Voir la source de Paire

{{Voir homonymes|Paire (homonymie)}}
{{confusion | texte = En mathématiques, ne pas confondre une ''paire'' et un ''[[Couple (mathématiques)|couple]]''.}}

Une '''paire''' est un [[ensemble]] qui comprend exactement [[deux]] [[Appartenance (mathématiques)|éléments]].

== Remarques ==
*  Une paire qui contient deux éléments <math>a</math> et <math>b</math> se note <math>\left\{a, b\right\}</math>.
* L'ordre d'écriture de la paire n'a pas d'importance: <math>\{a,b\}=\{b,a\}</math>. Ceci différencie la paire du [[Couple (mathématiques)|couple]].
* Le [[Cardinal d'un ensemble fini|cardinal]] d'une paire est [[2 (nombre)|2]].
* L'ensemble <math>\left\{a, a\right\}</math> n'est pas une paire mais un [[singleton (mathématiques)|singleton]] et se note aussi <math>\left\{a\right\}</math><ref group=note>En [[théorie des ensembles]], on appelle « paire » un ensemble de deux éléments non nécessairement distincts. L'[[axiome de la paire]] fait par exemple aussi bien référence aux paires qu'aux singletons. En revanche, en [[combinatoire]], une paire doit bien être formée de deux éléments distincts.</ref>.

== Exemples ==
*<math>\left\{1, 3\right\}</math> (avec une [[Espace (typographie)|espace]] après la virgule) est la paire comprenant les [[entier naturel|entiers]] <math>1</math> et <math>3</math>.
*<math>\left\{\sin, \exp\right\}</math> est une paire de [[Fonction (mathématiques élémentaires)|fonctions]].
*<math>\left\{\{1\}, \{1,2\}\right\}</math> est une paire composée du singleton <math>\left\{1\right\}</math> et de la paire <math>\left\{1, 2\right\}</math>.
*<math>\left\{5, A\right\}</math> est une paire composée du nombre <math>5</math> et de l'élément <math>A</math>.
*<math>\left\{7, 2\right\}=\{2, 7\}</math> alors que <math>(7, 2)\neq(2, 7)</math>
== Propriétés ==

=== Appartenance d'un élément à une paire (ou à un singleton) ===
Un élément ''x'' [[Ensemble#Ensembles, éléments et appartenance|appartient]] à une paire si et seulement s'il est égal à l'un des deux éléments de cette paire. Cet énoncé est en fait tout autant valable pour un singleton. On peut donc l'écrire  formellement, pour ''a'' et ''b'' donnés : 
:∀''x,''  ''x'' ∈ {''a'', ''b''} ⇔ (''x'' = ''a'' ou ''x'' = ''b'')
(le « ou » en question désigne, comme d'habitude en mathématiques, une disjonction inclusive : l'énoncé reste vrai si ''x'' = ''a'' et ''x'' = ''b'').

Cette proposition caractérise les paires (ou singletons). Dans l'axiomatisation de la théorie des ensembles, il y a un axiome spécifique, appelé [[axiome de la paire]], qui exprime pour tout <math>a</math> et <math>b</math> l'existence d'une paire <math>\{a, b\}</math> et qui se fonde sur cette proposition.

=== Égalité de deux paires ===

Deux paires sont [[Ensemble#Égalité de deux ensembles|égales]] si et seulement si leurs éléments sont égaux deux à deux, de l'une des deux façons dont on peut les associer. Plus précisément, pour deux paires ou singletons {''a'', ''b''} et {''c'', ''d''} : 
:{''a'', ''b''} = {''c'', ''d''} ⇔ [(''a'' = ''c'' et ''b'' = ''d'') ou (''a'' = ''d'' et ''b'' = ''c'')].

=== Autres propriétés ===
Un raisonnement simple de [[dénombrement]] montre que le nombre de paires d'un ensemble fini à {{math|''n''}} éléments est égal à {{sfrac|''n''(''n'' – 1)|2}} (voir l'article « [[Combinaison (mathématiques)|Combinaison]] »).

== Histoire ==
[[Von Neumann]], dans son article de 1923<ref name="vonNeumann1">{{Article|lang=de|nom=von Neumann|prénom=Johann|lien auteur=John von Neumann|année=1923|titre=Zur Einführung der transfiniten Zahlen|journal=Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum|pages=199-208|volume=1|url=http://acta.bibl.u-szeged.hu/13294/1/math_001_199-208.pdf}}.</ref>{{,}}<ref name="vonNeumann2">{{Chapitre|lang=en|
nom1=von Neumann|
prénom1=John|
auteur ouvrage=[[Jean van Heijenoort]]|
date=1/2002|
titre ouvrage =From [[Frege]] to [[Gödel]]: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931|
titre chapitre=On the introduction of transfinite numbers|numéro d'édition=3|
éditeur=[[Harvard University Press]]|
page=346-354|
isbn=0-674-32449-8|url={{Google Livres|v4tBTBlU05sC|page=346}}|
présentation en ligne=http://www.hup.harvard.edu/catalog.php?isbn=9780674324497}}.</ref>, qui est un des premiers sur la théorie des ensembles, note les paires <math>(a,b)</math>, comme nous noterions aujourd'hui les couples. Remarquons qu'[[Construction des entiers naturels|il définit l'entier]] <math>2</math> comme étant la paire <math>\left\{\varnothing,\{\varnothing\}\right\}</math>, qu'il écrit <math>\left(\mathbf O,(\mathbf O)\right)</math>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Notes}}

=== Références ===
{{Références}}

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des ensembles]]