Voir la source de Physique statistique

{{Sources à lier|date=décembre 2023}}
{{Infobox Discipline
|image = BrownianMotion.svg
|légende =[[Mouvement brownien]] d'une particule.
}}

La '''physique statistique''' a pour objet d'expliquer le comportement et l'évolution de [[système physique|systèmes]] [[microscopique et macroscopique|macroscopiques]] à partir des caractéristiques de leurs constituants [[microscopique et macroscopique|microscopiques]]. Ces constituants peuvent être des [[atome]]s, des [[molécule]]s, des [[ion]]s, des [[électron]]s, des [[photon]]s, des [[neutrino]]s, ou des [[particule élémentaire|particules élémentaires]] et sont généralement désignés sous le terme général de particules. La physique de ces particules<ref group=alpha>Ne pas confondre la physique de ces particules (où le mot ''{{page h|particule}}'' a un sens très général) avec la [[physique des particules]] qui concerne la nature et les propriétés des [[particule subatomique|particules subatomiques]].</ref> peut être décrite par des lois [[physique classique|classiques]] ou [[mécanique quantique|quantiques]] selon les systèmes étudiés, mais la description macroscopique obtenue cherche généralement à s'accorder avec les observations de la [[thermodynamique|thermodynamique classique]]. Pour cette raison, la physique statistique est parfois appelée '''thermodynamique statistique'''.

La physique statistique a d'abord été développée, notamment par [[Ludwig Boltzmann]], pour comprendre les systèmes à l'[[équilibre thermodynamique|équilibre]], elle a ensuite été appliquée aux phénomènes se produisant [[physique statistique hors d'équilibre|hors de l'équilibre]] comme la [[nucléation]], mais elle peut avoir bien d'autres usages (par exemple en aidant à comprendre le [[big data]]).

== Historique ==
[[Fichier:Randomwalk2rp.png|vignette|Graphique des déplacements d'un « ''random walker'' » (ou marcheur aléatoire en français). C'est un concept souvent utilisé en mathématiques et en physique pour modéliser le mouvement aléatoire d'une particule ou d'un objet dans un espace donné.]]
La physique statistique fut introduite initialement sous la forme de la [[théorie cinétique des gaz]] à partir du milieu du {{s-|XIX}}, principalement par [[James Clerk Maxwell]]<ref>{{Article|langue=en|auteur=James Clerk Maxwell|titre=Illustrations of the dynamical theory of gases.—Part I. On the motions and collisions of perfectly elastic spheres|journal=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|volume=19|numéro=124|pages=19–32|éditeur=Taylor&Francis|année=1860|date=|doi=https://doi.org/10.1080/14786446008642818|lire en ligne=https://www.informationphilosopher.com/solutions/scientists/maxwell/illustrations_dynamical_theory_gases_1.pdf|format=pdf}}.</ref> et [[Ludwig Boltzmann]]<ref>{{Article|langue=de|auteur=Ludwig Boltzmann|titre=Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen|journal=Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe|numéro=66|pages=275–370|année=1872|date=|doi=https://doi.org/10.1007/978-3-322-84986-1_3}}.</ref>. Cette première approche visait à proposer un modèle simple de la [[matière]] à l'échelle atomique, et en particulier des collisions entre atomes ou molécules, pour reproduire le comportement de certaines quantités macroscopiques. C'est à cette époque que l'interprétation de la pression comme mesure de la quantité de mouvement des constituants d'un gaz a été formalisée.

La mécanique statistique fut formalisée en [[1902]] par [[Willard Gibbs]]<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Josiah Willard Gibbs|auteur2=Marcel Brillouin|responsabilité2=Introduction|traducteur=F. Cosserat|titre=Principes élémentaires de mécanique statistique|lieu=Paris|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|collection=Actualités scientifiques et industrielles|numéro dans collection=1440|année=1998|pages totales=195|isbn=978-2-7056-6341-4|oclc=39142648|bnf=36703719}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Luis|nom1=Navarro|titre=Gibbs, Einstein and the Foundations of Statistical Mechanics|périodique=Archive for History of Exact Sciences|volume=53|numéro=2|pages=147–180|date=1998-06-01|issn=1432-0657|doi=10.1007/s004070050025}}.</ref>, son formalisme permettant de généraliser et de justifier ''a posteriori'' les principes de la [[thermodynamique]] d'équilibre.

Les premières extensions de la physique statistique, par rapport à la mécanique statistique, ont été l'introduction des propriétés [[électricité|électriques]] et [[magnétisme|magnétiques]] de la matière au sein des modèles, permettant la description des [[transition de phase|transitions de phase]] dans les matériaux magnétiques ou diélectriques, comme la transition [[ferromagnétisme|ferromagnétique]], notamment via l'introduction du [[modèle d'Ising]].

Une autre étape importante fut la modification des formules statistiques, entre les [[années 1920]] et [[années 1930|1930]], pour tenir compte des effets de [[Particules indiscernables|l'indiscernabilité des particules quantiques]]. Cette modification fut effectuée par [[Satyendranath Bose|Bose]] et [[Albert Einstein|Einstein]] pour les systèmes de particules de [[spin]] entier ([[boson]]s) et par [[Enrico Fermi|Fermi]] et [[Paul Dirac|Dirac]] pour les systèmes de particules de [[spin]] [[demi-entier]] ([[fermion]]s).

