Voir la source de Perspective isométrique

{{Voir homonymes|Perspective}}{{À sourcer|date=janvier 2025|motif=Des sources sont présentes mais uniquement pour la partie "Utilisation en dessin technique"}}[[Fichier:Isometrie.png|vignette|Arche en perspective isométrique.]]

La '''perspective isométrique''' est une méthode de représentation en [[Perspective (représentation)|perspective]] dans laquelle les trois [[Direction (géométrie)|directions]] de l'[[espace (notion)|espace]] sont représentées avec la même importance, d'où le terme.

C'est un cas particulier de [[perspective axonométrique]].

== Principe ==

[[Image:Perspective isometrique cube gris.svg|vignette|Cube vu en perspective isométrique.]]

En [[géométrie analytique]], on définit un [[repère orthonormé]].

La perspective isométrique correspond à une vue selon la droite dont un vecteur directeur a pour coordonnées <math>(1, 1, 1)</math> dans ce repère. Ainsi, un cube dont les arêtes suivent les axes du repère se voit selon sa grande diagonale, comme un hexagone.

Les axes se projettent donc sur un plan perpendiculaire à cette grande diagonale. Les longueurs subissent une réduction (la [[projection]] est une [[isométrie]], le facteur de réduction est le même pour toutes les longueurs sur un axe donné).

C'est une perspective qui est facile à exécuter dans le cas de formes simples. C'est une approximation de la vue « réelle », qui est satisfaisante tant que la profondeur reste faible : en particulier elle ne prend pas en compte la réduction apparente de taille avec l'éloignement.

Elle est très utilisée pour la représentation normalisée des tuyauteries ; on ne représente que l'axe des tuyaux sans s'intéresser à l'échelle. Les tuyauteurs utilisent un document, la « [[commons:File:Trame isometrique.svg|trame iso]] », avec un quadrillage reprenant les directions des axes.

== Règles de base pour dessiner en perspective isométrique ==
=== Les mesures ===

[[Image:perspective isometrique report coordonnees.svg|vignette|Placement d'un point sur la perspective isométrique.]]

On parle de perspective isométrique car les distances sont reportées de la même manière sur les trois axes. On applique à toutes les longueurs qui sont colinéaires à un axe un coefficient réducteur de 0,82.

Dans le cas de la représentation d'un objet, on définit d'abord une face de l'objet que l'on considère comme la face avant, et l'on y place un [[repère (mathématiques)|repère]] ; dans ce plan, on n'a donc que deux axes visibles, le troisième est perpendiculaire au dessin. L'origine du repère est en général placée dans un coin.

On réalise ensuite deux vues (au moins) qui sont les [[projection orthogonale|projections orthogonales]] de l'objet sur la face avant et sur une face perpendiculaire (face de gauche, de droite, du dessus ou du dessous). Ensuite, il suffit de mesurer les coordonnées des points dans ce repère à partir des deux figures, et de reporter ces coordonnées sur les axes de la perspective isométrique en appliquant ce coefficient de 0,82.

=== Les angles ===

Les [[angle]]s entre les [[Axe (mathématique)|axes]] (''x'', ''y'' et ''z'') sont tous égaux (120°).

=== Les cercles ===

[[Image:Perspective isometrique cube ellipses.svg|vignette|Cercles sur un cube vus en perspective isométrique.]]

Les cercles sont des formes importantes dans le dessin technique ; ceci est une conséquence des procédés de fabrication des pièces ([[usinage]]) : [[perçage]], [[fraisage]], [[Tournage mécanique|tournage]], etc. Ils sont aussi importants en génie civil (débouchés de tuyaux, [[arc en plein-cintre]], [[giratoire]]s, etc. Lorsque l'on génère la perspective isométrique par ordinateur, celui-ci peut calculer la transformation du cercle. Mais ceci devient compliqué lorsque l'on dessine à la main.

