Voir la source de Partie entière et partie fractionnaire

{{Voir homonymes|Partie|Entier}}

[[Fichier:Floor function.svg|right|thumb|Représentation graphique [[Fonction en escalier|en escalier]] de la fonction « partie entière ».]]
En [[mathématiques]] et en [[informatique]], la '''partie entière par défaut''', ou '''partie entière inférieure''', en général abrégée en '''partie entière''' tout court, d'un [[nombre réel]] <math>x</math> est le [[Extremum|plus grand]] [[entier relatif]] (positif, négatif ou nul) inférieur ou égal à <math>x</math>. 

Notée le plus souvent <math>\lfloor x\rfloor</math>, elle est entièrement définie par :
<center><math>
\begin{cases} \lfloor x\rfloor\in \mathbb{Z} \\ \lfloor x\rfloor\leqslant x<\lfloor x\rfloor+1  \end{cases}</math>.</center>
Son existence est garantie par la [[Archimédien#Corps|propriété d'Archimède]]<ref name="Breal">{{Ouvrage|titre=Analyse [[MPSI]]|auteur=D. Guinin|auteur2=B. Joppin|éditeur=[[Éditions Bréal|Bréal]]|année=2003|url=https://books.google.fr/books?id=Vh_m0HWeGoIC&pg=PT90|passage=113}}.</ref>. Dans le cas où <math>x</math> est un [[nombre rationnel]], sa partie entière n'est autre que le [[division euclidienne|quotient euclidien]] de son [[numérateur]] par son [[dénominateur]].
{{Démonstration|Soit <math>(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N^*}</math>. On a :

<math>\begin{align}
\left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor \leqslant \frac{a}{b} <\left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor + 1\\
\left\lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor b \le a <\left\lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor b + b\\
0 \le a - \left\lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor b  < b\\
\end{align}</math>

En posant <math>r = a - \left\lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor b</math>, on a donc bien <math>a = \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor b + r</math> où <math>(\left\lfloor \frac{a}{b}\right\rfloor, r)\in \mathbb{Z}\times\{0,\ldots,b-1\}</math>, et donc <math>\left\lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor</math> est bien le quotient dans la division euclidienne de <math>a</math> par <math>b</math>.
{{cqfd}}
}}

La différence entre un nombre <math>x</math> et sa partie entière est appelée sa '''partie fractionnaire''' ou '''partie décimale'''.

On définit également la '''partie entière par excès''' ou '''partie entière supérieure''' comme le plus petit entier supérieur ou égal à <math>x</math>.

== Notations ==
La partie entière (par défaut) de <math>x</math> est notée conventionnellement <math>\lfloor x\rfloor </math>, c'est-à-dire avec les [[wikt:anglet|anglet]]s « plancher à gauche » (<math>\lfloor</math>) et « plancher à droite » (<math>\rfloor</math>)<ref>[https://www.unicode.org/charts/fr/PDF/U2300.pdf symboles techniques divers], [[Consortium Unicode]]</ref>. La '''fonction partie entière''' est souvent notée <math>\mathrm E</math> ou <math>\mathrm {\underline{E}}</math><ref group=note>et donc <math>\mathrm{E}(x)=\mathrm{\underline E}(x)=\lfloor x\rfloor</math></ref>.

On utilise aussi la notation <math>[x]</math> mais celle-ci a tendance à être remplacée par la notation <math>\lfloor x\rfloor </math> car elle peut être confondue avec des parenthèses. De plus, il y a symétrie entre la partie entière inférieure (appelée en anglais ''{{Langue|en|floor}}'', « plancher ») définie par l’[[encadrement (analyse)|encadrement]] :   

<center>[[Fichier:Int function.svg|vignette|Représentation graphique de la fonction « troncature ».]]<math>\left \lfloor x \right \rfloor\leqslant x<\left \lfloor x \right \rfloor+1</math></center>

et la partie entière supérieure (appelée en anglais ''{{Langue|en|ceiling}}'', « plafond ») définie par :
<center><math>\left \lceil x \right \rceil -1< x\leqslant\left \lceil x \right \rceil</math></center>

La partie entière ne doit pas être confondue avec la [[troncature]] à l'unité, ou troncature entière, qui correspond à la suppression des décimales en notation usuelle et qui diffère de la partie entière pour les [[nombre négatif|nombres négatifs]].

Par exemple, la partie entière de –1,5 vaut –2, tandis que sa troncature à l'unité vaut –1.

