Voir la source de Onde monochromatique

{{Autre4|les [[onde]]s|la [[vision des couleurs]]|monochromatisme}}
Une '''onde monochromatique''', ou '''onde harmonique'''<ref name="Pérez214">{{harvsp|José-Philippe Pérez|2005|p=214-216|id=Pérez2004}}</ref>{{,}}<ref name="Hecht17">{{harvsp|Eugène Hecht|2005|p=16-18|id=Hecht2005}}</ref> est une [[onde]] qui peut être décrite par une fonction sinusoïdale du temps<ref name="Pérez214" />. Sa [[densité spectrale de puissance|densité spectrale d'énergie]] ne présente qu'une seule [[fréquence]], qu'une seule [[longueur d'onde]]. On parle également d''''onde sinusoïdale'''<ref name="Pérez214" />, et, s'il s'agit d'une [[onde électromagnétique]],  d''''onde monoénergétique'''{{note|groupe=alpha|Les ondes électromagnétiques seules sont caractérisées de façon équivalente par la fréquence, la longueur d'onde ou l'énergie photonique.}}{{,}}<ref name="Hecht17" />.

L'étude des ondes sinusoïdales a une grande importance dans les divers domaines d'étude des ondes et de leur [[Propagation des ondes|propagation]] du fait de la simplicité de l'approche mathématique et parce qu'une onde quelconque peut être décomposée en une somme d'ondes sinusoïdales par l'[[Analyse harmonique (mathématiques)|analyse harmonique]]. 

Le terme monochromatique{{note|groupe=alpha|Du [[grec ancien]] ''μόνος'', ''mónos'', « seul » et ''χρῶμα'', ''khrôma'', « couleur ».}} vient du domaine de l'optique : dans le cas d'un [[rayonnement électromagnétique]] monochromatique du [[Spectre visible|domaine visible]], on parle de [[couleur]] pure. Le terme harmonique vient du domaine de l'[[acoustique]] : dans le cas d'une onde de [[pression acoustique]] sinusoïdale, on parle d'un [[son (physique)|son]] pur<ref name="Rossi">{{Ouvrage| langue=fr| prénom1=Mario| nom1=Rossi| lien auteur1=Mario Rossi (ingénieur)| titre=Audio| lieu=Lausanne| éditeur=Presses polytechniques et universitaires romandes| année=2007| numéro d'édition=1| pages totales=782| passage=5-6| isbn=978-2-88074-653-7| lire en ligne=https://books.google.com/books?id=n6VrGMyYtkkC&printsec=frontcover}}</ref> ; un son périodique est caractérisé par ses [[Harmonique (musique)|harmoniques]]. Par extension, ces termes sont également utilisés dans les domaines de l'électricité et de la mécanique.

En pratique, il n'existe pas d'onde parfaitement monochromatique, ne serait-ce que du fait qu'aucune source n'émet jamais de façon permanente : il y a toujours une dispersion autour de la fréquence ou de la longueur d'onde centrale du rayonnement. Aussi peut-on au mieux mesurer, produire, utiliser des ondes quasi-monochromatiques : leurs [[Spectre électromagnétique|spectres]] n'occupent qu'une bande très étroite de fréquence {{harv|id=TVF|Dic. Phys.}}.

== Modélisation analytique ==
=== Vibration sinusoïdale ===
Une vibration harmonique est la variation <math>\psi</math> d'une [[grandeur physique]] autour d'une valeur moyenne suivant une fonction sinusoïdale du temps. Cette notion est particulièrement adaptée pour l'étude des oscillateurs mécaniques (pour lesquels il n'y a pas de propagation) et des [[Circuit électrique|circuits électriques]] (pour lesquels la propagation est considérée instantanée compte tenu des dimensions du circuit et des fréquences mises en jeu). On peut écrire<ref name="Pérez214" /> :

:<math>\psi (t)= A \cdot \cos(\omega t + \phi)</math>.

*<math>A</math> est l'amplitude et correspond à la valeur maximale prise par <math>\psi</math>,
*<math>\omega</math> est la [[Vitesse angulaire|pulsation]] en [[radian par seconde]] ({{nb|rad s-1}}),
*<math>\phi</math> est le retard de phase en [[radian]].

La pulsation est liée à la [[fréquence]] <math>f</math> ou à la [[phénomène périodique|période]] temporelle <math>T</math> par : <math>\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}</math>.

