Voir la source de Petit théorème de Fermat

{{Homon|Théorème de Fermat{{!}}Théorèmes de Fermat}}
En [[mathématiques]], le '''petit théorème de Fermat''' est un résultat de l'[[arithmétique modulaire]], qui peut aussi se démontrer avec les outils de l'[[arithmétique élémentaire]].

Il s'énonce comme suit : « si {{mvar|p}} est un [[nombre premier]] et si {{mvar|a}} est un [[Entier relatif|entier]] ''non [[divisible]] par {{mvar|p}}'', alors {{math|''a''<sup>''p''–1</sup>&nbsp;–&nbsp;1}} est un [[Multiple (mathématiques)|multiple]] de {{mvar|p}} », autrement dit (sous les mêmes conditions sur {{mvar|a}} et {{mvar|p}}), {{math|''a''<sup>''p''–1</sup>}} est [[Congruence sur les entiers|congru à 1 modulo {{mvar|p}}]] :

<center><math> a^{p-1}\equiv1\pmod p</math>.</center>

Un énoncé équivalent est : « si {{mvar|p}} est un nombre premier et si {{mvar|a}} est un entier ''quelconque'', alors {{mvar|a<sup>p</sup>&nbsp;–&nbsp;a}} est un multiple de {{mvar|p}} » :

<center><math> a^p\equiv a\pmod p</math>.</center>

Il doit son nom à [[Pierre de Fermat]], qui l'énonce pour la première fois en {{date-|1640}}.

Il dispose de nombreuses applications, à la fois en [[arithmétique modulaire]] et en [[cryptographie]].
[[Image:Pierre de Fermat.jpg|thumb|[[Pierre de Fermat]] propose en 1640 le théorème sans apporter de démonstration.]]
[[Image:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|[[Leonhard Euler]] présente en 1736 la première démonstration publiée du théorème.]]

== Histoire ==
La première apparition connue de l'énoncé de ce théorème provient d'une lettre de [[Pierre de Fermat|Fermat]] à [[Bernard Frénicle de Bessy|Frénicle de Bessy]] datée d'{{date-|octobre 1640}}<ref>{{harvsp|Tannery|Henry|1894|p=209}}, Lettre de Fermat à Frénicle du 18 octobre 1640, note 1.</ref>, qui a été publiée par son fils Samuel en 1679 dans les ''Varia Opera''<ref>{{harvsp|Fermat|1679|p=163}} ; les publications successives des œuvres de Fermat sont étudiées dans l'avertissement préliminaire de {{harvsp|Tannery|Henry|1891}}, voir aussi la table de concordance {{p.|440}}.</ref>. On peut y lire ceci : {{Citation|Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances – 1 de quelque progression que ce soit, et l'exposant de ladite puissance est sous-multiple du nombre premier donné – 1 ; et, après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont tout de même à la question.}}<ref name="TanneryHenryII209">{{harvsp|Tannery|Henry|1894|p=209}}, Lettre de Fermat à Frénicle du 18 octobre 1640.</ref>, soit en termes modernes, pour tout nombre premier {{mvar|p}} et tout nombre {{mvar|a}} (premier avec {{mvar|p}}), il existe un entier {{mvar|t}} tel que {{mvar|p}} divise {{math|''a{{exp|t}}''&nbsp;–&nbsp;1}}, et, {{mvar|t}} étant le plus petit entier vérifiant ceci, {{mvar|t}} divise {{math|''p''&nbsp;–&nbsp;1}} et tous les multiples {{mvar|n}} de {{mvar|t}} vérifient que {{mvar|p}} divise {{math|''a{{exp|n}}''&nbsp;–&nbsp;1}}.

On en déduit immédiatement l'énoncé donné en introduction, et réciproquement on déduit de celui-ci l'énoncé plus précis que donne Fermat. Comme habituellement dans sa correspondance, il ne donne aucune démonstration de ce résultat, ni même, comme il le fait parfois, d'indications à propos de celle-ci, mais précise : {{citation|Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long<ref name="TanneryHenryII209"/>.}}