Des liens, bidirectionnels, se tissent entre l'[[intelligence artificielle]], les [[réseaux neuronaux]] et la physique statistique : l'IA peut aider les physiciens à comprendre le monde, mais inversement, on a constaté que {{Citation|certains modèles étudiés en physique statistique sont mathématiquement équivalents à ceux des statistiques en grande dimension ([[Big data]]..). En [[science des données]], les modèles servent habituellement à guider la conception des [[algorithme]]s. En physique, les modèles (souvent les mêmes) sont étudiés, dans une optique un peu plus académique, d’abord pour comprendre leur comportement. En particulier, la physique statistique traite souvent des [[Transition de phase|transitions de phases]], c’est-à-dire des changements abrupts de comportement. Or, curieusement, il existe une correspondance étroite entre les phases physiques (liquide, liquide surfondu ou verre, solide) et les régions des paramètres pour lesquelles une tâche spécifique d’analyse de données est algorithmiquement impossible, difficile ou simple<ref name="Zdeborova">{{Lien web |prénom=Lenka |nom=Zdeborova |titre=Comprendre le big data avec la physique statistique |url=https://theconversation.com/comprendre-le-big-data-avec-la-physique-statistique-79130 |site=The Conversation |date=2017-06-12 |consulté le=2024-11-01}}.</ref>.}} Des chercheurs tentent d'identifier ces phases dans divers problèmes de science des données, qui peuvent conduire à découvrir de nouvelles classes d’algorithmes (par exemple, des ''algorithmes spectraux'' capables de traiter des ensembles de données peu reliés), ou de nouveaux protocoles de mesures d’[[acquisition comprimée]], inspirés de la [[nucléation]] telle qu'observée dans le monde physique<ref name="Zdeborova" />.

== Introduction et généralités ==
Typiquement, à notre échelle, un système matériel à l'[[équilibre thermodynamique]] est décrit à l'aide d'un nombre restreint de paramètres dits macroscopiques caractérisant les valeurs de certaines grandeurs physiques macroscopiques ; par exemple, un volume de gaz à l'équilibre est caractérisé par sa [[densité]] {{mvar|μ}}, sa [[pression]] {{mvar|P}}, sa [[température]] {{mvar|T}} et son [[volume]] {{mvar|V}}. La physique statistique établit des liens statistiques entre ces grandeurs physiques macroscopiques et d'autres grandeurs microscopiques caractérisant les constituants élémentaires (atomes ou molécules) du système matériel.

Cette procédure est utile, car il est en pratique impossible de suivre l'évolution des constituants individuels du gaz. Par exemple, un litre d'air contient environ {{nombre|3 e22 molécules}} (un nombre de l'ordre du [[nombre d'Avogadro]]). Même s'il était possible de suivre l'évolution individuelle de chacune d'elles, cela ne donnerait probablement pas d'information pertinente sur le système. Le but de la physique statistique est de relier les quantités macroscopiques décrivant les systèmes aux quantités d'origine microscopiques qui décrivent les constituants du système, notamment via leurs propriétés statistiques. Par exemple, la [[température]] d'un [[gaz parfait]] est une mesure de l'[[énergie cinétique]] moyenne des particules qui le composent.

Une des raisons qui permet un passage du microscopique au macroscopique est en fait le nombre gigantesque des constituants du système. Pour cette raison, on parle de l'énergie cinétique {{mvar|E}} totale des molécules d'un gaz, car les fluctuations statistiques {{math|Δ''E''}} d'une telle quantité sont limitées par la relation issue de la [[loi de Poisson]] :
:<math>\frac{\Delta E}{E} \sim \frac{1}{\sqrt{N}}</math>,
<br>où {{mvar|N}} est le nombre de molécules du volume de gaz considéré. Il est donc possible que l'énergie cinétique totale des molécules du gaz soit, dans une petite région, légèrement différente de la valeur moyenne attendue. Même pour des petits volumes, par exemple de l'ordre de {{unité|1 mm3}} pour un gaz à [[atmosphère normalisée|température et pression normales]], soit environ {{unité|3 e16 particules}}, les fluctuations de l'énergie cinétique totale sont inférieures à {{unité|e-8}} et en pratique presque toujours négligeables.

=== Postulat fondamental ===
==== Énoncé ====
Le postulat fondamental de la physique statistique d'équilibre (aussi connu comme le postulat des probabilités ''a priori'' égales) est :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |'''Étant donné un système isolé en équilibre, il se trouve avec probabilités égales dans chacun de ses [[micro-état (physique statistique)|micro-états]] accessibles.'''
|}</center>

Ce postulat est une hypothèse fondamentale en physique statistique : il signifie qu'un système n'a pas de préférence pour n'importe lequel de ses [[Micro-état (physique statistique)|micro-états]] accessibles. Étant donnés Ω micro-états à énergie donnée, la probabilité que le système se trouve à un micro-état particulier est p = 1/Ω. Ce postulat, nécessaire, permet de conclure que pour un système à l'équilibre, l'état thermodynamique (le macro-état) qui peut résulter du plus grand nombre de micro-états est aussi le macro-état le plus probable du système.

Par rapport aux postulats sous-tendant la [[théorie cinétique des gaz]], il s'agit d'un saut dans l'abstraction qui permet toutes les généralisations. Cet énoncé remplace avantageusement les modèles microscopiques à la fois simplistes et pourtant lourdement calculatoires par des incertitudes statistiques. Le modèle s'applique ''a priori'' à tout système possédant un mécanisme de redistribution statistique de l'énergie au niveau microscopique.

