Voir la source de Paradoxe des anniversaires

{{voir homonymie|anniversaire (homonymie)}}
{{sources|date=mai 2014}}
{{Style non encyclopédique|date=août 2024}}
En [[probabilité|théorie des probabilités]], le '''paradoxe des anniversaires''' est un résultat mathématique contre-intuitif concernant la probabilité que deux personnes, dans un groupe, aient le même anniversaire.

Il stipule que dans un groupe de 23 personnes, il y a plus d'une chance sur deux que deux personnes partagent le même anniversaire. À partir d'un groupe de {{nobr|57 personnes}}, la probabilité dépasse 99 %.

Il s'agit non pas d'un [[paradoxe]] au sens [[Logique mathématique|logique]], mais plutôt d'un résultat qui défie l'[[intuition]] : si la question était posée à un groupe de personnes, la plupart des gens donneraient une estimation bien inférieure à la réalité.

L'étude détaillée de cette situation est due à [[Richard von Mises]]<ref>{{Article|langue=de|auteur1=Richard Von Mises|titre=Über Aufteilungs- und Besetzungswahrscheinlichkeiten|périodique=Revue de la faculté des sciences de l'université d'Istanbul|volume=4|pages=145-163|date=1939}}.</ref>.

== Comprendre le problème ==
Par souci de simplicité, toutes les années sont supposées non [[Année bissextile|bissextiles]]. On néglige donc la possibilité d'être né un {{date|29 février}}, dont la prise en compte compliquerait les calculs pour une différence de résultat minime.

=== Explication intuitive ===
Le problème des anniversaires revient à choisir un nombre {{Math|''n''}} d'éléments dans un ensemble qui en contient {{Math|''N''}}, sans retrait, c'est-à-dire sans retirer les éléments choisis, si bien que certains peuvent être identiques. Le paradoxe des anniversaires est un cas de ce type, car chacun a une date d'anniversaire considérée comme aléatoire et il n'y a ''a priori'' pas de raison autre que le hasard pour que deux dates soient identiques.

Ce problème est analogue à la situation suivante : au cours d'une soirée réunissant ''n'' personnes, de petits papiers sur lesquels sont notés les nombres de 1 à {{Math|''N''}} sont placés dans une corbeille. Chacun tire un papier à tour de rôle, lit le nombre qu'il porte, puis le replace dans la corbeille. Il s'agit alors de déterminer les chances pour qu'au moins deux des nombres tirés soient identiques, ou ''a contrario,'' pour qu'ils soient tous différents.

Pour [[#Démonstration|calculer cette probabilité]], il est plus simple de calculer celle où tous les nombres sont différents puis d'utiliser la formule <math display="inline">p(n)=1-\overline{p}(n)</math> afin d'en déduire le résultat. Le point clé qui trompe l'intuition est la sous-estimation des chances que deux nombres au moins soient identiques. 

L'intuition est induite en erreur, car il y a mélange de deux questions différentes : « Quelles sont les chances que n'importe quel élément choisi soit identique à n'importe quel autre ? » et « Quelles sont les chances que n'importe quel élément choisi soit identique à un élément donné ? ».

La question posée est celle du premier énoncé, tandis qu'il est naturel d'avoir tendance à évaluer le second. Dans le cas des anniversaires, on a tendance à évaluer intuitivement la probabilité pour qu'une personne partage une date d’anniversaire précise, au lieu de la probabilité que deux personnes quelconques partagent le même anniversaire<ref name=":0">{{Article|auteur=Jean-Paul Delahaye|titre=Notre vision du hasard est bien hasardeuse...|périodique=[[Pour la science]]|numéro=293|date=mars 2002|lire en ligne=https://cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/2002/092.pdf|format=pdf}}.</ref>.

La question de savoir pourquoi l'intuition est ainsi trompée et ne semble pas spontanément capable d'aborder un problème de ce type est du domaine des [[sciences cognitives]].

== Démonstration ==

Une erreur fréquente dans la démonstration est de compter le nombre de paires, on omet alors le fait que les évènements ne sont pas [[Ensembles disjoints|disjoints]] et que trois personnes peuvent partager la même date de naissance. 

