Voir la source de Papyrus Rhind

{{Infobox Ouvrage
| légende = Détail d'une des deux principales parties du papyrus Rhind, [[British Museum]], EA 10057.
}}

Le '''papyrus Rhind''' est un célèbre [[Papyrus (papier) |papyrus]] de la [[Deuxième Période intermédiaire]] qui a été écrit par le [[Scribe dans l'Égypte antique |scribe]] [[Ahmès (scribe) |Ahmès]]. 

Son nom vient de l'Écossais [[Alexander Henry Rhind]] qui l'acheta en 1858 à [[Louxor]], mais il aurait été découvert par des pilleurs sur le site de la ville voisine de [[Thèbes (Égypte)|Thèbes]]. Depuis 1865, il est conservé au [[British Museum]] (à [[Londres]]). Avec le [[papyrus de Moscou]], il est une des sources les plus importantes concernant les connaissances [[mathématiques dans l'Égypte antique]].

Ahmès indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens remontant au [[Moyen Empire]] (vers 2000 {{av JC}})<ref group=note>D'après le copiste, le papyrus d'origine dont le papyrus Rhind est la copie remonte à l'époque du pharaon {{noble|Amenemhat III}}. [[Thomas Heath]] la fait remonter vers 2200 {{av JC}} ({{chapitre | auteur= Thomas Heath | titre chapitre=Egyptian geometry i.e. mensuration | titre ouvrage=A history of Greek mathematics | lieu=Oxford | éditeur=At the Clarendon press | date=1921 | volume=1 From Thales to Euclid | passage=122 | lire en ligne=https://archive.org/details/historyofgreekm01heat/page/122/mode/2up }}). Cependant la critique fait remonter cet original entre 1849 à 1801 {{av JC}}</ref>. Le papyrus Rhind contient {{nobr|87 problèmes}} résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage, sur plus de cinq mètres de longueur et trente-deux centimètres de large. Il est rédigé en [[écriture hiératique]].

== Le papyrus ==
[[Fichier:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|vignette|Un extrait du papyrus Rhind.]]
=== Description ===
Le papyrus Rhind se présentait à l'origine comme un rouleau constitué de quatorze feuilles soigneusement assemblées{{sfn|Spalinger|1990|p=298}}. Il est actuellement séparé en deux bandes de {{Unité|32|cm}} de hauteur, l'une de {{Unité|299.5|cm}} de long (BM 10057) et l'autre de {{Unité|195.5|cm}} de long (BM 10058) toutes deux conservées au [[British Museum]] qui les a acquises en 1865, auprès de l'exécuteur testamentaire d'[[Alexander Henry Rhind]]. Ces bandes étaient à l'origine solidaires et reliées par un morceau manquant de {{Unité|18|cm}}. Des fragments de ce dernier ont été identifiés aux États-Unis en 1922 par [[Percy Edward Newberry]], ils se trouvent aujourd'hui au [[Brooklyn Museum]] à [[New York]]{{sfn|Clagett|1999|p=113-114}}. Malgré quelques lacunes, le papyrus est quasiment complet{{sfn|Spalinger|1990|p=298}}. Il se déroule en une succession de pages de la droite vers la gauche, écrites en [[Écriture hiératique|hiératique]] (également de la droite vers la gauche). Le recto du papyrus est presque entièrement utilisé, avec quelques parties intermédiaires laissées vierges. Le verso est utilisé sur la première section (BM 10058), celle la plus à droite dans l'ordre de lecture, mais ne l'est pas sur la seconde section (BM 10057), en dehors de quelques inscriptions ajoutées vraisemblablement après la composition originelle{{sfn|Spalinger|1990|p=302 et 299}}.

=== Découverte ===
Selon l'édition du fac-similé du papyrus publiée en 1898 par le [[British Museum]], celui-ci a été découvert près du [[Ramesséum]] sur le site de [[Thèbes (Égypte)|Thèbes]]. Les deux principales sections, probablement découpées par les pilleurs, ont été achetées en 1858 par [[Alexander Henry Rhind|Rhind]] (à [[Louxor]]), les fragments de la petite partie intermédiaire en 1862 ou 1863 par le collectionneur américain [[Edwin Smith (égyptologue)|Edwin Smith]]{{sfn|Clagett|1999|p=113-114}}.

=== Origine et datations ===
Le texte signé par le [[Scribe dans l'Égypte antique|scribe]] [[Ahmès (scribe)|Ahmès]] est daté par celui-ci de l'an 33 du règne du pharaon [[Apophis Ier|Apophis]], souverain [[Hyksôs]] de la {{XVe dynastie égyptienne}}, qui règne en [[Basse-Égypte]] à [[Avaris]] dans la première moitié du {{sav-|XVI}} avant notre ère, à la fin de la [[Deuxième Période intermédiaire]]{{sfn|Clagett|1999|p=16}}. [[Ahmès (scribe)|Ahmès]] annonce en introduction que le texte est une copie d'une version précédente datant d'un pharaon dont une partie du nom est effacée, mais qui parait être {{monarque|Amenemhat|III}}, pharaon de la {{XIIe dynastie égyptienne}} qui vivait près de trois siècles auparavant, à l'époque du [[Moyen Empire]]<ref group=note>Il ne s'agit pas nécessairement d'une copie exacte, certains spécialistes discutent que la copie ne concernerait qu'une partie du papyrus {{harv|Spalinger|1990|p=303 et 320}}, et de ce que le nom d'{{monarque|Amenemhat|III}}, qui est en partie reconstitué à cause d'une lacune, l'est correctement {{harv|Spalinger|1990|p=303}}. La composition du traité, ses dimensions également, renvoient cependant plutôt au [[Moyen Empire]] {{harv|Spalinger|1990|p=337}}, époque dont datent les autres papyrus mathématiques hiératiques qui nous sont parvenus {{harv|Imhausen|2007|p=12}}.</ref>.

Le papyrus porte au verso, dans la partie centrale de BM 10057, de brèves inscriptions manifestement ajoutées après la composition, et datées de la onzième année du règne d'un pharaon inconnu{{sfn|Spalinger|2005|p=23}}. Elles font référence aux événements ayant conduit à la chute d'[[Avaris]] (celle-ci même n'est pas mentionnée) qui marque la fin des souverains [[Hyksôs]] chassés d'Égypte par le souverain de [[Thèbes (Égypte)|Thèbes]] (et futur pharaon de l'Égypte réunifiée) [[Ahmôsis Ier|Ahmôsis]]. Leur interprétation est objet de débats{{sfn|Spalinger|1990|p=335}}. Si ces inscriptions ont été ajoutées avant le transfert du papyrus à Thèbes, la date pourrait renvoyer au règne de [[Khamoudy]] dernier roi Hyksôs de [[Basse-Égypte]]. Le papyrus aurait alors pu être apporté d'Avaris à Thèbes par l'armée victorieuse d'Ahmôsis, ce qui explique alors la découverte dans la [[Capitales de l'Égypte antique|capitale]] de la [[Haute-Égypte]] d'un papyrus originaire de [[Basse-Égypte]]{{sfn|Spalinger|1990|p=335-336}}{{,}}{{sfn|Spalinger|2005|p=23-24}}.

=== Usage ===
Tant la taille que le soin apporté à la composition et le peu d'erreurs relevées dans le texte témoignent de la qualité du document, qui est probablement un manuel de référence de haut niveau utilisé pour enseigner dans une école de [[Scribe dans l'Égypte antique|scribes]]{{sfn|Spalinger|1990|p=298}}{{,}}{{sfn|Imhausen|2007|p=22}}. En cela il est très différent du [[papyrus de Moscou]], la seconde source en importance pour les mathématiques égyptiennes du [[Moyen Empire]], plus ancien mais qui ressemble plutôt à une copie d'étudiant d'un manuel comparable au papyrus Rhind{{sfn|Spalinger|1990|p=298}}.

== Application ==
{{section à sourcer|date=février 2023}}
Le papyrus oriente ces problèmes notamment pour aider à la quantification de grain ou à une répartition équitable ou inéquitable des pains parmi les hommes.

Toutefois les calculs exhibés auraient pu prendre un sens très concret pour des mesures qui cumulent des rapports de un à ''n'', même si ces questions ne sont pas explicitement abordées par le papyrus :

* Pour les mesures de distance, les formules de calcul ont pu avoir du sens pour mesurer des distances si les Égyptiens connaissaient les formes élémentaires de [[théorème de Thalès]] déjà connues depuis la [[Première dynastie de Babylone]] entre 1900 et 1600 avant notre ère, d'après la [[Tablette d'argile|tablette]] MLC 1950<ref>{{Lien web |langue=it |auteur=Roberto Renzetti |titre=Alcune questioni di matematica nell'antichita' preclassica – Parte {{II}} : Mesopotamia |url=https://fisicamente.blog/2021/04/07/alcune-questioni-di-matematica-nellantichita-preclassica-parte-2-mesopotamia/ |site=fisicamente.net}}, paragraphe 10, Il teorema di Talete.</ref>.

* Pour les mesures de poids, les formules de calcul ont pu avoir du sens si les Égyptiens ont connu des formes rudimentaires de [[balance romaine]], chaque rapport de 1 à ''n'' pouvait être considéré comme une mesure.

== Contenu ==
Après une large bordure verticale qui contient entre autres le titre, la date et le nom de l'auteur{{sfn|Imhausen|2016|p=66-67}}{{,}}{{sfn|Chace|Manning|Archibald|1927|page=49}}, le papyrus est divisé recto et verso par sept lignes noires en six bandes horizontales{{sfn|Imhausen|2016|p=66-67}}. L'écriture est réalisée à l'encre noire et à l'encre rouge. Cette dernière sert à mettre en valeur les débuts de section et certains points du texte{{sfn|Imhausen|2016|p=66-67}}.

Depuis la première édition d'[[August Eisenlohr]]{{sfn|Eisenlohr|1877}}, le papyrus est traditionnellement divisé, outre le bloc de titre, en une table de divisions de 2 par ''n'', pour un entier impair ''n'' variant de 3 à 101, suivie de 87 blocs traditionnellement appelés « problèmes », numérotés de 1 à 87{{sfn|Imhausen|2016|p=66-67}}, auxquels s'ajoutent 7B, 59B, 61B, et 82B.
[[Fichier:RhindPapyrusMap.png|vignette|redresse=4|centre|Cartographie du papyrus Rhind selon {{harvsp|Chace|Bull|Manning|1929}}.]]

Cependant, les numéros 85 à 87 n'ont pas de contenu mathématique, et ce sont des additions ultérieures{{sfn|Spalinger|1990|p=334}}. Le numéro 85 est un assemblage incompréhensible de signes{{sfn|Imhausen|2016|p=66-67}}, le numéro 86 rassemble des fragments de compte résultant d'une réparation ancienne avec réemploi d'un autre papyrus{{sfn|Robins|Shute|1987|p=10}} et les quelques notes du numéro 87 évoquent la prise d'[[Avaris]] par [[Ahmôsis Ier|Ahmôsis]]{{sfn|Spalinger|1990|p=335}}.

Les numéros 7 à 20 et le numéro 61 sont eux plutôt des calculs, qui pourraient servir à la création de tables, les numéros 80 et 81 sont plutôt des tables, et les numéros 82 à 84 des modèles de compte{{sfn|Imhausen|2016|p=66-67}}.

Restent donc 64 vrais problèmes, et même 66 avec les numéros 59B et 61B{{sfn|Imhausen|2016|p=66-67}}.

=== Table de divisions de 2 ===
{{section TI|date=février 2023}}
La [[Table d'expressions de 2 du papyrus Rhind|table d'expressions de 2]] donne la division de 2 par un nombre impair compris entre trois et cent-un, sous la forme de somme de fractions de l'unité, en maintenant un diviseur assez faible.