Remarquons dans un premier temps qu'un cercle est toujours [[Cercle inscrit|inscrit]] dans un carré auquel il est 4 fois tangent, au milieu des côtés. En vue de face, on contraint donc le cercle dans un [[carré]].

En perspective isométrique, ce carré devient un [[parallélogramme]]. Les tangences restent les mêmes (milieu des côtés), mais le cercle devient une [[Ellipse (mathématiques)|ellipse]].

La projection oblique fait varier le diamètre du cercle entre 1 (grand diamètre de l'ellipse, donc diamètre horizontal du cercle de départ projeté en vraie grandeur) et 0,58 (son petit diamètre, vu sous sa plus importante réduction dans la direction de la plus grande pente).

Des trace-ellipses normalisés permettent de tracer des ellipses respectant ces proportions pour plusieurs tailles de grand axe.

== Défauts et limites de la perspective isométrique ==

[[Image:Perspective isometrique ambiguite.svg|vignette|100px|gauche|Illustration de l'erreur induite par la perspective.]][[Image:tripoutre mce.jpg|vignette|Illustration de l'erreur induite par la perspective. Ici un [[triangle de Penrose]].]]

Comme toutes les projections et toutes les perspectives, la perte de la troisième dimension induit des erreurs possibles d'interprétation. Ceci a été abondamment utilisé par l'artiste [[Maurits Cornelis Escher|M. C. Escher]] pour créer des situations impossibles.

En l'occurrence, un déplacement de {{unité|1|cm}} sur l'axe ''z'' se traduit graphiquement de la même manière qu'un déplacement de {{unité|1|cm}} selon l'axe des ''x'' et des ''y'', soit un déplacement de √2 ≈ 1,41 selon la bissectrice de l'angle droit formé par les axes ''x et'' ''y''.

== Utilisations de la perspective isométrique ==
=== Utilisation en dessin technique ===

[[Image:Perspective isometrique exemple piece revolution.svg|vignette|Les figures de gauche représentent les vues en [[géométrie descriptive]] ; la figure de droite représente une perspective isométrique avec une coupe.]]

En [[dessin industriel]], on représente une pièce sous différents angles de vue, perpendiculairement à des axes. Ces axes sont « naturels » : une pièce ayant une fonction mécanique (liaison et mouvement avec d'autres pièces), elle présente des contraintes de forme et d'[[usinage]] qui font qu'elle a en général un axe de symétrie ou des faces planes. Ces axes ou les arêtes de ces faces permettent de définir un [[repère (mathématiques)|repère]] orthogonal (que l'on choisit orthonormé).

On peut donc facilement exécuter une perspective isométrique d'une pièce à partir des vues en [[géométrie descriptive]] utilisées habituellement.

Souvent, la perspective isométrique permet au lecteur de se représenter facilement la forme de la pièce, mais ne permet pas de transmettre toutes les informations utiles à la conception et à la réalisation de la pièce.