Cette démonstration procède par [[dénombrement]], c'est-à-dire en comptant le nombre de cas où <math>n</math> personnes (<math>n\leqslant 365</math>) ont des jours d'anniversaires ''différents'' puis en divisant par le nombre de possibilités et l'on fait une hypothèse d'[[équiprobabilité]] des jours de naissance.

Il y a <math>n</math> personnes et 365 jours possibles pour chacune, ce qui signifie que si aucune contrainte n'est fixée, il y a au total {{math|365{{exp|''n''}}}} possibilités. En ajoutant la contrainte d'avoir des jours ''différents'', nous obtenons un [[arrangement]] de <math>n</math> parmi 365, soit : <math display="block">A^n_{365}=(365-0)(365-1)...(365-n+1)=\frac{365!}{(365-n)!}.</math>On a donc
:<math display="block">\overline{p}(n)= \frac{365!}{(365-n)!} \cdot \frac{1}{365^n}.</math>

Il est aussi possible de voir cela comme une multiplication de probabilités d'[[Événement (probabilités)|évènements]] [[Indépendance (probabilités)|indépendants]], ce qui conduit au même résultat :
:<math display="block">\overline{p}(n)= \underbrace{
\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365}  \cdot \frac{363}{365} \cdot \cdots \cdot \frac{365-n+1}{365}
}_{n\, \text{ facteurs}}= \frac{365!}{(365-n)!} \cdot \frac{1}{365^n}.</math>

Or, l’évènement « chaque personne a un jour d'anniversaire différent » est le [[Événement (probabilités)#Opérations ensemblistes sur les événements|complémentaire]] de « au moins deux personnes ont un jour d'anniversaire identique ». Par conséquent la probabilité recherchée est <math display="inline">p(n)=1-\overline{p}(n)</math>.

[[Fichier:Paradoxe anniversaire.svg|vignette|redresse=1.5|Courbes des probabilités de coïncidence et de non-coïncidence de deux anniversaires en fonction du nombre de personnes.]]
En faisant l'application numérique, on trouve une probabilité de 50,73 % pour que deux personnes aient la même date d'anniversaire dans une assemblée de vingt-trois personnes<ref name=":0" />.

{| class="wikitable gauche"
!''n''!!''p''(''n'')
|-
| 5|| 2,71 %
|-
|10|| 11,69 %
|-
|15|| 25,29 %
|-
|20|| 41,14 %
|-
|23|| 50,73 %
|-
|25|| 56,87 %
|-
|30|| 70,63 %
|-
|40|| 89,12 %
|-
|50|| 97,04 %
|-
|60|| 99,41 %
|-
|80|| 99,99 %
|-
|100|| 99,99997 %
|-
|200|| 99,9999999999999999999999999998 %
|-
|300||<math display="inline"> \left(1 - \left(6\cdot 10^{-82}\right)\right)\cdot100\%</math>
|-
|350|| <math display="inline">\left(1 - \left(3\cdot 10^{-131}\right)\right)\cdot100\%</math>
|-
|> 366|| 100 % (par le [[principe des tiroirs]]) si on prend en compte la possibilité d'être né le 29 février.
|}

{{clr}}
== Problèmes apparentés pouvant expliquer le paradoxe ==
Une explication possible du « paradoxe » réside dans la confusion intuitive entre le problème des anniversaires et l'un des problèmes suivants<ref name=":0" />.

=== Premier problème ===
Pour un individu qui fait partie du groupe, la probabilité qu'une autre personne du groupe ait la même date d'anniversaire que lui est égale à :

<math display="block">q(n)={\displaystyle 1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{n-1}}.</math>

Cela donne pour <math>n=23</math> une probabilité très faible de 5,86 %, et il faut réunir au moins {{nobr|253 personnes}} pour que cette probabilité soit supérieure à 50 %<ref name=":0" />.

Ce problème est parfois confondu avec le problème classique des anniversaires<ref>{{Article |auteur1=Gérard Lavau |titre=Les aléas de l'aléatoire |périodique=PLOT |numéro=40 |pages=43-44 |date=octobre 1987 |lire en ligne=https://bibnum.publimath.fr/APL/APL87020.pdf |format=pdf }}.</ref>.

