Voir la source de Octogone

{{Infobox Polytope
|nom=Octogone régulier
|image=Regular polygon 8 annotated.svg
|légende=<!--déjà dans le nom donc redite inutile-->
|type=[[Polygone régulier]]
|arêtes=16
|Diagonales=20
|sommets=8
|symbole de schläfli={8}
|axes de symétrie= 4
|diagramme de coxeter–dynkin={{DCD|node_1|8|node}}<br />{{DCD|node_1|4|node_1}}
|groupe de symétrie=[[Groupe diédral]] D{{ind|16}}
|angle interne=135°
|propriétés=[[Polygone constructible|Constructible]]
}}
Un '''octogone''' (du [[Grec ancien|grec]] ὀκτάγωνον ''oktágōnon'', cf. ὀκτώ ''oktṓ'' « huit » et γωνία ''gōnía'' « angle ») est un [[polygone]] à huit [[Sommet (géométrie)|sommets]], donc huit côtés et vingt [[diagonale]]s.

La [[Polygone#Somme des angles|somme des angles internes]] d'un octogone [[Polygone simple|non croisé]] est égale à {{math|{{Unité|6[[Pi|π]]|[[Radian|rad]]}}}}, soit {{Formatnum:1080}}[[Degré (angle)|°]].

== Octogone régulier ==
Un octogone [[Polygone régulier|régulier]] est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les [[Angle interne|angles internes]] ont la même valeur.

Il existe un octogone régulier [[Polygone régulier étoilé|étoilé]] (l'[[octagramme]] régulier, noté [[Symbole de Schläfli|{8/3}]]) mais usuellement, « octogone régulier » désigne implicitement l'octogone régulier ''[[Polygone convexe|convexe]]'', noté {8}.

=== Propriétés ===
Pour un octogone régulier de côté {{math|''a''}} :
* l'[[angle interne]] vaut {{unité|{{math|3π/4}}|rad}}, soit 135° ;
* le [[Rayon (géométrie)|rayon]] du [[cercle circonscrit]] est{{Retrait|<math>R=\tfrac a{2\sin\left(\tfrac{\pi}8\text{ (rad)}\right)}=\tfrac a{\sqrt {2-\sqrt 2}} \simeq 1{,}3066~a~;</math>}}
* le rayon du [[cercle inscrit]] et donc la longueur de [[Apothème|l'apothème]] est{{Retrait|<math>r=\tfrac a2\cot\tfrac{\pi}8=\tfrac a2(1+\sqrt2)\simeq1{,}2071~a</math>}}({{math|cot}} est ici la fonction [[cotangente]]) ;
* le [[périmètre]] est égal à {{math|8''a''}} ;
* l'[[Aire (géométrie)|aire]] est égale à{{Retrait|<math>2a^2\cot\tfrac{\pi}8=2(1+\sqrt2)~a^2\simeq4{,}82843~a^2.</math>}}Elle vaut également{{Retrait|<math>2R^2\sqrt2=8r^2{(\sqrt2-1)}.</math>}}

{{Clr}}

=== Construction ===

[[Image:OctagonConstructionAni.gif|vignette|Construction d'un octogone régulier à la règle et au compas.]]

D'après le [[théorème de Gauss-Wantzel]] et puisque 8 est une [[puissance de 2]], l'octogone régulier est [[Construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]]. La construction suivante est possible :
* 1 : tracer une droite.
* 2 : tracer un cercle dont le centre est situé sur la droite.
* 3 : tracer un arc de cercle dont le centre est situé à l'intersection de la droite et du cercle précédent, de même rayon que celui-ci.
* 4 : tracer une droite passant par les deux points où les cercles se coupent.
* 5 : tracer un arc de cercle ayant pour centre l'intersection des deux droites et passant par le centre du premier cercle.
* 6 : tracer une droite passant par l'intersection de la dernière droite et du dernier cercle, et par le centre du cercle tracé en 2.
* 7 : l'intersection avec le cercle donne la distance à reporter pour chaque côté de l'octogone
* 8 à 10 : reporter les côtés.
* 11 à 18 : tracer l'octogone.
{{Clr}}

Ou plus simplement :
* Tracer un [[carré]], tracer les diagonales.
* Reporter la demi-diagonale sur les côtés du carré à partir de chaque angle.
* Tracer l'octogone en coupant les coins du carré.