==== Origine : l'hypothèse ergodique ====
Dans le cadre naissant de la théorie cinétique des gaz, Boltzmann a formulé en [[1871]] une hypothèse, connue aujourd'hui sous le nom d'[[hypothèse ergodique]] : « Le point représentatif d'un système hamiltonien invariant par translation dans le temps passe au cours du temps par chaque point de l'[[hypersurface]] d'énergie constante. »

Il a été prouvé en [[1910]] que cette hypothèse est fausse, mais on a depuis démontré que certains systèmes physiques vérifient l'''hypothèse quasi-ergodique'' :

{{énoncé|Le point représentatif d'un système hamiltonien invariant par translation dans le temps passe au cours du temps ''aussi près que l'on veut de chaque point'' de l'hypersurface d'énergie constante.}}

Cependant, en dépit de progrès très importants réalisés en [[théorie ergodique]] et en [[théorie du chaos]], l'utilisation de l'hypothèse quasi-ergodique pour justifier le postulat fondamental de la physique statistique reste à ce jour controversée<ref>{{Chapitre|prénom1=Domokos|nom1=Szász|titre chapitre=Boltzmann’s Ergodic Hypothesis, a Conjecture for Centuries?|titre ouvrage=Hard Ball Systems and the Lorentz Gas|volume=101|éditeur=Springer Berlin Heidelberg|date=2000|pages totales=421–446|isbn=978-3-642-08711-0|doi=10.1007/978-3-662-04062-1_14|lire en ligne=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-04062-1_14|consulté le=2024-03-28}}.</ref>.

==== Équiprobabilité et information ====
En [[théorie de l'information]], l'information est l'opposée du logarithme de la probabilité : <math>I = -\ln\ p</math>.

Dans ce contexte, l'[[Entropie (thermodynamique)|entropie]] est définie comme la moyenne de l'information contenue dans le système :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>S\ = \ \langle \ I \ \rangle\ = \ -\sum_i \ p_i \ \ln p_i</math>
|}</center>

C'est une fonction continue de plusieurs variables, dont on peut montrer qu'elle admet un maximum global lorsque tous les <math>p_i</math> sont égaux. Ceci signifie qu'avec l'hypothèse d'[[équiprobabilité]], ''S'' est maximale. On interprète cela en disant qu'on a alors un minimum d'information, ou encore un maximum d'incertitude, sur le système.

Par contre, quand l'un des évènements est certain, sa probabilité vaut 1 tandis que tous les autres <math>p_i</math> sont nuls. On connaît alors exactement la configuration du système et l'incertitude est nulle. Dans ce cas l'entropie admet sa valeur minimale, en l'occurrence 0.

=== Généralisations aux problèmes analogues ===
Les méthodes de description mathématique développées dans le cadre de la physique statistique ont trouvé des applications dans pratiquement tous les domaines de la [[physique moderne]] ou de la [[chimie]], mais aussi en [[sciences économiques|économie]], dans les [[sciences humaines]], etc.

== Outils et procédés ==

La formulation moderne de cette théorie se fonde sur la description des [[système]]s physiques étudiés par le biais d'[[ensemble statistique|ensembles statistiques]]. De tels ensembles représentent la totalité des configurations possibles du système associées à leur [[probabilité]]s de réalisation. À chaque ensemble est associée une [[fonction de partition]] qui, par manipulations mathématiques, permet d'extraire les grandeurs thermodynamiques du système. Selon les [[relation]]s du système avec le reste de l'[[univers]], on distingue généralement trois types d'ensemble, du plus simple au plus complexe :

* l'ensemble microcanonique ;
* l'ensemble canonique ;
* l'ensemble grand canonique.

{{Palette Tableau physique statistique}}

=== Ensemble microcanonique ===
{{Article détaillé|Ensemble microcanonique}}

Cet ensemble décrit le cas idéal d'un système complètement isolé d'énergie <math>E</math> constante, et n'échangeant donc ni [[particule (physique)|particule]], ni [[énergie]], ni [[volume]] avec le reste de l'univers. L'intérêt de ce modèle est qu'il permet de définir l'[[Entropie (thermodynamique)|entropie]] sous sa forme la plus simple.

==== Entropie microcanonique ====

Le système étant à l'équilibre macroscopique, mais libre d'évoluer à l'échelle microscopique entre <math>\Omega</math> micro-états différents, son [[Entropie (thermodynamique)|entropie]] est donnée par la [[formule de Boltzmann]] (1877) :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>S \ = \ k_B \  \ln \Omega</math>
|}</center>

où <math>k_B </math> est la [[constante de Boltzmann]]. Cette définition correspond à l'[[entropie de Shannon]] :

{| align="center" border="0"
|<math>S \ = \ - \ k_B \sum_{i} p_i \ \ln p_i </math>
|}

d'une configuration de <math>\Omega</math> micro-états équiprobables :

{| align="center" border="0"
|<math>p_i \ = \ \frac{1}{\Omega}</math>
|}

==== Extensivité de l'entropie ====
{{Article détaillé|Extensivité - intensivité}}

L'énergie macroscopique totale <math>E</math> du système isolé étudié est toujours supérieure ou égale à une certaine valeur <math>E_0</math> minimale, appelée énergie de l'état fondamental du système. De plus, le comptage du nombre <math>\Omega</math> de micro-états du système fermé d'énergie totale <math>E</math> nécessite<ref>Cf. Frederic Reif ; Physique Statistique, Cours de Physique de Berkeley (vol. 5), Armand Colin (1972), paragraphe 3.5</ref> en général l'introduction d'une certaine incertitude <math> \Delta E</math> d'ordre [[mésoscopique]].

On peut montrer que, pour un système « ordinaire »<ref>Sont exclus par exemple certains systèmes de spins où l'énergie cinétique des particules serait ignorée. Cf. Reif, op. cit.</ref>, le nombre <math>\Omega</math> de micro-états est une fonction ''rapidement croissante'' de l'énergie de la forme :

{| align="center" border="0"
|<math>\Omega (E, N) \ \propto \ \left(E - E_0 \right)^N</math>
|}

où ''N'' le nombre de [[degré de liberté (physique)|degrés de liberté]] total du système, supposé très grand. Il est alors possible de montrer<ref>Cf. Reif, op. cit.</ref> que lorsque l'énergie totale ''E'' n'est pas trop proche de sa valeur minimale, l'entropie ''S(E,N)'' calculée par la formule de Boltzmann est :

* de l'ordre de ''N'', donc l'entropie microcanonique est bien [[Extensivité et intensivité (physique)|extensive]] à la [[limite thermodynamique]].
* indépendante de la valeur exacte de l'incertitude <math> \Delta E</math>.