=== Deuxième problème ===
Si les <math>n-1</math> autres personnes du groupe ont toutes des dates d'anniversaires différentes, la probabilité que l'une d'entre elles ait la même date qu'un individu donné vaut :

<math display="block">r(n)={\displaystyle \frac{n-1}{365}}. </math>

Il faut alors qu'il y ait au moins <math display="inline">183=\left \lceil \frac{365}{2} \right \rceil</math> autres personnes pour que cette probabilité soit supérieure à 50 %, ce qui est parfois la réponse donnée au problème initial<ref name=":0" />.

== Généralisation ==
Ce paradoxe des anniversaires se généralise à la situation plus abstraite que l'on peut énoncer sous la forme suivante. 

Soit <math>E</math> un [[ensemble]] fini de [[Cardinalité (mathématiques)|cardinal]] <math>N</math>. La probabilité <math>p(n)</math> que, parmi <math>n</math> éléments de <math>E</math> (chaque élément étant tiré uniformément avec remise), deux éléments au moins soient identiques vaut :
:<math display="block">p(n)=1 - \frac{N!}{(N-n)!} \cdot \frac{1}{N^n}.</math>

=== Approximation de la probabilité ===

La probabilité <math>\overline{p}(n)=1-p(n)</math> peut se réécrire sous la forme :

:<math display="block">\overline{p}(n) = \prod_{k=0}^{n-1} (N-k)/N.</math>D'où
:<math display="block">\overline{p}(n)=\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)...\left(1-\frac{n-1}{N}\right).</math>

Or, on a le [[développement limité]] <math>{\rm e}^x=1+x+o(x)</math> pour <math>x</math> [[Voisinage (mathématiques)|voisin]] de 0. Cela conduit à l'approximation :
:<math display="block">\overline{p}(n)\approx \prod_{k=0}^{n-1}{\rm e}^{-\frac{k}{N}}.</math>
:Posons <math>\phi_n = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{N} </math>. On a donc <math display="block">\overline{p}(n)\approx {\rm e}^{-\phi_n}.</math>
Or, la somme des entiers de 0 à <math>n-1</math> vaut <math>n(n-1)/2</math>, ce qui donne finalement :
:<math display="block">\overline{p}(n)\approx {\rm e}^{-\frac{ n(n-1)}{2\cdot N}}.</math>
En revenant à <math>p(n)</math> : <!-- Somme d'équivalents? -->
:<math display="block">p(n)\approx 1- {\rm e}^{-\frac{ n(n-1)}{2\cdot N}} .</math>

=== Estimation du nombre de tirages pour une probabilité donnée ===
En résolvant en <math>n</math> l'égalité <math>p= 1- {\rm e}^{-\frac{ n^2}{2\cdot N}}</math>on obtient une approximation <math>n(p)</math> du nombre de personnes nécessaire pour avoir une probabilité donnée <math>p</math> d'avoir au moins deux personnes avec le même jour d'anniversaire. On obtient :
:<math display="block">n(p)= \sqrt{2N \cdot \ln\left(\frac{1}{1-p}\right)}.</math>

=== Quelques valeurs numériques ===
Le tableau ci-dessous indique dans le cas originel (<math>N=365</math>), pour une probabilité <math>p</math>, l'approximation <math>n(p)</math> indiquée ci-dessus, puis, sur la même ligne, l'approximation de la probabilité pour l'entier inférieur ou égal à <math>n(p)</math> (noté <math>\lfloor n\rfloor</math>) et celle de la probabilité pour l'entier supérieur ou égal à <math>n(p)</math> (noté <math>\lceil n\rceil</math>). Normalement, la probabilité <math>p</math> fixée au départ doit être comprise entre ces deux valeurs. 
Les entrées ne vérifiant pas cette condition sont signalées en <span style="color:magenta">couleur</span>.

