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En [[physique]], un '''phonon''' correspond à une excitation collective dans un arrangement périodique  d'[[atome]]s constituant une [[cristal|structure cristalline]] ou [[Matière amorphe|amorphe]]. La déformation est [[Déformation élastique|élastique]]. L'onde qui se propage peut être assimilée à une [[quasi-particule]].

Ils permettent d'expliquer les propriétés physiques des solides :
* la [[capacité thermique]] ;
* la [[conductivité thermique]] ;
* la capacité à propager le [[Son (physique)|son]] ;
* la [[dilatation thermique]].

== Définition ==

Le concept de phonon<ref>{{article|langue=en|auteur=Alexei Kojevnikov|titre=Freedom, collectivism, and quasiparticles: Social metaphors in quantum physics|périodique=Historical Studies in the Physical and Biological Sciences |volume=29|numéro=2|date=1999|pages=295-331}}.</ref> a été créé par [[Igor Tamm]]{{sfn|Martinez|2022|loc={{sec.|26.2}}|p=669}} en {{date|1930|en science}}{{sfn|Martinez|2022|loc={{sec.|26.2}}|p=669}}{{,}}<ref>{{article|langue=de|auteur=[[Igor Tamm]]|titre=Über die Quantentheorie der molecularen in festen Cörpern|périodique=Zeitschrift für Physik|volume=60|date=1930|pages=345-363}}.</ref> et le mot « phonon » (du [[grec ancien]] {{grec ancien|φωνή|phonḗ}}, «voix ») a été inventé par [[Yakov Frenkel]]{{sfn|Martinez|2022|loc={{sec.|26.2}}|p=669}} en {{date|1932|en science}}{{sfn|Martinez|2022|loc={{sec.|26.2}}|p=669}}{{,}}<ref>{{article|langue=en|auteur=[[Yakov Frenkel]]|titre=On the elementary derivation of some relations in the electron theory of metals|périodique=PZSU|date=1932|volume=2|pages=247-253}}.</ref>. Le suffixe « -on », qui apparaît dans le nom de nombreuses entités de la [[physique de la matière condensée]] (excitons, magnons{{etc.}}) a été calqué sur la fin du mot ''électron'' (mot inventé par [[George Stoney]] en 1891)<ref>{{article|langue=en|auteur1=C. T. Walker|auteur2=G. A. Slack|titre=Who named the -ON'S?|périodique=[[American Journal of Physics]]|volume=38|page=1380|date=1970}}.</ref>.

Un phonon est la description [[mécanique quantique|quantique]] du mouvement [[vibration|vibratoire]] élémentaire dans lequel un [[réseau]] d'atomes ou d'[[Cristal ionique|ions]] oscille uniformément à une [[fréquence]] donnée<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=Steven Simon|titre=The Oxford Solid State Basics|date=2013|édition=[[Oxford University Press]]|isbn=978-0-19-968077-1|pages=82}}</ref>. Il s'agit précisément du [[quantum]] d'énergie d'un mode de vibration du réseau, par analogie au [[photon]] qui est le quantum d'énergie d'une [[onde électromagnétique]]. Puisqu'il peut y avoir plusieurs phonons pour un même mode de vibration (voir section [[#Approche quantique|Approche quantique]]), le phonon n'est pas soumis au [[principe d'exclusion de Pauli]], il est donc un [[boson]], comme le photon. De même qu'on associe à la notion de photon aussi bien son quantum d'énergie que sa réalité physique ([[dualité onde-corpuscule]]), le phonon est souvent assimilé à son mode de propagation ou à la quasi-particule.