Pour chacun des diviseurs, une formule similaire est ainsi proposée :
:<math> \frac{2}{n} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} </math>

Mais parfois, la formule peut n'être écrite qu'avec deux ou trois opérandes, au lieu de quatre.

D'une manière plus moderne, le problème peut s'écrire :
: <math> \frac{2}{N-x} = \frac{x}{PPCM(N, N-x) }  </math> avec
:<math> x = x_1 + x_2 + x_3 + x_4</math>
:<math>x_i\  \text{divise}\  N </math> de sorte que : <math>PPCM(N, N-x) = x_i a_i </math>
:<math>x_i \neq x_j </math>

Cette formule montre que la solution dépend de la divisibilité du <math>n</math>.

Cette formule conduit généralement à ce que ''a'' soit supérieur (ou égal à n), et à ce que ''a'' soit généralement un nombre composé : les nombres 12, 20, 24, 30, 40 et 60 qui sont multiples de 2, 3, 4, ou 5 reviennent facilement.

Les connaissances modernes permettent de savoir qu'un nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières comme la somme de fractions de l'unité.

Plusieurs personnes se sont demandé comment les Égyptiens avaient pu obtenir cette table.

Des suggestions de Gillings ont proposé cinq techniques différentes. Le problème 61 du Papyrus Rhind donne une formule : <math> \frac{2}{3n} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n} </math>{{sfn|Clagett|1999}}, dont on peut déclarer qu'elle est l'équivalent de <math> \frac{2}{n} = \frac{1}{2} \frac{1}{n} +\frac{3}{2} \frac{1}{n} </math> (n divisible par 3 dans la dernière équation){{sfn|Burton|2003}}.

On compte d'autres possibles formules, telles que{{sfn|Burton|2003}} :
: <math> \frac{2}{n} = \frac{1}{3} \frac{1}{n} +\frac{5}{3} \frac{1}{n} </math> (n divisible par 5)

: <math> \frac{2}{mn} = \frac{1}{m} \frac{1}{k} +\frac{1}{n} \frac{1}{k} </math> (où k est la moyenne de m et de n)

: <math> \frac{2}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n} + \frac{1}{6n} </math> Cette formule porte la décomposition pour n = 101 dans la table.

David M. Burton a suggéré{{sfn|Burton|2003}} qu'Ahmès a utilisé deux méthodes différentes pour convertir 2/''p'' (où ''p'' est un [[nombre premier]]), et trois méthodes pour convertir 2/''pq'' dénominateurs [[nombre composé|composé]]s. {{refnec|D’autres suggestions proposent qu'Ahmès qui n'a utilisé qu'une seule méthode : l'emploi de facteurs multiplicatifs réductibles au [[plus petit commun multiple]]}}.

=== Algorithmes de multiplication et division (problèmes 1 à 23) ===

Ces problèmes permettent de comprendre les [[Technique de la multiplication dans l'Égypte antique |techniques de multiplication]] et de [[Technique de la division dans l'Égypte antique |division]] chez les [[Égypte antique |Égyptiens]].

=== Résolution d'équations par la méthode de fausse position (problèmes 24 à 34) ===

Voir [[Mathématiques dans l'Égypte antique#Résolutions d'équations|Résolutions d'équations]].

=== Les problèmes de calculs d'aires et de volumes (problèmes 41 à 55) ===
[[Fichier:Cercle9Carre8.svg|vignette|Le disque de diamètre ''neuf'' a une aire voisine du carré de côté ''huit''.]]
 
L'arpentage, mesure des distances et les problèmes géométriques qui lui sont liés sont également abordés : aires planes (rectangles, triangles, trapèzes, disque), volumes de greniers à grains (parallélépipèdes, cylindres).

Au problème 50, Ahmes expose une procédure pour calculer l'aire d'un [[Disque (géométrie)|disque]] connaissant son diamètre : au diamètre est soustrait 1/9 de celui-ci, puis le résultat est élevé au carré. La méthode est exposée pour un diamètre ad hoc de 9 khet, ce qui donne une aire de 64 setjat{{sfn|Imhausen|2016|p=118-119}}{{,}}{{sfn|Clagett|1999|p=74}}. On peut y voir une première approche de la [[quadrature du cercle]], la construction d'un carré de même aire qu'un disque donné : l'aire du disque de diamètre {{mvar|d}} est ramenée à celle d'un carré de côté {{math|8''d''/9}}.

En d'autres termes, l'aire d'un disque de diamètre 9 unités est sensiblement égale à celle d'un carré de 8 unités de côté{{sfn|Clagett|1999|p=74}}. Pour se faire une meilleure idée du degré de précision ainsi obtenu, on peut remarquer que cette construction correspond implicitement à une approximation de notre nombre [[Pi |π]] pour le calcul de l'aire du disque<ref group=note>Il n'est pas question de la circonférence du cercle dans le papyrus Rhind {{harv|Imhausen|2016|p=118}}.</ref> de 256/81 ≈ 3,160<ref group=note>Pour un diamètre de 9 unités, l'aire est π × (9/2){{2}}, la méthode du papyrus Rhind donne 8{{2}}. L'approximation de [[Pi |π]] correspondante est donc ((8  × 2)/9){{2}} = (16/9){{2}}, soit une approximation de π par 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 ≈ 3,160.</ref>. Ce qui correspond à une [[erreur relative]] de l'ordre de 0,6 %{{sfn|Michel|2023|p=336}}.

Mais le papyrus Rhind ne fournit aucune constante multiplicative, telle qu'une approximation de π, pour calculer l'aire du disque{{sfn|Imhausen|2016|p=119}}. La seule constante qui est utilisée dans la procédure est 1/9{{sfn|Imhausen|2016|p=120}}{{,}}<ref group=note>1/9, noté {{surligner|9}} par {{harvsp|Imhausen|2016|p=118-120}} et d'autres égyptologues, est à comprendre comme l'inverse de 9 et non comme une fraction moderne de numérateur 1.</ref>

=== Les problèmes de calculs de la pente des faces de pyramides (problèmes 56 à 60) ===
Les problèmes 56, 57, 58, 59 et 60, sont consacrés à des calculs relatifs à la ''pente'' des faces de pyramide régulière à base carrée, mesurée par leur [[seqed]] (''sḳd''), qui correspond à la demi base de la pyramide divisée par sa hauteur, autrement dit il s'agit de la [[cotangente]] de l'angle que forme la ligne de plus grande pente d'une face avec l'horizontale. Le [[seqed]] est mesuré par le déplacement horizontal nécessaire pour rejoindre la face après une élévation verticale d'une [[Coudée royale égyptienne|coudée]]{{sfn|Rossi|2007|p=185}}, il s'exprime donc avec les [[Unités de mesure dans l'Égypte antique|unités de longueur en usage]], [[Coudée royale égyptienne|coudée]], [[Palme (unité)|paume]], le septième d'une [[Coudée royale égyptienne|coudée]], et [[Doigt (unité)|doigt]] qui vaut le quart d'une [[Palme (unité)|paume]]. Pour quatre de ces problèmes le [[seqed]] est de cinq paumes et un doigt. La cotangente est donc de (1/7) × (5+1/4) = 3/4,ce qui correspond à une [[Pente (topographie)|pente]] de 4/3, soit à un angle des faces de 53,13°{{sfn|Michel|2023|p=419}}.

Le triangle rectangle correspondant à cette pente, de côtés de l'angle droit proportionnels à trois et quatre, est donc un triangle 3-4-5. Cependant le papyrus Rhind ne traite que de la pente, et de fait le triangle 3-4-5 n'y est jamais mentionné{{sfn|Rossi|2007|p=218}}. Cette inclinaison a été clairement choisie pour certaines pyramides de la {{VIe dynastie égyptienne}}, dont la base a pour côté cent-cinquante coudées et la hauteur cent coudées. Sans que ce soit aussi manifestement intentionnel, celle de la [[pyramide de Khéphren]] en est proche{{sfn|Rossi|2007|p=219}}. Il est tout à fait possible que le triangle et ses proportions aient été remarqués ; celles-ci facilitent la réalisation d'équerres triangulaires en bois qui auraient pu être utilisées pour vérifier la pente, mais cela reste hypothétique{{sfn|Rossi|2007|p=221}}.

== Contenu détaillé ==
{{section TI|date=février 2023}}
{{Traduction incomplète|date=septembre 2016}}

Cette table résume le contenu du papyrus Rhind en langage moderne. Elle se base sur l'exposition en deux volumes du papyrus qui a été publiée par [[Arnold Buffum Chace]] en 1927{{sfn|Chace|Manning|Archibald|1927}}, et en 1929{{sfn|Chace|Bull|Manning|1929}}.

Le papyrus se compose de quatre sections : une page de titre, la table 2/n, un petit « tableau 1-9/10 » et 91 problèmes. Ces derniers sont numérotés de 1 à 87 et comprennent quatre éléments mathématiques qui ont été désignés par les modernes comme problèmes 7B, 59B, 61B et 82B. Les numéros 85 à 87, quant à eux, ne sont pas des éléments mathématiques faisant partie du corps du document, mais sont respectivement : une petite phrase terminant le document, un morceau de « papier brouillon » utilisé pour maintenir le document ensemble (contenant un écrit sans rapport), et une note historique qui est censée décrire une période peu de temps après l'achèvement du corps du papyrus. Ces trois derniers éléments sont écrits sur des zones disparates du verso du papyrus, loin du contenu mathématique. Chace les différencie donc en les qualifiant de « numéros » par opposition à « problèmes », comme les 88 autres éléments numérotés.

{| class="wikitable"
|-
! Section des problèmes (résolus) numérotés !! Description du problème, ou description !! Solution, ou description !! Notes
|-
| Page de titre (''Title Page'') || Ahmès s'identifie lui et les circonstances historiques. || « Calculs précis. L'entrée dans la connaissance de toutes les choses existantes et tous les secrets obscurs. Ce livre a été copié en l'année 33, durant le quatrième mois de la saison d’inondation(s), sous le règne du roi de Haute et Basse-Égypte, 'A-user-Re', doté de la vie, au désir des écritures anciennes faite au temps du roi de [[Deux Terres|Haute et Basse-Égypte]], ''Ne-ma'en-Rê''. C'est le scribe Ahmès qui copie cette écriture. »  || Il est clair d'après la page de titre qu'Ahmès identifie à la fois sa période, et celle du texte ancien ou des textes qu'il est supposé avoir copié, créant ainsi le papyrus Rhind. Le papyrus est écrit des deux côtés - c'est-à-dire sur le [[recto]] et le verso. Voir l'image pour les détails.