{| class="wikitable"
|-----
| <math>p</math> || <math>n(p)</math>|| <math>\lfloor n\rfloor</math>
| <math>p(\lfloor n\rfloor)</math> || <math>\lceil n\rceil</math>
| <math>p(\lceil n\rceil)</math>
|-----
| <div style="color:magenta">{{formatnum:0.01}}</div>
| <div style="color:magenta"> {{formatnum:2.70864}}</div>
| align="right" | 2 || {{formatnum:0.00274}} || align="right" | 3
| <div style="color:magenta">{{formatnum:0.00820}}</div>
|-----
| {{formatnum:0.05}} || {{formatnum:6.11916}} || align="right" | 6
| {{formatnum:0.04046}} || align="right" | 7 || {{formatnum:0.05624}}
|-----
| <div style="color:magenta">{{formatnum:0.1}}</div>
| <div style="color:magenta"> {{formatnum:8.77002}}</div>
| align="right" | 8 || {{formatnum:0.07434}} || align="right" | 9
| <div style="color:magenta">{{formatnum:0.09462}}</div>
|-----
| <div style="color:magenta">{{formatnum:0.2}}</div>
| <div style="color:magenta">{{formatnum:12.76302}}</div>
| align="right" | 12 || {{formatnum:0.16702}} || align="right" | 13
| <div style="color:magenta">{{formatnum:0.19441}}</div>
|-----
| {{formatnum:0.3}} || {{formatnum:16.13607}} || align="right" | 16
| {{formatnum:0.28360}} || align="right" | 17 || {{formatnum:0.31501}}
|-----
| {{formatnum:0.5}} || {{formatnum:22.49439}} || align="right" | 22
| {{formatnum:0.47570}} || align="right" | 23 || {{formatnum:0.50730}}
|-----
| {{formatnum:0.7}} || {{formatnum:29.64625}} || align="right" | 29
| {{formatnum:0.68097}} || align="right" | 30 || {{formatnum:0.70632}}
|-----
| {{formatnum:0.8}} || {{formatnum:34.27666}} || align="right" | 34
| {{formatnum:0.79532}} || align="right" | 35 || {{formatnum:0.81438}}
|-----
| {{formatnum:0.9}} || {{formatnum:40.99862}} || align="right" | 40
| {{formatnum:0.89123}} || align="right" | 41 || {{formatnum:0.90315}}
|-----
| {{formatnum:0.95}} || {{formatnum:46.76414}} || align="right" | 46
| {{formatnum:0.94825}} || align="right" | 47 || {{formatnum:0.95477}}
|-----
| <div style="color:magenta">{{formatnum:0.99}}</div>
| <div style="color:magenta">{{formatnum:57.98081}}</div>
| align="right" | 57
| <div style="color:magenta">{{formatnum:0.99012}}</div>
| align="right" | 58 || {{formatnum:0.99166}}
|}

=== Lien avec la loi de Rayleigh ===
{{Article détaillé|Loi de Rayleigh#Problème des anniversaires}}
Dans l'expression :
:<math display="block">p(n)\approx 1- {\rm e}^{-\frac{ n(n-1)}{2\cdot 365}},</math>
on reconnaît la [[fonction de répartition]] de la [[loi de Rayleigh]] :
:<math display="block">F(x)= 1- {\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}.</math>
En effet, vu dans le cadre plus général des problèmes d'allocation, le calcul ci-dessus s'interprète comme la convergence d'une fonction de répartition vers une autre, traduisant la [[convergence en loi]] d'une suite de [[Variable aléatoire|variables aléatoires]] . Pour exemple, on considère <math>m</math> boîtes numérotées de 1 à <math>m</math> (pour l'instant '''fixé'''). On suppose qu'on y alloue des boules, chacune étant placée dans une des <math>m</math> boîtes de manière équiprobable, indépendamment des allocations précédentes, et cela ''indéfiniment''. Si <math>m = 365</math>, ceci est la situation du problème des anniversaires pour un groupe de personnes ''qui s'agrandit régulièrement''. On note <math>T_m</math> le rang de la première boule qui est allouée dans une boite contenant déjà une autre boule, ce qui correspondrait au rang de la première personne, arrivant dans le groupe, dont la date anniversaire est déjà celle d'un autre membre du groupe (avant son arrivée tous les membres du groupe ont des dates d'anniversaires différentes, après son arrivée ce n'est plus le cas).