En [[tuyauterie]], où l'on privilégie le plus souvent les changements de direction à 90°, on utilise des représentations isométriques des lignes de tuyauteries<ref>{{Lien web |langue=fr-FR |titre=Représentation des isométriques |url=https://www.rocdacier.com/forum/index.php?threads/repr%C3%A9sentation-des-isom%C3%A9triques.558/ |date=2019-08-16 |consulté le=2024-05-18}}</ref>. Ce type de représentation est normalisé par l' I''SO 6412-2'' <ref>{{Lien web |langue=fr |nom=14:00-17:00 |titre=ISO 6412-2:2017 |url=https://www.iso.org/fr/standard/73353.html |consulté le=2024-05-18}}</ref>.Par abus de langage on parle de « ''plan isométrique'' » au lieu de [[Représentation graphique|''schéma'']], alors que les distances ne sont pas à l'échelle (cad mesurable avec une [[Règle (instrument de géométrie)|règle]] ou un [[kutsch]]). Le [[P&ID]] fournie par le bureau d'étude en [[procédé industriel]], qui est diagramme, n'inclue pas de spécification spatiale (sauf pour les pentes). Avec un « plan » isométrique, avec une cotation approprié, permet de représenter la plupart des cheminements en trois dimensions sur un seul document, qui autrement nécessiteraient au minimum 2 vue, et souvent, beaucoup de coupes (puisque les zones concernées sont souvent à cheval sur plusieurs niveaux)<ref>{{Lien web |langue=fr-FR |titre=Plan Isométrique Tuyauterie - Piping Design |url=https://www.digicad.fr/piping-design/ |consulté le=2024-05-18}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr-FR |titre=Isométrique Tuyauterie |url=https://www.provence-engineering.fr/bureau-etude-installation-generale/isometrique-tuyauterie/ |consulté le=2024-05-18}}</ref>. Le [[Tuyauteur industriel|tuyauteur]] (ou le [[plombier]]), réalise lui même ses propres « ISOs », pour la prise de côte et la réalisation de sous élément d'une ligne<ref>{{Lien vidéo|titre=TUYAUTERIE INDUSTRIELLE PARTIE 2 -  ISOMÉTRIQUE|url=https://www.youtube.com/watch?v=KfmUSKlIjYI|date=2020-06-23|consulté le=2024-05-18|auteur=Construction mécanique Craponne à Salon|durée=12:7}}</ref>. Comme aide au dessin manuel, ils peuvent être réalisés sur un papier ''[[Réglure#Réglures fréquemment utilisées|petit-carreaux]] (''{{Unité|5|×=5|mm}}), en utilisant la même [[#Utilisation dans les jeux vidéo|pseudo perspective]] que dans les jeux vidéo, avec pour dessiner les deux axes horizontaux les diagonales d'un rectangle ''2 pour 1'' (ce qui donne des angles entre les 3 axes de {{Unité|116,565|°}}, {{Unité|116,565|°}} et {{Unité|126,87|°}}). Mais il existe des [[Papetier|papetiers]] vendant des feuilles ou carnets avec une [[réglure]] isométrique réel :''{{Unité|120|°}},{{Unité|120|°}},{{Unité|120|°}}'' <ref>{{Lien web |titre=Papier isométric |url=https://www.hahnemuehle.com/fr/hahnemuehle-beaux-arts/papiers-techniques/papier-isometric.html |consulté le=2024-05-18}}</ref>.

=== Utilisation en architecture ===
[[Eugène Viollet-le-Duc]] l'a utilisée dans plusieurs de ses tableaux de châteaux (et de leurs bâtiments annexes) pour éviter d'accentuer l'importance de certains de ces éléments et de la position de l'observateur (le cavalier de la [[perspective cavalière]] dans l'observation des fortifications).

=== Utilisation dans les jeux vidéo ===

[[Fichier:Perspective pseudo isometrique jeux video.svg|vignette|Perspective pseudo-isométrique, dite « ¾ », utilisée dans certains jeux vidéo : rapport 2:1.]]

Un certain nombre de [[jeu vidéo|jeux vidéo]] (comme [[Zaxxon]], [[Marble Madness]], [[Monument Valley (jeu vidéo)|Monument Valley]], [[Crafton et Xunk]] ou encore [[Project Zomboid]]) mettant en œuvre des personnages utilisent une [[caméra objective|vue objective]] en perspective isométrique ; on parle souvent, dans ce domaine, de « perspective 3/4 ». D'un point de vue pratique, cela permet de déplacer les éléments graphiques ''([[sprite (jeu vidéo)|sprites]])'' sans en changer la taille, ce qui était indispensable lorsque les ordinateurs étaient peu puissants, et présente toujours un grand intérêt pour les [[Console de jeux vidéo|consoles de poche]].

Cela pose cependant quelques problèmes de confusion (du fait de l'aplatissement de l'image, la profondeur est rendue par un déplacement dans le plan).