[[Fichier:Rhind Papyrus Recto and Verso.png|centre|frameless]]

|-
| Fractions de deux (''table 2/n'') || Exprime chacune des fractions de deux pour les dénominateurs impairs compris entre trois et cent-un sous forme d'une somme de fractions de un, dites [[fraction égyptienne|fractions égyptiennes]]. || Voir l'article [[table d'expressions de 2 du papyrus Rhind]] pour un résumé et des solutions de cette section. || Au travers du papyrus, la plupart des solutions sont données sous la forme de représentation particulière de fractions égyptiennes d'un nombre rationnel. Cependant, puisque chaque rationnel positif peut être représenté d'une manière infinie sous la forme de fractions égyptiennes, ces solutions ne sont pas uniques. La fraction 2/3 est la seule exception utilisée en complément des entiers qu'Ahmès utilise avec toutes les fractions rationnelles d'unité positive pour exprimer les fractions égyptiennes. La table 2/n peut être considérée comme suivant partiellement un algorithme (voir problème 61B) pour exprimer 2/n comme fraction égyptienne de deux termes, quand n est composé. Cependant, cet algorithme ''fledgling'' est transformé de côté dans plusieurs situations lorsque n est un nombre premier. La méthode d'élaboration de la table 2/n, donc, suggère aussi des débuts dans la [[théorie des nombres]] et pas seulement en [[arithmétique]] .
|-
| Table des dixièmes (table 1-9/10) || Écriture des quotients depuis un dixième jusqu'à neuf dixièmes sous forme de [[Fraction égyptienne|développement égyptien]]. ||<math> \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \;\;\; ; \;\;\; \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \;\;\; ; \;\;\; \frac{3}{10} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} </math>

<math> \frac{4}{10} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} \;\;\; ; \;\;\; \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \;\;\; ; \;\;\; \frac{6}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} </math>

<math> \frac{7}{10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{30} \;\;\; ; \;\;\; \frac{8}{10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30} \;\;\; ; \;\;\; \frac{9}{10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{30} </math>

|| '''-''' 
|-
| Problèmes 1 à 6 || Partage du pain parmi dix hommes en 1, 2, 6, 7, 8 et 9 fractions. Dans chaque cas, la part de chaque homme est représentée sous la forme [[Fraction égyptienne|développement égyptien]]. ||<math> \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \;\;\; ; \;\;\; \frac{2}{10} = \frac{1}{5} </math>

<math> \frac{6}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} \;\;\; ; \;\;\; \frac{7}{10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{30} </math>

<math> \frac{8}{10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30} \;\;\; ; \;\;\; \frac{9}{10} = \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{30} </math>

|| les six premiers problèmes du papyrus sont de simples répétitions de l'information déjà décrite dans la table des dixièmes, maintenant présentés sous la forme de problèmes.
|-
| 7, 7B, 8 à 20 || Soit

<math> S = 1 + 1/2 + 1/4 = \frac{7}{4} </math> et

<math> T = 1 + 2/3 + 1/3 = 2 </math>.

Pour les multiplications suivantes, écriture du produit sous forme de [[Fraction égyptienne|développement égyptien]].

|| <math> 7: \bigg( \frac{1}{4} + \frac{1}{28} \bigg) S = \frac{1}{2} \;\;\; ; \;\;\; 7B: \bigg( \frac{1}{4} + \frac{1}{28} \bigg) S = \frac{1}{2} \;\;\; ; \;\;\; 8: \frac{1}{4} T = \frac{1}{2} </math>

<math> 9: \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{14} \bigg) S = 1 \;\;\; ; \;\;\; 10: \bigg( \frac{1}{4} + \frac{1}{28} \bigg) S = \frac{1}{2} \;\;\; ; \;\;\; 11: \frac{1}{7} S = \frac{1}{4} </math>

<math> 12: \frac{1}{14} S = \frac{1}{8} \;\;\; ; \;\;\; 13: \bigg( \frac{1}{16} + \frac{1}{112} \bigg) S = \frac{1}{8} \;\;\; ; \;\;\; 14: \frac{1}{28} S = \frac{1}{16} </math>

<math> 15: \bigg( \frac{1}{32} + \frac{1}{224} \bigg) S = \frac{1}{16} \;\;\; ; \;\;\; 16: \frac{1}{2} T = 1 \;\;\; ; \;\;\; 17: \frac{1}{3} T = \frac{2}{3} </math>

<math> 18: \frac{1}{6} T = \frac{1}{3} \;\;\; ; \;\;\; 19: \frac{1}{12} T = \frac{1}{6} \;\;\; ; \;\;\; 20: \frac{1}{24} T = \frac{1}{12} </math>

|| Les mêmes deux facteurs, (ici notés S et T) sont utilisés incessamment au travers de ces problèmes. Ahmès écrit effectivement le même problème différemment (7, 7B, 10), parfois en approchant le même problème avec un travail arithmétique différent.
|-
| 21 à 38 || Pour chacune des [[Équation linéaire|équations linéaires]] où la variable est <math> x </math> , résolution de <math> x </math> et expression de <math> x </math> sous forme de [[Fraction égyptienne|développement égyptien]]  || 

{|
|-
|'''Soustractions'''
|-
|<math> 21: \bigg( \frac{2}{3} + \frac{1}{15} \bigg) + x = 1 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = \frac{1}{5} + \frac{1}{15} </math>

<math> 22: \bigg( \frac{2}{3} + \frac{1}{30} \bigg) + x = 1 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} </math>

<math> 23: \bigg( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30} + \frac{1}{45} \bigg) + x = \frac{2}{3} \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = \frac{1}{9} + \frac{1}{40} </math>
|-
|'''Divisions simples'''
|-
| <math> 24: x + \frac{1}{7} x = 19 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 16 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} </math>

<math> 25: x + \frac{1}{2} x = 16 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 10 + \frac{2}{3} </math>

<math> 26: x + \frac{1}{4} x = 15 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 12 </math>

<math> 27: x + \frac{1}{5} x = 21 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 17 + \frac{1}{2} </math>
|-
|'''Divisions en deux temps'''
|-
|<math> 28: \bigg( x + \frac{2}{3} x \bigg) - \frac{1}{3} \bigg( x + \frac{2}{3} x \bigg) = 10 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 9 </math>

<math> 29: \frac{1}{3} \Bigg( \bigg( x + \frac{2}{3} x \bigg) + \frac{1}{3} \bigg( x + \frac{2}{3} x \bigg) \Bigg) = 10 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 13 + \frac{1}{2} </math>
|-
|'''Divisions plus complexes'''
|-
|<math> 30: \bigg( \frac{2}{3} + \frac{1}{10} \bigg) x = 10 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 13 + \frac{1}{23} </math>

<math> 31: x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{7} x = 33 \;\;\; \rightarrow </math>

<math> x = 14 + \frac{1}{4} + \frac{1}{56} + \frac{1}{97} + \frac{1}{194} + \frac{1}{388} + \frac{1}{679} + \frac{1}{776} </math>

<math> 32: x + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} x = 2 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{114} + \frac{1}{228} </math>

<math> 33: x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{7} x = 37 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 16 + \frac{1}{56} + \frac{1}{679} + \frac{1}{776} </math>

<math> 34: x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x = 10 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = 5 + \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14} </math>
|-
|'''Calcul d'inverse'''
|-
|<math> 35: \bigg( 3 + \frac{1}{3} \bigg) x = 1 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} </math>

<math> 36: \bigg( 3 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \bigg) x = 1 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = \frac{1}{4} + \frac{1}{53} + \frac{1}{106} + \frac{1}{212} </math>

<math> 37: \bigg( 3 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \bigg) x = 1 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = \frac{1}{4} + \frac{1}{32} </math>

<math> 38: \bigg( 3 + \frac{1}{7} \bigg) x = 1 \;\;\; \rightarrow \;\;\; x = \frac{1}{6} + \frac{1}{11} + \frac{1}{22} + \frac{1}{66} </math>
|}

|| Le problème 31 est doté d'une solution onéreuse. Alors que l'expression des problèmes 21-38 peut parfois apparaître compliquée (en particulier dans la prose d'Ahmès), chaque problème se réduit ''in fine'' à une simple équation linéaire. Dans certains cas, une [[Unités de mesure dans l'Égypte antique|unité de mesure égyptienne]] d'une certaine nature a été omise, étant superflue pour ces problèmes. Il s'agit des problèmes 35-38. Dans les déclarations et le travail apparaît la première mention d'unité de volume connue comme ''heqat'' et ''ro'' (où 1 heqat = 320 ro), qui seront importants dans le reste du papyrus. Pour le moment, cependant, leur mention littérale et leur utilisation en 35-38 reste cosmétique.
|-
| 39 || Cent pains vont être distribués parmi dix hommes de manière échelonnée. Cinquante pains vont être divisés également parmi quatre hommes de manière que chacun des quatre reçoive une portion égale <math> y </math>, pendant que les autres cinquante pains vont être divisés également parmi les six autres hommes de manière que chacun des six reçoive une part égale <math> x </math>. Trouver la différence entre ces deux parts <math> y - x </math> et expression sous forme de [[Fraction égyptienne|développement égyptien]]. ||<math> y - x = 4 + \frac{1}{6} </math> || Au problème 39, le papyrus commence à considérer les situations avec plus d'une seule variable. Il s'agit en fait d'un problème à une seule inconnue visant à calculer la différence entre cinquante quarts et cinquante sixièmes.
|-
| 40 || cent pains sont distribués parmi cinq hommes. Les parts de pain des hommes doivent être en [[suite arithmétique]], de manière que des parts consécutives ne diffèrent que par une différence fixe, ou <math> \Delta </math>. De plus, la somme des trois portions la plus grande doit être égale à sept fois la somme des deux plus petites. Trouver <math> \Delta </math> et écriture sous forme de [[Fraction égyptienne|développement égyptien]]. ||<math> \Delta = 9 + \frac{1}{6} </math> || Le problème 40 achève la section arithmétique et/ou algébrique du papyrus, qui est suivie par une section géométrique. Après le problème 40, une grande section d'espace sur le papyrus matérialise la fin de la section. Comme pour le problème 40 lui-même, Ahmès travaille sa solution en considérant d'abord le cas analogue où le nombre de pains est de soixante et non plus cent. Il déclare alors que la différence est de 5 + 1/2 et que la plus petite part est égale à un, liste les autres, et alors développe/rééchelonne son travail pour revenir à cent pour produire son résultat. Bien qu'Ahmès n'exprime pas la solution en elle-même comme elle est décrite ici, la quantité est implicitement claire une fois rééchelonné son premier pas par la multiplication 5/3 x 11/2, pour lister les cinq portions (ce qu'il fait). Ce problème peut être considéré comme ayant quatre conditions : a) cinq parts se somment en cent, b) les parts vont de la plus petite à la plus grande, c) des parts consécutives ont une différence constante et d) la somme des trois parts les plus grandes est égale à sept fois la somme des deux plus petites. En commençant par les trois premières conditions seulement, l’algèbre élémentaire peut être utilisée avant de considérer s'il faut ajouter la quatrième condition pour conduire à un résultat consistant. Il apparaît qu'une fois les quatre solutions en place, la solution est unique. Le problème est alors un cas plus élaboré d'équation linéaire à résoudre que ce qui précède, se rapprochant ainsi de l'[[algèbre linéaire]].
|-
| 41 || Utilisation de la formule de volume
[[Fichier:Circular cylinder rh.svg|vignette|50px|Un cylindre de rayon ''r'' et de hauteur ''h''.]]

