie#Les groupes de Steinberg|groupes de Steinberg]].

== Topologie algébrique ==
Pour <math>n=2, 6, 14, 30, 62,</math> et peut-être 126, mais aucune autre valeur, il existe des [[variété parallélisable|variétés parallélisables]] d'{{Lien|trad=Kervaire invariant|lang=en|fr=invariant de Kervaire}} un ; ce sont des objets exceptionnels en rapport avec les [[sphère exotique|sphères exotiques]]. On conjecture également l'existence de relations avec les {{Lien|trad=Rosenfeld projective plane|lang=en|fr=plan projectif de Rosenfeld|texte=plans projectifs de Rosenfeld}} et avec certaines algèbres de Lie exceptionnelles, en raison des valeurs de ces dimensions, mais on n'en a encore déterminé aucune.

== Relations avec les espaces de dimension 8 et 24 ==
De nombreuses relations ont été observées entre certains de ces objets exceptionnels, le plus souvent reliés aux dimensions 8 et 24. En revanche, et comme leur nom l'indique, les {{Lien|trad=pariah group|lang=en|fr=groupe  paria|texte=groupes parias}} semblent isolés.

=== 8 dimensions ===
* Les octonions sont de dimension 8.
* Le {{Lien|trad=E8 lattice|lang=en|fr=réseau E8|texte=réseau E<sub>8</sub>}} a pour modèle les octonions entiers (à un facteur d'échelle près).
* Les groupes de Lie exceptionnels peuvent être vus comme des groupes de symétries des octonions et de structures dérivées des octonions ; de plus, l'algèbre E<sub>8</sub> est reliée au réseau E<sub>8</sub> (comme l'implique la notation) : le réseau est engendré par le système de racines de l'algèbre.
* La trialité se produit pour Spin(8).

=== 24 dimensions ===
* Le réseau de Leech est de dimension 24.
* La plupart des groupes simples sporadiques sont reliés au réseau de Leech, ou plus généralement au Monstre.
* L'algèbre de Jordan exceptionnelle a une représentation en termes de matrices 24&times;24, munies du produit de Jordan.

=== Autres phénomènes ===
Ces objets sont liés à de nombreux autres phénomènes mathématiques qui peuvent paraître surprenants, mais ne sont pas par eux-mêmes « exceptionnels ». Ainsi, en [[topologie algébrique]], la {{Lien|trad=Bott periodicity theorem|lang=en|fr=périodicité de Bott}} d'ordre 8 peut être vue comme provenant des octonions. Dans la théorie des [[forme modulaire|formes modulaires]], le fait que le [[réseau de Leech]] soit de dimension 24 est sous-jacent à la présence du nombre 24 dans les formules de la [[fonction êta de Dedekind]] et du [[Forme modulaire#Exemples|discriminant modulaire]], et cette connexion est renforcée par le « [[monstrous moonshine]] », reliant les fonctions modulaires au groupe Monstre.

=== En physique ===
En [[théorie des cordes]] et en [[théorie des supercordes]], il apparaît souvent des dimensions particulières nécessaires en raison d'un phénomène algébrique exceptionnel. Par exemple, la [[théorie des cordes bosoniques]] demande un espace-temps de dimension 26, ce qui a un lien direct avec l'apparition du nombre 24 dans la [[fonction êta de Dedekind]]. De même, les dimensions où est possible la [[supergravité]] sont liées aux dimensions des [[algèbre à division|algèbres à division]].

== Objects non exceptionnels ==

=== Pathologies ===
{{voir aussi|Cas pathologique}}
L'adjectif « exceptionnel » est réservé à des objets inhabituels, donc rares, et ne s'applique pas à des objets inattendus ou non-standards. Les phénomènes de ce genre sont plutôt appelés « [[Cas pathologique|pathologiques]] », comme pour les [[fonction continue nulle part dérivable|fonctions continues nulle part dérivables]], ou « exotiques » , comme pour les [[sphère exotique|sphères exotiques]] (ces dernières existent en presque toutes les dimensions, et, en fait, la plupart des sphères sont exotiques).

=== Objects extrêmes ===
Les objets d'une famille qui en sont l'exemple extrême pour une certaine mesure sont intéressants, mais non inhabituels au sens où les objets exceptionnels le sont. Par exemple, le [[nombre d'or]] ''φ'' possède la plus simple des approximations par une [[fraction continue]], et est donc le plus difficile des réels à [[approximation diophantienne|approcher par des rationnels]] ; mais il n'est nullement exceptionnel pour cette propriété.

De même, le triangle de Schwartz (2,3,7) est le plus petit triangle de Schwartz hyperbolique, et le {{Lien|trad=(2,3,7) triangle group|lang=en|fr=groupe du triangle (2,3,7)|texte=groupe du triangle associé}} est particulièrement intéressant, en tant que {{Lien|trad=Hurwitz group|lang=en|fr=groupe de Hurwitz}} universel et associé aux {{Lien|trad=Hurwitz curve|lang=en|fr=courbe de Hurwitz|texte=courbes de Hurwitz}}. Mais il appartient à une famille infinie de triangles ayant des propriétés analogues ((2,4,7), (2,3,8), (3,3,7), etc.), et n'est important que parce qu'il est le plus petit.

== Relations entre physique et mathématique ==
Beaucoup d'objets exceptionnels en mathématiques et en physique ont des liens entre eux. Ainsi, les conjectures connues sous le nom de « [[monstrous moonshine]] » montrent des liens entre le [[groupe Monstre]] et la [[théorie des cordes]]. La théorie des [[forme modulaire|formes modulaires]] montre les liens entre E8 et le groupe Monstre. Le [[réseau de Leech]], par l'intermédiaire du [[code de Golay]], est lié à la matrice d'adjacence du [[dodécaèdre régulier|dodécaèdre]]. La [[carte heuristique]] ci-dessous montre d'autres relations semblables.

[[Fichier:Exceptionalmindmap.png|600px]]

Ces relations s'expliquent en partie en considérant ces objets comme formant un réseau d'[[algèbre vertex|algèbres vertex]]. Il se trouve que les algèbres vertex à la base de ce réseau sont si simples qu'elles sont isomorphes à des algèbres usuelles plus familières ; les relations sont ainsi de simples conséquences de ce que certaines algèbres sont en fait des sous-algèbres de certaines autres.

=== Supersymétries ===
Les [[algèbre de Jordan|superalgèbres de Jordan]] sont un autre ensemble d'objets exceptionnels en lien avec la [[supersymétrie]] : ce sont les [[superalgèbre de Lie|superalgèbres de Lie]] liées aux réseaux de Lorentz. Ce sujet étant moins développé que le précédent, les relations sont plus mal connues, mais il semble qu'on puisse formuler pour ces objets des conjectures analogues au [[monstrous moonshine]] mettant en jeu d'autres groupes sporadiques, comme le montre la carte heuristique ci-dessous.

[[Fichier:supermindmap.png|550px]]

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Exceptional object|669270726}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[L'exception qui confirme la règle]]

=== Bibliographie ===
* {{Article |langue=en |nom1=Stillwell |prénom1=John |titre=Exceptional Objects |périodique=American Mathematical Monthly |date=novembre 1998 |pages=850–858}}
* {{en}} [[John Baez]] et [[John Huerta]], ''Division Algebras and Supersymmetry II''. {{arxiv|1003.3436}}.
* {{en}} [http://math.ucr.edu/home/baez/week106.html This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 106], [[John Baez]]
* {{en}} [http://math.ucr.edu/home/baez/platonic.html Platonic Solids in all Dimensions], [[John Baez]]
{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Vocabulaire des mathématiques]]