Voir la source de Pentachore rectifié


{{Infobox Polytope
 | nom                         = Pentachore rectifié<br />(5-cellules rectifié)
 | image                       = Schlegel_half-solid_rectified_5-cell.png
 | légende                     = [[Diagramme de Schlegel]]<br />(5 cellules tétraédriques)
 | type                        = [[4-polytope uniforme|Polychore uniforme]] semi-régulier
 | cellules                    = 10 : 5 [[tétraèdre|tétraèdres]][[Fichier:Tetrahedron.png|20x20px]]<br />+ 5 [[Octaèdre|octaèdres]][[Fichier:Uniform_polyhedron-33-t1.svg|20x20px]]
 | faces                       = 30 [[Triangle équilatéral|Triangles équilatéraux]]
 | arêtes                      = 30
 | sommets                     = 10
 | symbole de schläfli         = t <sub>1</sub> {3,3,3} ou r{3,3,3}<br />{3 <sup>2,1</sup> } = <math>\left\{\begin{array}{l}3\\3,3\end{array}\right\}</math>
 | diagramme de coxeter–dynkin = {{DCD|node|3|node_1|3|node|3|node}}
 | propriétés                  = Convexe, isogonal, isotoxal
 | dual                        = 
 | configuration de sommet     = [[Image:Rectified 5-cell verf.png|80px]] <br />[[Prisme triangulaire]] 
 | polygone de pétrie          = [[Pentagone]]
 | groupe de coxeter           = A <sub>4</sub>, [3,3,3], ordre 120
}}

En [[géométrie]] [[Espace à quatre dimensions|à quatre dimensions]], le '''Pentachore rectifié''', ou '''5-cellules rectifié''', est un [[4-polytope uniforme|polytope uniforme à 4 dimensions]] (ou polychore uniforme) composé de 5 [[Cellule (géométrie)|cellules]] [[Tétraèdre régulier|tétraédriques régulières]] et de 5 cellules [[Octaèdre régulier|octaédriques régulières]]. Chaque [[Arête (géométrie)|arête]] est adjacente à un tétraèdre et deux octaèdres. Chaque [[Sommet (géométrie)|sommet]] est entouré de deux tétraèdres et trois octaèdres. Au total, le pentachore rectifié possède 30 faces triangulaires, 30 arêtes et 10 sommets.

La [[figure de sommet]] du pentachore rectifié est un [[prisme triangulaire]] uniforme, formé de trois [[Carré|carrés]] (correspondant aux trois octaèdres présents au sommet) et de deux [[Triangle équilatéral|triangles équilatéraux]]  (correspondant aux deux tétraèdres, à ce même sommet).

Bien qu'ayant le même nombre de sommets que de cellules (10), et le même nombre d'arêtes que de faces (30), le pentachore rectifié n'est pas [[Polytope dual|autodual]] car la figure de sommet n'est pas un dual des cellules du polychore. Le dual du pentachore rectifié est le ''pentachore joint''<ref>{{Lien web |titre=The Joined Pentachoron |url=https://www.qfbox.info/4d/inv_rect5cell |site=4D Euclidean space |date=26 Juillet 2024|langue=en|consulté le=26 décembre 2024}}.</ref>, un [[solide de Catalan#Généralisation|polychore de Catalan]] constitué de 10 cellules [[Diamant triangulaire|bipyramidales triangulaires]] à faces triangulaires isocèles, 30 triangles isocèles, 30 arêtes (10 longues, 20 courtes) et 10 sommets.

== Noms alternatifs ==

* Tétroctaédrique ([[Thorold Gosset]])
* Dispentachoron
* 5-cellules rectifié ([[Norman Johnson|Norman W. Johnson]])
* [[Simplexe|4-simplex]] rectifié
* 4-simplex entièrement tronqué
* Pentachoron rectifié (Jonathan Bowers)
* rap (Notation de Jonathan Bowers)
* Ambopentachoron ([[Neil Sloane]] et [[John Horton Conway]])
* (5,2)-hypersimplex : l'enveloppe convexe des vecteurs à cinq dimensions avec exactement deux "1" et trois "0", obtenus par permutation de (0,0,0,1,1).

== Structure ==
Le pentachore rectifié peut être obtenu par rectification du [[pentachore]], c'est-à-dire en tronquant chaque sommet du pentachore jusqu'à la moitié des arêtes. Les cinq tétraèdres réguliers deviennent des tétraèdres rectifiés, donc des octaèdres réguliers, et cinq nouveaux tétraèdres réguliers sont produits.