<math> V = \bigg( d - \frac{1}{9} d \bigg)^{2} h </math>

<math> = \frac{64}{81} d^{2} h </math>

pour calculer le volume d'un silo à grain cylindrique dont le diamètre est de neuf [[coudée]]s et la hauteur de dix coudées. Donner la réponse en termes de coudées cubiques. Puis, connaissant les conversions parmi les autres unités de volume, une coudée cubique = 3/2 khar = 30 heqats = 15/2 quadruple heqats, expression de la réponse en termes de khar et de quadruple heqats.

|| <math> V = 640 \;\;\; cubit^{3} </math>

<math> = 960 \;\;\; khar </math>

<math> = 4800 \;\;\; quadruple \;\;\; heqat </math>

|| Ce problème ouvre la section [[géométrie|géométrique]] du papyrus, et donne aussi son premier résultat en fait incorrect (bien qu'avec une approximation de <math> \pi </math> de bonne facture, l’approximation étant inférieure à {{unité|1|%}}). Les autres [[Unités de mesure dans l'Égypte antique|anciennes unités de volume égyptiennes]] telles que le quadruple heqat et le khar sont ensuite rapportées à ce problème via des conversions d'unité. Le problème 41 est donc aussi le premier problème à traiter substantiellement de l'[[analyse dimensionnelle]].
|-
| 42 || Réutilisation de la formule et des unités de mesure données en 41 pour le calcul du volume d'un silo à grain cylindrique d'un diamètre de dix coudées et d'une hauteur de dix coudées. Donnant une réponse mesurée en coudées cubiques, le khar, et en centaines de quadruple heqats, où 400 heqats = 100 quadruple heqats = 1 centaine de quadruple heqat, tous sous forme de [[Fraction égyptienne|développement égyptien]]. ||<math> V = \bigg( 790 + \frac{1}{18} + \frac{1}{27} + \frac{1}{54} + \frac{1}{81} \bigg) \;\;\; cubit^{3} </math>

<math> = \bigg( 1185 + \frac{1}{6} + \frac{1}{54} \bigg) \;\;\; khar </math>

<math> = \bigg( 59 + \frac{1}{4} + \frac{1}{108} \bigg) \;\;\; hundred \;\;\; quadruple \;\;\; heqat </math>

|| Le problème 42 est effectivement une répétition du problème 41, conduisant à des conversions d'unité similaires à la fin. Cependant, bien que le problème commence comme expliqué, les calculs sont considérablement plus présents, et certains des derniers termes fractionnels ne sont en fait pas présents dans le document d'origine. Cependant, le contexte est suffisant pour comprendre le raisonnement, et Chace s'est donc permis d'ajouter certains termes fractionnels dans sa traduction mathématique (reprise ci-contre) ce qui donne une solution consistante du point de vue du lecteur contemporain.
|-
| 43 || Réutilisation de la formule de volume

<math> V = \frac{2}{3}  \Bigg( \bigg( d - \frac{1}{9} d \bigg) + \frac{1}{3} \bigg( d - \frac{1}{9} d \bigg) \Bigg)^{2} h </math>

<math> = \frac{2048}{2187} d^{2} h </math>

pour calculer le volume d'un silo à grain cylindrique d'un diamètre de neuf pour une hauteur de six coudées, avec résolution directe en [[Fraction égyptienne|développement égyptien]] de khar, et ensuite en [[Fraction égyptienne|développement égyptien]] de quadruple heqats et quadruple ro, où 1 quadruple heqat = 4 heqat = 1280 ro = 320 quadruple ro.

|| <math> V = \bigg( 455 + \frac{1}{9} \bigg) \;\;\; khar </math>

<math> = \bigg( 2275 + \frac{1}{2} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} \bigg) \;\;\; quadruple \;\;\; heqat </math>

<math> + \bigg( 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{36} \bigg) \;\;\; quadruple \;\;\; ro </math>

|| Le problème 43 contient la première erreur mathématique sérieuse du papyrus. Ahmès (ou bien la source depuis laquelle il l'a copié) a tenté un raccourci permettant de combiner en une seule opération le calcul de volume et la conversion d'unité depuis des coudées cubiques vers des khar en une seule étape, pour éviter d'avoir à utiliser des coudées cubiques en premier résultat. Cependant, cette tentative (qui échoue en raison d'une confusion entre les procédures du 41 et 42 et celui du 43, donne des résultats consistants par une méthode différente) au lieu du résultat dans une nouvelle formule de volume qui est  inconsistante avec (et pire que) l'approximation utilisée en 41 et en 42.
|-
| 44, 45 || Une coudée cubique est égale à 15/2 quadruple heqats.
* Le point 44 considère un silo à grain cubique d'une longueur de 10 cubits sur chaque côté. Expression de son volume <math> V </math> en termes de quadruples heqats.
* Le point 45 considère un silo à grain cubique d'un volume de 7500 quadruples heqats, et expression de sa longueur d'un côté <math> l </math> en termes de cubits.

|| <math> V = 7500</math> quadruple heqat 

<math> l = 10 </math> coudées

|| Le problème 45 est l'exact inverse du problème 44, et ils sont pour cela présentés ensemble ici.
|-
| 46 || Un silo à grains prismatique à section rectangulaire a un volume de 2500 quadruples heqats. Description de ces trois dimensions <math> l_1, l_2, l_3 </math> en unité coudées. || <math> l_1 = l_2 = 10</math> coudées

<math> l_3 = 3 + \frac{1}{3} </math> coudées

|| Ce problème tel que formulé a bien sur une infinité de solutions, mais un choix simple proche lié aux problèmes 44 et 45 est fait.
|-
| 47 || Division de la quantité volumique physique de cent quadruples heqats par chacun des multiples de dix, depuis dix jusqu'à cent. Expression des résultats en [[Fraction égyptienne|développement égyptien]] en termes de quadruples heqats et de quadruple ro, et présentation des résultats dans une table. || 
<math> \begin{bmatrix}

\frac{100}{10}  & q. \; heqat & = &   10                                                               & q. \; heqat \\
\frac{100}{20}  & q. \; heqat & = &   5                                                                & q. \; heqat \\
\frac{100}{30}  & q. \; heqat & = & ( 3  + \frac{1}{4}  + \frac{1}{16} + \frac{1}{64}                ) & q. \; heqat \\
                &             & + & ( 1  + \frac{2}{3}                                               ) & q. \; ro    \\
\frac{100}{40}  & q. \; heqat & = & ( 2  + \frac{1}{2}                                               ) & q. \; heqat \\
\frac{100}{50}  & q. \; heqat & = &   2                                                                & q. \; heqat \\
\frac{100}{60}  & q. \; heqat & = & ( 1  + \frac{1}{2}  + \frac{1}{8}  + \frac{1}{32}                ) & q. \; heqat \\
                &             & + & ( 3  + \frac{1}{3}                                               ) & q. \; ro    \\
\frac{100}{70}  & q. \; heqat & = & ( 1  + \frac{1}{4}  + \frac{1}{8}  + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} ) & q. \; heqat \\
                &             & + & ( 2  + \frac{1}{14} + \frac{1}{21} + \frac{1}{42}                ) & q. \; ro    \\
\frac{100}{80}  & q. \; heqat & = & ( 1  + \frac{1}{4}                                               ) & q. \; heqat \\
\frac{100}{90}  & q. \; heqat & = & ( 1  + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}                ) & q. \; heqat \\
                &             & + & (      \frac{1}{2}  + \frac{1}{18}                               ) & q. \; ro    \\
\frac{100}{100} & q. \; heqat & = &   1                                                                & q. \; heqat \\

\end{bmatrix} </math>

|| Dans le problème 47, Ahmès est particulièrement insistant pour représenter le plus de chaînes élaborées de fractions comme [[Œil oudjat]], autant qu'il le peut. À comparer aux problèmes 64 et 80 pour des préférences de représentation similaires. Par souci de brièveté, « quadruple » a été réduit à « q » dans tous les cas.
|-
| 48 || Comparaison de la superficie d'un disque de diamètre 9 à celle de son carré circonscrit, dont la taille d'un côté est également de 9. Ratio de la superficie du disque au carré? || <math> \frac{64}{81} </math> || L'énoncé et la solution du problème 48 explicite clairement la méthode d'approximation de l'aire d'un disque, utilisé précédemment dans les problèmes 41-43. Cependant, elle ne vaut qu'une approximation de [[pi]]. L'énoncé original du problème 48 implique l’utilisation d'une unité de surface connue comme ''setat'', auquel un contexte est ajouté dans les problèmes suivants.
|-
| 49 || Le khet est une unité de longueur, égale à cent coudées. Aussi un ''cubit strip'' est une mesure d'aire rectangulaire, correspondant à un rectangle d'une coudée par cent coudées, ou cent coudées carrés. Considérer un terrain rectangulaire de dix khet par un khet. Expression de sa surface <math> A </math> en termes de ''cubit strips''. || <math> A = 1000 \;\;\; cubit \;\;\; strip </math> || -
|-
| 50 || Un khet carré est une unité de longueur égale à un ''setat''. Considérer un disque d'un diamètre de neuf khet. Expression de sa superficie <math> A </math> en termes de setat. || <math> A = 64 \;\;\; setat </math> || Le problème 50 est en fait l'application simple de la formule de calcul de la superficie d'un cercle basée sur le ratio 64/81 énoncé au problème 48.
|-
| 51 || Une parcelle triangulaire d'une base de quatre khet et d'une hauteur de dix. Trouver son aire <math> A </math> en setat . || <math> A = 20 \;\;\; setat </math> || L’énoncé et la solution du 51 rappellent la formule familière pour le calcul de l'aire d'un triangle, et pour Chace elle est paraphrasée comme telle. Cependant, le diagramme triangulaire du papyrus, erreur précédente, et les problématiques de traduction présentent des ambiguïtés sur le fait que le triangle puisse être un triangle à angle droit ou si Ahmès en fait comprend les conditions lesquelles la réponse énoncée est correcte. Spécifiquement, la dimension de dix khet signifie-t-elle une hauteur (auquel cas le problème est bien formulé) ou bien « dix khet » se réfère-t-il simplement à un côté du triangle, auquel cas la figure devrait être un triangle rectangle. Ces problématiques et confusions se poursuivent à travers les problèmes 51-53, au point qu'Ahmès peut donner le sentiment de perdre la compréhension de ce qu'il fait, spécialement au 53.
|-
| 52 || Une parcelle trapézoïdale a deux bases, de six khet et quatre khet. Sa hauteur est de vingt khet. Trouver sa surface <math> A </math> en setat . || <math> A = 100 \;\;\; setat </math> || Les considérations du problème 52 sont très similaires à celles du 51. La méthode de résolution est familière des méthodes modernes, et donc les circonstances comme celles du 51 lèvent le doute sur la manière dont Ahmes ou sa source comprenaient ce qu'ils faisaient.
|-
| 53 || Un triangle isocèle (une étendue de terre, par exemple) a une base égale à 4 1/2 khet et une altitude égale à 14 khet. Deux segments de ligne parallèles à la base divisent davantage le triangle en trois secteurs, à savoir un trapèze inférieur, un trapèze central et un triangle supérieur (similaire) plus petit. Les segments de droite coupent la hauteur du triangle en son milieu (7) et plus loin à un quart de point (3 1/2) plus près de la base, de sorte que chaque trapèze a une hauteur de 3 1/2 khet, tandis que le plus petit triangle similaire a une hauteur de 7 khet. Trouvez les longueurs <math> l_{1} , l_{2} </math> des deux segments de ligne, où ils sont respectivement les segments de ligne les plus courts et les plus longs, et exprimez-les en termes fractionnaires égyptiens de khet. De plus, trouvez les aires <math> A_{1} , A_{2} , A_{3} </math> des trois secteurs, où ils sont respectivement le grand trapèze, le trapèze du milieu et le petit triangle, et exprimez les en termes fractionnaires égyptiens de ''cubit strip'' et de coudées. Utilisez le fait que 1 setat = 100 ''cubit strip'' pour les conversions d'unités. || <math> l_{1} = \bigg( 2 + \frac{1}{4} \bigg) \;\;\; khet </math>
<math> l_{2} = \bigg( 3 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \bigg) \;\;\; khet </math>

<math> A_{1} = \bigg( 13 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \bigg) \;\;\; setat + \bigg( 3 + \frac{1}{8} \bigg) \;\;\; cubit \;\;\; strip </math>

<math> A_{2} = \bigg( 9 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \bigg) \;\;\; setat + \bigg( 9 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \bigg) \;\;\; cubit \;\;\; strip </math>

