Voir la source de P-groupe

{{Titre mis en forme|''p''-groupe}}
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[algèbre]], un '''''p''-groupe''', pour un [[nombre premier]] ''p'' donné, est un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] ([[Groupe fini|fini]] ou [[Groupe infini|infini]]) dont tout élément a pour [[ordre (théorie des groupes)|ordre]] une puissance de ''p''<ref>Cette définition est conforme à {{Harvsp|Scott|1987|p=91}} ; {{Harvsp|Calais|1984|p=295}} ; {{Harvsp|Rotman|texte=Rotman 1999|p=73}} ; {{Harvsp|Hall 1976|p=45}} ; M. Reversat et B. Bigonnet, ''Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés'', Dunod, 2000, p. 51. En revanche, [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique|Algèbre]]'', vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle ''p''-groupe, pour un nombre premier ''p'' donné, un groupe '''fini''' dont l'ordre est une puissance de ''p''. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans {{en}} S. Lang, ''Algebra'', Addison-Wesley, 1978, p. 2 et {{Harvsp|Perrin|texte=Perrin 1996|p=9}}.</ref>. Les [[théorèmes de Sylow|''p''-sous-groupes de Sylow]] d'un groupe fini sont un exemple important de ''p''-groupes.

== Propriétés ==
* Tout [[sous-groupe]] et tout [[Groupe quotient|quotient]] d'un ''p''-groupe est un ''p''-groupe.
* Réciproquement, si ''H'' est un ''p''-[[sous-groupe normal]] d'un groupe ''G'' et si le quotient ''G/H'' est un ''p''-groupe, alors ''G'' est un ''p''-groupe.
* On peut tirer du point précédent qu'un [[produit semi-direct]] de deux ''p''-groupes est un ''p''-groupe.
* La [[Produit de groupes|somme restreinte]] d'une famille (finie ou infinie) de ''p''-groupes est un ''p''-groupe.
* Un groupe fini est un ''p''-groupe si et seulement si son [[ordre (théorie des groupes)|ordre]] est une puissance du nombre premier ''p''.
* Dans un ''p''-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de ''p''.
* Tout ''p''-groupe fini non trivial possède un [[centre d'un groupe|centre]] non trivial (par ''[[Groupe trivial|trivial]]'', on entend réduit à l'élément neutre).
* Tout ''p''-groupe fini est [[groupe nilpotent|nilpotent]] donc [[groupe résoluble|résoluble]].
* Soit ''G'' un ''p''-groupe fini d'ordre ''p<sup>n</sup>''. Pour tout nombre naturel ''r'' inférieur ou égal à ''n'', ''G'' admet au moins un sous-groupe d'ordre ''p<sup>r</sup>''<ref>Tout groupe d'ordre ''p{{exp|n}}'' possède même, pour tout ''r'' ≤ ''n'', un sous-groupe ''normal'' d'ordre ''p{{exp|r}}'' :  {{Ouvrage|lang=en|auteur=Joseph J. Rotman|titre=Advanced Modern Algebra|volume=2|numéro d'édition=3|éditeur=AMS|date=2017|url={{Google Livres|MJwxDwAAQBAJ|page=13}}|page=13}}, Proposition C-1.25.</ref>.