=== Ensemble canonique ===
{{Article détaillé|Ensemble canonique}}

L'ensemble canonique décrit un système fermé en équilibre thermique avec un [[thermostat (thermodynamique)|thermostat]] extérieur. Ce système fermé peut donc échanger de l'énergie sous forme de [[transfert thermique]] avec l'extérieur, à l'exclusion de toute autre quantité.

==== Fonction de partition canonique ====

Dans les conditions citées ci-dessus, on démontre que la probabilité <math>p_i</math> pour que le système fermé réalise un état <math>i</math> d'énergie <math>E_i</math> est donnée par la formule de Boltzmann :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>p_i \ = \ \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}</math>
|}</center>

L'identification de l'entropie de la physique statistique à celle de la thermodynamique permet de relier β à la [[température thermodynamique]] T
<center><math>k_B \beta ={1\over {T}}</math></center>
Le facteur de normalisation ''Z'' se calcule en écrivant la condition des probabilités totales :

{| align="center" border="0"
|<math> \sum_{i} p_i \ = \ 1</math>
|}

''Z'' est appelé la '''fonction de partition canonique''' du système fermé, et s'écrit explicitement :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>Z \ = \ \sum_{\{k \ \mathrm{accessible}\}} e^{-\beta E_k}</math>
|}</center>

Cette [[fonction de partition]] permet de déduire toutes les grandeurs macroscopiques du système fermé comme moyennes des grandeurs microscopiques associées.

==== Observables macroscopiques ====

L'[[énergie interne]] ''U'' est la moyenne macroscopique de l'ensemble des énergies microscopiques <math>E_i</math> :

{| align="center" border="0"
|<math> U \ = \ \langle \ E \ \rangle \ = \ \sum_{ \{ i \ \mathrm{accessible} \}} p_i \ E_i \ = \ - \ \frac{1}{Z} \ \frac{d Z}{d \beta} \ = \ - \ \frac{d \ln Z}{d \beta} </math>
|}

De même, pour toute grandeur ''A'' prenant des valeurs <math>A_i</math> définies sur les micro-états ''i'' associés aux énergies <math>E_i</math>, on peut définir la valeur moyenne :

{| align="center" border="0"
|<math>\langle \ A \ \rangle \ = \ \sum_{ \{ i \ \mathrm{accessible} \}} p_i \ A_i </math>
|}

Appliquons en particulier cette formule à l'entropie, en posant que les micro-états <math>E_i</math> définissent des systèmes représentables comme des ensembles microcanoniques, nous avons défini pour chaque micro-état ''i'' une entropie microcanonique :

{| align="center" border="0"
|<math>S_i \ = \ k_B \ \ln \Omega_i \ = \ - \ k_B \ \ln p_i</math>
|}

L'entropie totale du système prend alors la forme :

{| align="center" border="0"
|<math>S \ = \ \langle \ S_i \ \rangle \ = \ \sum_{ \{ i \ \mathrm{accessible} \}} p_i \ S_i </math>
|}

{| align="center" border="0"
|<math>
\  = \ - \ \sum_{ \{ i \ \mathrm{accessible} \}} k_B \ p_i \ \ln  p_i </math>
|}

Remplaçons la probabilité par son expression dans le [[logarithme]] :

{| align="center" border="0"
|<math>
S \ = \ - \ k_B  \ \sum_{ \{ i \ \mathrm{accessible} \}} \ p_i \ \times \ \ln ( {e^{ - \beta E_i} / Z})</math>
|}

{| align="center" border="0"
|<math> = \ + \ k_B \  \sum_{\{i \ \mathrm{accessible} \}} \ p_i \ \times \  \left[  \ \beta E_i + \ln Z \ \right] </math>
|}

D'après la définition de la température inverse, on a : <math>k_B \beta = 1/T </math>, d'où :

{| align="center" border="0"
|<math>S \ = \ {1 \over T} \ \sum_{\{i \ \mathrm{accessible} \}} \ p_i \ E_i \quad + \quad k_B \ \sum_{ \{ i \ \mathrm{accessible} \}} \ p_i \ \ln Z </math>
|}

On reconnaît dans le premier terme la valeur moyenne de l'énergie. Par ailleurs, le logarithme de ''Z'' est indépendant de l'indice ''i''. On obtient alors en utilisant la condition de normalisation des probabilités :

{| align="center" border="0"
|<math>S \ = \ {\langle \ E \ \rangle \over T } \ + \ k_B \ \ln Z \ = \ {U \over T} \ + \ k_B \ \ln Z</math>
|}

En rapprochant cette formule de celle donnant l'[[énergie libre]] ''F'' en thermodynamique : ''F = U - T S'', il vient naturellement :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" |<math>F \ = \ - \ k_B T \ \ln Z</math>
|}</center>

ou encore :