<math> A_{3} = \bigg( 7 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \bigg) \;\;\; setat </math>
||Le problème 53, étant plus complexe, se heurte à bon nombre des mêmes problèmes que les problèmes 51 et 52 : des ambiguïtés de traduction et plusieurs erreurs numériques. En particulier concernant le grand trapèze inférieur, Ahmès semble s'entêter à trouver la base supérieure, et propose dans l'ouvrage original de soustraire « un dixième, égal à 1 + 1/4 + 1/8 setat plus 10 ''cubit strip'' » d'un le rectangle étant (vraisemblablement) 4 1/2 x 3 1/2 (khet). Cependant, même la réponse d'Ahmès ici est incompatible avec les autres informations sur le problème. Heureusement, le contexte de 51 et 52, ainsi que la base, la ligne médiane et l'aire du triangle plus petit (qui « sont » donnés comme 4 + 1/2, 2 + 1/4 et 7 + 1/2 + 1/ 4 + 1/8, respectivement) permettent d'interpréter le problème et sa solution comme cela a été fait ici. La paraphrase donnée représente donc une meilleure hypothèse cohérente quant à l’intention du problème, qui suit Chace. Ahmès fait également référence aux « ''cubit strip'' » au cours du calcul de ce problème, et nous répétons donc leur utilisation ici. Il convient de mentionner que ni Ahmès ni Chace ne donnent explicitement l'aire du trapèze moyen dans leurs traitements (Chace suggère que c'est une trivialité du point de vue d'Ahmès) ; la liberté a donc été prise de le signaler d'une manière qui est cohérente avec ce que Chace avait avancé jusqu'à présent.
|-
| 54 || Il y a 10 parcelles de terrain. Dans chaque parcelle, un secteur est cloisonné de telle sorte que la somme des superficies de ces 10 nouvelles cloisons soit de 7 setat. Chaque nouvelle partition a une superficie égale. Trouvez l'aire <math> A </math> de l'une de ces 10 nouvelles partitions et exprimez-la en termes fractionnaires égyptiens de setats et de ''cubit strip''. || <math> A = \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \bigg) \;\;\; setat </math>

<math> = \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \bigg) \;\;\; setat + \bigg( 7 + \frac{1}{2} \bigg) \;\;\; cubit \;\;\; strip </math>

|| -
|-
| 55 || Il y a 5 parcelles de terrain. Dans chaque parcelle, un secteur est cloisonné de telle sorte que la somme des superficies de ces 5 nouvelles cloisons soit de 3 setat. Chaque nouvelle partition a une superficie égale. Trouvez l'aire <math> A </math> de l'une de ces 5 nouvelles partitions et exprimez-la en termes fractionnaires égyptiens de setats et de ''cubit strip''. || <math> A = \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{10} \bigg) \;\;\; setat </math>

<math> = \frac{1}{2} \;\;\; setat + 10 \;\;\; cubit \;\;\; strip </math>

|| -
|-
| 56 || 1) L'unité de longueur connue sous le nom de [[coudée|coudée royale]] est (et a été, tout au long du papyrus) ce que l'on entend lorsque nous faisons simplement référence à une « coudée ». Une coudée « royale », ou une coudée, est égale à sept paumes, et une paume est égale à quatre doigts. En d'autres termes, les égalités suivantes sont vraies : 1 coudée (royale) = 1 coudée = 7 paumes = 28 doigts.

2) Considérons un [[Pyramide|pyramide à base carrée]] dont la base, la face carrée est coplanaire avec un plan (ou le sol, disons), de sorte que l'un des plans contenant ses faces triangulaires a l'[[angle dièdre]] de <math> \theta </math> par rapport au plan de masse (c'est-à-dire à l'intérieur de la pyramide). En d'autres termes, <math> \theta </math> est l'angle des faces triangulaires de la pyramide par rapport au sol. Le [[seked]] d'une telle pyramide, ayant alors une hauteur <math> a </math> et une longueur de bord de base <math> b </math> , est défini comme « cette longueur physique » <math> S </math> tel que <math> \frac{S}{1 \;\;\; royal \;\;\;cubit} = </math> [[cotangente|<math> \cot{ \theta } </math>]]. En d'autres termes, le seked d'une pyramide peut être interprété comme le rapport de ses faces triangulaires « par une unité (coudée) d'élévation ». Ou, pour le triangle rectangle approprié à l'intérieur d'une pyramide ayant des branches <math> a, \frac{b}{2} </math> et la médiatrice perpendiculaire d'une face triangulaire comme hypoténuse, alors la pyramide seked <math> S </math> satisfait <math> \cot{ \theta } = \frac{b}{2a} = \frac{S}{1 \;\;\; royal \;\;\;cubit} </math>. Des triangles similaires sont donc décrits, et l’un peut être mis à l’échelle de l’autre.

3) Une pyramide a une altitude de 250 coudées (royales) et le côté de sa base a une longueur de 360 coudées (royales). Trouvez son [[seked]] <math> S </math> en termes fractionnaires égyptiens de coudées (royales), ainsi qu'en termes de paumes.

|| <math> S = \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{50} \bigg) \;\;\; cubit </math>

<math> = \bigg( 5 + \frac{1}{25} \bigg) \;\;\; palm </math>

|| Le problème 56 est le premier des « problèmes de pyramide » ou problèmes de seked du papyrus Rhind, 56-59, 59B et 60, qui concernent la notion d'inclinaison faciale d'une pyramide par rapport à un terrain plat. À cet égard, le concept de [[seked]] suggère les débuts de la [[trigonométrie]]. Cependant, contrairement à la trigonométrie moderne, notez en particulier qu'un seked se trouve par rapport à une pyramide et est lui-même une « mesure de longueur physique », qui peut être donnée en termes de n'importe quelle unité physique de longueur. Cependant, pour des raisons évidentes, nous (et le papyrus) limitons notre attention aux situations impliquant des unités égyptiennes anciennes. Les coudées royales sont utilisées dans tout le papyrus, pour les différencier des coudées « courtes » qui étaient utilisées ailleurs dans l'Égypte ancienne. Une coudée « courte » équivaut à six paumes.
|-
| 57, 58 || Le seked d'une pyramide est composée de 5 paumes et d'un doigt, et le côté de sa base est de 140 coudées. Trouvez (57) sa hauteur <math> a </math> en termes de coudées. De plus (58), la hauteur d'une pyramide est de 93 coudées + 1/3, et le côté de sa base est de 140 coudées. Trouvez son seked <math> S </math> et exprimez-le en termes de paumes et de doigts. || <math> a = \bigg( 93 + \frac{1}{3} \bigg) \;\;\; cubit </math>

<math> S = 5 \;\;\; palm + 1 \;\;\; finger </math>

|| Le problème 58 est l'inverse du problème 57, et ils sont donc présentés ensemble ici.
|-
| 59, 59B || La hauteur d'une pyramide (59) est de 8 coudées et la longueur de sa base est de 12 coudées. Exprimez son seked <math> S </math> en termes de paumes et de doigts. De plus (59B), le seked d'une pyramide est de cinq paumes et d'un doigt, et le côté de sa base est de 12 coudées. Exprimez son altitude <math> a </math> en termes de coudées. || <math> S = 5 \;\;\; palm + 1 \;\;\; finger </math>

<math> a = 8 \;\;\; cubit </math>

|| Les problèmes 59 et 59B considèrent un cas similaire à 57 et 58, se terminant par des résultats familiers.
|- 
| 60 || Si un pilier (c'est-à-dire un cône) a une hauteur de 30 coudées et que le côté de sa base (ou diamètre) a une longueur de 15 coudées, trouvez son seked <math> S </math> et exprimez-le en termes de coudées.|| <math> S = \frac{1}{4} \;\;\; cubit </math> 
|| Ahmès utilise des mots légèrement différents pour présenter ce problème, qui se prêtent à des problèmes de traduction. Cependant, le contexte général du problème, ainsi que le diagramme qui l'accompagne (qui diffère des diagrammes précédents), amènent Chace à conclure qu'il s'agit d'un cône. La notion de seked se généralise facilement à la face latérale d'un cône ; il rapporte donc le problème en ces termes. Le problème 60 conclut la section géométrique du papyrus. De plus, c'est le dernier problème sur le recto du document ; tout le contenu ultérieur de ce résumé est présenté au verso du papyrus. Le passage de 60 à 61 ans est donc à la fois un déplacement thématique et physique dans le papyrus.
<!--
| 61 || Seventeen multiplications are to have their products expressed as Egyptian fractions.  The whole is to be given as a table. ||

<math> \begin{bmatrix}

\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}  = \frac{1}{3}  + \frac{1}{9}  & ; & \frac{1}{3}  \cdot \frac{2}{3}  = \frac{1}{6}  + \frac{1}{18} \\
\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}  = \frac{1}{6}  + \frac{1}{18} & ; & \frac{2}{3}  \cdot \frac{1}{6}  = \frac{1}{12} + \frac{1}{36} \\
\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}  = \frac{1}{3}                 & ; & \frac{1}{3}  \cdot \frac{1}{2}  = \frac{1}{6}                 \\
\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}  = \frac{1}{12}                & ; & \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2}  = \frac{1}{24}                \\
\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3}  = \frac{1}{18} + \frac{1}{54} & ; & \frac{2}{3}  \cdot \frac{1}{9}  = \frac{1}{18} + \frac{1}{54} \\
\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}  = \frac{1}{20}                & ; & \frac{2}{3}  \cdot \frac{1}{7}  = \frac{1}{14} + \frac{1}{42} \\
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}  = \frac{1}{14}                & ; & \frac{2}{3}  \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{22} + \frac{1}{66} \\
\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{33}                & ; & \frac{1}{2}  \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{22}                \\
\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{44}                &   &                                                               \\

\end{bmatrix} </math>

|| The syntax of the original document and its repeated multiplications indicate a rudimentary understanding that multiplication is [[Commutative property|commutative]] .
|-
| 61B || Give a general procedure for converting the product of 2/3 and the reciprocal of any (positive) odd number 2n+1 into an Egyptian fraction of two terms, e.g. <math> \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2n+1} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} </math> with natural p and q. In other words, find p and q in terms of n. || <math> p = 2(2n+1) </math>

<math> q = 6(2n+1) </math>

|| Problem 61B, and the method of decomposition that it describes (and suggests) is closely related to the computation of the [[Rhind Mathematical Papyrus 2/n table]].  In particular, every case in the 2/n table involving a denominator which is a multiple of 3 can be said to follow the example of 61B.  61B's statement and solution are also suggestive of a generality which most of the rest of the papyrus' more concrete problems do not have.  It therefore represents an early suggestion of both [[algebra]] and [[algorithm]]s .
|-
| 62 || A bag of three precious metals, gold, silver and lead, has been purchased for 84 sha'ty, which is a monetary unit.  All three substances weigh the same, and a deben is a unit of weight.  1 deben of gold costs 12 sha'ty, 1 deben of silver costs 6 sha'ty, and 1 deben of lead costs 3 sha'ty.  Find the common weight <math> W </math> of any of the three metals in the bag. || <math> W = 4 \;\;\; deben </math> || Problem 62 becomes a division problem entailing a little dimensional analysis.  Its setup involving standard weights renders the problem straightforward.
|-
| 63 || 700 loaves are to be divided unevenly among four men, in four unequal, weighted shares.  The shares will be in the respective proportions <math> \frac{2}{3} : \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} </math> .  Find each share. || <math> 266 + \frac{2}{3} </math> 

<math> 200 </math>

<math> 133 + \frac{1}{3} </math> 

<math> 100 </math> 

|| -
|-
| 64 || Recall that the heqat is a unit of volume.  Ten heqat of barley are to be distributed among ten men in an arithmetic progression, so that consecutive men's shares have a difference of 1/8 heqats.  Find the ten shares and list them in descending order, in Egyptian fractional terms of heqat. || <math> \bigg( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16} \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( 1           + \frac{1}{4}  + \frac{1}{8}  + \frac{1}{16} \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( 1           + \frac{1}{4}  + \frac{1}{16}                \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( 1           + \frac{1}{8}  + \frac{1}{16}                \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( 1           + \frac{1}{16}                               \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{4}  + \frac{1}{8}  + \frac{1}{16} \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{4}  + \frac{1}{16}                \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{8}  + \frac{1}{16}                \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{16}                               \bigg) \; heqat </math>