{{Démonstration|titre=Démonstrations|contenu=
* '''Tout sous-groupe et quotient d'un ''p''-groupe est un ''p''-groupe.'''
En effet, un élément d'un sous-groupe ''H'' d'un groupe ''G'' a le même ordre dans ''G'' et dans ''H'', et l'ordre de l'image d'un élément ''x'' d'ordre fini par un homomorphisme (ici le morphisme canonique d'un groupe sur un quotient de ce groupe) divise l'ordre de ''x''.
* '''Si ''H'' est un ''p''-sous-groupe normal d'un groupe ''G'' et si le quotient ''G''/''H'' est un ''p''-groupe, alors ''G'' est un ''p''-groupe.'''
Soient ''x'' un élément de ''G'', ''q'' l'ordre de sa classe dans ''G''/''H'', et ''r'' l'ordre de l'élément ''x<sup>q</sup>'' (qui appartient à ''H''), alors ''qr'' est une puissance de ''p'' et ''x<sup>qr</sup>'' = 1.
* '''Un groupe fini est un ''p''-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier ''p''.'''
Soit ''G'' un groupe fini, d'ordre ''n''. Supposons tout d'abord que ''n'' est une puissance de ''p''. Par [[Théorème de Lagrange sur les groupes#Applications|application du théorème de Lagrange]], l'ordre de tout élément de ''G'' divise l'ordre ''n'' de ''G'' et est donc une puissance de ''p'', si bien que ''G'' est un ''p''-groupe. Réciproquement, supposons que l'ordre de tout élément de ''G'' est une puissance de ''p'' et prouvons que l'ordre ''n'' de ''G'' est une puissance de ''p''. Pour tout diviseur premier ''q'' de ''n'', d'après le [[Théorème de Cauchy (groupes)|théorème de Cauchy]], ''G'' admet un élément d'ordre ''q'', si bien que ''q'' est une puissance de ''p'' donc ''q = p''. Ainsi, le seul éventuel diviseur premier de ''n'' est ''p'', donc ''n'' est une puissance de ''p''.
* '''Dans un ''p''-groupe ''G'', si l'indice d'un sous-groupe ''H'' est fini alors cet indice est une puissance de p.'''
Si ''H'' est d'indice fini alors son [[Cœur d'un sous-groupe|cœur]] ''H<sub>G</sub>'' ({{c.-à-d.}} l'intersection de ses [[Automorphisme intérieur|conjugués]]) aussi, donc ''G/H<sub>G</sub>'' est un ''p''-groupe fini. Son ordre [''G'':''H<sub>G</sub>''] est alors une puissance de p, si bien que [''G'':''H''] (qui le divise) aussi.
* '''Tout ''p''-groupe fini non trivial possède un centre non trivial.'''
Soit ''G'' un ''p''-groupe fini non trivial. Son ordre est donc une puissance non nulle de ''p''. L'étude de l'[[action par conjugaison]] de ''G'' sur lui-même fournit l'[[Action par conjugaison#Propriétés|équation aux classes]]. Elle permet d'exprimer le cardinal du centre ''Z''(''G'') sous la forme :
:<math>Card(Z(G))=Card(G)-\sum_i\frac{Card (G)}{Card (Z_i)},</math>
où les ''Z<sub>i</sub>'' sont des sous-groupes de ''G'' distincts de ''G'', donc la somme indexée par ''i'' est une somme de puissances non nulles de ''p''. Il en résulte que le cardinal de ''Z''(''G'') est divisible par ''p'' et ne peut donc être égal à 1, ce qui achève la démonstration.
* '''Tout ''p''-groupe fini est nilpotent donc résoluble.'''
Tout groupe nilpotent est résoluble, il suffit donc de montrer que ''G'' est nilpotent. Démontrons-le par récurrence sur ''n'', l'ordre de G étant supposé égal à ''p<sup>n</sup>''.<br />Si ''n'' est égal à ''zéro'', le groupe est trivial donc nilpotent.<br />Soit ''n'' > 0 et supposons la propriété vraie pour toute puissance inférieure ou égale à ''n'' - 1. Soit ''Z'' le centre du groupe, il est normal et non trivial, donc ''G''/''Z'' est un p-groupe d'ordre une puissance de ''p'' inférieure ou égale à ''n'' - 1 et est nilpotent. Le fait que ''G''/''Z'' soit nilpotent montre que ''G'' l'est. 
* '''Soit ''G'' un ''p''-groupe fini d'ordre ''p<sup>n</sup>''. Pour tout nombre naturel ''r'' inférieur ou égal à ''n'', ''G'' admet au moins un sous-groupe d'ordre ''p<sup>r</sup>''.'''<br />Puisque ''G'' est résoluble, [[Suite de composition#Quelques faits|chaque quotient d'une suite de Jordan-Hölder de ''G'' a pour ordre un nombre premier]]. Cet ordre, divisant celui de ''G'', doit être égal à ''p''. L'énoncé en résulte clairement. (On peut même prouver<ref>{{Harvsp|Rotman|texte=Rotman 1999|p=76}}.</ref> que le nombre des sous-groupes d'ordre ''p<sup>r</sup>'' de ''G'' est congru à 1 modulo ''p''.) 
}}