== Partie fractionnaire ==
[[Fichier:Partie fractionnaire.gif|vignette|300x300px|Représentation graphique en "[[Signal en dents de scie|dents de scie]]" de la fonction « partie fractionnaire ».]]
La '''partie fractionnaire''' d'un nombre réel <math>x</math>, notée <math>\{x\}
</math><ref>''[https://books.google.fr/books?id=hzk5QM9_SRAC&pg=PA18#v=onepage&q&f=false Séries de Fourier]'', [[Éditions techniques de l'ingénieur]], p. 18.</ref>{{,}}{{Efn|Cette notation ne doit pas être confondue avec celle du [[Singleton (mathématiques)|singleton]] <math>\{x\}</math>}}, ou parfois <math>\left \langle x \right \rangle</math> <ref>{{Article|auteur1=R. de la Bretèche & G. Tenenbaum|titre=Une nouvelle approche dans la théorie des entiers friables|périodique=Compositio Math.|date=2017|lire en ligne=http://tenenb.perso.math.cnrs.fr/PPP/Psi-resM.pdf|pages=3}}</ref>, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut :

<center> <math> \{x\} = x - \lfloor x \rfloor </math>.</center>
La partie fractionnaire d'un nombre est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.

On trouve également le terme de '''partie décimale''' du nombre, notamment pour les nombres décimaux<ref>{{ouvrage |auteur1=Michel Mante |auteur2=Roland Charney |titre=Concours professeur des écoles 20115 |sous-titre=Mathématiques |tome = 1 |année=2015 |passage=  50 |lire en ligne= {{Google Livres  |id=LlfHCQAAQBAJ |p=50}} }}.</ref>.

Certains considèrent le terme ''partie fractionnaire'' impropre pour les [[Nombre irrationnel|nombres irrationnels]], car cette partie n'est alors pas rationnelle, donc n'est pas une [[Fraction (mathématiques)|fraction]]<ref>{{lien web |titre=Partie décimale d'un nombre réel |url=https://lexique.netmath.ca/partie-decimale-dun-nombre-reel/ |site=Scolab }}.</ref>. Mais « partie décimale » n'est pas plus correct dans le cas des nombres qui ne sont pas eux-mêmes décimaux, car cette partie n'est alors pas décimale non plus.

== Propriétés générales ==
Tout réel <math>x</math> vérifie les propriétés suivantes, où <math>\mathbb{Z}
</math> est l'ensemble des entiers relatifs :

* <math>x = \lfloor x \rfloor + \{x\}</math> ; avec <math> 0 \leqslant \{x\} < 1</math> ;
* pour tout <math>n \in \Z</math>, on a <math>\lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n</math> ;

*<math>\lfloor -x \rfloor + \lfloor x \rfloor = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si }x\in \Z\text{,} \\ -1 & \text{sinon.}\end{array}\right.</math> ;

*<math display="inline">\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor x + y \rfloor \leqslant \lfloor x \rfloor
+ \lfloor y \rfloor + 1 </math> avec {{mvar|y}} réel{{Efn|Cette propriété intervient dans la démonstration arithmétique du fait que le produit de ''n'' entiers consécutifs est divisible par ''n''! ; voir à [[formule de Legendre]].}}.
Pour tout entier <math>n</math> strictement positif :
*<math>0 \leqslant \lfloor nx \rfloor - n\lfloor x \rfloor \leqslant n-1</math> (car <math>n\lfloor x\rfloor\leqslant nx<n\lfloor x\rfloor+n</math>) ;
* <math>\left\lfloor\frac{\lfloor nx \rfloor}n\right\rfloor=\lfloor x \rfloor</math> (car <math>\lfloor x\rfloor\leqslant\frac{\lfloor nx \rfloor}n\leqslant x</math>) , d'où <math>\left\lfloor\frac{\lfloor x \rfloor}n\right\rfloor=\left\lfloor {x\over{n}}\right \rfloor</math>;
* <math>\lfloor x \rfloor +\left\lfloor x+\frac1n\right\rfloor +\left \lfloor x+\frac2n \right\rfloor 
+\cdots+\left\lfloor x +\frac{n-1}{n}\right\rfloor =\lfloor nx \rfloor</math><ref name=":02">{{Ouvrage|auteur1=Mohammed Aassilla|titre=1000 challenges mathématiques, Analyse|passage=76|éditeur=Ellipses|date=2016}}</ref>.

== Fonction partie entière ==
La fonction partie entière n'est pas [[Continuité (mathématiques)|continue]] en une valeur entière, mais est continue à droite et [[semi-continuité|semi-continue supérieurement]].