{| align="center" border="0"
|<math> Z \ = \ e ^{-\beta F}</math>
|}

==== Tableau récapitulatif ====
Les expressions de ''F'', de ''U'' et de ''S'' sont suffisantes pour en déduire toutes les autres grandeurs thermodynamiques :
{| class="wikitable mw-collapsible" align="center" width="100%" border="1" height="800"
! width="30%" |'''Nom'''
! width="70%" |'''Formule'''
|-
| width="30%" |Énergie libre de Helmholz
| width="70%" |<math>F \ = \ - \ { \ln Z \over \beta}</math>
|-
| width="30%" |Énergie interne
| width="70%" |<math>U \ = \ - \ \left( {\partial\ln Z \over \partial\beta} \right)_{N,V}</math>
|-
| width="30%" |Pression
| width="70%" |<math>p \ = \ - \ \left( {\partial F \over \partial V} \right) \ = \ {1 \over \beta} \ \left( {\partial \ln Z \over \partial V} \right)_{N,T}</math>
|-
| width="30%" |Entropie
| width="70%" |<math>S \ = \ k_B \ ({\ln Z + \beta\,U})\,</math>
|-
| width="30%" |Enthalpie libre de Gibbs
| width="70%" |<math>G \ = \ F \ + \ p\,V \ = \ - \ {\ln Z \over \beta} \ + \ {V \over \beta} \ \left( {\partial \ln Z \over \partial V} \right)_{N,T}</math>
|-
| width="30%" |Enthalpie
| width="70%" |<math>H \ = \ U \ + \ p\,V\,</math>
|-
|Température
|<math>\frac{1}{T} = \biggl(\frac{\partial S}{\partial U}\biggr)_{V,N}</math>
|-
| width="30%" |Chaleur spécifique à volume constant
| width="70%" |<math>C_V \ = \ \left( {\partial U \over \partial T} \right)_{N,V}\,</math>
|-
| width="30%" |Chaleur spécifique à pression constante
| width="70%" |<math>C_p  \ = \ \left( {\partial H \over \partial T} \right)_{N,p}\,</math>
|-
| width="30%" |Potentiel chimique
| width="70%" |<math>\mu_i \ = \ - \ {1\over \beta} \ \left( {\partial \ln Z \over \partial N_i} \right)_{T,V,N}</math>
|}

Pour la dernière entrée, il ne s'agit pas de l'ensemble grand-canonique. Il est souvent utile de considérer que l'énergie d'une molécule donnée est distribuée entre plusieurs modes. Par exemple, l'énergie de translation est la partie de l'énergie relative au mouvement du centre de masse de la molécule. L'énergie de configuration se rapporte à la portion de l'énergie associée aux diverses forces attractives et répulsives entre les molécules du système. Les autres modes sont tous considérés comme internes aux molécules. Ils incluent les modes rotationnels, vibrationnels, électroniques et nucléaires. Si nous supposons que chaque mode est indépendant, l'énergie totale peut être exprimée comme la somme de la contribution de chaque composant :

{| align="center" border="0"
|<math> E \ = \ E_t \ + \ E_c \ + \ E_n \ + \ E_e \ + \ E_r \ + \ E_v</math>
|}

où les indices ''t, c, n, e, r'' et ''v'' correspondent aux énergies des modes de translation, de configuration, nucléaires, électroniques, rotationnels, et vibrationnels respectivement.

En substituant cette équation dans la toute première équation, nous obtenons :

{| align="center" border="0"
|<math>Z \ = \ \sum_{ i_j \ \mathrm{niveau \ interne \ a} \ j } \ \left[ \ \prod_{j \, \in \, \{ \, t,c,n,e,r,v \, \}} \ \exp \ ( \, - \, \beta \, E_{ji_j}) \ \right] </math>
|}

Grâce à l'indépendance des modes, on peut permuter la somme et le produit :

{| align="center" border="0"
|<math>Z \ = \ \prod_{j \, \in \, \{ \, t,c,n,e,r,v \, \}} \ \left[ \ \sum_{ i_j \ \mathrm{niveau \ interne \ a} \ j} \ \exp \ ( \, - \, \beta \, E_{ji_j}) \ \right] </math>
|}

Ainsi, pour chaque mode, on peut définir une fonction de partition associée, et on obtient la fonction de partition totale comme produit de ces fonctions de partition de modes :

{| align="center" border="0"
|<math>Z \ = \ Z_t \ \times \ Z_c \ \times \ Z_n \ \times \ Z_e \ \times \ Z_r \ \times \ Z_v</math>
|}

Des expressions simples en sont dérivées pour chacun des modes relatifs à des propriétés moléculaires, telles que les fréquences rotationnelles et vibrationnelles. Les expressions des diverses fonctions de partitions sont données dans la table suivante :

{| class="wikitable mw-collapsible" align="center" width="100%" border="1" height="800"
!width="30%"|'''Type'''
!width="70%"|'''Formule'''
|-
|width="30%"|Nucléaire
|width="70%"|<math>Z \ = \ 1 \quad (T< 10^8)</math>
|-
|width="30%"|Électronique
|width="70%"|<math>Z_0 \ = \ \exp(k_BTD_e+W1 \exp(-\theta_{e1} / T)+ ...)\,</math>
|-
|width="30%"|Vibrationnel
|width="70%"|<math>Z_v \ = \ \prod{\exp({ -\theta_{vj} /2T})\over{1 -\exp({ -\theta_{vj} /T})}}</math>
|-
|width="30%"|Rotationnel (linéaire)
|width="70%"|<math>Z_r \ = \ { T \over \sigma } \theta_R </math>
|-
|width="30%"|Rotationnel (non linéaire)
|width="70%"|<math>Z_r \ = \ { T \over \sigma }\sqrt{\pi T^3 \over \theta_1 \theta_2\theta_3}</math>
|-
|width="30%"|Translation
|width="70%"|<math>Z_t \ = \ {(2 \pi mk_B T)^{3/2} \over {h^3}}</math>
|-
|width="30%"|Configuration (gaz parfait)
|width="70%"|<math>Z_c \ = \ V\,</math>
|}

Ces équations peuvent être combinées avec celles de la première table pour déterminer la contribution d'un mode énergétique spécifique aux propriétés thermodynamiques. Par exemple, la « pression de rotation » peut être déterminée de cette manière. La pression totale peut être trouvée en sommant les contributions de pression de tous les modes individuels :