== Architecture ==
[[Fichier:Baptismal Font Magdeburg.jpg|vignette|Les [[fonts baptismaux]] de la [[cathédrale de Magdebourg]], réemploi d'un bassin de [[Fontaine (bassin)|fontaine]] en porphyre d'époque romaine, le trou central ayant été bouché.]]
L'octogone apparait dans le plan de certains édifices dans l'[[architecture de la Grèce antique]] puis se répand fortement dans l'[[architecture romaine]]. Il s'est ensuite largement transmis aux époques suivantes. 

Dans l'Antiquité, on peut citer la présence de l'octogone pour le plan de la [[tour des Vents]] à Athènes ({{s mini-|I}} ou {{-s-|II}}), pour la salle à [[coupole]] de la [[Domus aurea]] de Néron à Rome et d'autres salles à coupoles de la Rome antique, pour des mausolées comme celui du [[palais de Dioclétien]] à Split. On retrouve ensuite l'octogone dans le plan de nombreuses [[église à plan centré|églises à plan centré]] et de [[baptistère]]s relevant des architectures [[Architecture paléochrétienne|paléochrétienne]] et [[Architecture byzantine|byzantine]]. Cette forme est ensuite abondement reprise au Moyen Âge dans les architectures [[Architecture arménienne|arménienne]], [[Architecture carolingienne|carolingienne]], [[Architecture islamique|islamique]], [[Architecture romane|romane]], [[Architecture gothique|gothique]], et finit par connaitre encore un certain succès dans l'architecture de la [[architecture Renaissance|Renaissance]] et de la période [[Architecture baroque|baroque]]. Parmi les multiples exemples, on peut citer la [[Basilique Saint-Vital de Ravenne|basilique Saint-Vital]] de Ravenne ({{s-|VI}}), le [[dôme du Rocher]] à Jérusalem ({{s-|VII}}), la [[Chapelle palatine d'Aix-la-Chapelle|chapelle palatine]] de Charlemagne à Aix-la-Chapelle ({{s-|VIII}}), le [[Baptistère Saint-Jean de Florence|baptistère Saint-Jean]] de Florence ({{s-|XII}}), [[Castel del Monte]] de Frédéric II du Saint-Empire ({{s-|XIII}}) en Apulie (Italie) qui a un plan octogonal flanqué de huit tours elles-mêmes octogonales, ou encore les sales capitulaires des cathédrales de [[Cathédrale de Salisbury|Salisbury]] et de [[Cathédrale de Wells|Wells]] en [[Angleterre]] ({{s-|XIII}}) et le dôme de [[Santa Maria del Fiore]] de Florence ({{sp-|XIII|-|XV}}).

Les bassins octogonaux existent également dès l'Antiquité et se transmettent ensuite. On en trouve dans les palais et thermes de la Rome antique, puis dans les églises, les monastères, les baptistères, ou encore dans les palais et les hammams islamiques.

En Asie les [[pagode]]s ont des plans divers : ronds, carrés ou polygonaux, parmi lesquels l'octogone est assez fréquent. On peut citer la [[pagode Sakyamuni du temple Fogong]] en [[Chine]].

Pour les [[alchimiste]]s, l'octogone est le parfait mélange entre le carré (l'Humain) et le cercle (le Divin).

<gallery>
Byggnadskonsten, San Vitale i Ravenna, Nordisk familjebok.png|Plan de la [[basilique Saint-Vital de Ravenne]].
Dehio_10_Dome_of_the_Rock_Floor_plan.jpg|Plan du [[dôme du Rocher]].
Casteldelmontepln.png|Plan de [[Castel del Monte]].
Parker Dam State Park-Octagonal Lodge Apr 10.JPG|[[Octagonal Lodge]] (Pennsylvanie, États-Unis).
Oktogon_Palaca_prve_hrvatske_stedionice_3_01052012_roberta_f.jpg|Toit de l'atrium [[Oktogon (Zagreb)|Oktogon]], à Zagreb.
</gallery>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Octagons|wiktionary=octogone}}

=== Articles connexes ===
* [[Table de lignes trigonométriques exactes]]
* [[Octogone de Montmorillon]] : chapelle romane
* [[Panneau stop]], [[panneau de signalisation]] octogonal

=== Liens externes ===
* {{MathWorld|nom_url=Octagon|titre=Octagon}}
* {{MathWorld|nom_url=TrigonometryAnglesPi8|titre=Trigonometry Angles — Pi/8}}
{{Liens}}

{{Palette|Polygones}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polygone]]
[[Catégorie:Construction octogonale|*]]