En raison de la [[pixellisation]], et dans un souci d'optimisation des calculs, certains jeux font progresser les axes selon un rapport de 2:1, ceux-ci sont donc inclinés d'un angle de 26,6° (arctan 0,5) au lieu de 30°. Ce n'est donc pas de la perspective isométrique à proprement parler, mais une [[perspective dimétrique]] (un autre type de [[perspective axonométrique]]), mais le terme « isométrique » est cependant utilisé par abus de langage.

== Approche mathématique ==

La perspective isométrique est en fait une [[projection (géométrie)|projection]] sur un plan selon un axe [[orthogonalité|orthogonal]] à ce plan : une [[projection orthogonale]]. C'est une [[application linéaire]].

=== Facteur de report sur les axes ===

[[Image:Perspective isometrique proportions.svg|vignette|Illustration de la projection de l'axe des ''z'' sur le plan.]]

On peut calculer le facteur de proportionnalité sur les axes simplement grâce à la [[trigonométrie]] :
* considérons l'arête du cube qui va de l'origine au point (0,0,1) ; elle fait un angle α avec le plan de projection, le projeté a donc une longueur de cos α ;
* α est aussi l'angle entre la normale au plan de projection passant par l'origine et par le point (1,1,1), et la bissectrice des axes ''x'' et ''y'' qui passe par (1,1,0) ;
* dans le triangle formé par les points (0,0,0), (1,1,0) et (1,1,1) est un triangle rectangle ; le segment [(0,0,0), (1,1,0)] a pour longueur √2 (diagonale du carré), le segment [(1,1,0), (1,1,1)] a pour longueur 1, et l'hypoténuse [(0,0,0), (1,1,1)] a pour longueur √3
On a donc
: <math>\cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \simeq 0,82</math>.
On en déduit que α ≈ 35,26 °.

On peut aussi utiliser le produit scalaire :
* le [[vecteur unitaire]] porté par la grande diagonale est (1/√3, 1/√3, 1/√3) ;
* l'arête [(0,0,0), (0,0,1)] se projette sur la grande diagonale en un segment de longueur ''k''<sub>1</sub>, et sur le plan normal à cette grande diagonale en un segment de longueur ''k''<sub>2</sub>
* ''k''<sub>1</sub> est le produit scalaire de <math>\vec{a}</math> et de <math>\vec{b}</math>, et peut se calculer avec les coordonnées : <math>k_1 = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1/\sqrt{3} + 0 \times 1/\sqrt{3} + 0 \times 1/\sqrt{3} = 1/\sqrt{3}</math>
* le [[théorème de Pythagore]] nous indique que ''k''<sub>1</sub>{{2}} + ''k''<sub>2</sub>{{2}} = 1 (longueur de l'arête du cube).
On a donc :
: <math>k_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} \simeq 0,82</math>.
Les longueurs des segments sur les axes du repère se projettent donc avec un facteur de 0,82.

On arrive également à cette conclusion en utilisant la formule générale des projections orthogonales, voir ''[[Perspective axonométrique#Perspective isométrique|Perspective axonométrique > Perspective isométrique]]''.

Par ailleurs, si l'on considère le [[cercle unité]] du plan (''x'', ''y''), le rayon se projetant selon la ligne de plus grande pente est la [[première bissectrice]] du plan, avec un facteur de projection valant sin α = ''k''<sub>1</sub> = 1/√3 ≈ 0,58, ce qui correspond au petit axe de l'ellipse.

=== Transformation des coordonnées ===

[[Image:Perspective isometrique transformation coordonnees.svg|vignette|Projection de la base orthonormée de l'espace.]]

La transformation des coordonnées cartésienne est utilisée pour calculer les vues à partir des coordonnées des points, par exemple dans le cas de jeux vidéo ou de [[Synthèse d'image 3D|logiciels de représentation graphique 3D]].

Supposons l'espace muni d'une [[base orthonormée]] [[Orientation (mathématiques)#Orientation de l'espace de dimension trois|directe]] <math>(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)</math>. La projection P se fait selon le vecteur <math>\vec u</math> de composantes <math>(1,1,1)</math>, c'est-à-dire le vecteur <math>\vec u=\vec e_1+\vec e_2+\vec e_3</math>, selon le plan représenté par ce même vecteur.