{| align="center" border="0"
|<math> p \ = \ p_t \ + \ p_c \ + \ p_n \ + \ p_e \ + \ p_r \ + \ p_v</math>
|}

=== Ensemble grand-canonique ===
{{Article détaillé|Ensemble grand-canonique}}

Si le système est ouvert (c'est-à-dire s'il permet l'échange de particules avec l'extérieur), nous devons introduire les [[Potentiel chimique|potentiels chimiques]] et remplacer la fonction de partition canonique par la fonction de partition grand-canonique :

{| align="center" border="0"
| align="center" |<math> \Xi (V,T,\mu)=\sum_i \exp \left(\beta[\sum_{j=1} ^n \mu_j N_{ij}-E_i]\right)
\,</math>
|}

où <math>N_{ij}</math> est le nombre de particules de la j-ème espèce dans la i-ème configuration. Il peut arriver aussi que nous ayons d'autres variables à ajouter à la fonction de partition, une variable par quantité conservée.
La plupart d'entre elles, cependant, peuvent sans problème être interprétées comme des potentiels chimiques. Dans la plupart des problèmes de matière condensée, les effets sont non relativistes et la masse est conservée.
La masse est inversement reliée à la densité, qui est la variable conjuguée de la pression.

Dans le reste de l'article, nous ignorerons cette difficulté et supposerons que les potentiels chimiques ne changent rien. Examinons l'ensemble grand canonique.

Recalculons toutes les expressions en utilisant l'ensemble grand-canonique. Le volume est fixé et ne figure pas dans ce traitement. Comme précédemment, j est l'indice des particules de la j-ème espèce et i est l'indice du i-ème micro-état :

{| align="center" border="0"
|<center><math> U=\sum_i {E_i \exp \left(-\beta[E_i-\sum_{j=1} \mu_j N_{ij}]\right)
\over \Xi}\,</math></center><br />
<center><math>  N_j=\sum_i {N_{ij} \exp \left(-\beta[E_i-\sum_{j=1} \mu_j N_{ij}]\right)
\over \Xi}\,</math></center>
|}

<center>
{|class="wikitable mw-collapsible" align="center" width="100%"
! width="30%" |'''Nom'''
! width="70%" |'''Formule'''
|-
|Grand potentiel
|<math>\Phi_G=-{\ln \Xi \over \beta}</math>
|-
|Énergie interne
|<math>U=-\left({\partial \ln \Xi \over \partial \beta}\right)_{\mu}+ \sum {\mu_i \over \beta} \left({\partial \ln \Xi \over \partial \mu_i}\right)_{\beta}  </math>
|-
|Nombre de particules
|<math>N_i={1\over  \beta}\left({\partial \ln \Xi \over \partial \mu}\right)_{\beta}  </math>
|-
|Entropie
|<math>S=k_B\left(\ln  \Xi + \beta U- \beta \sum_i \mu_i N_i\right)\, </math>
|-
|Énergie libre de Helmholtz
|<math>F=\Phi_G+\sum_i \mu_i N_i=-{ \ln \Xi \over  \beta}+ \sum {\mu_i \over \beta} \left({\partial \ln \Xi \over \partial \mu_i}\right)_{\beta}  \, </math>
|}
</center>

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets| wikiversity=Thermodynamique statistique| wikiversity titre = Thermodynamique statistique}}

=== Bibliographie ===
==== Bibliothèque virtuelle ====
* Roger Balian ; [http://www-spht.cea.fr/articles/t01/125/ ''Physique fondamentale et énergétique : les multiples visages de l'énergie''] : cours donné par l'auteur (Service de [[Physique théorique|Physique Théorique]] du CEA, Saclay) à la première École d'Eté « e2phy » : ''L'énergie sous toutes ses formes : données scientifiques, contraintes, enjeux'', 27-{{date-|30 août 2001}}, Site universitaire de Caen.
* Roger Balian ; [http://www-spht.cea.fr/articles/t00/158/ ''Entropie, information : un concept protéiforme''] : texte d'une conférence donnée par l'auteur (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) à l'Université de tous les savoirs (239me conférence : Les États de la matière, {{date-|26 août 2000}}, Conservatoire National des Arts et Métiers, Paris). Publiée par Yves Michaud (éditeur) ; [[Université de tous les savoirs]] (Vol. 4), Odile Jacob (2001) pp.&nbsp;947–959 / Repris en édition de poche : Université de tous les savoirs (Vol. 17), Poches Odile Jacob (2002) pp.&nbsp;205–220
* Roger Balian ; [http://www-spht.cea.fr/articles/t94/009/ ''Le temps macroscopique''] : texte d'une conférence sur l'irréversibilité et l'entropie donnée par l'auteur (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) lors du premier colloques "Physique & Interrogations Fondamentales" : ''Le Temps et sa Flèche'' organisé par la [[Société française de physique|Société Française de Physique]] le {{date-|8 décembre 1993}} à Paris. Publié par : [[Étienne Klein]] & Michel Spiro (éditeurs) ; ''Le Temps et sa Flèche'', Les Éditions Frontières (1994) pp.&nbsp;155–211. Repris en poche par Flammarion, Collection Champs (1995).
* Roger Balian ; [http://www-spht.cea.fr/articles/t03/193/ ''Entropy, a Protean Concept''] : texte (en anglais) d'une conférence introductive donnée par l'auteur (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) au séminaire Poincaré du {{date-|6 décembre 2003}} consacré à l'entropie. Publié dans : J. Dalibard, B. Duplantier et V. Rivasseau (eds.) ; ''Poincaré seminar 2003'', Progress in Mathematical Physics 38, Birkhäuser (2004) 119-144, ISBN .
* {{pdf}} [http://www.mip.ups-tlse.fr/~gallego/Cours/Physique_Statistique.pdf Cours détaillé]