À cette époque, il est d'usage de ne pas publier les preuves des théorèmes. Ainsi [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] rédige une démonstration<ref>M. Bülher et A. Pichel-Pajus, ''Une démonstration du théorème de Fermat par Leibniz'', Mnemosyne {{numéro|19}}, ''Bonnes vieilles pages'' (2), 2007, {{p.|61-66}}.</ref> vers 1683 mais ne la publie pas. En 1741<ref>{{Article|lang=la|auteur=L. Euler|titre=Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E054.html E054]) |périodique=Comment. [[Académie des sciences de Saint-Pétersbourg|Acad. Sci. Petrop.]] |année=1741 |volume=8 |pages=141-146 |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E054.pdf}}, écrit et présenté en 1736.</ref>, 1750<ref>{{Article|lang=la|auteur=L. Euler |titre=Theoremata circa divisores numerorum |périodique=Novi Comment. Acad. Sci. Petrop. |année=1750 |vol=1 |pages=20-48 |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E134.pdf}}, écrit et présenté en 1747.</ref> et 1761<ref>{{Article|lang=la |auteur=L. Euler|titre=Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta ([http://eulerarchive.maa.org/pages/E262.html E262])|revue=Novi Comment. Acad. Sci. Imp. Petrop.|vol=7|année=1761|p.=49-82|url=https://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E262.pdf}}, écrit en 1755 et présenté en 1758 (dans la {{Harvsp|Gauss|1807|texte=traduction de Poullet-Delisle}}, la référence fournie ({{n°|50}}) est {{Citation|Comm. nov. Petrop. T. VIII, p. 70}}, mais dans [http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-003356&I=66&M=tdm l'original de 1801], Gauss a bien écrit {{Citation|T. VII}}).</ref>, [[Leonhard Euler|Euler]] en publie deux qui procèdent par récurrence et utilisent le [[développement du binôme]], et une qui étudie la répartition des restes modulo le nombre premier considéré. On trouve cette dernière en 1801 dans les {{lang|la|''[[Disquisitiones arithmeticae]]''}}<ref name="Gauss">{{Ouvrage|langue originale=la|auteur1=C. F. Gauss|traducteur=[[Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle]]|titre=Recherches arithmétiques|titre original=Disquisitiones arithmeticae|éditeur=Courcier|année=1807|année première édition=1801|passage=32-34}}, {{numéro|49}}.</ref> de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]. Il y résume également la première démonstration d'Euler<ref name="GaussDA50">{{Harvsp|Gauss|1807|loc={{numéro|50}}}}.</ref>, et en donne une version plus rapide utilisant le [[développement du multinôme]]<ref>{{Harvsp|Gauss|1807|loc={{numéro|51}}}}.</ref>.

Gauss mentionne en 1801 que « Ce théorème remarquable, tant par son élégance que par sa grande utilité, s'appelle ordinairement « théorème de Fermat », du nom de l'inventeur »<ref name="GaussDA50"/>. On trouve la dénomination « petit théorème de Fermat » (''{{lang|de|kleine Fermatsche Satz}}'') dans un ouvrage de [[Kurt Hensel]] de 1913<ref>Hensel donne sous ce nom l'énoncé généralisé à un groupe fini commutatif, {{de}} [[Kurt Hensel]], ''{{lang|de|Zahlentheorie}}'', Göschen, Berlin/Leipzig, 1913 [http://www.gutenberg.org/ebooks/38986 numérisé sur le projet Gutenberg], § V.6, p 128 de la version du projet Gutenberg.</ref>.

Un étudiant américain<ref>{{Article|lang=en|lien auteur1=James Jeans|prénom1=J. H.|nom1=Jeans|titre=The converse of Fermat's theorem|périodique=[[Messenger of Mathematics]]|volume=27|année=1898|page=174}}.</ref>, cité entre autres par Dickson<ref>{{Dickson1}}, 1919, vol. 1 : Divisibility and primality, [https://archive.org/details/historyoftheoryo01dick {{p.|59}}].</ref>, avait avancé que le théorème était déjà connu en Chine {{unité|2000|ans}} avant Fermat, dans le cas particulier {{math|''a'' {{=}} 2}}, accompagné d'une réciproque — trivialement fausse<ref>Cf. commentaires de la {{OEIS|id=A230579}}.</ref>. Cette « [[hypothèse chinoise (mathématiques)|hypothèse chinoise]] » n'est qu'une [[légende urbaine]], due à une erreur de traduction qui s'est amplifiée et [[Téléphone arabe|déformée au fil des citations]]<ref name="Needham">{{en}} [[Joseph Needham|J. Needham]] (éd.), ''Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth'', Science and Civilisation in China, vol. 3, [[Cambridge University Press|CUP]], 1959, chap. 19, {{p.|54}}, note d, {{Google Livres|jfQ9E0u4pLAC|page=54|aperçu}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Paulo Ribenboim]]|titre=The New Book of Prime Number Records|passage=103-105|lire en ligne={{Google Livres|2VTSBwAAQBAJ|page=103}}}}.</ref>.

