Voir la source de Pendule cycloïdal

[[Image:Moglfm1325 pendulo cicloidal.jpg|thumb|Pendule cycloïdal.]]
Le '''pendule cycloïdal''' est un [[pendule pesant]] dont la masse glisse dans une cuvette en forme d'arche de [[cycloïde]] concave avec une trajectoire sinusoïdale dont la pulsation a pour formule :
<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>\omega_0 = \sqrt {\frac {g}{4a}}</math>
|}</center>

Quelle que soit l'amplitude des oscillations, l'oscillation est [[courbe tautochrone|tautochrone]].

== Sinusoïdales==
Le mouvement curviligne, {{math|''s''(''t'')}}, satisfait l'équation différentielle :  <math>\dot s^2 + \omega^2_0 s^2 = cste</math> :
{{théorème|titre=[[Lemme (mathématiques)|Lemme]] géométrique de [[Christopher Wren |Wren]]<ref>voir [[courbe tautochrone]]</ref>|énoncé=
:<math> s^2 = 8 ay~</math>
}}
{{Démonstration|contenu=On choisit l'origine '''au bas''' de l'arche de la cycloïde : 
:<math> x= au +a \sin u~</math> et  <math> y = a -a \cos u~</math>.
On prend {{mvar|a}} comme unité de longueur. Soit {{mvar|s}} l'abscisse curviligne, comptée à partir de O ; alors la cycloïde est la courbe telle que le lemme précédent est vérifié :
:<math>ds^2 = dx^2 + dy^2 = 2(1+\cos u) du^2 = 4 \cos^2 (u/2)\,du^2 \Longrightarrow ds = 2 \cos (u/2)\, du \Longrightarrow s = 4 \sin(u/2)</math>
Ce résultat a été établi par Wren en 1658 par simple considération géométrique : Wallis publie immédiatement cette rectification remarquable car [[Blaise Pascal|Pascal]] en août 1658 en avait lancé le défi, sous le nom de [[Dettonville]].
Soit <math>s^2 = 8(1-\cos u)~ </math>. On rétablit la valeur de {{mvar|a}}. D'où le lemme ; la réciproque est vraie.}}
On applique alors le théorème de l'énergie cinétique : 
:<math>v^2/2 + g y = cste ~</math>  
* soit  <math> \dot s^2 + (g/4a) \cdot s^2 = cste</math>
On reconnaît l'équation différentielle d'une oscillation sinusoïdale de pulsation 
:<math>\omega_0 = \sqrt { g/4a}</math>.

Remarque : le cercle surosculateur (externe) à la cycloïde en O est de rayon {{math|4''a''}} ; le résultat est conforme à la théorie des petites oscillations du pendule simple ordinaire.

== Trajectoire du pendule ==
[[Image:Moglfm1325 pendulo cicloidal.jpg|thumb|Pendule cycloïdal. La trajectoire du point m est une cycloïde, la développante de cette trajectoire est la courbe qui délimite la partie grisée. La longueur du pendule varie selon la position de la masse.]]
La propriété essentielle du pendule cycloïdal en ce qui concerne l'[[horlogerie]] est que sa période d'oscillation est constante et indépendante de sa position de départ. Cela vient de ce que la trajectoire d'un tel pendule est une cycloïde, qui est à la fois une [[courbe tautochrone]] et [[Cycloïde#Courbe isochrone|isochrone]]<ref name = "SNS">{{Chapitre|titre ouvrage = Au-delà du compas|sous-titre ouvrage = La géométrie des courbes|auteur institutionnel = [[Scuola Normale Superiore]]|année = 2000|pages totales = 91|isbn = 88-8263-015-3|langue = français|titre chapitre = La géométrie des courbes|auteurs ouvrage = [[Enrico Giusti]], Franco Conti|auteur1 = Enrico Giusti|page = 36}}.</ref>. Cependant la distance entre le point d'attache et la masse n'est pas constante le long de la cycloïde, et il n'est pas possible d'utiliser un rail pour la faire coulisser à cause des [[frottement]]s. Pour assurer une trajectoire cycloïdale sans frottement au pendule, il faut que le fil soit contraint par un rail courbe dont la [[Courbe développante|développante]] soit une cycloïde<ref name="SNS"/>. Comme la développante d'une cycloïde est aussi une cycloïde, il s'ensuit que les rails contraignant le fil du pendule doivent avoir la forme d'arches de cycloïde<ref name="SNS"/>.

{{-}}
== Applications ==

[[Christian Huygens|Huygens]] découvre ([[1659]]) cette propriété et imagine de l'utiliser pour fabriquer une horloge remarquable, mais les choses ne seront pas aussi simples. Il était connu depuis Mersenne (1638) que les oscillations ne sont pas isochrones ({{refsou|le fameux rapport 41/40 pour une amplitude de 90°}}). Huygens pense à ''raccourcir'' la longueur de la ficelle aux fortes amplitudes en interposant au sommet deux flasques circulaires : alors la trajectoire est formée de deux arcs de [[Développante du cercle|développante de cercle]]. Le concours ouvert par [[Blaise Pascal|Pascal]] en 1658 sur la [[cycloïde]], dont la réponse lui est communiquée en {{date-|février 1659}}, lui donne l'idée d'essayer des flasques cycloïdales. En décembre [[1659]], il est fier d'annoncer sa découverte à son maître [[Frans van Schooten]] : il a obtenu des oscillations isochrones. En [[1673]], il publiera son ''Horologium'' où il démontrera, entre autres, que la [[courbe développante]] d'une cycloïde est une cycloïde : il est alors un des savants les plus célèbres d'Europe (bientôt, l'heure viendra pour [[Isaac Newton|Newton]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]).

Huygens n'arrivera pas à fabriquer le chronomètre de marine espéré : il inventera la montre à ressort spiral. Bien plus tard, [[John Harrison (horloger)|Harrison]] gagnera le concours des [[Longitude Act|longitudes]], avec une montre-spirale, la [[John Harrison (horloger)#Chronomètres de marine|H4]] ([[1773]]).

Certaines franc-comtoises sont encore fabriquées avec une suspension via un feuillard s'appuyant sur deux flasques pseudo-cycloïdales. Mais l'[[horlogerie]] ne retiendra pas vraiment le procédé, [[George Biddell Airy|Airy]] montrant qu'il vaut bien mieux avoir un couteau d'appui bien défini et assurer une ''élongation maximale stable'' et compenser les variations thermiques.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary=pendule cycloïdal}}
=== Articles connexes ===
* [[Pendule pesant]]
* [[Pendule entretenu]]
* [[Cycloïde]] et [[courbe tautochrone]]
* [[Puits de potentiel]]

=== Liens externes ===
* [http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/pend_cyclo.php Simulation flash d'un pendule cycloïdal.]
* [http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/pendcyclo.html Autre simulation flash illustrant la conception pratique d'un pendule cycloïdal.]

{{Portail|physique|analyse|horlogerie}}

[[Catégorie:Pendule|Cycloidal]]
[[Catégorie:Système dynamique remarquable]]