Alors : 
:<math display="block">p(n)= \mathbb{P}(T_{365}\leqslant n),</math>
et l'approximation ci-dessus peut donc s'écrire :
:<math display="block">\mathbb{P}(T_{365}/\sqrt{365}\leqslant x)\approx 1- {\rm e}^{-\frac{ x^2}{2}}.</math>
Cela traduit le fait que la suite de variables aléatoires <math>T_m/\sqrt{m}</math> converge en loi vers la loi de Rayleigh, et, par là même, cela révèle un paradoxe, pour le sens commun : on s'attend probablement à ce que <math>T_m</math> soit du même [[ordre de grandeur]] que <math>m</math>, alors que cette convergence en loi révèle que <math>T_m</math> est du même ordre de grandeur que <math>\sqrt{m}.</math> Le phénomène de répétition des anniversaires a donc lieu plus tôt, pour un groupe plus petit qu'on ne s'y attendrait.

== Cas non uniforme ==
Dans le calcul précédent, une équipartition des jours de naissance dans l'année a été supposée implicitement. Si on ne la suppose plus, cela augmente les chances de réussir le pari que deux personnes soient nées le même jour<ref>{{Article |langue=en |prénom1=William |nom1=Knight |prénom2=D. M. |nom2=Bloom |titre=E2386 |périodique=The American Mathematical Monthly |volume=80 |numéro=10 |pages=1141 |date=1973-12 |doi=10.2307/2318556 }}.</ref>, ce qui renforce encore le paradoxe.

{{Démonstration/début|titre=Démonstration de ce fait}}
Comme la démonstration se fait par récurrence sur le nombre de jours dans l'année, nous notons <math>n</math> ce nombre, et <math>k\leqslant n</math> le nombre de personnes ; soit <math>X_{j}</math> la variable aléatoire donnant la date anniversaire de la personne n° <math>j</math>. De façon naturelle, les variables <math>X_{j}</math> sont supposées indépendantes de même loi : <math>P\left( X_{j}=i\right) =x_{i}</math>, indépendant de <math>j</math>.

L'évènement cherché (« les personnes sont nées des jours différents ») est la réunion des évènements disjoints <math>\{(X_{1},...,X_{k})=(i_{1},..,i_{k})\},  (i_{1},..,i_{k})</math> étant un arrangement de <math>[\!\left[ 1,n\right]\!]</math>.

La probabilité recherchée est donc
:<math>p_{k}(x_{1},..,x_{n})=\sum_{
(i_{1},..,i_{k})~\text{arrangement de }[\!\left[ 1,n\right]\!]}
x_{i_{1}}\cdot x_{i_{2}}\cdot ...\cdot x_{i_{k}}=k!\underset{1\leqslant
i_{1}<..<i_{k}\leqslant n}{\sum }x_{i_{1}}\cdot x_{i_{2}}...\cdot x_{i_{k}}</math>.

Comme annoncé, nous allons démontrer que pour tout <math>k</math> entre 2 et <math>n</math>,
:<math>p_{k}(x_{1},..,x_{n})\leqslant p_{k}(1/n,...,1/n) \text{   si    }\sum_{i=1}^n x_{i}=1,x_{i}\geqslant 0</math>.

Posant <math>\varphi _{k}(x_{1},..,x_{n})=\sum_{1\leqslant
i_{1}<..<i_{k}\leqslant n}x_{i_{1}}.x_{i_{2}}....x_{i_{k}}</math>, nous
allons même plus généralement démontrer par récurrence sur <math>n</math> que pour tout <math>k</math> entre 2 et <math>n</math> :
:<math>\varphi_{k}(x_{1},..,x_{n})\leqslant \varphi _{k}(s/n,...,s/n) \text{   si    }\sum_{i=1}^n x_{k}=s, x_{i}\geqslant 0</math>.

Pour <math>n=2</math>, la seule possibilité pour <math>k</math> est <math>k=2</math>, et l'inégalité <math>\varphi _{2}\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}x_{2}\leqslant \left( 
\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) ^{2}</math> est facile.

Supposons la propriété vraie à l'ordre <math>n</math> et montrons-la à l'ordre <math>n+1</math>.

Posons <math>\sum_{k=1}^{n+1} x_{k}=s</math> et <math>x_{n+1}=x</math>.

Remarquons que <math>\varphi _{k}\left( x_{1},...,x_{n},x\right) =x\varphi _{k-1}(x_{1},..,x_{n})+\varphi _{k}(x_{1},..,x_{n})</math>.