Partant du pentachore, dont le [[Symbole de Schläfli#Les polychores réguliers (4-espace)|Symbole de Schläfli]] est noté {3,3,3}, le [[Symbole de Schläfli#Les symboles de Schläfli étendus pour les polytopes uniformes|Symbole de Schläfli étendu]] du pentachore rectifié est noté '''t<sub>1</sub>{3,3,3}''' ou '''r{3,3,3}'''. A noter que la rectification du pentachore rectifié (un pentachore birectifié, de [[Symbole de Schläfli#Les polychores uniformes et les nids d'abeille|Symbole de Schläfli]] t<sub>2</sub>{3,3,3} ou 2r{3,3,3}) est égale à la rectification du dual du pentachore (dual noté t<sub>3</sub>{3,3,3} ou 3r{3,3,3}), c'est-à-dire à la rectification du pentachore - le pentachore étant autodual - et est donc aussi un pentachore rectifié<ref>{{Ouvrage|auteur1=Alain Gottcheiner|titre=Constructions et taxonomies de polytopes combinatoires|éditeur=Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences appliquées (thèse de doctorat)|année=2001-2002|passage=100-104|lire en ligne=https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/211469/1/3b6356a8-6f07-422e-b415-29300df3d310.txt}}</ref>.

Le pentachore rectifié est ainsi l'un des neuf polychores uniformes construits à partir du pentachore :
{{Famille du pentachore}}

Avec le pentachore et l'[[icositétrachore]], le pentachore rectifié et son [[Dual d'un polyèdre|dual]] étaient les premiers 4-polytopes 2-[[Complexe simplicial|simpliciaux]] 2-simples connus, c'est-à-dire que toutes leurs faces et toutes les faces de leur dual sont des triangles. En 1997, Tom Braden a trouvé une autre paire duale, en collant deux pentachores rectifiés ensemble ; depuis lors, une infinité de polytopes 2-simpliciaux 2-simples ont été construits<ref>{{lien web
 | nom1 = Eppstein | prénom1 = David | lien auteur1 = David Eppstein
 | nom2 = Kuperberg | prénom2 = Greg | lien auteur2 = Greg Kuperberg
 | nom3 = Ziegler | prénom3 = Günter M. | lien auteur3 = Günter M. Ziegler
 | editor-last = Bezdek | editor-first = Andras
 | arxiv = math.CO/0204007
 | contribution = Fat 4-polytopes and fatter 3-spheres
 | volume = 253
 | pages = 239–265
 | series = Pure and Applied Mathematics
 | titre = Discrete Geometry: In honor of W. Kuperberg's 60th birthday
 | année = 2003}}.</ref>{{,}}<ref>{{lien web
 | nom1 = Paffenholz | prénom1 = Andreas
 | nom2 = Ziegler | prénom2 = Günter M.| lien auteur2 = Günter M. Ziegler
 | arxiv = math.MG/0304492
 | doi = 10.1007/s00454-004-1140-4
 | issue = 4
 | périodique = Discrete & Computational Geometry
 | mr = 2096750
 | pages = 601–621
 | titre = The ''E<sub>t</sub>''-construction for lattices, spheres and polytopes
 | volume = 32
 | année = 2004| s2cid = 7603863
 }}.</ref>.

== Polytope semi-régulier ==
C'est l'un des trois [[4-polytope#Polytope semi-régulier|polychores semi-réguliers]], constitués de deux ou plusieurs cellules formant des [[Solide de Platon|solides platoniciens]] (polyèdres réguliers convexes). Découverts par [[Thorold Gosset]] dans son article de 1900, ce dernier l'a appelé ''tétractaédrique'' car ce polychore est constitué de cellules [[Tétraèdre|tétraédriques]] et [[Octaèdre|octaédriques]].

E. L. Elte l'a identifié en 1912 comme un polytope semi-régulier, le désignant par le symbole tC <sub>5</sub><ref>{{Lien web |titre=The semiregular polytopes of the hyperspaces |url=https://www.researchgate.net/publication/268932252_The_semiregular_polytopes_of_the_hyperspaces_Dissert_Univ_Groningen |auteur=E. L. Elte |site=ResearchGate |date= |description=Dissert. Univ. Groningen}}</ref>.