Sa [[dérivée]] au sens des [[distribution (mathématiques)|distributions]] est le [[peigne de Dirac]] de période 1.

== Fonction partie fractionnaire ==
Parfois notée <math>\text{frac}</math>, elle est continue à droite et semi-continue supérieurement. Elle est aussi [[Fonction périodique|périodique]], de période <math>1</math> (d'après la remarque immédiate<ref name=Breal/>{{,}}{{Efn|Donc <math>\{ x+n \} = x+n - \lfloor x+n \rfloor = x+n - \lfloor x \rfloor - \lfloor n \rfloor = x - \lfloor x \rfloor = \{ x \} .</math>}}: pour tout entier <math>n,</math> <math>\lfloor x+n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n.</math>)

Sur <math>\mathbb{R} \backslash \Z , x \mapsto \{ x \}</math> admet la décomposition en [[série de Fourier]] :
:<math>\{ x \} = \frac12 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi nx)}{n \pi}.</math>

Pour obtenir une décomposition en série de Fourier valable sur tout <math>\mathbb{R} ,</math> on pose :
:<math>((x)) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi nx)}{n \pi} = \begin{cases} \{ x \} - \frac12 & \mbox{si } x \mbox{ n'} \mbox{est pas entier,} \\ 0 & \mbox{sinon.} \end{cases}</math>

[[Fichier:Partie fractionnaire -un demi.gif|vignette|300x300px|Représentation de la fonction <math>x \mapsto ((x))</math>.]]

[[Fichier:Synthesis sawtooth.gif|thumb|Animation de la décomposition en série de Fourier de la fonction <math>x \mapsto ((x))</math> avec un nombre croissant d'harmoniques.]]

À proximité de l'image de chaque nombre entier, on observe un [[phénomène de Gibbs]] sur la décomposition en série de Fourier de cette fonction, qui persiste malgré l'augmentation du nombre de coefficients calculés (voir l'animation ci-contre).

La fonction <math>x \mapsto ((x))</math> intervient aussi dans l'expression des [[Somme de Dedekind|sommes de Dedekind]], ainsi que dans la [[Formule d'Euler-Maclaurin#Formule d'Euler-Maclaurin|formule d'Euler Mac-Laurin]].

== Partie entière par excès ==
[[Fichier:Ceiling function.svg|vignette|Représentation graphique de la fonction « partie entière supérieure ».]]
Aussi appelée partie entière supérieure, elle peut se définir par l'expression :

:<math>\lceil x\rceil = -\mathrm \lfloor -x \rfloor</math>.

La fonction <math>x \mapsto\left \lceil x \right \rceil</math>, parfois notée <math>\overline{\text{E}}</math> , est continue à gauche et semi-continue inférieurement.

En outre, pour tout <math>n \in \Z</math><ref>{{Ouvrage|lang=en|lien auteur=Ronald Graham|nom=Graham|prénom=Ronald L.|lien auteur2=Donald Knuth|nom2=Knuth|prénom2=Donald E.|auteur3=[[Oren Patashnik]]|titre=[[Concrete Mathematics]]|éditeur=[[Addison-Wesley]]|année=1994|isbn=0-201-55802-5|numéro chapitre=3}}, exercice 12.</ref> :

:<math>n= \lfloor n/ 2 \rfloor + \lceil n/ 2 \rceil</math> ;
:<math>\forall m\in\N^*\quad\left\lceil\frac nm\right\rceil=\left\lfloor\frac{n+m-1}m\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n-1}m\right\rfloor+1</math>.

== Exemples ==
{| class="wikitable"
! {{mvar|x}}
! Partie entière <math>\lfloor x\rfloor</math>
! par excès  <math>\lceil x\rceil</math>
! Partie fractionnaire {{math|{''x''}<nowiki/>}}
|-
! 12/5 = 2,4
| 2
| 3
| 2/5 = 0,4
|-
! 2,9
| 2
| 3
| 0,9
|-
! −2,7
| −3
| −2
| 0,3
|-
! −2
| −2
| −2
| 0
|}

== Définitions équivalentes ==

Dans les formules suivantes, {{mvar|x}} et {{mvar|y}} sont des nombres réels, {{mvar|m}}, {{mvar|n}} et {{mvar|k}} sont des entiers relatifs.