Par hypothèse de récurrence,
:<math>\varphi _{k-1}(x_{1},..,x_{n})\leqslant \varphi _{k-1}\left(\dfrac{s-x}{n},...,\dfrac{s-x
}{n}\right)=\binom{n}{k-1} \left( \dfrac{s-x}{n}\right) ^{k-1}</math> et <math>\varphi
_{k}(x_{1},..,x_{n})\leqslant \varphi_{k}\left(\dfrac{s-x}{n},...,\dfrac{s-x}{n} \right)=\binom{n}{k} \left( \dfrac{s-x}{n}\right) ^{k}</math>.

On obtient donc <math>\varphi _{k}\left( x_{1},...,x_{n},x\right) \leqslant x\binom{n}{k-1} \left( \dfrac{s-x}{n}\right) ^{k-1}+ 
\binom{n}{k} \left( \dfrac{s-x}{n}\right) ^{k}</math>.

Soit
:<math>\varphi _{k}\left( x_{1},...,x_{n},x\right) \leqslant \dfrac{1}{kn^{k}
}\binom{n}{k-1}\left[ knx\left( s-x\right) ^{k-1}+\left( n-k+1\right) \left(
s-x\right) ^{k}\right] </math>.

Posant <math>y=s-x</math>, la dernière parenthèse vaut
:<math>f\left( y\right)
=kn\left( s-y\right) y^{k-1}+\left( n-k+1\right) y^{k}=knsy^{k-1}-\left(
n+1\right) \left( k-1\right) y^{k}</math>.

La dérivée <math>f'( y) =k( k-1)y^{k-2}( ns-( n+1) y) </math> montre que <math>f</math> est maximale pour <math>y=\dfrac{n}{n+1}s</math>, soit <math>x=\dfrac{s}{n+1}</math>.

Donc <math>\varphi _{k}\left( x_{1},...,x_{n},x\right) \leqslant \dfrac{s}{n+1}
\binom{n}{k-1} \left( \dfrac{s}{n+1}\right) ^{k-1}+\binom{n}{k} \left( \dfrac{s}{n+1}\right) ^{k}=\binom{n+1}{k} \left( \dfrac{s}{n+1}\right) ^{k}</math>
<math>
=\varphi _{k}\left( \dfrac{s}{n+1}
,...,\dfrac{s}{n+1}\right)</math>, ce qui achève la récurrence.

Remarquons que cela revient à démontrer que l'espérance du produit de <math>k</math> nombres distincts pris parmi <math>n</math> nombres positifs de somme donnée est maximale quand ces <math>n</math> nombres sont égaux.

Géométriquement : parmi tous les hyperparallélépipèdes rectangles (ou orthotopes) de dimension <math>n</math> de somme des longueurs des arêtes donnée, celui qui a la plus grande moyenne des hypervolumes des <math>k</math>-cellules est l'hypercube.
Pour <math>n=3,k=2</math> ou 3 : parmi tous les parallélépipèdes rectangles de somme des longueurs des arêtes données, celui qui a la plus grande aire (ou volume) est le cube.

{{Démonstration/fin}}

== Applications ==
Dans Le ''Trésor des Paradoxes'' (Éd Belin, 2007), les auteurs notent que l’informaticien américain [[Robert McEliece]] a établi l'intérêt du paradoxe des anniversaires en informatique, pour s’assurer de la fiabilité des mémoires d’ordinateur, grâce à des codes détecteurs d’erreurs, fondés notamment sur les travaux de [[Richard Hamming]] aux [[laboratoires Bell]].  La stratégie des codes détecteurs d’erreurs s’avère, du point de vue [[statistique]], similaire au paradoxe des anniversaires. Le paradoxe des anniversaires est utilisé en [[cryptographie]] pour élaborer des attaques sur les [[fonction de hachage|fonctions de hachage]]. Une des contraintes imposées sur ces fonctions, pour une utilisation cryptographique, est de produire peu de [[pseudo-collision|collisions]], autrement dit, de rarement prendre la même valeur sur des entrées différentes. 