{{refsou|En [[mécanique classique]] cela correspond{{pourquoi|date=décembre 2024}} à un [[mode normal]] de vibration. L'[[analyse de Fourier]] permet de décomposer toute vibration du réseau comme une [[principe de superposition|superposition]] de ces modes de vibration ''élémentaires''. Alors que les modes normaux de la mécanique classique sont traités comme des phénomènes [[onde|ondulatoires]], les phonons peuvent être assimilés à une particule de la mécanique quantique.}}

== Dynamique du réseau cristallin ==

Dans un solide, il existe des forces d'interaction (essentiellement les [[liaison covalente|forces covalentes]] ou [[Liaison ionique|ioniques]] dans notre cas) qui maintiennent chaque atome près d'une position d'équilibre. L'interaction entre chaque paire d'atomes peut être caractérisée par une fonction d'[[énergie potentielle]] <math>\textstyle V_{ij}</math> qui ne dépend que de la distance <math>\textstyle r_{ij}</math> entre chacun des couples de ces <math>\textstyle N</math> atomes et de leur nature. L'énergie potentielle du réseau dans son ensemble est la somme des énergies potentielles d'interaction de chaque paire :

::<math>E = \sum_{i=1}^N \sum_{j=i+1}^N V_{ij}(r_{ij})</math>

Cette expression, caractéristique d'un [[Problème à N corps|problème à ''N'' corps]], ne se prête pas à une résolution que ce soit en [[mécanique classique]] ou en [[mécanique quantique]]. Il est donc nécessaire de procéder à des approximations pour poursuivre l'analyse. Les trois approximations généralement employées sont :
* restreindre l'étude à un nombre limité d'atomes en utilisant des conditions aux limites périodiques. Cette simplification appelée [[Conditions de Born-von Karman|hypothèse de Born-von Kármán]] suppose implicitement que l'on saura traiter le cas <math>\textstyle N\to\infty</math>. Une conséquence peu mise en avant est le fait qu'un tel modèle est inapte à traiter les conditions au bord du solide<ref name=Klemens>{{ouvrage|titre=Encyclopedia of Physics|series=Low Temperature Physics I |auteur=P. G. Klemens |chapter=Thermal Conductivity of Solids at Low Temperatures |pages=198-281 |date=1956 |éditeur=Springer-Verlag|isbn=978-3-662-38851-8}}</ref> ;
* restreindre la sommation aux atomes voisins (''approximation des voisins les plus proches''). En effet, bien que rigoureusement les forces électriques aient une portée infinie dans un solide réel, cette approximation est valide car les forces s'exerçant sur des atomes éloignés sont [[écrantage|écrantées]] et donc négligeables ;
* considérer que le potentiel V est un [[oscillateur harmonique|potentiel harmonique]], ce qui est valide lorsque les atomes restent proches de leurs positions d'équilibre. Formellement, cette hypothèse s'applique en effectuant un [[série de Taylor|développement de Taylor]] du potentiel autour de la valeur d'équilibre et en ne gardant que les termes jusqu'à l'ordre 2. Dans certains cas cette approximation est insuffisante et l'on doit monter en ordre au prix d'une plus grande complexité du problème.
Bien entendu l'analyse prend en compte le fait qu'il s'agit d'un [[cristallographie|réseau cristallin]] qui reproduit un certain nombre de cellules de base : le [[réseau de Bravais]].

Pour un potentiel <math>\textstyle V_{ij}</math> harmonique le potentiel global s'écrira en ne retenant que les interactions entre proches voisins (noté ''pv'') :
::<math>E = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{pv} \mu_{ij}\omega_{ij}^2R_{ij}^2</math>
où :
* <math>\textstyle \mu_{ij}=\left(m_i^{-1}+m_j^{-1}\right)^{-1}</math> est la [[masse réduite]] ;
* <math>\textstyle \omega_{ij}</math> est la [[Fréquence|pulsation]] propre au couple (i,j) ;
* <math>\textstyle R_{ij}</math> est la distance <math>\textstyle r_{ij}</math> pour un réseau cristallin au repos.

== Réseau unidimensionnel ==
[[Fichier:1D normal modes (280 kB).gif|thumb|Oscillations des premiers [[modes normaux de vibration]] dans un réseau unidimensionnel. Les déplacements sont exagérés pour une bonne visualisation.]]
On traite ci-dessous le réseau à une seule dimension qui permet de comprendre les concepts du domaine.

