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{{à recycler|date=décembre 2015|thème=mathématiques}}
[[File:Trace_operator_illustration.png|right|thumb|Une fonction définie sur un rectangle (surface en rouge, figure du haut) et sa trace (en bas, courbe rouge).]]
Un '''opérateur trace''' est un [[Opérateur (mathématiques)|opérateur]] [[mathématiques|mathématique]] mis en œuvre dans des études d'[[Existence (mathématiques)|existence]] et d'[[Unicité (mathématiques)|unicité]] de solutions aux [[Condition aux limites|problèmes avec conditions aux limites]]. L'opérateur trace permet aussi au moyen d'une formulation dans un [[espace de Sobolev]] d'étendre au bord d'un domaine la notion de [[Application (mathématiques)#Opération sur les applications|restriction d'une fonction]].

== Origine ==

Soit Ω un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] [[Partie bornée|borné]] de l'[[espace euclidien]] ℝ{{exp|''n''}} {{Pas clair|date=décembre 2015|avec une [[Frontière (topologie)|frontière]] de [[Classe de régularité|classe C{{1}}]]|propriété (dépendant de la partie Ω, cf. [[domaine lipschitzien]]) à définir, non fournie par les 2 liens}}<ref>Un ouvert Ω de RN est dit de classe C1, si au voisinage de tout point de ∂Ω, il existe un difféomorphisme de classe C1 qui redresse la frontière en un hyperplan de RN−1 et Ω en un des demi-espaces limité par cet hyperplan.</ref> ∂Ω. Si ''u'' est une fonction ''C''{{1}} (ou simplement [[continue]]) sur l'[[Adhérence (mathématiques)|adhérence]] {{Surligner|Ω}} de Ω, sa restriction est bien définie et continue sur ∂Ω. Si de plus ''u'' est la solution d'une équation aux dérivées partielles donnée, elle est en général une [[formulation faible]], qui appartient donc à un certain [[espace de Sobolev]]. Les fonctions d'un tel espace ne sont généralement pas continues et sont définies seulement sur Ω (et même seulement [[à quelque chose près|à égalité près]] [[presque partout]]), donc leur restriction à ∂Ω n'a aucun sens. Il vient que la restriction simple d'une fonction ne peut pas être utilisée pour définir clairement une solution générale d'une équation aux dérivées partielles avec des conditions aux limites de Ω données.

On peut contourner cette difficulté en considérant que tout élément ''u'' d'un espace de Sobolev peut être mal défini en tant que fonction, mais peut toutefois être approché par une [[Suite et série de fonctions|suite (''u''{{ind|''n''}}) de fonctions]] de classe C{{1}} définies sur l'adhérence de Ω. Alors, la restriction ''u''{{ind|{{!}}∂Ω}} de ''u'' sur ∂Ω est définie comme la limite de la suite des restrictions ''u''{{ind|''n''{{!}}∂Ω}}.

== Construction de l'opérateur trace ==

Afin de définir rigoureusement la notion de restriction d'une fonction dans un espace de Sobolev, soit un [[nombre réel|réel]] ''p'' ≥ 1. Considérons l'[[opérateur linéaire]]
: <math>T:C^1(\bar \Omega)\to{\rm L^p}(\partial \Omega)</math>
défini sur l'ensemble des fonctions de classe ''C''{{1}} sur {{Surligner|Ω}} à valeurs dans {{Pas clair|date=décembre 2015|l'espace [[espace Lp|{{math|L{{exp|''p''}}(∂Ω)}}]]|pour quelle mesure ?}}, vérifiant
: <math>T u = u_{|\partial \Omega}.</math>

Le domaine de ''T'' est un sous-ensemble de l'espace de Sobolev ''W''{{exp|1,''p''}}(Ω).

Il existe une constante ''C'', dépendant uniquement de Ω et ''p'', telle que 
: <math>\forall u\in C^1(\bar \Omega)\quad\|Tu\|_{{\rm L^p}(\partial \Omega)}\le C \|u\|_{W^{1, p}(\Omega)}.</math>

Alors, comme les fonctions C{{1}} sur {{Surligner|Ω}} sont [[Partie dense|denses]] dans ''W''{{exp|1,''p''}}(Ω), l'opérateur ''T'' admet un [[Continuité uniforme#Prolongement par continuité|unique prolongement continu]] (donc, lui aussi, [[Application linéaire|linéaire]])
: <math>T:W^{1, p}(\Omega) \to{\rm L^p}(\partial \Omega)</math>
défini sur l'espace entier ''W''{{exp|1,''p''}}(Ω). ''T'' est appelé ''opérateur trace''. La restriction (ou ''trace'') ''u''{{ind|{{!}}∂Ω}} d'une fonction ''u'' de ''W''{{exp|1,''p''}}(Ω) est alors donnée par ''Tu''.

Puisque ce prolongement ''T'' est [[Espace à bases dénombrables de voisinages#Propriétés|séquentiellement continu]], pour toute suite (''u''{{ind|''n''}}) de fonctions de classe C{{1}} sur {{Surligner|Ω}} qui converge dans ''W''{{exp|1,''p''}}(Ω) vers ''u'', la suite (''u''{{ind|''n''{{!}}∂Ω}}) converge dans {{math|L{{exp|''p''}}(∂Ω)}} vers ''Tu''.

== Application ==

Considérons la résolution de l'[[équation de Poisson]] avec des [[conditions aux limites de Dirichlet]] :
: <math>\begin{cases}
-\Delta u = f \text{ sur } \Omega\\
u_{|\partial \Omega} = 0.
\end{cases}</math>

Ici, <math>f</math> est une fonction continue donnée sur {{Surligner|Ω}}.

Grâce au concept de trace, on définit, dans l'espace de Sobolev ''H''{{1}}(Ω) := ''W''{{exp|1,2}}(Ω), le sous-espace ''H''{{ExpInd|1|0}}(Ω) des fonctions de trace nulle. Alors l'équation admet la [[formulation faible]] suivante : 
: Trouver <math>u \in H^1_0(\Omega)</math> telle que 
: <math>\int_\Omega \!\nabla u(x)\cdot  \nabla v(x)\, dx = \int_\Omega \! f(x) v(x) \, dx</math> pour tout <math>v</math> dans ''H''{{ExpInd|1|0}}(Ω).

Par le [[théorème de Lax-Milgram]], on peut démontrer que ce problème admet une unique solution, et donc que l'équation de Poisson a une solution faible unique. 

Un raisonnement similaire peut être utilisé pour prouver l'existence et l'unicité de solutions dans le cas d'autres équations aux dérivées partielles avec des conditions aux limites différentes, telles les [[condition aux limites de Neumann|conditions de Neumann]] ou [[condition aux limites de Robin|de Robin]], la notion de trace étant importante dans ces cas.

== Bibliographie ==
*{{Brezis}}
*{{Ouvrage
 | langue                 = en
 | auteur1                = [[Lawrence C. Evans]]
 | titre                  = Partial differential equations
 | lieu                   = Providence, R.I.
 | éditeur                = [[American Mathematical Society|AMS]]
 | année                  = 2010
 | numéro d'édition       = 2
 | année première édition = 1998
 | pages totales          = 749
 | passage                = 174
 | isbn                   = 978-0-8218-4974-3
 | lire en ligne          = {{Google Livres|R5A65Koh-EoC|page=174}}
}}

== Notes et références ==
{{Références}}
{{Traduction/Référence|en|Trace operator|513041693}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Espace de Sobolev]]

[[de:Sobolev-Raum#Spuroperator]]