Voir la source de Ordre (théorie des groupes)

{{Confusion|Groupe ordonné}}
En [[théorie des groupes]], une branche des [[mathématiques]], le terme '''''ordre''''' est utilisé dans deux sens intimement liés :
* L''''ordre''' d'un [[groupe (mathématiques)|groupe]] est le [[Nombre cardinal|cardinal]] de son ensemble sous-jacent. Le groupe est dit [[Groupe fini|fini]] ou [[Groupe infini|infini]] suivant que son ordre est fini ou infini<ref>Définitions conformes à {{Ouvrage|id=Bourbaki|auteur=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique|Algèbre]]|sous-titre=chapitres 1 à 3|lieu=Paris|année=1970|page=I.29}}.</ref>.
* Si un élément ''a'' d'un groupe ''G'' [[Partie génératrice d'un groupe|engendre]] dans ''G'' un [[sous-groupe]] ([[Groupe cyclique|monogène]]) fini d'ordre ''d'', on dit que ''a'' est d'ordre fini et, plus précisément, d'ordre ''d''. Si le sous-groupe engendré par ''a'' est infini, on dit que ''a'' est d'ordre infini<ref>Définitions conformes à {{Harvsp|Bourbaki||p=I.49}}.</ref>. Si ''a'' est d'ordre fini, son ordre est le plus petit [[Entier naturel|entier strictement positif]] ''m'' tel que ''a<sup>m</sup> = e'' (où ''e'' désigne l'[[élément neutre]] du groupe, et où ''a<sup>m</sup>''  désigne le produit<ref>Une loi de groupe est en général notée multiplicativement. La notation additive est réservée aux groupes  [[groupe abélien|abélien]]s. Dans ce cas, l'équation ''a<sup>m</sup> = e'' est remplacée par ''ma'' = 0.</ref> de ''m'' éléments égaux à ''a'').

L'ordre d'un groupe ''G'' se note ord(''G''), |''G''| ou #''G'', et l'ordre d'un élément ''a'' se note ord(''a'') ou |''a''|.

== Exemples ==

=== Dans le groupe du cube de Rubik ===
Le [[Rubik's Cube|cube de Rubik]] permet d'illustrer la notion d'ordre d'un élément d'un groupe, où l'on découvre dans une pratique même élémentaire du cube de nombreux mouvements d'ordres variés (2, 3, 4, 6, ... ). Par exemple, une rotation d'un quart de tour d'une face est un mouvement d'ordre 4, une rotation d'une face d'un demi-tour est un mouvement d'ordre 2.

=== Groupes monogènes ===
*Dans le [[groupe monogène]] infini ℤ, tout élément non nul est d'ordre infini.
*Dans un [[groupe cyclique]] [[Anneau Z/nZ|ℤ/''n''ℤ]] avec ''n ''> 0, l'ordre de la classe {{surligner|''k''}} [[Congruence sur les entiers|modulo]] ''n ''d'un [[entier relatif|entier]] ''k ''est ''n''/[[PGCD]](''n'', ''k'').

=== Groupe symétrique S{{ind|3}} ===
Le [[groupe symétrique]] {{Lien|Groupe diédral d'ordre 6|trad=Dihedral group of order 6|texte=S{{ind|3}}}} ≃ [[Groupe diédral|D{{ind|6}}]], constitué de toutes les [[permutation]]s de trois objets, possède la [[Table de Cayley|table de multiplication]] suivante :

:{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1"
|-
!   •
! ''e'' || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''e''
| <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''s''
| ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''v'' || ''w'' || ''t'' || ''u''
|-
! ''t''
| ''t'' || ''u'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''w'' || ''v''
|-
! ''u''
| ''u'' || ''t'' || ''w'' || <span style="color:#009246">''v''</span> || ''e'' || ''s''
|-
! ''v''
| ''v'' || ''w'' || ''s'' || ''e'' || <span style="color:#009246">''u''</span> || ''t''
|-
! ''w''
| ''w'' || ''v'' || ''u'' || ''t'' || ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span>
|}

Ce groupe possède six éléments, si bien que ord(S{{ind|3}}) = 6.

Par définition, l'ordre de l'élément neutre, ''e'', est 1. Chaque carré de ''s'', ''t'', et ''w'' est égal à  ''e'', donc ces éléments du groupe sont d'ordre 2. En complétant l'énumération, ''u'' et ''v'' sont tous deux d'ordre 3, car ''u''{{2}} = ''v'', ''u''{{3}} = ''vu = e'', ''v''{{2}} = ''u'' et ''v''{{3}} = ''uv = e''.

== Structure de groupe ==

L'ordre d'un groupe et l'ordre de ses éléments donnent des informations sur la structure du groupe. Informellement, plus la décomposition de l'ordre est compliquée, plus le groupe l'est.