=== Approche classique ===
On étudie donc un tel réseau, homogène (un seul type d'atome), comportant N atomes de masse m positionnés en <math>\textstyle \;x_i\,,\; i=1..N\;</math> liés entre eux par un potentiel harmonique représenté par un ressort de [[constante élastique]] C. À l'équilibre la distance entre atomes est a. Avec l'approximation de périodicité et celle de la seule influence des voisins proches, on peut écrire la dynamique du système physique par le système d'équation [[cinématique]]s suivant :
::<math>m\frac{d^2 x_i}{dt^2}=C(x_{i+1}-x_{i-1})-2Cx_i\,,\quad i=1..N\,,\quad x_0=x_N\,,\;x_{N+1}=x_1</math>
La solution étant supposée oscillatoire on utilise pour obtenir un découplage des équations du système une [[transformation de Fourier discrète]]<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=Richard D. Mattuck|titre=A Guide to Feyman Diagrams in the Many-Body Problem|éditeur=[[Dover Publications|Dover Books on Physics and Chemistry]]|date=1967|url=https://webéducation.com/wp-content/uploads/2018/12/A-Guide-to-Feynman-Diagrams-in-the-Many-Body-Problem.pdf}}</ref>. On définit les coordonnées normales :
::<math>Q_k=\sum_{i=1}^N x_i e^{-j\frac{2\pi}{N}ka} \;\Longleftrightarrow\; x_i = \sum_{k=1}^N Q_k e^{jkia}\,, \quad k = {n\pi \over Na}\,,\quad n = 1, ... , N</math>
où j est l'[[unité imaginaire]].

On obtient un système d'équations découplées<ref name=Misra/> :
::<math>\frac{d^2 Q_k}{dt^2}=2\Omega^2(\cos ka-1)Q_k\,,\quad \Omega=\sqrt{\frac{C}{m}}</math>
La solution de chaque équation s'écrit comme une fonction sinusoïdale d'amplitude <math>\textstyle A_k</math> :
::<math>X_k=A_ke^{i\omega_k t}\,,\quad \omega_k=\Omega\sqrt{2(1-\cos ka)}=2\Omega\left|\sin\frac{ka}{2}\right|</math>
Elle constitue un [[mode normal]] de [[nombre d'onde]] k et de [[Fréquence|pulsation]] <math>\textstyle \omega_k</math>.

La relation <math>\textstyle k\to \omega_k</math> constitue la [[relation de dispersion]].

Dans la limite du continu obtenue pour <math>\textstyle N\to\infty\,,a\to 0\,,Na=C^{ste}</math> on obtient un champ d'oscillateurs harmonique de pulsation <math>\textstyle \omega(k)=\Omega ak</math>.

=== Approche quantique ===
L'[[hamiltonien]] du système [[oscillateur harmonique quantique|s'écrit]] :
::<math> \mathbf{H} = \sum_{i=1}^N {P_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{i=1}^N\sum_{pv} (X_i - X_j)^2 </math>
où
* <math>\textstyle X_i</math> est l'opérateur position pour l'atome i ;
* <math>\textstyle P_i</math> est l'opérateur [[impulsion (physique)|impulsion]].

On définit :
* 2''N''+1 « coordonnées normales » ''Q<sub>k</sub>'' définies comme les [[transformée de Fourier|transformées de Fourier]] des opérateurs position ''X<sub>i</sub>'' ;
* 2''N''+1 « moments conjugués » Π<sub>''k''</sub> définis comme les [[transformée de Fourier|transformées de Fourier]] des opérateurs impulsion ''P<sub>i</sub>''.
::<math>\begin{matrix}
X_i   &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{k} Q_k e^{jkia} &\,, \quad k = {n\pi \over Na}\,,
\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, ... , \pm N \\
P_i   &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{k} \Pi_k e^{-jkia}& \\
\end{matrix}</math>

''k'' est le [[nombre d'onde]] du phonon qui prend des valeurs quantifiées résultant du choix de la périodicité du système.