== Exemples ==
Voici quelques exemples (fondés sur le second énoncé) : 
* 5<sup>3</sup> − 5 = 120 est divisible par 3
* 7<sup>2</sup> − 7 = 42 est divisible par 2.
* 2<sup>5</sup> − 2 = 30 est divisible par 5.
* (−3)<sup>7</sup> + 3 = −2 184 est divisible par 7.
* 2<sup>97</sup> − 2 = 158 456 325 028 528 675 187 087 900 670 est divisible par 97.

== Applications ==
Les applications sont nombreuses, particulièrement en [[cryptographie]]. On trouve néanmoins des exemples classiques d'applications du théorème en [[mathématiques pures]].
=== Applications théoriques ===
Le petit théorème de Fermat est historiquement utilisé pour analyser la [[décomposition en produit de facteurs premiers]] de certains entiers. Ainsi Fermat écrit<ref>P. de Fermat, ''Lettre à Marin Mersenne'' du 7 avril 1643 [http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_067s.htm lire].</ref> à [[Marin Mersenne|Mersenne]] (1588-1648) : « Vous me demandez si le nombre {{formatnum:100895598169}} est premier ou non, et une méthode pour découvrir, dans l'espace d'un jour, s'il est premier ou [[Nombre composé|composé]]. À cette question, je réponds que ce nombre est composé et se fait du produit de ces deux : {{formatnum:898423}} et {{formatnum:112303}}, qui sont premiers. » En utilisant une méthode analogue, Euler infirme l'unique [[conjecture]] fausse de Fermat, en prouvant que les [[nombre de Fermat|nombres de Fermat]] ne sont pas tous premiers.

Ce théorème est aussi utilisé pour démontrer des résultats de [[théorie algébrique des nombres]], comme le [[théorème de Herbrand-Ribet]]. Il dépasse le cadre strict de l'[[arithmétique]], avec une utilisation pour l'étude des [[Endomorphisme de Frobenius#Point fixe|points fixes]] de l'[[endomorphisme de Frobenius]] par exemple.

=== Cryptographie asymétrique ===
{{article détaillé|Cryptographie asymétrique}}
La cryptographie à clé publique correspond à un [[cryptographie|code]] s'attachant à assurer la [[confidentialité]] des messages à l'aide de deux [[clé de chiffrement|clés de chiffrement]]. L'une, permettant de [[Chiffrement|chiffrer]] le message, est publique. L'autre ayant pour objectif le déchiffrement est gardée secrète.

Une famille importante de systèmes asymétriques utilise l'[[algorithme]] de [[chiffrement RSA]]. La clé secrète est la décomposition d'un grand nombre entier, souvent de plusieurs centaines de chiffres. Il contient deux [[théorème fondamental de l'arithmétique|facteurs premiers]]. {{Référence nécessaire|L'essentiel des techniques industrielles du début du {{s-|XXI}} se fonde sur le petit théorème de Fermat pour générer des grands nombres premiers ou pour tester la primalité d'un nombre.}}

=== Test de primalité ===
{{article détaillé|Test de primalité}}
Le petit théorème de Fermat donne une condition nécessaire pour qu'un nombre {{mvar|p}} soit premier. Il faut en effet que, pour tout {{mvar|a}} plus petit que {{mvar|p}}, {{math|''a''<sup>''p'' – 1</sup>}} soit [[congruence sur les entiers|congru]] à 1 modulo ''p''. Ce principe est la base du [[test de primalité de Fermat]]. Il existe de nombreuses variantes [[algorithme|algorithmique]]s de ce test. Les plus connues sont le [[test de primalité de Solovay-Strassen]] et surtout le [[test de primalité de Miller-Rabin]].

=== Nombre pseudo-premier ===
{{article détaillé|Nombre pseudo-premier}}
Les tests précédents utilisent une condition nécessaire mais non suffisante. Ainsi, il existe des entiers {{mvar|p}} non premiers tels que pour tout {{mvar|a}} premier avec {{mvar|p}}, {{math|''a''<sup>''p'' – 1</sup>}} soit toujours congru à 1 modulo {{mvar|p}}. Le nombre {{formatnum:1729}} est un exemple. De tels entiers {{mvar|p}} sont appelés [[nombre de Carmichael|nombres de Carmichael]]. 