Le paradoxe des anniversaires donne une borne sur le nombre moyen d'éléments nécessaires pour avoir une collision avec une probabilité <math>p=\frac{1}{2}</math>, à savoir essentiellement la racine carrée du nombre de valeurs possibles pour la fonction de hachage, sous l'hypothèse que cette fonction est uniformément distribuée sur ses valeurs d'arrivée. 

Plus concrètement, si une fonction de hachage a une sortie de N [[Bit (informatique)|bits]] alors l'ensemble d'arrivée possède <math>2^N</math> éléments et il faut environ <math>2^\frac N2</math> hachés d'éléments distincts pour produire une collision avec 50 % de chance ; les sorties de la fonction pouvant être comparées à des personnes avec des anniversaires se répartissant sur <math>2^N</math> valeurs.

=== Application pratique du paradoxe des anniversaires ===
On suppose ici que Martine souhaite forcer Daniel à signer un contrat très défavorable, contrat devant être validé par son empreinte (valeur [[Fonction de hachage|hachée]]), celle-ci garantissant que le contrat n'a pas pu être modifié après signature.

Elle prépare un contrat équitable et un contrat défavorable. Elle génère ensuite automatiquement des variantes de chacun des contrats avec des changements cosmétiques (ajouts d'espaces, utilisation de synonymes, réordonnancement des paragraphes, etc). Elle calcule l’empreinte de chaque contrat en recherchant des paires de mêmes empreintes (avec et sans modifications). Dès qu’une collision a été trouvée, elle donne le contrat équitable correspondant à Daniel qui le vérifie, le signe, calcule l'empreinte et l'attache au contrat.

Martine fait de même avec le contrat défavorable, et le présente à Daniel. S'il conteste les termes du contrat qu'il a signé, l'empreinte prouve qu'il est impossible qu'il ait pu être modifié<ref>{{Lien web|langue = fr|titre = Attaque « des anniversaires »|url = https://www.hds.utc.fr/~wschon/sr06/crypto/signature4.htm|site =hds.utc.fr |date = |consulté le = }}.</ref>. Il lui sera tout de même possible d'opposer le contrat original à Martine ce qui devrait conduire à la [[Nullité du contrat en droit civil français|nullité du contrat]].

=== Lien avec l'identification par l'ADN ===
Dans le domaine judiciaire, les probabilités d'identification fournies par la technique d'[[empreinte génétique]] sont souvent mal comprises<ref name = "Schneps">{{Ouvrage|langue=fr |langue originale=en |auteur1=[[Leila Schneps]] |auteur2=[[Coralie Colmez]] |traducteur=Coralie Colmez |titre=Les maths au tribunal |sous-titre=les erreurs de calcul font les erreurs judiciaires |titre original=Math on Trial. How Numbers Get Used and Abused in the Courtroom |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions du Seuil|Seuil]] |collection=Science ouverte |année= |pages totales=280 |isbn=978-2-02-110439-4 |numéro chapitre=5 |titre chapitre=L'affaire Diana Sylvester : analyse d'un {{lang|en|cold hit}}}}.</ref>. Ainsi, si la probabilité que deux individus partagent neuf [[locus]] est environ d'une sur {{nobr|13 milliards}}, on peut s'attendre à ce que dans une base de données de {{nombre|65000|personnes}}, environ {{nobr|116 paires}} d'individus aient en commun 9 des {{nobr|13 locus}} utilisés à des fins d'identification<ref name = "Schneps" />.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Annexes ==
{{Autres projets
| commons=Category:Birthday paradox
}}

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Sheldon Ross|titre=A First Course in Probability|éditeur=[[Pearson (maison d'édition)|Pearson]]|année=2014|pages totales=467|isbn=978-0-321-79477-2|isbn2=032179477X|numéro chapitre=2|libellé=Ross 2014}}.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Raymond Smullyan]]|titre=The Lady or the Tiger?|traduction titre=Le Livre qui rend fou|éditeur=|année=1982|pages totales=226|isbn=0-8129-2117-8|libellé=Smullyan 1982}}.

=== Articles connexes ===
* [[Attaque des anniversaires]]
* [[Date de naissance]]

{{Palette|Mesures de sécurité cryptographique}}
{{Portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Paradoxe probabiliste|Anniversaire]]
[[Catégorie:Anniversaire]]
[[Catégorie:Expérience aléatoire|Anniversaires]]