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En [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], un '''opérateur non borné''' est une [[application linéaire]] partiellement définie.

Plus précisément, soient ''X'', ''Y'' deux [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]]. Un tel [[Opérateur (mathématiques)|opérateur]] est donné par un sous-espace {{math|dom}}(''T'') de ''X'' et une application linéaire dont l'[[ensemble de définition]] est {{math|dom}}(''T'') et l'[[ensemble d'arrivée]] est ''Y''.

== Exemple ==
Considérons ''X = Y'' = [[Espace L2|{{math|L{{2}}}}(ℝ)]] et l'[[Espace de Sobolev#Le cas p = 2|espace de Sobolev]] H{{1}}(ℝ) des fonctions de [[carré intégrable]] dont la [[Distribution (mathématiques)#Dérivation des distributions|dérivée au sens des distributions]] appartient, elle aussi, à {{math|L{{2}}}}(ℝ). On définit ''T'' par {{math|dom}}(''T'') = H{{1}}(ℝ) et ''T''(''f'') = ''f{{'}}'' (dérivée au sens des distributions). En tant qu'opérateur partiellement défini de ''X'' dans ''Y'', c'est un opérateur non borné.

== Opérateurs fermés ==
Les '''opérateurs fermés''' forment une classe d'opérateurs linéaires sur les espaces vectoriels normés plus vaste que celle des [[Opérateur borné|opérateurs bornés]]. Ils ne sont donc pas nécessairement [[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|continus]], mais il leur reste suffisamment de bonnes propriétés pour qu'on puisse définir pour eux le [[Spectre d'un opérateur linéaire|spectre]] et (sous certaines hypothèses) un [[calcul fonctionnel]]. Beaucoup d'opérateurs linéaires importants qui ne sont pas bornés sont fermés, comme l'opérateur de [[Dérivée|dérivation]] et bon nombre d'[[Opérateur différentiel|opérateurs différentiels]].

=== Définitions ===
Soient ''X'', ''Y'' deux espaces vectoriels normés. Un opérateur non borné ''T'' : {{math|dom}}(''T'') → ''Y'' (où {{math|dom}}(''T'') est un [[Sous-espace vectoriel|sous-espace]] de ''X'') est dit fermé si son [[Graphe d'une fonction|graphe]] est [[Fermé (topologie)|fermé]] dans [[Espace vectoriel normé#Topologie d'un sous-espace, produit, quotient|''X''×''Y'']].

Un opérateur ''T'' est dit fermable s'il possède un prolongement fermé, autrement dit si l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] de son graphe est le graphe d'un opérateur {{Surligner|''T''}}, qu'on appelle alors fermeture de ''T''.

Un cœur, ou domaine essentiel, d'un opérateur fermable ''T'' est un sous-espace ''C'' de {{math|dom}}(''T'') tel que la restriction de ''T'' à ''C'' ait même fermeture que ''T''.

=== Premières propriétés ===
Soit ''T'' un opérateur non borné, de domaine inclus dans ''X'' et à valeurs dans ''Y''.
* ''T'' est fermé si et seulement si pour toute [[Suite (mathématiques)|suite]] (''x{{ind|n}}'') dans {{math|dom}}(''T'') admettant dans ''X'' une [[Limite d'une suite|limite]] ''x'' et dont l'image par ''T'' converge, on a ''x'' ∈ {{math|dom}}(''T'') et ''T''(''x{{ind|n}}'') → ''T''(''x'').
* ''T'' est fermable si et seulement si pour toute suite (''x{{ind|n}}'') dans {{math|dom}}(''T'') convergeant vers 0 et dont l'image par ''T'' converge, on a ''T''(''x{{ind|n}}'') → 0.
* Si ''T'' est fermé, alors :
** si {{math|dom}}(''T'') = ''X'' et si ''X'' et ''Y'' sont des [[Espace de Banach|espaces de Banach]] alors ''T'' est borné (d'après le [[théorème du graphe fermé]]) ;
** pour tout opérateur borné ''H'', l'opérateur ''T'' + ''H'' est fermé ;
** le [[Application linéaire#Noyau et image|noyau]] de ''T'' est fermé dans ''X'' ;
** si ''T'' est [[injectif]] alors [[bijection réciproque|''T''{{-1}}]] est fermé.