Les tests indiqués au paragraphe précédent sont tous statistiques, au sens où il existe toujours une probabilité, parfois très faible, pour que le nombre ayant passé le test ne soit néanmoins pas premier. Ces nombres sont appelés ''pseudo-premiers'' et sont attachés à des tests particuliers.

== Démonstrations ==
[[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|[[Carl Friedrich Gauss]] reprend plusieurs démonstrations de ce « théorème remarquable, tant par son élégance que par sa
grande utilité »<ref name="GaussDA50"/> dans ses [[Disquisitiones Arithmeticae]] de 1801.]]
=== Par le théorème de Lagrange ===
La seconde preuve d'Euler du premier énoncé, telle que reprise par Gauss<ref name="Gauss"/>, reformulée en termes modernes, consiste à démontrer que l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] {{mvar|t}} de {{mvar|a}} dans le [[Anneau Z/nZ#Groupe des unités|groupe multiplicatif (ℤ/''p''ℤ)*]] est un diviseur de l'ordre {{math|''p''–1}} de ce groupe (il démontre donc le [[Théorème de Lagrange sur les groupes|théorème de Lagrange]] dans le cas particulier du [[sous-groupe]] [[Partie génératrice d'un groupe|engendré]] par {{mvar|a}}). Il en déduit immédiatement le petit théorème de Fermat, en élevant les deux membres de l'équation {{math|''a<sup>t</sup>'' ≡ 1 (mod ''p'')}} à la puissance : l'entier {{math|(''p'' – 1)/''t''}}. Le résultat et sa démonstration valent pour n'importe quel [[groupe fini]] (ici le groupe multiplicatif (ℤ/''p''ℤ)* d'ordre {{math|''p'' - 1}}).

=== Démonstration d'Euler et de Leibniz ===

La démonstration d'Euler et de Leibniz du second énoncé utilise la [[formule du binôme de Newton]] et un [[raisonnement par récurrence]] sur l'entier {{mvar|a}}, supposé positif [[sans perte de généralité]]. Leur raisonnement (reformulé ici dans le langage des congruences introduit ultérieurement par Gauss), est le suivant :
* La proposition {{math|''a<sup>p</sup> ≡ a'' mod ''p''}} est vraie pour {{math|''a'' {{=}} 1}}.
* Tout entier {{mvar|k}} vérifie : <math>
(k+1)^p\equiv k^p+1\pmod p</math>.<br>Il suffit, pour cela, de développer l'expression {{math|(''k'' + 1)<sup>''p''</sup>}} et de remarquer que tous les coefficients binomiaux à l'exception du premier et du dernier sont des multiples de {{mvar|p}} car {{mvar|p}} est premier (une démonstration est donnée dans le [[Coefficient binomial#Diviseurs et coefficients binomiaux|paragraphe « Diviseurs et coefficients binomiaux » de l'article « Coefficient binomial »]]).
* Enfin, si la proposition est vraie pour {{math|''a'' {{=}} ''k''}} alors elle l'est aussi pour {{math|''a'' {{=}} ''k'' + 1}}. En effet, grâce au point précédent, il est prouvé que <math>(k+1)^p\equiv k^p+1\pmod p</math>. Si de plus <math>k^p \equiv k \pmod p</math>, alors  <math>
(k+1)^p\equiv k+1\pmod p</math>.

=== Équivalence des deux énoncés ===

Si le premier énoncé est vrai alors le second aussi : Pour {{mvar|a}} quelconque, comme {{math|''a''<sup>''p''</sup> – ''a''}} est égal au produit {{math|''a''(''a''<sup>''p''–1</sup> – 1)}}, on sait que  ce produit est toujours divisible par {{mvar|p}}, car ou bien {{mvar|a}} est multiple de {{mvar|p}}, ou bien il ne l'est pas mais le premier énoncé assure alors que {{math|''a''<sup>''p''–1</sup> – 1}} est divisible par {{mvar|p}}.

Réciproquement, le premier énoncé se déduit du second en utilisant le [[lemme d'Euclide]] : si {{math|''a''(''a''<sup>''p''–1</sup> – 1)}} est divisible par {{mvar|p}} et si {{mvar|a}} ne l'est pas, alors {{math|''a''<sup>''p''–1</sup> – 1}} l'est.

=== Une démonstration arithmétique élémentaire ===
Une autre démonstration du premier énoncé est analogue (en plus simple) à une preuve du [[Lemme de Gauss (théorie des nombres)|lemme de Gauss]] : l'astuce ici est d'évaluer modulo {{mvar|p}}, de deux façons, le produit
:<math>N=a\times 2a\times 3a\times \dots (p-1)a</math>.

