Voir la source de Partition d'un ensemble

{{Voir homonymes|Partition}}
{{Confusion|texte=En particulier en mathématiques, ne pas confondre avec la notion de [[partition d'un entier]], ni celle de [[Glossaire topologique#P|partition de l'unité]].}}
[[Fichier:Set partitions 5; circles.svg|vignette|Les 52 partitions d'un ensemble à 5 éléments. Les points noirs représentent les éléments de l'ensemble. Une région colorée correspond à un bloc de la partition qui regroupe plusieurs points noirs. Un point noir isolé signifie que cet élément appartient à un bloc qui est un singleton.]]
En [[mathématiques]], une '''partition''' '''d'un [[ensemble]]''' {{Mvar|X}} est un ensemble de [[sous-ensemble|parties]] non [[Ensemble vide|vides]] de {{Mvar|X}} deux à deux [[Ensembles disjoints|disjointes]] et dont l'[[Union (mathématiques)|union]] est {{Mvar|X}}. 

== Définition ==

Soit un ensemble {{Mvar|X}}. Un ensemble <math>\mathcal{P}</math> de parties de {{Mvar|X}} est une partition de {{Mvar|X}} si :
* aucune de ces parties n'est vide   (<math>\forall Y \in \mathcal P, Y\ne\emptyset</math>) ;
* leur union est égale à {{Mvar|X}} ;
* elles sont deux à deux disjointes (<math>\forall Y_1, Y_2 \in \mathcal P, Y_1\ne Y_2\Rightarrow Y_1\cap Y_2=\emptyset</math>) .
Les éléments d'une partition sont parfois appelés des classes ou des blocs.

Dans le cas fini, on définit aussi des partitions ordonnées comme des {{Mvar|m}}-[[uplet]]s <math>(X_1,X_2,\ldots,X_m)</math> tels que l'ensemble<math>\{X_1,X_2,\ldots,X_m\}</math> est une partition de {{Mvar|X}}.

== Exemples ==

L'ensemble {1, 2, 3} a les partitions suivantes :
* { {1}, {2}, {3} } ;
* { {1, 2}, {3} } ;
* { {1, 3}, {2} } ;
* { {1}, {2, 3} } ;
* et { {1, 2, 3} }.
Remarquons que :
* { ∅, {1, 3}, {2} } n'est pas une partition parce qu'elle contient l'ensemble vide ∅ ;
* { {1, 2}, {2, 3} } n'est pas une partition parce que l'élément 2 appartient à plus d'une partie ;
* { {1}, {2} } n'est pas une partition de {1, 2, 3} car l'union de tous les éléments est {1, 2} ; c'est une partition de {1, 2}.
Dans le cas où tous les éléments de la partition ont même cardinal, on retrouve le cas du [[lemme des bergers]].

La partition vide est une partition de l'[[ensemble vide]] (c'est d'ailleurs la seule) puisque tous ses éléments (il n'y en a aucun) ont toutes les propriétés souhaitables (ici : être non vides et disjoints) et que leur union est vide ([[Union (mathématiques)#Union d'une famille d'ensembles|par définition]]).

== Partitions et relations d'équivalence ==

Si une [[relation d'équivalence]] est donnée sur l'ensemble {{Mvar|X}}, alors l'ensemble de toutes les classes d'équivalence forme une partition de {{Mvar|X}}. Inversement, si une partition <math>\mathcal{P}</math> de {{Mvar|X}} est donnée, alors nous pouvons définir une relation d'équivalence sur {{Mvar|X}} notée ~, par ''{{Mvar|x}}'' ~ ''{{Mvar|y}}'' si et seulement s’il existe, parmi les éléments de <math>\mathcal{P}</math>, une partie de {{Mvar|X}} qui contient à la fois ''{{Mvar|x}}'' et ''{{Mvar|y}}''. Les notions de ''relation d'équivalence'' et de ''partition'' sont donc fondamentalement équivalentes.

== Ordre partiel sur les partitions ==

L'ensemble de toutes les partitions d'un ensemble non vide ''{{Mvar|X}}'' est [[relation d'ordre|partiellement ordonné]] : par définition, une partition est ''plus fine qu'une autre'' si elle fractionne les éléments de l'autre en de plus petites parties. Cet ordre partiel forme un [[treillis complet]] dont le [[plus petit élément]] (la partition la moins fine) est la partition grossière en une seule partie (''{{Mvar|X}}'') et le plus grand (la partition la plus fine) est la partition en [[Singleton (mathématiques)|singletons]].

== Dénombrements dans le cas fini ==

* Le nombre de partitions d'un ensemble à ''{{Mvar|n}}'' éléments en exactement ''{{Mvar|k}}'' sous-ensembles est le [[nombre de Stirling de seconde espèce]] ''S''(''n'', ''k'') ; le nombre total de partitions est alors <math>B_n=\sum_{k=0}^n S (n, k)</math>, appelé [[nombre de Bell]].
* Le nombre de partitions ''ordonnées'' d'un ensemble à ''{{Mvar|n}}'' éléments (des ''familles'' de parties ayant les trois propriétés ci-dessus, au lieu d'''ensembles'' de parties) est <math>F_n=\sum_{k=0}^n k!S (n, k)</math>, appelé [[nombre de Fubini]].

* Si un ensemble ''{{Mvar|X}}'' possède <math>n\times m</math> éléments, le nombre de partitions ''ordonnées'' de ''{{Mvar|X}}''  en ''{{Mvar|n}}'' parties à ''{{Mvar|m}}'' éléments chacune est le [[coefficient multinomial]] <math>\underbrace {{n\times m \choose {m, m,  \ldots, m}}}_n =  \frac{(nm)!}{(m!)^n} </math> ; le nombre de partitions (non ordonnées) en ''{{Mvar|n}}'' parties à ''{{Mvar|m}}'' éléments est donc <math> \frac{(nm)!}{(m!)^nn!} </math> ; voir la {{OEIS|A060540}}.  Dans le cas où <math>m=2 </math>, une telle partition s'appelle une partition par paires.

* Le nombre de partitions différentes d'un ensemble à ''{{Mvar|n}}'' éléments [[indiscernables]] est le nombre <math>p(n)</math>de [[partition d'un entier|partitions d'un entier]].

== Partitions par paires ==
{{refnec|date=mai 2014|<!--certes, mais pertinence à sourcer-->Tout ensemble infini admet au moins une partition par paires (si l'on suppose vrai l'[[axiome du choix]]}}).

== Voir aussi ==
* [[Partition non croisée]]
* [[Raffinement de partition]]

== Liens externes ==
{{Liens}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Système d'ensembles]]
[[Catégorie:Théorie des ensembles]]