Les parties entières par défaut et par excès peuvent aussi être définies par :

:<math>\lfloor x \rfloor = \max \{m \in \Z \mid m \leqslant x \} \ ;</math> <math> \lceil x \rceil = \min \{ n \in \Z \mid n \geqslant x \} .</math>

Dans un intervalle semi-ouvert de largeur 1, il existe un seul entier ; donc pour tout réel {{mvar|x}}, il existe deux entiers {{mvar|m}} et {{mvar|n}}, égaux si {{mvar|x}} est entier, tels que :

:<math>x-1 < m \leqslant x \leqslant n < x+1.</math>

Les parties entières par défaut et par excès peuvent alors aussi être définies par :

:<math>\lfloor x \rfloor = m \ ; \ \lceil x \rceil = n.</math>

D'autres formules équivalentes peuvent être utilisées pour simplifier des expressions avec des parties entières<ref>{{Harvsp|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=chap. 3}}.</ref>:

:<math>
\begin{matrix}
\lfloor x \rfloor & = & m & \iff & m & \leqslant & x & < & m+1, \\
\lceil x \rceil & = & n & \iff & n-1 & < & x & \leqslant & n.
\end{matrix}
</math>

== Applications ==

=== Expression du PGCD ===
La propriété <math>\lfloor -x \rfloor + \lfloor x \rfloor = \left\{\begin{array}{rl} 0 & \text{si }x\in \Z \\ -1 & \text{sinon,}\end{array}\right.</math> est utilisée dans une démonstration du fait que si {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont des entiers strictement positifs [[premiers entre eux]] alors (formule [[Problème des pièces de monnaie#n = 2|dite « de Sylvester »]]<ref name=":0">J. E. Blazek, [https://www.researchgate.net/publication/281593804_Combinatoire_de_N-Modules_Catalan Combinatoire de N-modules de Catalan], mémoire de maîtrise, 2015, {{p.|17}}.</ref>, ou  « de Polezzi » <ref name=":1">{{Article|langue=en|auteur1=Marcelo  Polezzi|titre=A geometrical Method for Finding an Explicit Formula for the Greatest Comon Divisor|périodique=The American Mathematical Monthly|date=Mai 1997|lire en ligne=http://www.math.stonybrook.edu/~moira/mat331-spr10/papers/1997%20PolezziA%20Geometrical%20Method%20for%20Finding.pdf|pages=445-446}}</ref>) :{{centrer|<math>\sum_{k = 0}^{b - 1} \left\lfloor k \frac{ a}b\right\rfloor = \frac{(a - 1)(b - 1)}2</math>}} 

::formule pouvant être généralisée pour tous entiers {{mvar|a}} et {{mvar|b}} strictement positifs<ref>{{Ouvrage|auteur1=Graham, Knuth, Patashnik|titre=Mathématiques concrètes|passage=101|éditeur=Thomson publishing|date=1998}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Jean-Paul Delahaye|titre=Merveilleux nombres premiers|passage=153|éditeur=Belin|date=2013}}</ref> :
<math display="block">\sum_{k=0}^{b-1}\left\lfloor k \frac{a}b\right\rfloor=\frac{(a-1)(b-1)+\operatorname{pgcd}(a,b)-1}2</math>{{Démonstration/début}}
<math>S=\sum_{k = 1}^{b - 1} \left\lfloor k\frac{a}b\right\rfloor =
\sum_{k = 1}^{b - 1} \left\lfloor (b-k)\frac{a}b\right\rfloor  
=\sum_{k = 1}^{b - 1} \left\lfloor a-k\frac{a}b\right\rfloor=
\sum_{k = 1}^{b - 1} \left(a+\left\lfloor -k\frac{ a}b\right\rfloor\right)
=(b-1)a+\sum_{k = 1}^{b - 1} \left\lfloor -k\frac{ a}b\right\rfloor  </math>

donc <math>2S=\sum_{k = 1}^{b- 1} \left(\left\lfloor k\frac{a}b\right\rfloor +\left\lfloor
-k\frac{a}b\right\rfloor\right)
+ (b-1)a </math>.

Posons <math>a=da',b=db'</math> ou <math>d=\text{pgcd}(a,b)</math> ; alors <math>k{a\over b}=k{a'\over b'}</math> est entier <math>d-1</math> fois pour <math>k</math> entre 1 et <math>db'-1</math>.