==== Vulgarisation ====
* Bernard Diu, ''Les atomes existent-ils vraiment ?'', Odile Jacob (1997), {{ISBN|9782738104212}} .
* Philippe Depondt, ''L’entropie et tout ça - Le roman de la thermodynamique'', Cassini (2002), {{ISBN|2842250443}}.
* [[Peter William Atkins|Peter W. Atkins]], ''Chaleur & Désordre - Le deuxième Principe de la thermodynamique'', Collection "L'univers des sciences", Belin/Pour La Science (1987) 216 p., {{ISBN|2902918402}}. Ouvrage de vulgarisation de la thermodynamique des points de vue macroscopique et microscopique. Niveau premier cycle universitaire.

==== Ouvrages de référence ====
* [[Georges Bruhat]], ''Cours de Physique Générale - Thermodynamique'', Masson ({{6e}} édition-1968) 912 pp.&nbsp;Ce cours de référence, devenu un "classique", est accessible à partir du premier cycle universitaire. Cette {{6e|édition}} a été revue et augmentée par [[Alfred Kastler]].
* [[Yves Rocard]], ''Thermodynamique'', Masson ({{2e}} édition-1967) 540 pp.&nbsp;Cet autre cours de référence, devenu également un "classique", est accessible à partir du premier cycle universitaire.

==== Initiation à la physique statistique ====
* {{Ouvrage |auteur1=Frederick Reif |traducteur=Pierre Turon |titre=Cours de Physique de Berkley, Volume 5 |sous-titre=Physique statistique |titre original={{langue|en|texte=Berkeley Physics Course, Volume 5: Statistical Physics}} |éditeur=DUNOD |année=2000 |pages totales=397 |isbn=978-2-10-004935-6}}. Ce célèbre cours des années 1960 est accessible à un étudiant du premier cycle universitaire. 
* Bernard Jancovici, ''Thermodynamique & Physique Statistique'', Ediscience (1969) 186 pp. Réédité (sans les exercices) par Nathan Université dans sa collection "128 sciences" (1996) 128 pp.&nbsp;Ce petit ouvrage est un cours d'introduction à la thermodynamique via la physique statistique élémentaire. Niveau premier cycle universitaire.
* [[Percy Williams Bridgman|Percy W. Bridgman]], ''The Nature of Thermodynamics'', [[Harvard University Press]] (1941) 230 pp. Réflexions sur le sens des deux [[principes de la thermodynamique]]. Ce livre contient quelques équations, accessible au niveau du premier cycle universitaire.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Mark W. Zemansky|auteur2=Richard H. Dittman|titre=Heat and thermodynamics|sous-titre=an intermediate textbook|lieu=Auckland Singapore|éditeur=McGraw-Hill|année=1981|numéro d'édition=6|année première édition=1937|pages totales=544|isbn=978-0-07-066647-4|oclc=450205456}}. La première moitié de ce volume est un cours de thermodynamique purement macroscopique selon une approche expérimentale : le point de départ est le concept de température usuelle. Cette première partie de l'ouvrage est accessible au niveau du premier cycle universitaire. (La seconde moitié du livre est consacrée à l'approche de la thermodynamique via la physique statistique. Cette partie est plutôt du niveau du second cycle universitaire.)
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Herbert B. Callen|titre=Thermodynamics and an introduction to thermostatistics|lieu=New York|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1985|numéro d'édition=2|pages totales=493|isbn=978-0-471-86256-7|isbn2=978-0-471-61056-4|oclc=11916089|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=m_39DwAAQBAJ&printsec=frontcover}}. Ce livre est le compagnon idéal de l'ouvrage précédent. En effet, la première partie (2/3) de ce volume est un cours de thermodynamique purement macroscopique selon une approche axiomatique : les postulats sont énoncés dès le premier chapitre, le concept de température en est déduit au chapitre suivant. Cette première partie de l'ouvrage est accessible au niveau du premier cycle universitaire, quoique certains développements formels soient d'un niveau plus élevé. (La seconde partie (1/3) du livre est consacrée à l'approche de la thermodynamique via la physique statistique. Cette partie est plutôt du niveau du second cycle universitaire.)
* Ryogo Kubo, ''Thermodynamics'', John Wiley & Sons (1960) pp. Ouvrage classique de thermodynamique. Niveau second cycle universitaire.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Alfred Brian Pippard]]|titre=Elements of classical thermodynamics|sous-titre=for advanced students of physics|lieu=Cambridge, Eng|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1981|pages totales=165|isbn=0-521-09101-2|isbn2=978-0-521-09101-5|oclc=22321936}}. Niveau second cycle universitaire.