<math> \bigg( \frac{1}{4} + \frac{1}{8}  + \frac{1}{16}                \bigg) \; heqat </math>

|| Problem 64 is a variant of 40, this time involving an even number of unknowns.  For quick modern reference apart from Egyptian fractions, the shares range from 25/16 down through 7/16, where the numerator decreases by consecutive odd numbers.  The terms are given as [[Eye of Horus|Horus eye]] fractions - compare problems 47 and 80 for more of this.
|-
| 65 || 100 loaves of bread are to be unevenly divided among ten men.  Seven of the men receive a single share, while the other three men, being a boatman, a foreman, and a door-keeper, each receive a double share.  Express each of these two share amounts as Egyptian fractions. || <math> 7 + \frac{2}{3} + \frac{1}{39} </math>

<math> 15 + \frac{1}{3} + \frac{1}{26} + \frac{1}{78} </math>

|| -
|-
| 66 || Recall that the heqat is a unit of volume and that one heqat equals 320 ro.  10 heqat of fat are distributed to one person over the course of one year (365 days), in daily allowances of equal amount.  Express the allowance <math> a </math> as an Egyptian fraction in terms of heqat and ro. || <math> a = \frac{1}{64} \;\;\; heqat + \bigg( 3 + \frac{2}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{2190} \bigg) \;\;\; ro </math> || Problem 66 in its original form explicitly states that one year is equal to 365 days, and repeatedly uses the number 365 for its calculations.  It is therefore [[Primary source|primary]] historical evidence of the ancient Egyptian understanding of the [[year]] .
|-
| 67 || A shepherd had a flock of animals, and had to give a portion of his flock to a lord as tribute.  The shepherd was told to give two-thirds OF one-third of his original flock as tribute.  The shepherd gave 70 animals.  Find the size of the shepherd's original flock.  || <math> 315 </math> || -
|-
| 68 || Four overseers are in charge of four crews of men, being 12, 8, 6 and 4 men, respectively.  Each crewman works at a fungible rate, to produce a single work-product: production (picking, say) of grain.  Working on some interval of time, these four gangs collectively produced 100 units, or 100 quadruple heqats of grain, where each crew's work-product will be given to each crew's overseer.  Express each crew's output <math> O_{12} , O_{8} , O_{6} , O_{4} </math> in terms of quadruple heqat. || <math> O_{12} = 40 \;\;\; quadruple \;\;\; heqat </math>

<math> O_{8} = 26 + \frac{2}{3} \;\;\; quadruple \;\;\; heqat </math>

<math> O_{6} = 20 \;\;\; quadruple \;\;\; heqat </math>

<math> O_{4} = 13 + \frac{1}{3} \;\;\; quadruple \;\;\; heqat </math>

|| -
|-
| 69 || 1) Consider cooking and food preparation.  Suppose that there is a standardized way of cooking, or a production process, which will take volume units, specifically ''heqats'' of raw food-material (in particular, some ''one'' raw food-material) and produce ''units'' of some ''one'' finished food product.  The ''pefsu'' <math> P </math> of the (one) finished food product with respect to the (one) raw food-material, then, is defined as ''the quantity of finished food product units <math> p </math> yielded from exactly one heqat of raw food material.''  In other words, <math> P = \frac{ p \;\;\; finished \;\;\; unit}{1 \;\;\; heqat_{raw \;\;\; material} } </math> .

2) 3 + 1/2 heqats of meal produce 80 loaves of bread.  Find the meal per loaf <math> m </math> in heqats and ro , and find the pefsu <math> P </math> of these loaves with respect to the meal.  Express them as Egyptian fractions.

|| <math> m = \frac{1}{32} \;\;\; heqat + 4 \;\;\; ro </math>

<math> P = \bigg( 22 + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{21} \bigg) \frac{loaf}{ heqat_{meal} } </math>

|| Problem 69 begins the "pefsu" problems, 69-78, in the context of food preparation.  Note that the notion of the pefsu assumes some standardized production process without accidents, waste, etc, and only concerns the relationship of one standardized finished food product to one particular raw material.  That is, the pefsu is not immediately concerned with matters like production time, or (in any one given case) the relationship of other raw materials or equipment to the production process, etc.  Still, the notion of the pefsu is another hint of abstraction in the papyrus, capable of being applied to ''any'' binary relationship between a food product (or finished good, for that matter) and a raw material.  The concepts that the pefsu entails are thus typical of [[manufacturing]] .
|-
| 70 || (7 + 1/2 + 1/4 + 1/8) heqats of meal produce 100 loaves of bread.  Find the meal per loaf <math> m </math> in heqats and ro , and find the pefsu <math> P </math> of these loaves with respect to the meal.  Express them as Egyptian fractions.  || <math> m = \bigg( \frac{1}{16} + \frac{1}{64} \bigg) \;\;\; heqat + \frac{1}{5} \;\;\; ro </math>

<math> P = \bigg( 12 + \frac{2}{3} + \frac{1}{42} + \frac{1}{126} \bigg) \frac{loaf}{ heqat_{meal} } </math>

|| -
|-
| 71 || 1/2 heqats of besha, a raw material, produces exactly one full des-measure (glass) of beer.  Suppose that there is a production process for diluted glasses of beer.  1/4 of the glass just described is poured out, and what has just been poured out is captured and re-used later.  This glass, which is now 3/4 full, is then diluted back to capacity with water, producing exactly one full diluted glass of beer.  Find the pefsu <math> P </math> of these diluted beer glasses with respect to the besha as an Egyptian fraction. || <math> P = \bigg( 2 + \frac{2}{3} \bigg) \frac{des-measure}{ heqat_{besha} } </math> || Note that Problem 71 describes intermediate steps in a production process, as well as a second raw material, water.  Further note that these are irrelevant to the relationship between the ''finished unit and the raw material'' (besha in this case).
|-
| 72 || 100 bread loaves "of pefsu 10" are to be evenly exchanged for <math> x </math> loaves "of pefsu 45".  Find <math> x </math> . || <math> x = 450 </math> || Now that the concept of the pefsu has been established, problems 72-78 explore even exchanges of different heaps of finished foods, having different pefsu.  In general however, they assume a ''common raw material'' of some kind.  Specifically, the common raw material assumed throughout all of 72-78 is called ''wedyet flour'' , which is even implicated in the production of beer, so that beer can be exchanged for bread in the latter problems.  74's original statement also mentions "Upper Egyptian barley", but for our purposes this is cosmetic.  What problems 72-78 say, then, is really this: equal amounts of raw material are used in two different production processes, to produce two different units of finished food, where each type has a different pefsu.  One of the two finished food units is given.  Find the other.  This can be accomplished by dividing both units (known and unknown) by their respective pefsu, where the units of finished food vanish in dimensional analysis, and only the same raw material is considered.  One can then easily solve for x.  72-78 therefore really require that x be given so that equal amounts of raw material are used in two different production processes.
|-
| 73 || 100 bread loaves of pefsu 10 are to be evenly exchanged for <math> x </math> loaves of pefsu 15.  Find <math> x </math> . || <math> x = 150 </math> || -
|-
| 74 || 1000 bread loaves of pefsu 5 are to be divided evenly into two heaps of 500 loaves each.  Each heap is to be evenly exchanged for two other heaps, one of <math> x </math> loaves of pefsu 10, and the other of <math> y </math> loaves of pefsu 20.  Find <math> x </math> and <math> y </math> . || <math> x = 1000 </math>

<math> y = 2000 </math>

|| -
|-
| 75 || 155 bread loaves of pefsu 20 are to be evenly exchanged for <math> x </math> loaves of pefsu 30.  Find <math> x </math> . || <math> x = 232 + \frac{1}{2} </math> || -
|-
| 76 || 1000 bread loaves of pefsu 10, one heap, will be evenly exchanged for two other heaps of loaves.  The other two heaps each has an equal number of <math> x </math> loaves, one being of pefsu 20, the other of pefsu 30.  Find <math> x </math> . || <math> x = 1200 </math> || -
|-
| 77 || 10 des-measure of beer, of pefsu 2, are to be evenly exchanged for <math> x </math> bread loaves, of pefsu 5.  Find <math> x </math> . || <math> x = 25 </math> || -
|-
| 78 || 100 bread loaves of pefsu 10 are to be evenly exchanged for <math> x </math> des-measures of beer of pefsu 2.  Find <math> x </math> . || <math> x = 20 </math> || -
|-
| 79 || An estate's inventory consists of 7 houses, 49 cats, 343 mice, 2401 spelt plants (a type of wheat), and 16807 units of heqat (of whatever substance - a type of grain, suppose). List the items in the estates' inventory as a table, and include their total. || 

<math> \begin{bmatrix} 

houses & 7     \\  
cats   & 49    \\  
mice   & 343   \\  
spelt  & 2401  \\  
heqat  & 16807 \\  
Total  & 19607 \\  

\end{bmatrix} </math> 

|| Problem 79 has been presented in its most literal interpretation.  However, the problem is among the most interesting in the papyrus, as its setup and even method of solution suggests [[Geometric progression]] (that is, geometric sequences), elementary understanding of finite [[Series (mathematics)|series]] , as well as the [[As I was going to St Ives|St. Ives problem]] - even Chace cannot help interrupting his own narrative in order to compare problem 79 with the St. Ives nursery rhyme.  He also indicates that a suspiciously familiar third instance of these types of problems is to be found in Fibonacci's [[Liber Abaci]].  Chace suggests the interpretation that 79 is a kind of savings example, where a certain amount of grain is saved by keeping cats on hand to kill the mice which would otherwise eat the spelt used to make the grain.  In the original document, the 2401 term is written as 2301 (an obvious mistake), while the other terms are given correctly; it is therefore corrected here.

Moreover, one of Ahmes' methods of solution for the sum suggests an understanding of finite [[geometric series]].  Ahmes performs a direct sum, but he also presents a simple multiplication to get the same answer: "2801 x 7 = 19607".  Chace explains that since the first term, the number of houses (7) is ''equal'' to the common ratio of multiplication (7), then the following holds (and can be generalized to any similar situation):

<math> \sum\limits_{k=1}^{n} 7^{k} = 7 \bigg( 1 + \sum\limits_{k=1}^{n-1} 7^{k} \bigg) </math>

That is, when the first term of a geometric sequence is equal to the common ratio, partial sums of geometric sequences, or finite geometric series, can be reduced to multiplications involving the finite series having one less term, which does prove convenient in this case.  In this instance then, Ahmes simply adds the first four terms of the sequence (7 + 49 + 343 + 2401 = 2800) to produce a partial sum, adds one (2801), and then simply multiplies by 7 to produce the correct answer.

|-
| 80 || The hinu is a further unit of volume such that one heqat equals ten hinu.  Consider the situations where one has a [[Eye of Horus|Horus eye]] fraction of heqats, and express their conversions to hinu in a table. || 

<math> \begin{bmatrix} 

1            & heqat & = & 10                             & hinu \\ 
\frac{1}{2}  & heqat & = & 5                              & hinu \\ 
\frac{1}{4}  & heqat & = & ( 2 + \frac{1}{2} )            & hinu \\ 
\frac{1}{8}  & heqat & = & ( 1 + \frac{1}{4} )            & hinu \\ 
\frac{1}{16} & heqat & = & ( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} )  & hinu \\ 
\frac{1}{32} & heqat & = & ( \frac{1}{4} + \frac{1}{16} ) & hinu \\ 
\frac{1}{64} & heqat & = & ( \frac{1}{8} + \frac{1}{32} ) & hinu \\ 