Donc, d'après la propriété précédente donnant la valeur de <math>\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor </math> : 

<math display=block>2S=-(b-1)+(d-1)+(b-1)a=(a-1)(b-1)+d-1 </math>
{{Démonstration/fin}}
::Cette formule peut être inversée de sorte à donner une formule explicite pour le [[PGCD]] <ref name=":1" />:
{{centrer|<math>\operatorname{pgcd}(a,b)=a+b-ab+2\sum_{k = 0}^{b - 1} \left\lfloor k \frac{a}b\right\rfloor=2\sum_{k = 0}^{b - 1} \left(\frac12-\left\{ k \frac{a}b\right\}\right)</math>}}
:On en déduit également<ref>{{Ouvrage|auteur1=Mohammed Aassila|titre=1000 challenges mathématiques, Algèbre|passage=83|éditeur=Ellipses|date=2016}}</ref> :

{{centrer|<math>\sum_{k = 1}^{b } \left\lfloor k \frac{a}b\right\rfloor+\sum_{k = 1}^{a} \left\lfloor k \frac{b}a\right\rfloor = ab+\operatorname{pgcd}(a,b)</math>}}
=== Fonctions arithmétiques ===
Si {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont des entiers strictement positifs, <math> \left\lfloor  \frac{ a}b\right\rfloor</math> est le nombre de multiples de {{mvar|b}} qui sont inférieurs ou égaux à {{mvar|a}} : <math>\left\lfloor  \frac{ a}b\right\rfloor=\sum_{\begin{matrix} 1\leqslant k\leqslant a  \\ b | k \end{matrix}} 1 </math>.

Si, par exemple, une [[fonction arithmétique]] est définie par <math>f(n)=\sum _{d|n}g(d) </math>, la somme des {{mvar|n}} premiers termes vérifie :

<math display=block>\sum_{k = 1}^n f(k) = \sum_{d=1}^n \left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor g(d)</math>.

{{Démonstration/début}}
<math display=block>\sum_{k = 1}^n f(k) =
\sum_{k=1}^n \sum_{d | k} g(d) = \sum_{d=1}^n \sum_{\begin{matrix} 1\leqslant k\leqslant n  \\ d | k \end{matrix}} g(d) 
= \sum_{d=1}^n \left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor g(d).
</math>

{{Démonstration/fin}}

== Arrondi entier et arrondi à une précision donnée ==
{{Article détaillé|Arrondi (mathématiques)}}

=== Définition et notations ===
L''<nowiki/>'arrondi entier'' d'un nombre réel <math>x</math>, noté <math>\text{arrondi}(x)</math> ou <math>\text{EPP}(x)</math>, est l'entier le plus proche de <math>x</math> ; s'il y en a deux, on choisit par convention le plus grand en [[valeur absolue]] de façon que la fonction <math>\text{arrondi}</math> soit une fonction impaire.

On a : <math>\text{arrondi}(x)=\begin{cases} \left \lfloor x+1/2\right \rfloor&\mbox{si }x\geqslant0  
\\ \left \lceil x-1/2\right \rceil&\mbox{si }x\leqslant0 \end{cases}
</math>

ce qui peut se résumer en une seule formule valable pour tout nombre réel <math>x</math> :
:<math>\text{arrondi}(x)
=\sgn(x)\left\lfloor\left\vert x\right\vert+1/2\right\rfloor</math>.

Comme l'arrondi d'un réel <math>x</math> est égal à sa partie entière inférieure ou supérieure, il est aussi parfois noté <math>\left \lfloor x \right \rceil </math><ref>{{MathWorld|nom_url=Nearest Integer Function|titre=Nearest Integer Function}}</ref>.

En résumé, les parties supérieures, inférieures, et l'arrondi entier sont caractérisés par les inégalités suivantes (la troisième uniquement pour <math>x</math> positif) :

<math display="block">\left\{ 
\begin{array}{c}
\left \lfloor x \right \rfloor\leqslant x<\left \lfloor x \right \rfloor+1 \\ \left \lceil x \right \rceil -1< x\leqslant\left \lceil x \right \rceil\\\left \lfloor x \right \rceil-0{,}5 \leqslant x< \left \lfloor x \right \rceil+0{,}5
\end{array}
\right.</math>

=== Arrondi à une précision donnée ===
Étant donné un réel strictement positif <math>\varepsilon</math>, l'arrondi à la précision <math>\varepsilon</math> d'un réel <math>x</math> est le nombre multiple de <math>\varepsilon</math> le plus proche de <math>x</math> :
:<math>\text{arrondi}_\varepsilon(x)=\varepsilon \cdot \text{arrondi}\left ( \frac{x} {\varepsilon} \right )</math>

Étant donné un entier <math>n</math> , l'arrondi ''décimal''  de <math>x</math> à l'ordre <math>n</math>, est l'arrondi de <math>x</math> à la précision <math>10^{-n}</math> :
:<math>\text{arrondi}_n(x)=10^{-n}\text{arrondi}\left ( 10^nx \right )</math>.