En inversant la [[transformée de Fourier]] pour exprimer les ''Q<sub>k''</sub> en fonction des ''X<sub>i''</sub> et les Π<sub>''k''</sub> en fonction des ''P<sub>i''</sub>, et en utilisant les relations de commutations canoniques entre les ''X<sub>i''</sub> et les ''P<sub>i''</sub> de la [[mécanique quantique]] :

::<math>\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] = i \hbar \delta_{k k'} \,,\quad
\quad \left[ Q_k , Q_{k'} \right] = \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0</math>

En d'autres termes, les coordonnées normales ''Q<sub>k</sub>'' et leurs moments conjuguées Π''<sub>k</sub>'' obéissent aux mêmes relations de commutation que les opérateurs position ''X<sub>i</sub>'' et impulsion ''P<sub>i</sub>''. En fonction de ces grandeurs, l'hamiltonien s'écrit :

::<math> \mathbf{H} = \sum_k \left(
{ \Pi_k\Pi_{-k} \over 2m } + {1\over2} m \omega_k^2 Q_k Q_{-k}\right) </math>

avec

::<math> \omega_k = \Omega\sqrt{2 (1 - \cos ka )}=2\Omega\left|\sin\frac{ka}{2}\right| </math>

Le couplage entre les variables positions a été transformé. Si les ''Q<sub>k</sub>'' et les ''Π<sub>k</sub>'' étaient [[hermitien]]s (ce qui n'est pas le cas), l'hamiltonien transformé décrirait ''N'' oscillateurs harmoniques ''non couplées''. En fait, cet hamiltonien décrit une [[théorie quantique des champs]] de [[boson]]s découplés.

Le spectre des énergies propres de cet hamiltonien est obtenu en utilisant les [[Oscillateur harmonique quantique|opérateurs adjoints ''création'' et ''annihilation'' de quantum d'énergie]] ''a<sub>k</sub>''<sup>†</sup> et ''a<sub>k</sub>'' définis comme :

:<math>\begin{matrix}
a_k &=& \sqrt{m\omega_k \over 2\hbar} (Q_k + {i\over m\omega_k} \Pi_{-k}) \\
a_k^\dagger &=& \sqrt{m\omega_k \over 2\hbar} (Q_{-k} - {i\over m\omega_k} \Pi_k)
\end{matrix}</math>

Ces opérateurs adjoints vérifient :

::<math>\mathbf{H} = \sum_k \hbar \omega_k \left(a_k^{\dagger}a_k + 1/2\right) </math>
::<math>[a_k , a_{k'}^{\dagger} ] = \delta_{kk'}</math>
::<math>[a_k , a_{k'} ] = [a_k^{\dagger} , a_{k'}^{\dagger} ] = 0.</math>

Comme dans le cas de l'[[oscillateur harmonique quantique]], on peut montrer que les opérateurs ''a<sub>k</sub>''<sup>†</sup> et ''a<sub>k</sub>'' correspondent respectivement à la création et l'annihilation d'une excitation d'énergie ℏω<sub>''k''</sub>. Cette excitation est un phonon<ref>[http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/phonon/60353 Définition sur le site Larousse].</ref>, correspondant à l'intervalle d'énergie relative à un phonon entre deux niveaux du mode k :
::<math>E_n=\left(n+\tfrac12\right)\hbar \omega_k \,,\quad n=1,2,3...</math>

On peut immédiatement en déduire deux propriétés importantes des phonons. D'abord, les phonons sont des [[boson]]s : tout mode de vibration ''k'' peut voir son nombre d'excitation augmenter par l'application répétée de l'opérateur création ''a<sub>k</sub>''<sup>†</sup>. En second lieu, chaque phonon est un « mode collectif » correspondant au mouvement de la (quasi) totalité des atomes du réseau. Cette seconde conclusion se voit dans le fait que les opérateurs adjoints contiennent des sommations sur les positions et les impulsions de tous les atomes du réseau.

On peut voir que les excitations générées par les opérateurs adjoints sont des ondes de déplacement d'atomes du réseau en calculant la [[Autocorrélation|fonction de corrélation]] ''position-position''. Soit <math>\textstyle | k \rangle</math> un état pour lequel un seul quantum de mode ''k'' est excité, c’est-à-dire :

::<math>\begin{matrix}
| k \rangle = a_k^\dagger | 0 \rangle
\end{matrix}</math>

On peut alors montrer que pour deux atomes ''i'' et ''j'' quelconques :

::<math>\langle k | x_i(t) x_j(0) | k \rangle = \frac{\hbar}{Nm\omega_k} \cos \left[ k(i-j)a - \omega_k t \right] + \langle 0 | x_i(t) x_j(0) |0 \rangle </math>

ce qui décrit une onde du réseau de [[fréquence angulaire|pulsation]] ω<sub>''k''</sub> et de [[nombre d'onde]] ''k''.