* Tout ''p''-groupe fini [[Groupe abélien|non abélien]] possède au moins un<ref>{{Article|lang=de|auteur=[[Wolfgang Gaschütz]]|titre=Nichtabelsche {{math|''p''}}-Gruppen besitzen äussere {{math|''p''}}-Automorphismen|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|J. Algebra]]|vol=4|année=1966|p.=1-2|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869366900457}}.</ref> [[Morphisme de groupes|automorphisme]] non [[Automorphisme intérieur|intérieur]] d'ordre une puissance de ''p''.
* Tout automorphisme d'un ''p''-groupe ''G'' d'ordre ''p{{exp|n}}'' induit un automorphisme du quotient de ''G'' par son [[sous-groupe de Frattini]] Φ(''G'') = ''G{{exp|p}}''[[Groupe dérivé|[''G'', ''G'']]]. Ce quotient est un [[groupe abélien élémentaire]] ([[Groupe cyclique|ℤ/''p''ℤ]]){{exp|''d''}}, dont le groupe d'automorphismes est [[Groupe linéaire#Sur les corps finis|GL(''d'', '''F'''{{ind|''p''}})]], d'ordre (''p{{exp|d}}'' – 1)(''p{{exp|d}} – p'')(''p{{exp|d}} – p''{{2}}) … (''p{{exp|d}} – p''{{exp|''d''–1}}). Le [[Morphisme de groupes#Noyau et image|noyau du morphisme]] [[Canonique (mathématiques)|canonique]] de Aut(''G'') dans Aut(''G''/Φ(''G'')) a pour ordre<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Philip Hall]]|titre=A contribution to the theory of groups of prime-power order|revue=Proc. [[London Mathematical Society|Lond. Math. Soc.]]|série=II|vol=36|année=1933|p.=29-95|zbl=59.0147.02<!--et 0007.29102-->}}.</ref> un [[diviseur]] de ''p''{{exp|''d''(''n–d'')}}.
* L'[[Exposant d'un groupe|exposant]] d'un ''p''-groupe est une puissance de ''p''.

Remarque<ref>Cette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple {{Harvsp|Perrin|texte=Perrin 1996|p=34}} ou {{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|ce paragraphe du cours de théorie des groupes|début=}}</ref> : tout groupe d'ordre ''p''<sup>2</sup> est soit [[Groupe cyclique|cyclique]], soit [[Produit direct (groupes)|produit]] de deux groupes cycliques d'ordre ''p''.

== Notes et références ==
=== Notes ===
<references />
=== Références ===
* {{Ouvrage|auteur1=J. Calais|titre=Éléments de théorie des groupes|lieu=Paris|éditeur=[[PUF]]|année=1984|numéro d'édition=3|isbn=978-2-13-038465-6}}
* {{Hall1}}
* {{Lang1}}
* {{Perrin1}}
* {{Rotman1}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=W. R. Scott|titre=Group Theory|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1987|année première édition=1964|lire en ligne={{Google Livres|pOwxAwAAQBAJ|page=91}}}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Groupe de Heisenberg#Groupe de Heisenberg sur Fp|Groupe de Heisenberg sur '''F'''{{ind|''p''}}]]
* [[Groupe de Prüfer]]
* [[Théorèmes de Sylow]]
* [[Théorème de Frattini]]
* {{Lien|langue=en|trad=Tarski monster group|fr=Groupe monstre de Tarski}}
* {{Lien|langue=en|trad=Regular p-group|fr=p-groupe régulier}}
* {{Lien|langue=en|trad=Pro-p group|fr=Pro-p-groupe}}

=== Bibliographie ===
{{en}} Yakov Berkovich et [[Zvonimir Janko]], ''Groups of Prime Power Order'', vol. 1 {{ISBN|978-3110204186}} et 2 {{ISBN|978-3110204193}}, De Gruyter, 2008

=== Lien externe ===
[https://lmb.univ-fcomte.fr/IMG/pdf/jacon_groupes.pdf Cours de théorie des groupes] par N. Jacon de l'[[université de Franche-Comté]]

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des groupes]]