Le seul groupe d'ordre 1 ([[À quelque chose près|à isomorphisme près]]) est le [[groupe trivial]].

Le seul élément d'ordre 1 d'un groupe est l'élément neutre.

Un élément est d'ordre 2 si et seulement s'il est égal à son inverse, et différent de l'élément neutre.

Un groupe dont tout élément est d'ordre 2 (sauf l'élément neutre) est [[groupe abélien|abélien]] puisque dans un tel groupe,
:<math>ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba.</math>

== Lien entre les deux concepts ==

L'ordre d'un élément ''a'' est égal à l'ordre du sous-groupe engendré par ''a'', qui est 
:<math>\langle a \rangle = \{ a^k\mid k \in \Z\}.</math>

L'ordre d'un élément de ''G'' [[divisibilité|divise]] l'ordre du groupe ''G'' (par exemple le groupe symétrique S<sub>3</sub> ci-dessus est d'ordre 6, et les ordres de ses éléments sont 1, 2 ou 3). Plus généralement, le [[Théorème de Lagrange (algèbre)|théorème de Lagrange]] assure que l'ordre d'un sous-groupe quelconque ''H'' de ''G'' divise l'ordre de ''G'' (l'entier ord(''G'')/ord(''H''), noté [ ''G'' : ''H'' ], est appelé l'[[indice d'un sous-groupe|indice]] de ''H'' dans ''G'').

La réciproque partielle suivante est vraie si ''G'' est fini : le [[théorème de Cauchy (groupes)|théorème de Cauchy]] assure que si ''p'' est un [[nombre premier]] qui divise l'ordre de ''G'', alors il existe dans ''G'' un élément d'ordre ''p'' (la condition que ''p'' soit premier est indispensable : par exemple le [[groupe de Klein]] n'a pas d'élément d'ordre quatre). On peut utiliser ce théorème pour montrer qu'un groupe fini est un [[p-groupe|''p''-groupe]] (dont tout élément a pour ordre une puissance de ''p'') si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier ''p''.

== Ordre d'un produit ==
Si ''a'' est d'ordre infini, alors toutes les puissances de ''a'' sont aussi d'ordre infini. Si ''a'' est d'ordre fini, nous avons la formule suivante pour l'ordre des puissances de ''a'' :
: <math> \mbox{ord}(a^k) = \frac{\mbox{ord}(a)}{\mbox{pgcd}(\mbox{ord}(a),k)} </math>
pour chaque entier ''k''. En particulier, les entiers ''k'' tels que ''a<sup>k</sup> = e'' sont les [[divisibilité|multiples]] de l'ordre de ''a'' (ce qui caractérise l'ordre de ''a''), et l'inverse de ''a'' est de même ordre que ''a''.

Il n'y a pas de formule générale reliant l'ordre d'un produit ''ab'' aux ordres de ''a'' et ''b''. Il est même possible que ''a'' et ''b'' soient tous deux d'ordre fini tandis que ''ab'' est d'ordre infini, ou que ''a'' et ''b'' soient tous deux d'ordre infini tandis que ''ab'' est d'ordre fini.

Si ''a'' et ''b'' [[Commuter|commutent]], on peut au moins affirmer que l'ordre de ''ab'' divise le [[Plus petit commun multiple|PPCM]] des ordres de ''a'' et ''b''<ref name=WikiversitéPb5>Voir par exemple le problème 6, dans le lien ci-dessous vers les exercices corrigés sur [[Wikiversité]].</ref> et que, si ord(''a'') et ord(''b'') sont premiers entre eux, il est même égal au produit ord(''a'') × ord(''b'')<ref name=WikiversitéPb5/>.

Ceci permet de construire, à partir de deux éléments ''a'' et ''b'' qui commutent, un élément dont l'ordre est le PPCM des ordres de ''a'' et ''b''<ref name=WikiversitéPb5/>, ce qui prouve que l'ensemble des ordres des éléments d'un [[groupe abélien]] est [[Partie stable|stable]] par PPCM. Une conséquence est que si l'[[exposant d'un groupe]] abélien est fini alors il est égal à l'ordre de l'un des éléments du groupe. Pour les groupes finis non abéliens, on n'a pas cette propriété (voir par exemple « [[Fonction de Landau]] »).