\end{bmatrix} </math> 

|| Compare problems 47 and 64 for other tabular information with repeated Horus eye fractions.
|-
| 81 || Perform "another reckoning of the hinu."  That is, express an assortment of Egyptian fractions, many terms of which are also Horus eye fractions, in various terms of heqats, hinu, and ro. || [[File:Rhind Papyrus Problem 81.png|center|frameless]] || Problem 81's main section is a much larger conversion table of assorted Egyptian fractions, which expands on the idea of problem 80 - indeed, it represents one of the largest tabular forms in the entire papyrus.  The first part of problem 81 is an exact repetition of the table in problem 80, without the first row which states that 1 heqat = 10 hinu - it is therefore not repeated here.  The second part of problem 81, or its "body" is the large table which is given here.  The attentive reader will notice two things: several rows repeat identical information, and several forms (but not all) given in both of the "heqat" areas on either side of the table are in fact identical.  There are two points worth mentioning, to explain why the table looks the way that it does.  For one thing, Ahmes does in fact exactly repeat certain groups of information in different areas of the table, and they are accordingly repeated here.  On the other hand, Ahmes also starts out with certain "left-hand" heqat forms, and makes some mistakes in his early calculations.  However, in many cases he corrects these mistakes later in his writing of the table, producing a consistent result.  Since the present information is simply a re-creation of Chace's translation and interpretation of the papyrus, and since Chace elected to interpret and correct Ahmes' mistakes by substituting the later correct information in certain earlier rows, thereby fixing Ahmes' mistakes and also therefore repeating information in the course of translation, this method of interpretation explains the duplication of information in certain rows.  As for the duplication of information in certain columns (1/4 heqat = ... = 1/4 heqat, etc), this seems simply to have been a convention that Ahmes filled in while considering certain important Horus-eye fractional ratios from both the standpoint of the hinu, and also of the heqat (and their conversions).  In short, the various repetitions of information are the result of choices made by Ahmes, his potential source document, and the editorial choices of Chace, in order to present a mathematically consistent translation of the larger table in problem 81.
|-
| 82 || Estimate in wedyet-flour, made into bread, the daily portion of feed for ten [[Foie gras|fattening]] geese.  To do this, perform the following calculations, expressing the quantities in Egyptian fractional terms of ''hundreds'' of heqats, heqats and ro, except where specified otherwise:

Begin with the statement that "10 fattening geese eat 2 + 1/2 heqats in one day".  In other words the daily rate of consumption (and initial condition) <math> i </math> is equal to 2 + 1/2.  Determine the number of heqats which 10 fattening geese eat in 10 days, and in 40 days.  Call these quantities <math> t </math> and <math> f </math> , respectively.

Multiply the above latter quantity <math> f </math> by 5/3 to express the amount of "spelt", or <math> s </math> , required to be ground up.

Multiply <math> f </math> by 2/3 to express the amount of "wheat", or <math> w </math> , required.

Divide <math> w </math> by 10 to express a "portion of wheat", or <math> p </math> , which is to be subtracted from <math> f </math> .

Find <math> f - p = g </math> .  This is the amount of "grain", (or wedyet flour, it would seem), which is required to make the feed for geese, presumably on the interval of 40 days (which would seem to contradict the original statement of the problem, somewhat).  Finally, express <math> g </math> again in terms of ''hundreds of double heqats, double heqats and double ro'', where 1 hundred double heqat = 2 hundred heqat = 100 double heqat = 200 heqat = 32000 double ro = 64000 ro.  Call this final quantity <math> g_{2} </math> .

||

<math> t     = 25  \;\;\; heqat </math>

<math> f     = 100 \;\;\; heqat </math>

<math> s     = \bigg( 1 + \frac{1}{2} \bigg) hundred \;\;\; heqat </math>

<math> + \bigg( 16 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} \bigg) \;\;\; heqat + \bigg( 3 + \frac{1}{3} \bigg) \;\;\; ro </math>

<math> w     = \bigg( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \bigg) hundred \;\;\; heqat </math>

<math> + \bigg( 8 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} \bigg) \;\;\; heqat + \bigg( 1 + \frac{2}{3} \bigg) \;\;\; ro </math>

<math> p     = \bigg( 6 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} \bigg) \;\;\; heqat + \bigg( 3 + \frac{1}{3} \bigg) \;\;\; ro </math>

<math> g     = \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \bigg) hundred \;\;\; heqat </math>

<math> + \bigg( 18 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} \bigg) \;\;\; heqat + \bigg( 1 + \frac{2}{3} \bigg) \;\;\; ro </math>

<math> g_{2} = \bigg( \frac{1}{4} \bigg) hundred \;\;\; double \;\;\; heqat </math>

<math> + \bigg( 21 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} \bigg) \;\;\; double \;\;\; heqat </math>

<math> + \bigg( 3 + \frac{1}{3} \bigg) \;\;\; double \;\;\; ro </math>

|| Beginning with problem 82, the papyrus becomes increasingly difficult to interpret (owing to mistakes and missing information), to the point of unintelligibility.  However, it is yet possible to make some sense of 82.  Simply put, there seem to exist established rules, or good estimates, for fractions to be taken of this-or-that food material in a cooking or production process.  Ahmes' 82 simply gives expression to some of these quantities, in what is after all declared in the original document to be an "estimate", its somewhat contradictory and confused language notwithstanding.  In addition to their strangeness, problems 82, 82B, 83 and 84 are also notable for continuing the "food" train of thought of the recent pefsu problems, this time considering how to feed animals instead of people.  Both 82 and 82B make use of the "hundred heqat" unit with regard to t and f; these conventions are cosmetic, and not repeated here.  Licence is also taken throughout these last problems (per Chace) to fix numerical mistakes of the original document, to attempt to present a coherent paraphrase.
|-
| 82B || Estimate the amount of feed for other geese.  That is, consider a situation which is identical to problem 82, with the single exception that the initial condition, or daily rate of consumption, is exactly half as large.  That is, let <math> i </math> = 1 + 1/4.  Find <math> t </math> , <math> f </math> and especially <math> g_{2} </math> by using elementary algebra to skip the intermediate steps. || 

<math> t = \bigg( 12 + \frac{1}{2} \bigg) \;\;\; heqat </math>

<math> f = 50 \;\;\; heqat </math>

<math> g_{2} = \bigg( 23 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} \bigg) \;\;\; double \;\;\; heqat </math>

<math> + \bigg( 1 + \frac{2}{3} \bigg) \;\;\; double \;\;\; ro </math>

|| Problem 82B is presented in parallel with problem 82, and quickly considers the identical situation where the associated quantities are halved.  In both cases, it appears that Ahmes' real goal is to find g_2 .  Now that he has a "procedure", he feels free to skip 82's onerous steps.  One could simply observe that the division by two carries through the entire problems' work, so that g_2 is also exactly half as large as in problem 82.  A slightly more thorough approach using elementary algebra would be to backtrack the relationships between the quantities in 82, make the essential observation that g = 14/15 x f , and then perform the unit conversions to transform g into g_2 .
|-
| 83 || Estimate the feed for various kinds of birds.  This is a "problem" with multiple components, which can be interpreted as a series of remarks:

Suppose that four geese are cooped up, and their collective daily allowance of feed is equal to one hinu.  Express one goose's daily allowance of feed <math> a_{1} </math> in terms of heqats and ro.

Suppose that the daily feed for a goose "that goes into the pond" is equal to 1/16 + 1/32 heqats + 2 ro.  Express this same daily allowance <math> a_{2} </math> in terms of hinu.

Suppose that the daily allowance of feed for 10 geese is one heqat.  Find the 10-day allowance <math> a_{10} </math> and the 30-day, or one-month allowance <math> a_{30} </math> for the same group of animals, in heqats.

Finally a table will be presented, giving daily feed portions to fatten one animal of any of the indicated species.

|| <math> a_{1} = \frac{1}{64} \;\;\; heqat + 3 \;\;\; ro </math>

<math> a_{2} = 1 \;\;\; hinu </math>

<math> a_{10} = 10 \;\;\; heqat </math>

<math> a_{30} = 30 \;\;\; heqat </math>

<math> \begin{bmatrix}

goose      & ( \frac{1}{8}  + \frac{1}{32} ) & heqat & + & ( 3 + \frac{1}{3} ) & ro \\
terp-goose & ( \frac{1}{8}  + \frac{1}{32} ) & heqat & + & ( 3 + \frac{1}{3} ) & ro \\
crane      & ( \frac{1}{8}  + \frac{1}{32} ) & heqat & + & ( 3 + \frac{1}{3} ) & ro \\
set-duck   & ( \frac{1}{32} + \frac{1}{64} ) & heqat & + &   1                 & ro \\
ser-goose  &   \frac{1}{64}                  & heqat & + &   3                 & ro \\
dove       &                                 &       &   &   3                 & ro \\
quail      &                                 &       &   &   3                 & ro \\

\end{bmatrix} </math>

|| Since problem 83's various items are concerned with unit conversions between heqats, ro and hinu, in the spirit of 80 and 81, it is natural to wonder what the table's items become when converted to hinu.  The portion shared by the goose, terp-goose and crane is equal to 5/3 hinu, the set-ducks' portion is equal to 1/2 hinu, the ser-gooses' portion is equal to 1/4 hinu (compare the first item in the problem), and the portion shared by the dove and quail is equal to 1/16 + 1/32 hinu.  The presence of various Horus eye fractions is familiar from the rest of the papyrus, and the table seems to consider feed estimates for birds, ranging from largest to smallest.  The "5/3 hinu" portions at the top of the table, specifically its factor of 5/3, reminds one of the method for finding s in problem 82.  Problem 83 makes mention of "Lower-Egyptian grain", or barley, and it also uses the "hundred-heqat" unit in one place; these are cosmetic, and left out of the present statement.
|-
| 84 || Estimate the feed for a stable of oxen. ||

<math> \begin{bmatrix}

                  & Loaves                                        & Common \; food                               \\
4 \; fine \; oxen & 24 \; heqat                                   & 2 \; heqat                                   \\
2 \; fine \; oxen & 22 \; heqat                                   & 6 \; heqat                                   \\
3 \; cattle       & 20 \; heqat                                   & 2 \; heqat                                   \\
1 \; ox           & 20 \; heqat                                   &                                              \\
Total             & 86 \; heqat                                   & 10 \; heqat                                  \\
in \; spelt       & 9  \; heqat                                   & ( 7 + \frac{1}{2} ) \; heqat                 \\
10 \; days        & ( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} ) \; c. \; heqat  & ( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} ) \; c. \; heqat \\
                  & + 15 \; heqat                                 &                                              \\
one \; month      & 200 \; heqat                                  & ( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} ) \; c. \; heqat \\
                  &                                               & + 15 \; heqat                                \\
double \; heqat   & \frac{1}{2} \; c. \; heqat                    & \frac{1}{4} \; c. \; heqat                   \\
                  & + ( 11 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} ) \; heqat & + 5 \; heqat                                 \\
                  & + 3 \; ro                                     &                                              \\

\end{bmatrix} </math>

|| 84 is the last problem, or number, comprising the mathematical content of the Rhind papyrus.  With regard to 84 itself, Chace echoes Peet: "One can only agree with Peet that 'with this problem the papyrus reaches its limit of unintelligibility and inaccuracy.' " - (Chace, V.2, Problem 84).  Here, instances of the "hundred heqat" unit have been expressed by "c. heqat" in order to conserve space.  The three "cattle" mentioned are described as "common" cattle, to differentiate them from the other animals, and the two headers concerning loaves and "common food" are with respect to heqats.  The "fine oxen" at the table's beginning are described as Upper Egyptian oxen, a phrase also removed here for space reasons.  

