Voir la source de Particule dans un réseau à une dimension

En [[mécanique quantique]], la '''particule dans un réseau à une dimension ''' est un problème apparaissant dans le modèle du [[structure cristalline|réseau cristallin]] périodique. L'exemple-type de ce problème est le comportement des électrons dans un réseau cristallin périodique ([[métal]], [[semi-conducteur]] ou [[Isolant électrique|isolant]]) qui subissent un potentiel régulier périodique provoqué par les ions formant la structure cristalline, et donc disposés de façon régulière. C'est une extension du [[modèle de l'électron libre]], dans lequel on suppose que le potentiel est nul dans le réseau.

== Définition du problème ==

Dans ce problème, on étudie les matériaux solides et en particulier les cristaux présentant un réseau cristallin périodique. Pour simplifier le problème, on se place dans un réseau à une dimension constitué par les [[cation]]s du matériau, régulièrement espacés d'une distance '''''a''''', paramètre du réseau. Le potentiel du réseau ressemble donc à une fonction périodique de période '''''a''''' :
[[Fichier:Potential-actual.PNG|center]]

Selon le [[théorème de Bloch]], la [[fonction d'onde]] ψ(x) solution de l'[[équation de Schrödinger]] dans un tel système périodique satisfait la condition :

:<math> \psi (x+a) = e^{ika} \psi (x). \,\! </math>

et peut donc s'écrire sous la forme

:<math> \psi (x) = e^{ikx} u (x). \,\! </math>

Où ''u''(''x'') est la fonction périodique du cristal qui satisfait la condition :

:<math> u(x+a)=u(x) \,\! </math>

Pour éviter les problèmes de bord, on considère que le réseau est [[Condition périodique aux limites|périodique aux limites]] c'est-à-dire qu'on considère qu'il forme une chaîne qui se boucle sur elle-même. Si ''L'' est la longueur du réseau, de telle sorte que ''L''&nbsp;>>&nbsp;''a'', on a comme condition supplémentaire aux limites :

:<math> \psi (0)=\psi (L). \,\! </math>

Soit ''N'', le nombre d'ions dans le réseau, on a donc la relation : ''aN''&nbsp;=&nbsp;''L''. En appliquant les conditions aux limites et le théorème de Bloch, on trouve une quantification pour ''k'', qui ne peut prendre pour valeurs que des multiples de 2π/''L'':

:<math> \psi (0) = e^{ik \cdot 0} u(0) = e^{ikL} u(L) = \psi (L) \,\! </math>
:<math> u(0) = e^{ikL} u(L)=e^{ikL} u(N a) \rightarrow e^{ikL} = 1 \,\! </math>
:<math> \Rightarrow kL = 2\pi n \rightarrow k = {2\pi \over L} n \qquad \left( n=0, \pm 1, \pm 2, ..., \pm {N \over 2} \right). \,\! </math>

== Modèle de Kronig-Penney ==

Le modèle de Kronig-Penney, développé par [[Ralph Kronig]] et [[William Penney]] en 1931, est un modèle simple, idéalisé d'un système de mécanique quantique constitué d'une infinité de puits de quantiques, tous de la même taille ''a'', séparés par des [[barrière de potentiel rectangulaire|barrières de potentiel rectangulaires]] de largeur ''b'' et de hauteur ''V<sub>0</sub>'', chaque « cellule » (puits + une barrière) ayant une longueur ''d'' (''d''=''a''+''b'').

[[Fichier:Modèle de Kronig-Penney.PNG|center]]

La solution générale de l'équation de Schrödinger pour ce type de problème, avec un potentiel fini et constant est :

:<math>\psi(x) = c_1 e^{ikx} + c_2 e^{-ikx} </math>

avec k, [[vecteur d'onde]] de l'électron et E son énergie, vérifiant :
:<math> k^2 = \frac {2m}{ \hbar^2} (E-V_0) </math>
et c<sub>1</sub> et c<sub>2</sub> deux constantes.