La représentation complexe, également nommée représentation analytique, peut souvent simplifier les calculs. Selon les conventions utilisées on note :

* soit <math>\underline \psi (t)= A \cdot \mathrm{e}^{j(\omega t + \phi)} = A \cdot  \mathrm{e}^{j \phi} \cdot \mathrm{e}^{j \omega t} </math>,
* soit  <math>\underline \psi (t)= A \cdot \mathrm{e}^{-j(\omega t + \phi)} = A \cdot  \mathrm{e}^{-j \phi} \cdot \mathrm{e}^{-j \omega t} </math>.

Dans tous les cas : <math>\psi (t) = \mathrm{Re}(\underline \psi (t))</math>.

=== Onde progressive sinusoïdale ===
{{Article détaillé|Propagation des ondes}}

Dans le cas d'une onde sinusoïdale progressive, la vibration se propage à la vitesse <math>c</math>, on peut écrire :  

:<math>\psi (\vec r,t)= A(\vec r) \cdot \cos(\omega t - \vec k \cdot \vec r + \varphi)</math>.

* <math>\vec r</math> est le [[vecteur position]] du point étudié.
* L'amplitude <math>A(\vec r)</math> dépend de la position du fait d'une atténuation, d'une directivité de la source, etc.
* <math>\varphi</math> est la phase à l'origine (pour <math>t</math> et <math>x</math> nuls).
* Le vecteur <math>\vec k</math> est le [[vecteur d'onde]]. Sa norme <math>k </math> est appelée [[nombre d'onde]] et s'exprime en {{nb|rad m-1}} ; elle est liée à la [[longueur d'onde]] (période spatiale) par : <math>k = \| \vec k \| = \frac{2 \pi}{\lambda}</math>.

La célérité (vitesse de propagation) de l'onde permet de relier les grandeur temporelles et spatiales entre elles :

:<math>c=\frac{\lambda}{T}=\frac{\omega}{k}</math>.

=== Onde stationnaire sinusoïdale ===
{{Article détaillé|Onde stationnaire}}

Une [[onde stationnaire]] harmonique est la conséquence de l'interférence d'au moins deux ondes progressives harmoniques. C'est une vibration harmonique particulière. Ce type de phénomène est particulièrement étudié en mécanique, en acoustique ou dans le domaine des transmissions. 

[[Fichier:Standing wave 2.gif|thumb|Illustration.]]
{{exemple|nom=Exemple le plus simple de deux ondes planes se propageant en sens inverse|
<math>\psi_1(x,t)=A \cos(\omega t - kx)</math> 

<math>\psi_2(x,t)=A \cos(\omega t + kx)</math> 

<math>\psi(x,t) = \psi_1(x,t) + \psi_2(x,t) = 2A \cdot \cos{(\omega t)}\cdot \cos (kx) </math> 

La grandeur physique vibre sinusoïdalement en chaque point à la pulsation <math>\omega</math>. Son amplitude dépend de sa position : des [[nœud (physique)|nœuds]] et des [[ventre (physique)|ventres]] se forment.
}}

=== Vibration quasi-sinusoïdale ===
On peut considérer une vibration ou une onde comme quasi-sinusoïdale si sa densité spectrale de puissance occupe une bande très étroite de fréquences.

[[Fichier:Vibration quasi monochromatique.png|thumb|Répartition spectrale de l'énergie.]]

{{Exemple|nom=Exemple d'un signal sinusoïdal tronqué |

<math> 
\begin{cases}
\underline \psi (t)= A \cdot  \mathrm{e}^{j \phi_0} \cdot \mathrm{e}^{j.2\pi.f_0.t} \ \text{si} \ t \in  \left[ 0; \tau \right]\\
\underline \psi (t) = 0 \ \text{sinon}
\end{cases} 
</math>

Il faut déterminer sa transformée de Fourier : 

<math>\underline {\hat \psi} (f) = \int_{-\infty}^{+ \infty} \underline \psi (t) \cdot \mathrm e^{-j.2\pi.f.t} \cdot \mathrm d t
</math>,

pour connaître sa densité spectrale d'énergie :

<math>\left|\underline {\hat \psi} (f)\right|^2 = \tau^2 \cdot A^2 \cdot \left( \frac{\sin(\pi.(f-f_0).\tau)}{\pi.(f-f_0).\tau} \right)^2</math>