Problem 84 seems to suggest a procedure to estimate various food materials and allowances in similar terms as the previous three problems, but the extant information is deeply confused.  Still, there are hints of consistency.  The problem seems to start out like a conventional story problem, describing a stable with ten animals of four different types.  It seems that the four types of animals consume feed, or "loaves" at different rates, and that there are corresponding amounts of "common" food.  These two columns of information are correctly summed in the "total" row, however they are followed by two "spelt" items of dubious relationship to the above.  These two spelt items are indeed each multiplied by ten to give the two entries in the "10 days" row, once unit conversions are accounted for.  The "one month" row items do not seem to be consistent with the previous two, however.  Finally, information in "double heqats" (read hundred double heqats, double heqats and double ro for these items) concludes the problem, in a manner reminiscent of 82 and 82B.  The two items in the final row are in roughly, but not exactly, the same proportion to one another as the two items in the "one month" row.

|-
| '''Number 85''' || '''A small group of cursive hieroglyphic signs is written, which Chace suggests may represent the scribe "trying his pen".  It appears to be a phrase or sentence of some kind, and two translations are suggested.  1) "Kill vermin, mice, fresh weeds, numerous spiders. Pray the god Re for warmth, wind and high water."  2) Interpret this strange matter, which the scribe wrote ... according to what he knew."''' ||

[[Fichier:Rhind Papyrus Number 85.png|centre|frameless]]

|| '''The remaining items 85, 86 and 87, being various errata which are not mathematical in nature, are therefore styled by Chace as "numbers" as opposed to problems.  They are also located on areas of the papyrus which are well away from the body of the writing, which had just ended with Problem 84.  Number 85, for example, is some distance away from problem 84 on the verso - but not too far away.  Its placement on the papyrus therefore suggests a kind of coda, in which case the latter translation, which Chace describes as an example of the "enigmatic writing" interpretation of ancient Egyptian documents, seems most appropriate to its context in the document. '''
|-
| '''Number 86''' || '''Number 86 seems to be from some account, or memorandum, and lists an assortment of goods and quantities, using words familiar from the context of the rest of the papyrus itself.  [The original text is a series of lines of writing, which are therefore numbered in the following.]''' ||

'''"1... living forever.  List of the food in Hebenti...'''

'''2... his brother the steward Ka-mose...'''

'''3... of his year, silver, 50 pieces twice in the year...'''

'''4... cattle 2, in silver 3 pieces in the year...'''

'''5... one twice; that is, 1/6 and 1/6.  Now as for one...'''

'''6... 12 hinu; that is, silver, 1/4 piece; one...'''

'''7... (gold or silver) 5 pieces, their price therefor; fish, 120, twice...'''

'''8... year, barley, in quadruple heqat, 1/2 + 1/4 of 100 heqat 15 heqat; spelt, 100 heqat... heqat...'''

'''9... barley, in quadruple heqat, 1/2 + 1/4 of 100 heqat 15 heqat; spelt, 1 + 1/2 + 1/4 times 100 heqat 17 heqat...'''

'''10... 146 + 1/2; barley, 1 + 1/2 + 1/4 times 100 heqat 10 heqat; spelt, 300 heqat... heqat...'''

'''11... 1/2, there was brought wine, 1 ass(load?)...'''

'''12... silver 1/2 piece; ... 4; that is, in silver...'''

'''13... 1 + 1/4; fat, 36 hinu; that is, in silver...'''

'''14... 1 + 1/2 + 1/4 times 100 heqat 21 heqat; spelt, in quadruple heqat, 400 heqat 10 heqat...'''

'''15-18 (These lines are repetitions of line 14.)"'''

|| '''Chace indicates that number 86 was pasted onto the far left side of the verso (opposite the later geometry problems on the recto), to strengthen the papyrus.  Number 86 can therefore be interpreted as a piece of "scrap paper".'''
|-
| '''Number 87''' || '''Number 87 is a brief account of certain events.  Chace indicates an (admittedly now dated and possibly changed) scholarly consensus that 87 was added to the papyrus not long after the completion of its mathematical content.  He goes on to indicate that the events described in it "took place during the period of the Hyksos domination."'''  || '''"Year 11, second month of the harvest season.  Heliopolis was entered.'''

'''The first month of the inundation season, 23rd day, the commander (?) of the army (?) attacked (?) Zaru.'''

'''25th day, it was heard that Zaru was entered.'''

'''Year 11, first month of the inundation season, third day.  Birth of Set; the majesty of this god caused his voice to be heard.'''

'''Birth of Isis, the heavens rained."'''

|| '''Number 87 is located toward the middle of the verso, surrounded by a large, blank, unused space.'''
-->
|}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}
=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Rhind Mathematical Papyrus}}
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur=Ernest Alfred Wallis Budge|lien auteur=Ernest Alfred Thompson Wallis Budge|titre=Facsimilé of the Rhind mathematical papyrus in the British Museum|année=1898|éditeur=[[British Museum]]|url=https://www.meretsegerbooks.com/pages/books/M0265b/budge-ernest-alfred-wallis/facsimile-of-the-rhind-mathematical-papyrus}}.
* {{Ouvrage| prénom1=David M.| nom1=Burton| titre=History of Mathematics| sous-titre=An Introduction| lieu=Boston| éditeur=Wm. C. Brown| année=2003| isbn=}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Arnold Buffum|nom1=Chace|auteur1=Arnold Buffum Chace|prénom2=Henry Parker|nom2=Manning|prénom3=Raymond Clare|nom3=Archibald|lien auteur3=Raymond Clare Archibald|titre=The Rhind Mathematical Papyrus|sous-titre=Free Translation and Commentary|volume=I|éditeur=Mathematical Association of America|année=1927 |url=https://archive.org/details/TheRhindPapyrusVolume1}}.
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=Chace|auteur1=Arnold Buffum Chace|nom2=Bull|auteur2=Ludlow Bull|nom3=Manning|auteur3=Henry Parker Manning|titre=The Rhind Mathematical Papyrus|sous-titre=Photographs, Transcription Transliteration, Literal Translation|volume={{II}}|éditeur=Mathematical Association of America|année=1929|url=https://archive.org/details/arnoldbuffumchaceludlowbullhenryparkermanningtherhindmathematicalpapyrus.volumei}}.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Marshall|nom1=Clagett|lien auteur1=Marshall Clagett|titre=Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three|sous-titre=Ancient Egyptian Mathematics|éditeur=American Philosophical Society|collection=Memoirs of the American Philosophical Society|année=1999|pages totales=462|isbn=978-0-87169-232-0|url=https://books.google.com/books?id=8c10QYoGa4UC&printsec=frontcover}}.
* {{Ouvrage|auteur1=[[Sylvia Couchoud]]|titre=Mathématiques égyptiennes|sous-titre=Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique|éditeur=Le Léopard d’Or|année=1993|pages totales=208|isbn=2-86377-118-3}}.
* {{Ouvrage|langue=de|auteur1=August Eisenlohr|titre=Ein mathematisches Handbuch der alten Ägypter (Papyrus Rhind des British Museum), übersetzt und erklärt|lieu=Leipzig|éditeur=J. C. Hinrichs|année=1877|url=https://archive.org/stream/einmathematische00eise#page/n7/mode/2up}}.
* {{Article|auteur1=Jérôme Gavin|auteur2=Alain Schärlig|titre=Fausse position et heuristique au Moyen Empire|périodique=ENiM|volume=8|année=2015|pages=113-132|url=http://www.enim-egyptologie.fr/index.php?page=enim-8&n=8}}.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Richard J. Gillings|titre=Mathematics in the Time of the Pharaohs|lieu=[[Boston]]|éditeur=[[MIT Press]]|année=1972|pages totales=286|isbn=0-262-07045-6}}.
* {{chapitre|auteur=Michel Guillemot|titre chapitre=Calcul et géométrie dans l’Égypte ancienne|titre ouvrage=Histoire du calcul de la géométrie à l'algèbre|éditeur=[[Vuibert]]|lieu=sous la direction de Luc Sinègre, Paris|année=2009|isbn =978-2-7117-2226-6}}.
* {{Ouvrage|langue=de|auteur1=Annette Imhausen|lien auteur1=Annette Warner|titre=Ägyptische Algorithmen|sous-titre=Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten|lieu=Wiesbaden|éditeur=Harrassowitz|année=2003|pages totales=387|isbn=3-447-04644-9 |url=https://books.google.com/books?id=w1QUzvyCsdIC&printsec=frontcover}}.
* {{chapitre|langue=en|auteur=Annette Imhausen|lien auteur1=Annette Warner|titre chapitre=Egyptian Mathematics|passage=7-56|auteur ouvrage=[[Victor J. Katz]]|titre ouvrage=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam|sous-titre ouvrage=A Sourcebook|éditeur=Princeton University Press|lieu=Princeton|année=2007|isbn=0-691-11485-4}}.
* {{Ouvrage|langue=en|titre=Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History|nom=Imhausen|prénom=Annette|auteur=Annette Imhausen|lien auteur1=Annette Warner|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2016|isbn=9780691209074|url=https://books.google.com/books?id=xkjWDwAAQBAJ}}.
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur = [[Marianne Michel]]|titre = Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes|lieu = Bruxelles|éditeur = Safran (éditions)|année = 2023|pages totales = 604|référence=Référence:Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes (Marianne Michel)}}.
* {{ouvrage | lang=en|auteur=[[Thomas Eric Peet]] | titre=The Rhind mathematical papyrus : British Museum 10057 and 10058 ; Introduction, transcription, translation and commentary | date=1923 | éditeur=The University press of Liverpool | lieu=Liverpool | pages=135 | lire en ligne=https://archive.org/details/Peet_1923 }} et 25 planches (éd. moderne du Papyrus Rhind)
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=Robins|auteur1=Gay Robins|nom2=Shute|auteur2=Charles Shute|titre=The Rhind Mathematical Papyrus|sous-titre=an ancient Egyptian text|lieu=Londres|éditeur=[[British Museum]]|année=1987|pages totales=60|isbn=0-486-26407-6}}.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Corinna|nom1=Rossi|titre=Architecture and Mathematics in Ancient Egypt|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2007|année première édition=2003|pages totales=280|isbn=978-0-521-69053-9}}.
* {{article|langue=en|prénom1=Anthony|nom1=Spalinger|titre=The Rhind Mathematical Papyrus as a Historical Document|revue=Studien zur Altägyptischen Kultur|volume=17|année=1990|pages=295-337|éditeur=Helmut Buske Verlag GmbH}}.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Antony J.|nom1=Spalinger|titre=War in Ancient Egypt|sous-titre=The New Kingdom|éditeur=Blackwell Publishing|année=2005|pages totales=312|isbn=1-4051-1372-3}}.

=== Articles connexes ===
* [[Mathématiques dans l'Égypte antique]]
* [[Papyrus de Moscou]]
* [[Papyrus d'El-Lahoun]]
* [[Papyrus Berlin 6619|Papyrus de Berlin]]
* [[Rouleau de cuir des mathématiques égyptiennes]]
* {{lien|fr=Tablettes de bois du Caire|trad=Akhmim wooden tablets}}

=== Liens externes ===
{{liens}}
* {{en}} Le papyrus Rhind, sur le site du [[British Museum]] : [https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10058 BM 10058] et [https://www.britishmuseum.org/collection/object/Y_EA10057 BM 10057]  
* {{lien web|langue=en| titre=Collections: Egyptian, Classical, Ancient Near Eastern Art: Fragments of Rhind Mathematical Papyrus | éditeur=Brooklyn Museum | url=http://www.brooklynmuseum.org/opencollection/objects/118304/Fragments_of_Rhind_Mathematical_Papyrus | consulté le=25 novembre 2013}}
* {{lien web| titre=Papyrus Rhind |sous-titre=Edition commentée du Papyrus Rhind |auteur1=Michel Guillemot |auteur2=Daniel Austin |url=http://papyrusrhind.unblog.fr/sommaire/}}

{{Palette|British Museum|Papyrus de l'Égypte antique}}
{{Portail|papyrologie|mathématiques|Histoire des sciences|Égypte antique|Londres}}

[[Catégorie:Papyrus égyptien|Rhind]]
[[Catégorie:Mathématiques dans l'Égypte antique]]
[[Catégorie:Histoire de la géométrie]]
[[Catégorie:Objet conservé au British Museum]]
[[Catégorie:Index égyptologique]]