== Construction de Wythoff ==
La matrice de configuration suivante montre les comptages d'incidence entre les éléments. Les nombres du vecteur f en diagonale sont dérivés par la [[construction de Wythoff]], en divisant l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre du groupe]] complet (A<sub>4</sub>, d'ordre 5!, correspondant au pentachore rectifié) par l'ordre du sous-groupe obtenu en supprimant un miroir à la fois.
{| class="wikitable"
!A<sub>4</sub>
!{{DCD|node|3|node_1|3|node|3|node}}
![[Face (géométrie)|''k''-face]]
!f<sub>k</sub>
!f<sub>0</sub>
! colspan="1" |f<sub>1</sub>
! colspan="2" |f<sub>2</sub>
! colspan="2" |f<sub>3</sub>
![[Figure de sommet|''k''-figure]]
!Notes
|- align="right"
|A<sub>2</sub>A<sub>1</sub>
|{{DCD|node|2|node_x|2|node|3|node}}
|( )
!f<sub>0</sub>
| bgcolor="#ffe0e0" |'''10'''
|6
|3
|6
|3
|2
|[[Prisme triangulaire|{3}x{ }]]
|A<sub>4</sub>/A<sub>2</sub>A<sub>1</sub> = 5!/3!/2 = 10
|- align="right"
|A<sub>1</sub>A<sub>1</sub>
|{{DCD|node_x|2|node_1|2|node_x|2|node}}
|{ }
!f<sub>1</sub>
|2
| bgcolor="#ffffe0" |'''30'''
|1
|2
|2
|1
|[[Triangle isocèle|{ }v( )]]
|A<sub>4</sub>/A<sub>1</sub>A<sub>1</sub> = 5!/2/2 = 30
|- align="right"
|A<sub>2</sub>A<sub>1</sub>
|{{DCD|node|3|node_1|2|node_x|2|node}}
| rowspan="2" |[[Triangle|{3}]]
! rowspan="2" |f<sub>2</sub>
|3
|3
| bgcolor="#e0ffe0" |'''10'''
| bgcolor="#e0ffe0" |*
|2
|0
| rowspan="2" |{ }
|A<sub>4</sub>/A<sub>2</sub>A<sub>1</sub> = 5!/3!/2 = 10
|- align="right"
|A<sub>2</sub>
|{{DCD|node_x|2|node_1|3|node|2|node_x}}
|3
|3
| bgcolor="#e0ffe0" |*
| bgcolor="#e0ffe0" |'''20'''
|1
|1
|A<sub>4</sub>/A<sub>2</sub> = 5!/3! = 20
|- align="right"
|A<sub>3</sub>
|{{DCD|node|3|node_1|3|node|2|node_x}}
|[[Octaèdre|r{3,3}]]
! rowspan="2" |f<sub>3</sub>
 |6
|12
|4
|4
| bgcolor="#e0ffff" |'''5'''
| bgcolor="#e0ffff" |*
| rowspan="2" |( )
| rowspan="2" |A<sub>4</sub>/A<sub>3</sub> = 5!/4! = 5
|- align="right"
|A<sub>3</sub>
|{{DCD|node_x|2|node_1|3|node|3|node}}
|[[Tétraèdre|{3,3}]]
|4
|6
|0
|4
| bgcolor="#e0ffff" |*
| bgcolor="#e0ffff" |'''5'''
|}

== Images ==
{| class="wikitable" width="640"
| align="center" |[[Fichier:Rectified_simplex_stereographic.png|237x237px]]<br />[[projection stéréographique]]<br />(centré sur l'[[octaèdre]])
| align="center" |[[Fichier:Rectified_5-cell_net.png|253x253px]] 
[[Patron (géométrie)|Patron (polytope)]]
|-
| align="center" |[[Fichier:Rectified_5cell-perspective-tetrahedron-first-01.gif]]
|Projection en perspective centrée sur le [[tétraèdre]] dans l'espace 3D, avec le tétraèdre le plus proche du point de vue 4D rendu en rouge et les 4 octaèdres environnants en vert. Les cellules situées de l'autre côté du polytope ont été éliminées pour plus de clarté (bien qu'elles puissent être discernées à partir des contours des bords). La rotation concerne uniquement l'image de projection 3D, afin de montrer sa structure, pas une rotation dans l'espace 4D.
|}

== Coordonnées ==
Les [[coordonnées cartésiennes]] des sommets du pentachore rectifié centré sur l'origine et ayant une longueur d'arête égale à 2 sont :
{| class="wikitable"
! colspan="2" |Coordonnées
|-
|
: <math>\left(\sqrt{\frac{2}{5}},\  \frac{2}{\sqrt{6}},\ \frac{2}{\sqrt{3}},\ 0  \right)</math>
: <math>\left(\sqrt{\frac{2}{5}},\  \frac{2}{\sqrt{6}},\ \frac{-1}{\sqrt{3}},\ \pm1\right)</math>
: <math>\left(\sqrt{\frac{2}{5}},\  \frac{-2}{\sqrt{6}},\ \frac{1}{\sqrt{3}},\ \pm1\right)</math>
: <math>\left(\sqrt{\frac{2}{5}},\  \frac{-2}{\sqrt{6}},\ \frac{-2}{\sqrt{3}},\ 0  \right)</math>
|
: <math>\left(\frac{-3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{6}},\ \frac{1}{\sqrt{3}},\ \pm1\right)</math>
: <math>\left(\frac{-3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{6}},\ \frac{-2}{\sqrt{3}},\ 0  \right)</math>
: <math>\left(\frac{-3}{\sqrt{10}},\ -\sqrt{\frac{3}{2}},\ 0,\          0  \right)</math>
|}
Les sommets du pentachore rectifié peuvent être positionnés sur un [[hyperplan]] de l'espace de dimension 5 par des vecteurs obtenus par les permutations de (0,0,0,1,1) et de (0,0,1,1,1).