On peut considérer la vibration comme quasi monochromatique si <math>\frac 1 \tau \ll f_0 </math> c'est-à-dire, <math>T_0</math> étant la période du signal sinusïdal, si <math>\tau \gg T_0</math>
}}

{{Démonstration
  |titre   = Démonstration
  |contenu =
<math>\begin{align}\underline {\hat \psi} (f) & = \int_{-\infty}^{+ \infty} \underline \psi (t) \cdot \mathrm e^{-j.2\pi.f.t} \cdot \mathrm d t \\
\ & = A \cdot  \mathrm{e}^{j \phi_0} \cdot \int_{0}^{\tau} \mathrm{e}^{j.2\pi.f_0.t} \cdot \mathrm e^{-j.2\pi.f.t} \cdot \mathrm d t \\
\ & = A \cdot  \mathrm{e}^{j \phi_0} \cdot \int_{0}^{\tau} \mathrm{e}^{j.2\pi.(f_0-f).t} \cdot \mathrm d t \\
\ & = A \cdot \mathrm{e}^{j \phi_0} \cdot \left[ \frac{\mathrm{e}^{j.2\pi.(f_0-f).t}}{j.2\pi.(f_0-f)}\right]_{0}^{\tau} \\
\ & = A \cdot \mathrm{e}^{j \phi_0} \cdot \frac{\mathrm{e}^{j.2\pi.(f_0-f).\tau}-1}{j.2\pi.(f_0-f)} \\
\ & = A \cdot \mathrm{e}^{j \phi_0} \cdot \mathrm{e}^{j.\pi.(f_0-f).\tau} \cdot \frac{\mathrm{e}^{j.\pi.(f_0-f).\tau}-\mathrm{e}^{-j.\pi.(f_0-f).\tau}}{j.2\pi.(f_0-f)} \\
\ & = A \cdot \mathrm{e}^{j \phi_0} \cdot \mathrm{e}^{j.\pi.(f_0-f).\tau} \cdot \frac{2.j.\sin(\pi.(f_0-f).\tau)}{j.2\pi.(f_0-f)} \\
\ & = \tau \cdot A \cdot \mathrm{e}^{j \phi_0} \cdot \mathrm{e}^{j.\pi.(f_0-f).\tau} \cdot \frac{\sin(\pi.(f_0-f).\tau)}{\pi.(f_0-f).\tau} \\
\ & =  \tau \cdot A \cdot \frac{\sin(\pi.(f-f_0).\tau)}{\pi.(f-f_0).\tau} \cdot \mathrm{e}^{j.\left(\pi.\left(f_0-f\right).\tau + \phi_0\right)}  
\end{align}</math>

<math>\left|\underline {\hat \psi} (f)\right| = \tau \cdot A \cdot \left( \frac{\sin(\pi.(f-f_0).\tau)}{\pi.(f-f_0).\tau} \right)</math>

<math>\mathrm{arg} \left( \underline {\hat \psi} (f) \right) = \pi.\left(f_0-f\right).\tau + \phi_0</math>
}}

== Domaines d'application ==
=== Optique ===
L'optique s'intéresse à la propagation des [[onde électromagnétique|ondes électromagnétiques]]. Dans ce cadre, une onde monochromatique désigne une onde électromagnétique dont le [[champ électrique]] et le [[champ magnétique]] varient selon une fonction sinusoïdale du temps. Cette dénomination peut être aussi bien utilisée pour les rayonnements du domaine visible que des domaines invisibles, notamment [[infrarouge]] et [[ultraviolet]]. 

Dans le domaine de la [[photométrie (optique)|photométrie]] et de la [[colorimétrie]], qui se limitent à la partie visible du spectre électromagnétique, une [[couleur]] ''[[pureté d'excitation|pure]]'' ou ''spectrale'', est la sensation produite sur le [[Système visuel humain|système visuel]] humain par une [[onde électromagnétique]] monochromatique du domaine visible. Ces couleurs sont celles que l'on observe lors de la dispersion de la lumière par un [[prisme (optique)|prisme]] ou un [[réseau de diffraction]] dans une [[chambre noire]], et aussi, lavées de blanc, dans un  [[arc-en-ciel]]. Pour obtenir expérimentalement des ondes quasi-monochromatiques, on utilise généralement un [[monochromateur]].