== Réseau tridimensionnel ==
La généralisation à trois dimensions du modèle unidimensionnel précédent est aisée (mais assez lourde). Le [[nombre d'onde]] ''k'' est remplacé par un vecteur à trois dimensions, le [[nombre d'onde|vecteur d'onde]] <math> \vec k </math>. De plus, <math> \vec k </math> est maintenant associé à ''trois'' coordonnées normales. L’hamiltonien a la forme :

::<math>
\mathbf{H} = \sum_k \sum_{s=1}^3 \hbar \, \omega_{k,s}
\left( a_{k,s}^{\dagger}a_{k,s} + \frac{1}{2} \right)
</math>

Le nouvel indice ''s'' = 1, 2, 3 correspond à la [[Polarisation (optique)|polarisation]] des phonons lorsque la maille primitive comporte un seul type d'atome. En effet, dans un modèle unidimensionnel, les atomes ne peuvent vibrer que sur une ligne, et tous les phonons correspondent à une [[ondes mécaniques progressives|onde longitudinale]]. En revanche en trois dimensions, la vibration ne se fait plus uniquement dans la direction de propagation, mais peut également lui être perpendiculaire. Elle correspond alors à une [[ondes mécaniques progressives|onde transverse]]. Cela donne naissance à des coordonnées normales supplémentaires, qui comme l'expression de l'hamiltonien l'indique, correspondent à des espèces indépendantes de phonons.

Dans le cas où une maille primitive du réseau comporte p types d'atomes, le nombre de modes accessibles par vecteur d'onde k, devient 3p (3 modes acoustiques et 3p-3 modes optiques). La somme sur s, dans l'hamiltionien se fait de 1 jusqu'à 3p.

== Courbe de dispersion ==
[[File:Relation dispersion monomere et dimere.jpg|thumb|Relations de dispersion pour des chaînes monoatomique et diatomique linéaires (cas <math>\textstyle m_1=m\;,m_2=2m</math>)]]
Dans le cas d'un réseau monoatomique la relation de dispersion <math>\textstyle \omega=f(k)</math> est périodique, de période <math>\textstyle \frac{2\pi}{a}</math>. Elle est nulle en <math>\textstyle k=0</math> et approximativement linéaire à partir de ce point pour les faibles valeurs de k. Dans cette région les [[Vitesse d'une onde|vitesses de phase et de groupe]] sont égales <math>\textstyle \frac{d\omega}{dk}=\frac{\omega}{k}=\Omega a</math>. La valeur <math>\textstyle k=0</math> correspond à une longueur d'onde infinie : le réseau cristallin de déplace en bloc.

Dans le cas général il existe plusieurs atomes différents dans le réseau. On peut calculer la relation de dispersion analytiquement dans les cas d'un réseau unidimensionnel alterné à deux atomes de masses <math>\textstyle m_1</math> et <math>\textstyle m_2</math><ref name=Misra>{{ouvrage |titre=Physics of Condensed Matter |auteur=Prasanta Kumar Misra |url=https://books.google.fr/books?id=J6rMISLVCmcC&pg=PA44&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false |pages=44-47 |chapitre=§2.1.2 et 2.1.3 |éditeur=[[Academic Press]] |isbn=978-0-12-384954-0 |date=2010}}</ref> :
::<math>\omega_\pm^2 = C\left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2}\right) \pm C \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2}\right)^2-\frac{4\sin^2\frac{ka}{2}}{m_1 m_2}}</math>
Il existe deux branches :

* la branche inférieure, analogue à celle de la chaîne monoatomique et correspondant aux faibles fréquences, est la branche acoustique. Il s'agit d'un mouvement d'ensemble des atomes. Deux voisins vibrant quasiment [[Déphasage|en phase]], des zones apparaissent où les atomes sont plus resserrés que d'autres, suivant le même mécanisme de compression et décompression qu'une onde sonore ;
* la branche supérieure est la branche optique ; elle correspond à des fréquences plus élevées. Deux atomes voisins de signes de charge opposés oscillent en opposition de phase. Un rayonnement infrarouge peut générer une telle vibration pour autant qu'il y ait une différence d'électronégativité des atomes de la maille élémentaire. Inversement, comme il y apparition d'un dipôle électrique oscillant dans un [[Cristal ionique|réseau ionique]], il peut y avoir émission d'un photon.