Par exemple, les arrondis d'ordres 0,1,2,3,4 du nombre <math>3{,}1805</math> sont successivement :
:<math>3\,-\,3{,}2\,-\,3{,}18\,-\,3{,}181\,-\,3{,}1805</math>

Lorsqu'on écrit <math>x\approx3{,}120</math>, cela signifie que l'arrondi à l'ordre 3 de <math>x</math> est égal à <math>3{,}120</math>, autrement dit que <math>3{,}1195  \leqslant x < 3{,}1205</math>.

== Parties entière et fractionnaire d'une fraction rationnelle ==

=== Définition ===
Par analogie avec le fait que la partie entière d'un rationnel <math>a\over b</math> est le quotient euclidien de <math>a</math> par <math>b</math>, on définit la partie entière d'une [[fraction rationnelle]] <math>F={A\over B}</math> comme le [[Division d'un polynôme|quotient euclidien]] de <math>A</math> par <math>B</math>, après avoir montré que ce quotient ne dépend pas du représentant <math>{A\over B}</math> de la fraction. La '''partie entière''' de <math>F</math> est donc l'unique polynôme <math>Q</math> tel que <math>{A\over B}=Q+{R\over B}</math> avec <math>R</math> [[polynôme]] de degré strictement inférieur à celui de <math>B</math>. Notation : <math>\text{E}(F)</math>. Notons que cette partie entière n'est pas un entier, mais un polynôme.

La '''partie fractionnaire''' est <math>F-\text{E}(F)={R\over B}</math>.

Ces définitions se transmettent aux ''fonctions'' rationnelles.

=== Propriétés ===
* '''P1 :''' si <math>F</math> est de degré < 0, <math>\text{E}(F)=0</math>, et sinon <math>\deg(\text{E}(F))=\deg(F)</math> (et donc <math>\text {E}(F)=0\Leftrightarrow \deg{F}<0</math>).

* '''P2 :''' un polynôme <math>Q</math> est la partie entière d'une fraction rationnelle <math>F</math> si et seulement si <math>F-Q</math> est de degré strictement négatif.

* '''P3 :''' la partie entière d'une somme est la somme des parties entières : <math>\text{E}(F+G)=\text{E}(F)+\text{E}(G)</math>

Cette dernière propriété différencie la notion de partie entière dans les réels et dans les fractions rationnelles ; elle est très utile pour la recherche de [[décomposition en éléments simples]].{{Démonstration/début}}
Pour P1 : si <math>F={A\over B}</math> est de degré < 0, <math>\deg A < \deg B</math>, donc le quotient <math>Q=\text{E}(F)</math>  de <math>A</math> par <math>B</math> est bien nul. Sinon, <math>\deg{R}<\deg{B}</math>, donc <math>\deg{R}<\deg{BQ}</math>, donc <math>\deg{A}=\deg{(BQ+R)}=\deg{BQ}=\deg{B}+\deg{Q}</math>. Donc <math>\deg Q=\deg{A}-\deg{B}=\deg{F}</math>.

Pour P2 : sens direct : <math>F-Q={R\over B}</math> est bien de degré strictement négatif. Réciproquement, si <math>F-Q={{A-BQ}\over B}</math> est de degré strictement négatif, <math>\deg(A-BQ)<\deg B</math> donc <math>Q</math> est bien le quotient de <math>A</math> par <math>B</math>.

Pour P3 : comme <math>F+G-(\text{E}(F)+\text{E}(G))=F-\text{E}(F)+G-\text{E}(G)</math> son degré est < 0, donc par P2, la partie entière de <math>F+G</math> est bien <math>\text{E}(F)+\text{E}(G)</math>.
{{Démonstration/fin}}

=== Application ===
La partie entière d'un fonction rationnelle <math>f</math> de degré > 0 est une fonction polynomiale asymptote à <math>f</math> au voisinage de +∞ et -∞.

== Notes ==
{{Traduction/Référence|en|Floor and ceiling functions|598122442|type=note}}
{{Notes}}
== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Floor and ceiling}}
* [[Arrondi (mathématiques)]]
*[[Troncature]]
* [[Décomposition en éléments simples|Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle]]

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Fonction remarquable]]