== Autres propriétés ==

* Dans un groupe fini, pour tout entier ''d'' > 0, le nombre d'éléments d'ordre ''d'' est le produit du nombre (éventuellement nul) de sous-groupes d'ordre ''d'' par l'[[indicatrice d'Euler]] φ(''d'')<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Contemporary Abstract Algebra|auteur=Joseph Gallian|éditeur=[[Cengage Learning]]|année=2012|url={{Google Livres|Ef4KAAAAQBAJ|page=85}}|page=85}}.</ref> — d'après le [[lemme des bergers]] — et de même dans un groupe infini, le [[Nombre cardinal|nombre]] de sous-groupes d'ordre ''d'' pouvant alors être infini. Par exemple, dans le cas de S<sub>3</sub>, φ(3) = 2, et nous avons exactement deux éléments d'ordre 3. Le théorème ne fournit pas d'information utile à propos des éléments d'ordre 2, parce que φ(2) = 1.
* Les [[Morphisme de groupes|morphismes de groupes]] ont tendance à réduire les ordres des éléments :
**Si ''f : G → H'' est un morphisme, et ''a'' est un élément de ''G'' d'ordre fini, alors ord(''f''(''a'')) divise ord(''a''). Par exemple, le seul morphisme ''h'' : S<sub>3</sub> → '''Z'''/5'''Z''' est le morphisme nul, parce que chaque nombre sauf zéro dans '''Z'''/5'''Z''' est d'ordre 5, qui ne divise pas les ordres 1, 2 et 3 des éléments de S<sub>3</sub>.
**Si ''f'' est [[Injection (mathématiques)|injectif]], alors ord(''f''(''a''))&nbsp;= ord(''a''). Ceci permet de montrer que deux [[action par conjugaison|éléments conjugués]] ont le même ordre, et par ailleurs, peut souvent être utilisé pour démontrer qu'il n'existe pas d'homomorphisme injectif entre deux groupes donnés.
*Les seuls groupes finis dans lesquels deux éléments de même ordre sont toujours conjugués sont les groupes symétriques S{{ind|1}}, S{{ind|2}} et S{{ind|3}}<ref>{{Article|lang=en|auteur=Patrick Fitzpatrick|titre=Order conjugacy in finite groups|revue=Proc. [[Académie royale d'Irlande|Roy. Irish Acad.]]|section=A|vol=85|date=1985|p.=53-58}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|lang=en|titre=On finite rational groups and related topics|auteur=[[Walter Feit]]|auteur2=Gary M. Seitz|revue=[[Illinois Journal of Mathematics|Illinois J. Math.]]|vol=33|numéro=1|page=103-131|date=1989|doi=10.1215/ijm/1255988808}}, {{Lang|en|Corollary}} B2.</ref> mais il existe des groupes infinis ([[Groupe de torsion|de torsion]]<!--Ne pas shunter ce redirect svp car il pourrait devenir un vrai article, comme [[en:Torsion group]]-->) vérifiant cette propriété<ref>{{Article|lang=en|titre=Some constructions for locally finite groups|auteur=[[Philip Hall]]|revue=J. [[London Mathematical Society|London Math. Soc.]]|vol=s1-34|numéro=3|date=1959|p.=305-319|doi=10.1112/jlms/s1-34.3.305}}, {{p.|305}}.</ref>.
*Tout groupe fini G se plonge dans un groupe où tous les éléments de G de même ordre deviennent conjugués<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Exercices/Action de groupe#Problème 12|cet exercice corrigé du cours de théorie des groupes|début=Voir par exemple}}.</ref>.
* Un résultat important à propos des ordres est l'[[action par conjugaison|équation des classes]] ; elle relie l'ordre d'un groupe fini ''G'' à l'ordre de son [[centre d'un groupe|centre]] Z(''G'') et aux tailles de ses [[classe de conjugaison|classes de conjugaison]] non triviales :<center><math>|G|=|Z(G)|+\sum_id_i,</math></center>où les ''d<sub>i</sub>'' sont les tailles des classes de conjugaison non triviales ; ces tailles sont des [[Diviseur non trivial|diviseurs non triviaux]] de |''G''|, car elles sont égales aux indices de certains sous-groupes de ''G'' [[Sous-groupe#Sous-groupe propre|non triviaux]] (au sens : distincts de ''G'' et du [[groupe trivial]]). Par exemple, le centre de S<sub>3</sub> est juste le groupe trivial, et l'équation se lit : | S<sub>3</sub> | = 1 + 2 + 3.
*Le [[problème de Burnside]] de 1902 met en jeu les notions d'ordre d'un groupe et de ses éléments ; certaines de ces questions sont encore ouvertes. (Le [[Théorème de Burnside (problème de 1902)|théorème de Burnside de 1905]] apporte un premier élément de réponse.)

== Notes et références ==
{{Autres projets|wikiversity=Théorie des groupes/Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément|wikiversity titre=Groupes monogènes, ordre d'un élément (exercices corrigés)}}
{{Traduction/Référence|en|Order (group theory)|74193926|type=note}}
{{Références}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des groupes]]