== Polychores apparentés ==
Le pentachore rectifié est la [[figure de sommet]] du [[5-cube|5-demicube]] ; c'est aussi la figure d'arête du polytope uniforme de dimension 6 noté {{Lien|langue=en|trad=2 21 polytope|texte=2<sub>21</sub>}}.

=== Composé du pentachore rectifié et de son dual ===
L'[[enveloppe convexe]] du pentachore rectifié et de son dual de même grand rayon est un polychore non uniforme composé de 30 cellules : 10 [[Tétraèdre|tétraèdres]] et 20 [[Octaèdre|octaèdres]] (les octaèdres sont des [[Antiprisme|antiprismes]] triangulaires), et 20 sommets. Sa figure de sommet est un bifrustum triangulaire (tronc de [[diamant triangulaire|bipyramide triangulaire]]).

=== Polytopes de pentachore ===
Le pentachore rectifié est l'un des 9 [[4-polytope uniforme|polytopes uniformes à 4 cellules]] construits à partir du [[groupe de Coxeter]] [3,3,3].

=== Polytopes semi-réguliers ===
Le pentachore rectifié est le deuxième élément d'une série dimensionnelle de polytopes semi-réguliers. Chaque polytope uniforme est construit comme la [[figure de sommet]] du polytope précédent. [[Thorold Gosset]] a identifié cette série en 1900 comme contenant toutes les [[Face (géométrie)#Facette|facettes]] de [[Polytope régulier|polytopes réguliers]], contenant tous les [[Simplexe|simplexes]] et [[Hyperoctaèdre|orthoplexes]] ([[Tétraèdre|tétraèdres]] et [[Octaèdre|octaèdres]] dans le cas du pentachore rectifié). Le symbole de Coxeter du pentachore rectifié est 0<sub>21</sub>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références}}
=== Références ===
{{Traduction/Référence|en|Rectified 5-cell|1247450210}}
* {{ouvrage|langue=en|titre=The Symmetries of Things|auteur1=[[John Horton Conway|John Conway]]|auteur2=Heidi Burgiel|auteur3={{lien|langue=en|Chaim Goodman-Strauss}}|isbn=978-1-56881-220-5|numéro chapitre=26|lire en ligne = http://hans.munthe-kaas.no/protect/Conway/0_Front%20Matter.pdf|année=2008|éditeur=[[CRC Press]]}}.
* [[John Horton Conway|John Conway]] et MJT Guy, ''Four-Dimensional Archimedean Polytopes'', Proceedings of the Colloquium on Convexity, Copenhague, pages 38 et 39, 1965.
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]] :
** {{Ouvrage|langue=en|titre=[[Regular Polytopes]]|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1973|numéro d'édition=3|isbn=0-486-61480-8}}.
** Kaléidoscopes : Selected Writings of H.S.M. Coxeter, édité par F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} {{lire en ligne|lien=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html}}.
*** Article 22 : ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10].
*** Article 23: ''Regular and Semi Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591].
*** Article 24: ''Regular and Semi Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45].
* [[Thorold Gosset|T. Gosset]] : ''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions'', [[Messenger of Mathematics]], Macmillan, 1900.
* [[Norman Johnson]] :
** ''Uniform Polytopes'', manuscrit, 1991.
** ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D., 1966.

== Liens externes ==

* {{Lien web|langue=de|url=http://www.polytope.de/nr03.html|titre=Archimedisches Polychor Nr. 3 (Rectified 5-cell)}}
* {{Lien web|langue=en|url=https://web.archive.org/web/20070315095252/http://members.aol.com/Polycell/section1.html|titre=1. Convex uniform polychora based on the pentachoron (5-cell)}}
* {{Lien web|langue=en|url=https://bendwavy.org/klitzing/dimensions/polychora.htm|titre=4D polytopes (Polychora)}}


{{Palette|Polychores}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polychore]]