Comme toute [[application linéaire]], elle peut être représentée par la transformation des vecteurs de la base, puisqu'un vecteur <math>\vec v=v_1\vec e_1+v_2\vec e_2+v_3\vec e_3</math> quelconque se transforme selon
: <math>\mathrm P(\vec v)=\mathrm P(v_1\vec e_1+v_2\vec e_2+v_3\vec e_3)=v_1\mathrm P(\vec e_1)+v_2\mathrm P(\vec e_2)+v_3\mathrm P(\vec e_3)</math>.
Soit <math>\vec e\,'_n=\mathrm P(\vec e_n)</math>. Appelons <math>(\vec{\imath},\vec{\jmath})</math> la base orthonormée directe dans le plan de projection.
On choisit arbitrairement que <math>\vec e\,'_1</math> fait un angle de -π/6 avec <math>\vec{\imath}</math>.

L'application des calculs pour les projections orthogonales au cas particulier de la perspective isométrique nous donne (voir ''[[Perspective axonométrique#Perspective isométrique|Perspective axonométrique > Perspective isométrique]]'') :

* <math>\vec e\,'_1=\frac{\sqrt2}2\vec{\imath}-\frac1{\sqrt6}\vec{\jmath}</math> ; <math>k_1=\sqrt{\frac23}</math> ;
* <math>\vec e\,'_2=-\frac{\sqrt2}2\vec{\imath}-\frac1{\sqrt6}\vec{\jmath}</math> ; <math>k_2=k_1</math> ;
* <math>\vec e\,'_3=\sqrt{\frac23}\vec{\jmath}</math> ; <math>k_3=k_1</math>.
La matrice de la projection M<sub>P</sub> est donc
: <math>\mathrm{M_P}=\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt2}2&-\frac{\sqrt2}2& 0 \\
-\frac1{\sqrt6}&-\frac1{\sqrt6}&\sqrt{\frac23}
\end{pmatrix}</math>.

Considérons un point (''x'', ''y'', ''z'') de l'espace qui se projette en (''x''{{'}}, ''y''{{'}}). Sa projection sera donc :
: <math>\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \mathrm{M_P}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}2(x-y)  \\ \sqrt{\frac23}z-\frac1{\sqrt6}(x+y)\end{pmatrix}</math>.

''Voir aussi [[Projection (géométrie)#Expression analytique|Projection (géométrie) > Projection sur un plan parallèlement à une droite en géométrie analytique]].''

==== Transformation d'un cercle d'un plan contenant deux axes ====

Considérons le cercle trigonométrique du plan <math>(\vec e_1,\vec e_3)</math>. Les coordonnées paramétriques de ses points sont :
: <math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \\\end{pmatrix}</math>
Les coordonnées des points projetés dans la base <math>(\vec{\imath},\vec{\jmath})</math> sont donc
: <math>\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}2(\cos \theta - \sin \theta)  \\ - \frac1{\sqrt6}(\cos \theta + \sin \theta) \\ \end{pmatrix}</math>
La distance à l'origine est <math>r = \sqrt{x'^2 + y'^2}</math>, soit
: <math>r^2 = \frac23\left ( 1 - \sin \theta\cos \theta \right )
= \frac23\left(1-\frac12\sin 2\theta\right)</math>
([[formule de Moivre]]) ; ceci fournit au passage une équation paramétrique de l'ellipse.
Cette distance varie donc entre 1 et <math>\sqrt{1/3}\approx0{,}58</math>. On retrouve les rapports du grand axe et du petit axe de l'ellipse.

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
* [[Perspective cavalière]]

{{autres projets
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}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Perspective|Isometrique]]

[[de:Perspektive#Isometrische Axonometrie, nach DIN 5]]
[[it:Assonometria#Assonometria isometrica]]