La preuve est très rapide en effectuant les calculs dans l'[[anneau Z/nZ|anneau ℤ/''p''ℤ]]<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|langue=en|auteur=Sanjoy Dasgupta|auteur2=[[Christos Papadimitriou]]|auteur3=[[Umesh Vazirani]]|titre=Algorithms|passage=34|éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw-Hill]]|date=2008}}, ou {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Exercice 1-3|cet exercice corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=}}</ref>, mais on peut aussi la détailler en utilisant seulement la [[division euclidienne]], le [[lemme d'Euclide]], et une [[congruence sur les entiers#Propriétés algébriques|propriété algébrique de la congruence sur les entiers]].

{{Démonstration|contenu=
Supposons que {{mvar|a}} n'est pas divisible par {{mvar|p}} et notons
:{{mvar|N}} le produit {{math|''a'' × 2''a'' × 3''a'' × … ×(''p'' – 1)''a''}}
:{{mvar|r<sub>k</sub>}} le reste de la division euclidienne de {{mvar|ka}} par {{mvar|p}}, pour tout entier {{mvar|k}} de 1 à {{math|''p'' – 1}}. Alors
*En réordonnant les facteurs, {{math|''N'' {{=}} 1×2× … ×(''p'' – 1)×''a''<sup>''p''–1</sup> {{=}} [[Factorielle|(''p'' – 1)!]]''a''<sup>''p''–1</sup>}}.
*Par ailleurs, {{math|''N'' ≡ ''r''<sub>1</sub>×''r''<sub>2</sub>× … ×''r''<sub>''p''–1</sub> mod ''p''}}. En effet, si dans un produit on remplace un facteur par un entier qui lui est congru modulo {{mvar|p}} alors le nouveau produit est congru modulo {{mvar|p}} à l'ancien. En remplaçant dans {{mvar|N}}, un par un, chaque {{mvar|ka}} par {{mvar|r<sub>k</sub>}}, le résultat est donc congru à {{mvar|N}} modulo {{mvar|p}}.
*Or {{math|''r''<sub>1</sub>×''r''<sub>2</sub>× … ×''r''<sub>''p''–1</sub> {{=}} (''p'' – 1)!}} car {{math|(''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, … , ''r''<sub>''p''–1</sub>)}} est une [[permutation]] de {{math|(1, 2, … , ''p'' – 1)}}. En effet, {{math|0 ≤ ''r<sub>k</sub>'' ≤ ''p'' – 1}} et
:aucun {{mvar|r<sub>k</sub>}} n'est nul, car (d'après le lemme d'Euclide) aucun {{mvar|ka}} n'est divisible par {{mvar|p}} ;
:les {{mvar|r<sub>k</sub>}} sont distincts deux à deux, car si {{math|''r<sub>i</sub>'' {{=}} ''r<sub>j</sub>''}} alors {{math|(''i'' – ''j'')''a''}} est divisible par {{mvar|p}}, donc (à nouveau par le lemme d'Euclide) {{mvar|i – j}} aussi, donc (comme {{math|–''p'' < ''i – j'' < ''p''}}) {{mvar|i {{=}} j}}.
*Des trois points précédents on déduit : {{math|(''p'' – 1)!''a''<sup>''p''–1</sup> ≡ (''p'' – 1)! mod ''p''}}, autrement dit {{math|(''p'' – 1)!(''a''<sup>''p''–1</sup> – 1)}} est divisible par {{mvar|p}}. Par application répétée du lemme d'Euclide, on obtient la conclusion : {{math|''a''<sup>''p''–1</sup> – 1}} est divisible par {{mvar|p}}.
}}

=== Une démonstration par double dénombrement ===
{{Article détaillé|Preuve par double dénombrement#Petit théorème de Fermat{{!}}Preuve par double dénombrement du petit théorème de Fermat}}
On peut démontrer le petit théorème de Fermat en comptant de deux manières différentes le nombre de mots de {{mvar|p}} symboles dans un alphabet à {{mvar|a}} symboles comportant au moins deux symboles différents.