Les deux branches sont séparées par une bande de fréquences interdites

Cette configuration est générale et permet d'établir une nomenclature des phonons suivant que ceux-ci sont acoustiques (A) ou optiques (O), polarisés longitudinalement (L) ou transversalement (T). D'où les appellations : LA, LO, TA et TO.

La présence de [[Théorie des bandes|bandes de fréquences interdites]] est une caractéristique de la physique des solides.

== Le phonon comme pseudo-particule ==

=== Pseudo-quantité de mouvement ===

Il est tentant de considérer un phonon de [[nombre d'onde|vecteur d'onde]] <math>\textstyle \,\vec k\, </math> comme s'il possédait une [[quantité de mouvement]] <math>\textstyle \,\hbar\vec k\,</math>, par analogie avec les [[photon]]s, ou toutes les ondes correspondant à un corpuscule ([[dualité onde-corpuscule]]). Ce n'est pas tout à fait correct, car <math>\textstyle \, \hbar\vec k\, </math> n'est pas réellement une quantité de mouvement physique. Il est nommé ''pseudo- quantité de mouvement'' ou ''« impulsion » de vibration''. Ceci est dû au fait que <math>\textstyle \, \vec k \,</math> n'est déterminé qu'à un multiple de vecteur constant près, le vecteur <math>\textstyle \, \vec K \,</math> du [[réseau réciproque]]. Par exemple les coordonnées normales Q et Π sont définies de telle manière que :

:<math>\mathrm{Q}_\vec{k} \equiv \mathrm{Q}_{\vec{k} + \vec{K}} \quad;\quad \Pi_\vec{k} \equiv \Pi_{\vec{k} + \vec{K}}</math>

Pour un réseau unidimensionnel <math>\textstyle \;K = 2n\pi/a\,,\;n=1,2,3...</math>. Un phonon de nombre d'onde ''k'' est donc équivalent à un nombre infini d'autres phonons de la même famille de nombres d'onde ''k'' ± 2π/''a'', ''k'' ± 4π/''a'', ''etc''.

Généralement, on ne considère que les phonons de vecteurs d'onde <math> \vec k </math> de chaque famille possédant le plus « petit » vecteur <math> \vec k </math>. L'ensemble de ces vecteurs définit la première [[zone de Brillouin]]. D'autres zones de Brillouin peuvent être définies comme des copies de la première zone, décalées d'un multiple de vecteurs du réseau réciproque.

=== Thermodynamique ===
L'ensemble des phonons présents dans un cristal peut être considéré comme un gaz, au même titre que le [[gaz de photons]]. Les phonons étant des [[boson]]s leur distribution statistique obéit à la [[statistique de Bose-Einstein]] :

::<math>n_{k,s} = \frac{1}{\exp\left(\dfrac{\hbar\omega_{k,s}}{k_\mathrm{B}T}\right) - 1}</math>

L'énergie du milieu est donc :
::<math>E=\sum_k \sum_{s=1}^3 \left(n_{k,s}+\tfrac12\right)\hbar \omega_k </math>

À partir de la fonction de partition <math>\textstyle \,Z=\Pi_k\Pi_{s=1}^3n_{k,s}e^{-\frac{\hbar\omega_{k,s}}{2k_\mathrm{B}T}}\,</math> la [[physique statistique]] permet de calculer toutes les propriétés thermodynamiques.