{| class="wikitable centre"
|+ Spectre visible et dénomination des teintes{{note|groupe=alpha|Le nom des couleurs et les limites des intervalles de longueurs d'onde sont extraits de la norme AFNOR X 08-010  « Classification méthodique générale des couleurs » ( annulée le 30 août 2014). Les noms de plage de couleur ne pouvant correspondre à des ondes monochromatiques (ligne des pourpres) ne sont pas donnés ici.}}{{,}}<ref>{{Ouvrage
 | prénom1       = Robert
 | nom1          = Sève
 | titre         = Science de la couleur
 | sous-titre    = Aspects physiques et perceptifs
 | lieu          = Marseille
 | éditeur       = Chalagam
 | année         = 2009
 | pages totales = 374
 | passage       = 246-251
 | isbn          = 978-2-9519607-5-6
 | isbn2         = 2-9519607-5-1
 | id            = Sève2009
}}</ref>
|-
! colspan="2" scope="col" | Couleur perçue{{note|groupe=alpha|Un écran d'ordinateur ne pouvant produire une lumière monochromatique, les cadres colorés donnent une référence approximative. Les tables des fonctions colorimétriques de la [[Commission internationale de l'éclairage|CIE]] [[CIE XYZ|XYZ]] donnent la position trichromatique des lumières monochromatiques. Elles sont (1) converties en coordonnées (positives et négatives) linéaires par la matrice de conversion [[sRGB]], (2) ramenées à des valeurs positives par l'ajout de la quantité juste suffisante de lumière achromatique (gris de luminosité égale à celle de la couleur), sauf dans le cas du rouge-orangé (3) multipliées composante par composante par un coefficient pour obtenir une luminosité proportionnelle à l'indice d'[[efficacité lumineuse spectrale]] et (4) converties en code non-linéaire selon les prescriptions sRGB. Deux couleurs ont exigé des corrections, en raison des caractéristiques des primaires sRGB. La pureté maximale du rouge-orangé, région de la primaire rouge, est réduite à cause de la condition de luminosité, arrivant à une valeur intermédiaire entre les couleurs adjacentes. La pureté du bleu-violet a été réduite pour se trouver comme celle des couleurs voisines, afin de ne pas apparaître comme plus colorée que celles-ci.}}
! scope="col" | [[Longueur d'onde]] <math>\lambda</math><br />dans le vide ([[Nanomètre|nm]])
! scope="col" | [[Fréquence]] <math>f</math>([[Térahertz|THz]])
|-
| [[infrarouge]]
| bgcolor="#000000" width=30|&nbsp;
| align=center | > 780
| align=center | < 385
|-
| [[rouge]]
| bgcolor="#CD0136" width=30| &nbsp;  <!-- {nm:630, p:0.678, Y:0.132} p max sauf indication, Y=50% de Y monochromatique-->
| align=center | 622 - 780
| align=center | 482 - 385
|-
| [[Rouge-orange|rouge-orangé]]
| bgcolor="#FF2B33" | &nbsp; <!-- {nm:613, p:0.789, Y:0.232} -->
| align=center | 605 – 622
| align=center | 482 - 496
|-
| [[Rouge-orange|orangé-rouge]]
| bgcolor="#FF5800" | &nbsp; <!-- {nm:599, p=0.900, Y:0.277} -->
| align=center | 593 – 605
| align=center | 496 - 506
|-
| [[orange (couleur)|orange]]
| bgcolor="#FF8400" | &nbsp; <!-- {nm:590, p=0.887, Y:0.379} -->
| align=center | 588 – 593
| align=center | 506 - 510
|-
| orangé-jaune
| bgcolor="#F59300" | &nbsp; <!-- {nm:586, p=0.882, Y:0.402} -->
| align=center | 584 – 588
| align=center | 510 - 514
|-
| [[jaune-orange|jaune-orangé]]
| bgcolor="#E6A300"| &nbsp; <!-- {nm:581, p=0.876, Y:0.430} -->
|  align=center | 579 – 584
|  align=center | 514 - 518
|-
| [[jaune]]
| bgcolor="#D4AB00"| &nbsp;  <!-- {nm:577, p:0.871, Y:0.430} -->
| align=center | 575 - 579
| align=center | 518 - 522
|-
| [[jaune-vert]]
| bgcolor="#CDB600"| &nbsp;  <!-- {nm:574, p:0.868, Y:0.462} -->
| align=center | 573 - 575
| align=center | 522 - 524
|-
| [[vert-jaune]]
| bgcolor="#72D300" |&nbsp;  <!-- {nm:557, p:856, Y:0.500} -->
|  align=center | 541 - 573
|  align=center | 524 - 555
|-
| [[vert]]
| bgcolor="#02C378" |&nbsp;  <!-- {nm:526, p:0.478, Y:0.404} -->
| align=center | 510 - 541
| align=center | 555 - 588
|-
| [[vert-bleu]]
| bgcolor="#007F6A" |&nbsp;  <!-- {nm:500, p:0.344, Y:0.161} -->
| align=center | 490 - 510
| align=center | 588 - 612
|-
| [[bleu-vert]]
| bgcolor="#005C6C" |&nbsp;  <!-- {nm:486, p:0.310, Y:0.088} -->
| align=center | 483 - 490
| align=center | 612 - 621
|-
| [[bleu]]
| bgcolor="#005075" |&nbsp;  <!-- {nm:480, p:0.310, Y:0.070} -->
| align=center | 478 - 483
| align=center | 621 - 628
|-
| [[bleu-violet]]
| bgcolor="#123C84" |&nbsp;  <!-- {nm:472, p:0.275, Y:0.050} pureté comme adjacents -->
| align=center | 466 - 478
| align=center | 628 - 644
|-
| [[violet-bleu]]
| bgcolor="#2D0094" |&nbsp; <!-- {nm:458, p:0.313, Y:0.027} -->
| align=center |  449 - 466
| align=center |  644 - 668
|-
| [[violet]]
| bgcolor="#2C0066" |&nbsp; <!-- {nm:445, p:0.125, Y:0.015} -->
| align=center | 380 - 449
| align=center | 668 - 789
|-
| [[ultraviolet]]
| bgcolor="#000000" |&nbsp;
| align=center | < 380 
| align=center | > 789
|}