=== Exemple ===
Soit ''X'' = ''Y'' = ''C''([''a'', ''b'']) l'espace des fonctions [[continue]]s sur l'[[intervalle réel]] [''a'', ''b''], muni de la norme de la [[convergence uniforme]]. L'opérateur ''D'' de [[Dérivée|dérivation]], défini sur le sous-espace des fonctions de [[Classe de régularité|classe]] C{{1}}, est fermé mais non borné. Le sous-espace des fonctions de classe C{{exp|∞}} est un cœur pour ''D''.

== Adjoint d'un opérateur non borné ==
Dans le cas d'un opérateur non borné sur un [[espace de Hilbert]] <math>H</math>, si <math>D(T)</math> est [[Partie dense|dense]], on peut définir son [[opérateur adjoint]] <math>T^*</math> en posant :
:<math> D(T^*) = \{ \phi \in H | \exists \eta \in H :\forall \psi \in D(T), < T \psi, \phi> = <\psi,  \eta> \}.</math>
Pour un <math>\phi~</math> donné, si un tel <math>\eta</math> existe, alors il est unique et on pose <math>T^*(\phi)=\eta</math>. Par le [[théorème de Hahn-Banach]] et le [[théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|théorème de représentation de Riesz]], nous voyons également que <math>\eta</math> existe si et seulement s'il existe une constante <math>C</math> telle que quel que soit <math>\psi</math>, <math> |< T \psi , \phi>|  \leqslant C \| \psi \| </math>.

{{ancre|Théorème de von Neumann}}
{{Théorème|Théorème de [[von Neumann]]|Soit ''T'' un opérateur (non borné) fermé d'un espace de Hilbert dans un autre. Si ''T'' est de domaine dense alors ''T*T'' l'est aussi et est [[opérateur autoadjoint|autoadjoint]].}}

== Commutation d'opérateurs auto-adjoints non bornés ==
La « bonne définition » de la commutation des opérateurs auto-adjoints non bornés est donnée par le théorème suivant :
 
{{Théorème|Commutation des opérateurs non bornés|
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
* <math>A</math> et <math>B</math> commutent
* Si les parties imaginaires de <math>\lambda</math> et <math>\mu</math> sont non nulles, <math>R_\lambda(A) R_\mu(B) = R_\mu(B) R_\lambda(A)</math>
* Quels que soient <math>s,t</math> réels, <math>e^{it A} e^{is B} = e^{is B} e^{it A}</math>
}}

Un exemple de [[Edward Nelson (mathématicien)|Nelson]] prouve en revanche :
{{énoncé|2=Il existe des opérateurs essentiellement autoadjoints <math>A:D\to D</math> et <math>B:D\to D</math> sur un ensemble dense <math>D</math>, tels que
*<math>A B \varphi-B A \varphi = 0</math> quel que soit <math>\varphi \in D</math>, mais 
*<math>A</math> ne commute pas avec <math>B</math>.}}

{{Démonstration|titre=Exemple de Nelson|contenu=
Soit <math>M</math> la surface de Riemann associée à la racine carrée. Prenons <math>A = -i \frac{\partial}{\partial x}</math> et <math>B = -i \frac{\partial}{\partial y}</math> sur l'ensemble <math>D</math> des fonctions régulières à support compact excluant l'origine. Nous avons alors :

# <math>A</math> et <math>B</math> sont essentiellement auto-adjoints sur <math>D</math>.
# <math>A : D \longrightarrow D</math> et <math>B : D \longrightarrow D</math>
# <math>A B \phi = B A \phi </math> quel que soit <math>\phi \in D</math>
# <math>e^{it A}</math> et <math>e^{is B}</math> ne commutent pas.
}}

Cet exemple prouve que la commutation de deux opérateurs non bornés est quelque chose de très délicat.

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Unbounded operator#Closed linear operators|650199486}}
* {{Brezis}}
* {{en}} {{Lien|langue=en|fr=Michael C. Reed|texte=M. Reed}} et [[Barry Simon|B. Simon]], ''Functional Analysis'', Academic Press, 1970

== Lien externe ==
[http://www.math.jussieu.fr/%7Emaurey/ts012/poly/mths.pdf Analyse fonctionnelle et théorie spectrale] {{pdf}} B. Maurey, [[université Paris 7]]. Le chapitre 11 présente les opérateurs non bornés auto-adjoints.

{{Palette|Analyse fonctionnelle}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Algèbre bilinéaire]]
[[Catégorie:Espace vectoriel normé]]

[[en:Closed operator]]