== Généralisations ==
Une légère généralisation du théorème s'énonce de la manière suivante : si {{mvar|p}} est un nombre premier et si {{mvar|m}} et {{mvar|n}} sont des [[Entier naturel|entiers strictement positifs]] tels que {{math|''m'' ≡ ''n'' mod (''p ''– 1)}} alors, pour tout entier {{mvar|a}} :
<center><math>a^m \equiv a^n\pmod p</math></center>
En effet, modulo {{mvar|p}}, les deux membres sont congrus à 0 si {{mvar|a}} est divisible par {{mvar|p}}, et s'il ne l'est pas, alors {{math|''a{{exp|n – m}}'' {{=}} (''a''{{exp|''p ''– 1}}){{exp|(''n – m'')/(''p ''– 1)}} ≡ 1{{exp|(''n – m'')/(''p ''– 1)}} {{=}} 1}}. Sous cette forme, le théorème fonde l'algorithme de [[#Cryptographie asymétrique|chiffrement RSA]].

Le petit théorème de Fermat est généralisé par le [[Théorème d'Euler (nombres)|théorème d'Euler]] : pour tout entier naturel non nul {{mvar|n}} et tout entier {{mvar|a}} [[Nombres premiers entre eux|premier avec]] {{mvar|n}}, on a
<center><math>a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n</math></center>
où {{math|φ(''n'')}} désigne l'[[indicatrice d'Euler]] de {{mvar|n}}, égale à l'ordre du [[groupe des unités]] de l'[[Anneau Z/nZ|anneau ℤ/''n''ℤ]]. Si {{mvar|n}} est un nombre premier, alors {{math|φ(''n'') {{=}} ''n'' – 1}} et l'on retrouve le petit théorème de Fermat.

Il se [[Corps fini#Polynômes primitifs et polynômes cyclotomiques|généralise de même à tout corps fini]] donc à tout [[Norme (théorie des corps)#Théorie algébrique des nombres|quotient de l'anneau des entiers d'un corps de nombres par un idéal premier]].

== Notes et références ==
{{références}}

== Annexes ==
=== Bibliographie ===
; Mathématiques
* {{HardyWright}}
* {{Samuel1}}
*{{Ouvrage|auteur=Gilles Zémor|titre=Cours de cryptographie|lieu=Paris|éditeur=Cassini|année=2000|pages totales=227|isbn=2-84225-020-6}}

; Histoire des mathématiques
* {{Ouvrage|lang=la|prénom1=Pierre de|nom1=Fermat|titre=Varia Opera mathematica|sous-titre=accesserunt selectae quaedam ejusdem Epistolae, vel ad ipsum a plerisque doctissimis viris gallice, latine vel italice, de rebus ad mathematicas disciplinas, aut physicam pertinentibus scriptae.|lieu=Toulouse|éditeur=Apud Joannem Pech|année=1679|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=fvZaAAAAQAAJ}}, lettre de Monsieur de Fermat au Révérend Père Mersenne de l'Ordre des Minimes, à Paris (XL de l'édition Tannery-Henry) p 177, A Monsieur de ****, du {{date-|18 octobre 1640}} (XLIV de l'édition Tannery-Henry) p 163.
* {{Ouvrage|auteur=[[Paul Tannery]]|auteur2=[[Charles Henry]]|titre=Œuvres de Fermat, tome premier|lieu=Paris|éditeur=Gauthier-Villars et cie|année=1891|lire en ligne=https://archive.org/details/oeuvresdefermat01ferm}}, Avertissement p IX-XXXVII.
* {{Ouvrage|auteur1=Paul Tannery|auteur2=Charles Henry|titre=Œuvres de Fermat, tome deuxième, correspondance|lieu=Paris|éditeur=Gauthier-Villars et cie|année=1894|lire en ligne=https://archive.org/details/oeuvresdefermat02ferm}}, XL, Fermat à Mersenne, juin ? 1640, p 198, et XLIV, Fermat à Frenicle, jeudi {{date-|18 octobre 1640}}, p 208.
*{{Weil1}} (chap. II. Fermat and his correspondents).

=== Liens externes ===
*{{Lien archive|auteur=Michel Hort|url=http://www.le-triangle-et-ses-calculs.ch/theoreme_de_fermat.htm|titre=Une présentation sans la notion de congruence de la démonstration d'Euler et Leibniz ci-dessus|horodatage archive=20130628071350}}
* [http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/PtThFerm.htm Le petit théorème de Fermat] sur le site de G. Villemin
* [https://www.researchgate.net/publication/242275120_Fermat_revisite Fermat revisité] par M. Gouy, G. Huvent et A. Ladureau

{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres|Fermat]]
[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Fermat]]
[[Catégorie:Pierre de Fermat]]
[[Catégorie:Arithmétique élémentaire]]
[[Catégorie:Article contenant une démonstration]]