Si l'on considère deux cellules, en prenant pour origine le pied d'une des barrières :
[[Fichier:Modèle de Kronig-Penney 2.PNG|center]]

En appliquant le théorème de Bloch, on se retrouve avec un système d'équations d'onde, chacune solution de l'équation de Schrödinger dans un intervalle :
:<math> \begin{cases} \psi(x) = A e^{i \beta x} + B e^{-i \beta x}, & -b  \le x  \le 0
\\ \psi(x) = C e^{i \alpha  x} + D e^{-i \alpha x}, & 0  \le x  \le a
\\ \psi(x) =e^{i k_x d}(A e^{i \beta (x-d)} + B e^{-i \beta (x-d)}), & a  \le x  \le b
\\  \psi(x) = C e^{i \alpha  x} + D e^{-i \alpha x}, & b  \le x  \le d     \end{cases} </math>

avec
:<math> \alpha^2 = {2mE \over \hbar^2} </math>
:<math> \beta^2 = {2m(E-V_0) \over \hbar^2} </math>

En appliquant les conditions aux limites en x=0, on obtient :

:<math> \begin{cases} A+B = C+D
\\ \beta (A-B) = \alpha (C-D) \end{cases} </math>

De même en x=a :

:<math> \begin{cases} e^{i k_x d}(Ae^{-i \beta b}+ Be^{i \beta b}) = Ce^{i \alpha a }+ D e^{-i \alpha a}
\\ \beta e^{i k_x d}(Ae^{-i \beta b}- Be^{i \beta b}) = \alpha (Ce^{i \alpha a }- D e^{-i \alpha a}) \end{cases} </math>

La solution d'un tel système de quatre équations est :

:<math> \cos(k_x d) = \cos(a \alpha ) \cosh(b F) - \frac {\alpha^2-F^2}{2\alpha F}\sin(a \alpha ) \sinh(b F)   </math>

avec

:<math> F = \sqrt {\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)} = i\beta    </math>

On peut simplifier le problème en considérant une barrière de même « force », mais extrêmement fine et haute :

:<math>\text{force} = bF^2 = \text{Cte}*b*(V_0-E)    </math>

Dans cette simplification, b tend donc vers 0, a≈d et k<sub>x</sub>≈α.

On introduit une nouvelle variable ''P'' :

:<math> P = \lim\limits_{b \to 0, F \to \infty} \frac{abF^2}{2} </math>

La solution initialement trouvée devient :

:<math> \cos(k_x d) = P{\sin(\alpha a) \over \alpha a} + \cos(\alpha a)   </math>

avec toujours

:<math> \alpha^2 = \frac {2mE}{\hbar^2} </math>

Cette solution implique une quantification sur k<sub>x</sub>≈α donc sur E, puisque ''cos(k<sub>x</sub> d)'' ne peut prendre de valeur qu'entre -1 et 1, alors que la partie droite de l'équation n'est pas bornée entre -1 et 1. L'énergie pour l'électron n'est permise que pour des valeurs de αa pour laquelle la valeur de <math>P{\sin(\alpha a) \over \alpha a} + \cos(\alpha a) </math> est comprise entre -1 et 1, ce qui permet de décrire des bandes d'énergies permises et des bandes interdites. Le modèle de Kronig-Penney donne ainsi un premier aperçu de la [[théorie des bandes]] dans un cristal.

: [[Fichier:Modèle de Kronig-Penney - bandes.PNG|thumb|center|500px|Solution graphique du problème du modèle de Kronig-Penney. <math>f = P{\sin(\alpha a) \over \alpha a} + \cos(\alpha a) </math> est tracé en fonction de αa. Seules les zones grises pour lesquelles les valeurs de f sont comprises entre -1 et 1 représentent des valeurs de αa permises, donc des bandes d'énergie permises]]

== Notes et références ==
{{Références}}
{{Traduction/Référence|en|Particle in a one-dimensional lattice|511225876}}

== Articles connexes ==
* [[Modèle de l'électron libre]]
* [[Approximation du réseau vide]]
* [[Modèle de l'électron quasi libre]]
* [[Structure cristalline]]

{{Palette|Modèles atomiques}}
{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Physique du solide]]
[[Catégorie:Modèle quantique]]