Le terme monochromatique ne doit pas être confondu avec celui de [[monochrome]], qui est un terme signifiant qu'une seule couleur, et souvent plus largement un seul [[champ chromatique]] est perçu sur l'ensemble d'une surface. Cette couleur ne correspond pas en général à une onde monochromatique.

=== Acoustique ===
Les ondes acoustiques résultent la variation de la [[pression acoustique]] due à une source. Un son pur est une variation sinusoïdale de [[pression acoustique]] dans le domaine des fréquences audibles<ref name="Rossi" />.

{{Exemple|nom=Exemple — Propagation d'un son pur émis par une source ponctuelle omnidirectionnelle|Dans le cas d'une onde sphérique, <math>r</math> étant la distance à la source et <math>P(1 \ \mathrm m)</math> la pression acoustique efficace à 1 m de la source, le champ de pression acoustique est défini par :

<math>p(r,t)= \frac {P(1 \ \mathrm m).\sqrt 2}{r} \cdot \cos(\omega . t - k . r + \varphi)</math>.}}

== Annexes ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage
 | langue           = fr
 | prénom1          = Eugène
 | nom1             = Hecht
 | titre            = Optique
 | lieu             = Paris
 | éditeur          = Pearson Education France
 | année            = 2005
 | numéro d'édition = 4
 | pages totales    = 724
 | isbn             = 2-7440-7063-7
 | id               = Hecht2005
}}
* {{Ouvrage
 | prénom1          = José-Philippe
 | nom1             = Pérez
 | titre            = Optique. Fondements et applications
 | lieu             = Paris
 | éditeur          = [[Éditions Dunod|Dunod]]
 | année            = 2004
 | numéro d'édition = 7
 | isbn             = 2-10-048497-4
 | id               = Pérez2004
 | référence        = Référence:Optique : Fondements et applications(Pérez)
}}
* {{Ouvrage|prénom1=Richard|nom1=Taillet|prénom2=Loïc|nom2=Villain|prénom3=Pascal|nom3=Febvre|titre=Dictionnaire de physique|lieu=Bruxelles|éditeur=[[De Boeck]]|année=2013|passage=450 « monochromatique »|isbn=|id=TVF}}

=== Articles connexes ===
* [[Monochromateur]]
* [[Harmonique (musique)]]
* [[Interférométrie]]
* [[Diffraction]]
* [[Lumière polychromatique]]
=== Notes et références ===
{{references|groupe=alpha}}
<hr />
{{Références|taille=25}}

{{Portail|physique}}
[[Catégorie:Mécanique ondulatoire]]