=== Interactions des phonons ===

Les phonons peuvent interagir<ref name=Kittel>{{ouvrage|langue=en|auteur=[[Charles Kittel]]|titre=Introduction to Solid State Physics|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|date=1953|url=https://web.nit.ac.ir/~m.gholipour/Nanoelectronics/Charles%20Kittel%20-%20Introduction%20to%20Solid%20State%20Physics-Wiley%20%282004%29-8Ed.pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur=[[Joseph Callaway]]|titre=Quantum Theory of the Solid State, Part B|éditeur=[[Academic Press]]|date=1974|isbn=0121552020}}</ref>{{,}}<ref name=Klemens/> avec une singularité du réseau cristallin (atome étranger ou [[isotope]], [[Lacune (cristallographie)|lacune]], [[dislocation]] ou autre défaut). Il en résulte une diffusion qui ne conserve pas la quantité de mouvement.

Ils peuvent aussi réagir avec un autre phonon ; deux cas sont possibles :
* la somme des deux vecteurs d'onde est telle que leur somme reste dans la [[zone de Brillouin]] et le vecteur d'onde résultant a cette somme ;
* dans le cas contraire on a affaire à un [[Diffusion Umklapp|processus ''umklapp'']] (''umklappprozeß'') qui ne conserve pas la quantité de mouvement pour le phonon résultant, l'excédent étant transféré au réseau dans son ensemble. Il faut noter que ce phénomène anharmonique est lié au terme d'ordre 3 dans le développement du [[potentiel interatomique]] du milieu.

Une interaction est aussi possible avec les électrons lorsque ceux-ci sont loin de l'équilibre thermodynamique. Le schéma d'interaction est analogue à l'interaction phonon-phonon et peut conduire à une diffusion ''umklapp''.

Enfin on a déjà mentionné plus haut l'interaction photon-phonon pour la branche optique des cristaux ioniques. Une [[interaction faible]] peut également se produire avec les branches acoustiques ([[diffusion Brillouin]]).

Tous ces phénomènes conservent l'énergie.

=== Conduction thermique ===
Il est possible d'écrire une équation cinétique pour la population <math>\textstyle n_{\mathbf{k},s}</math>, c'est l'[[équation de Boltzmann-Peierls]]. Plus générale que l'[[équation de la chaleur]], elle permet le calcul des échanges thermiques au niveau microscopique, par exemple en microélectronique.

La [[capacité calorifique]] d'un matériau cristallin est accessible par le [[modèle de Debye]], issu des méthodes décrites ci-dessus.

La [[conductivité thermique]] λ qui peut être reliée<ref name=Kittel/> à la [[Capacité thermique massique|chaleur spécifique]] C<sub>V</sub> et au [[libre parcours moyen]] dans le milieu l par l'expression <math>\textstyle \lambda=\frac{1}{3}C_V l</math> mais qui en pratique est issue de l'expérience.

== Références ==
{{Références}}
== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{Chapitre | langue=en | prénom=Jean-Philippe | nom=Martinez | titre=Foundations of quantum physics in the Soviet Union | auteur ouvrage=[[Olival Freire Jr.|Olival Freire {{Jr.}}]] (éd.) | titre ouvrage=The Oxford handbook of the history of quantum interpretations | lieu=Oxford | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]] | collection=Oxford handbooks | date=3/2022 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XIV}}-1296 | format livre={{dunité|17,1|24,6|cm}} | isbn10=0198844492 | isbn=978-0-19-884449-5 | ean=9780198844495 | oclc=1373605645 | doi=10.1093/oxfordhb/9780198844495.001.0001 | sudoc=62039761 | résumé=https://academic.oup.com/edited-volume/43513 | présentation en ligne=https://global.oup.com/academic/product/the-oxford-handbook-of-the-history-of-quantum-interpretations-9780198844495 | lire en ligne={{Google Livres|id=EVBgEAAAQBAJ}} | consulté le=10 août 2023 | partie={{chap.|26}} | passage=667-686 | libellé=Martinez 2022}}.

=== Articles connexes ===
* [[Physique des particules]]
* [[Cristallographie]]
* [[Liste de particules#Matière condensée|Liste de particules]]

=== Liens externes ===
* {{Lien web | langue=en | titre=phonon | traduction titre=phonon | url=https://www.oxfordreference.com/display/10.1093/oi/authority.20110803100323782 | description=notice d'autorité {{numéro|20110803100323782}} | accès url=libre | série=Oxford Référence | lieu=Oxford | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]]}}.

{{Palette|Tableau particules}}
{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Quasi-particule]]