==== Niveau second cycle universitaire ====
* {{Livre Diu etal}}.
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Roger Balian]]|et al.=oui|titre=Du microscopique au macroscopique : cours de physique statistique de l'École polytechnique|lieu=Palaiseau Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses|École polytechnique Ellipses]]|année=1982|pages totales=639|format livre=2 vol.|isbn=978-2-7298-9000-1|isbn2=978-2-729-89001-8|bnf=34724593}}. {{Commentaire biblio|Un cours de physique statistique, qui s'appuie sur la connaissance préalable de la Mécanique Quantique.}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Frederic Reif]]|titre=Fundamentals of statistical and thermal physics|lieu=New York|éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw-Hill]]|année=1965|pages totales=651|isbn=978-0-07-051800-1}} {{Commentaire biblio|Ouvrage classique de physique statistique. Niveau second cycle universitaire.}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Linda E. Reichl]]|titre=A modern course in statistical physics|lieu=New York|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1998|numéro d'édition=2|pages totales=822|isbn=978-0-471-59520-5}}. {{Commentaire biblio|Un ouvrage moderne déjà classique. Niveau second cycle universitaire.}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|fr=Kerson Huang|langue=en}}|titre=Statistical mechanics|lieu=New York|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1987|numéro d'édition=2|pages totales=493|isbn=978-0-471-81518-1|isbn2=978-0-471-85913-0}}. {{Commentaire biblio|Ouvrage classique de physique statistique. Niveau second cycle universitaire.}}
* {{en}} [[Ryōgo Kubo]], ''Statistical Mechanics'', John Wiley & Sons (1965) réédité par [[Elsevier (éditeur)|North-Holland]] 426 pages, {{ISBN|0-444-87103-9}}. {{Commentaire biblio|Ouvrage classique de physique statistique. Niveau second cycle universitaire.}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Alexandre Khintchine]]|traducteur=G. Gamow|titre=Mathematical foundations of statistical mechanics|titre original=Matematicheskie osnovanii︠a︡ statisticheskoĭ mekhaniki|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications]]|série=mathematics and physics|année=1949|pages totales=179|isbn=978-0-486-60147-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=aZn3DQAAQBAJ&printsec=frontcover}}. {{Commentaire biblio|Ouvrage classique sur les fondements de la physique statistique, notamment l'hypothèse ergodique. Niveau second cycle universitaire.}}

==== Aspects historiques ====
* Robert Locqueneux, ''Préhistoire & Histoire de la thermodynamique Classique (Une histoire de la chaleur)'', Cahiers d'Histoire & de Philosophie des Sciences n°45, société Française d'Histoire des Sciences & des Techniques ({{date-|Décembre 1996}}) 333 pp. {{ISSN|0221-3664}}. Essai sur les théories de la chaleur aux {{s2-|XVIII|XIX}}. Niveau premier cycle universitaire.
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jean-Pierre Maury|titre=Carnot et la machine à vapeur|lieu=Paris|éditeur=[[Presses universitaires de France]]|collection=Philosophies|année=1986|pages totales=127|isbn=978-2-13-039880-6|oclc=416641388|bnf=34905835}}. Histoire du développement des machines à vapeur depuis leur naissance au {{s-|XVII}} jusqu'aux travaux théoriques de Carnot ("Réflexions sur la puissance motrice du feu" - 1824) qui posent les fondements de la thermodynamque. Niveau premier cycle universitaire.
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Anouk|nom1=Barberousse|titre=La mécanique statistique|sous-titre=de Clausius à Gibbs|lieu=Paris|éditeur=[[Belin éditeur|Belin]]|collection=Histoire des sciences|année=2002|pages totales=239|isbn=978-2-7011-3073-6|bnf=38945668}}.Cette collection originale propose une histoire du développement de la théorie cinétique des gaz basée sur des extraits des grands textes fondateurs (traduits en français) mis en perspective contemporaine par une historienne des sciences. Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Stephen G.|nom1=Brush|champ libre=Book 1. Physics and the atomists --Book 2. Statistical physics and irreversible processes.|titre=The kind of motion we call heat : a history of the kinetic theory of gases in the 19th century|lieu=Amsterdam New York New York|éditeur=North-Holland Sole distributors for the U.S.A. and Canada, Elsevier Science Pub. Co|collection=North-Holland personal library.|année=1986|pages totales=467|format=2 volumes|isbn=978-0-444-87008-7|isbn2=978-0-444-87009-4}}. Histoire érudite du développement de la théorie cinétique des gaz, par un professeur de [[Mécanique des fluides|Mécanique des Fluides]] de l'Université du Maryland (U.S.A.). Après une courte introduction générale (partie A), le premier volume adopte ensuite une approche classée par auteur (partie B). Le second volume (partie C) discute plus spécifiquement certains problèmes, et se termine par une bibliographie (partie D) qui renvoie à la littérature originale. Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.
* Peter M. Harman, ''Energy, Force & Matter - The Conceptual Developpments of 19th Century Physics'', Cambridge University Press (1982) pp. ISBN . Histoire du développement de la physique au {{s-|XIX}}. Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=P. M.|nom1=Harman|titre=The natural philosophy of James Clerk Maxwell|lieu=Cambridge, UK New York|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2001|pages totales=232|isbn=978-0-521-00585-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=qf6jtc4nZisC&printsec=frontcover}}. La [[philosophie naturelle]] du professeur Maxwell, fondateur de la théorie de l'électrodynamique et auteur d'importantes contributions en théorie cinétique des gaz. Accessible dès le niveau premier cycle universitaire.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Carlo Cercignani]]|titre=Ludwig Boltzmann|sous-titre=the man who trusted atoms|lieu=Oxford New York|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1998|pages totales=329|isbn=978-0-19-850154-1|isbn2=978-0-198-57064-6|oclc=38910156|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=iikSDAAAQBAJ&printsec=frontcover}}. Biographie scientifique de Ludwig Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmé. Niveau plutôt second cycle universitaire.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Paul|nom1=Ehrenfest|auteur2=Tatiana Ehrenfest|titre=The conceptual foundations of the statistical approach in mechanics|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications]]|collection=Dover books on physics and chemistry|année=1990|pages totales=114|isbn=978-0-486-16314-7|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=g0xoBQAAQBAJ&printsec=frontcover}}. Réédition d'un article classique paru initialement en 1912 (en allemand). Niveau second cycle universitaire.

==== Applications ====
* {{article| langue=en| titre=Statistical physics approaches to the complex Earth system| auteur1=Jingfang Fan| auteur2=Jun Meng| auteur3=Josef Ludescher| auteur4=Xiaosong Chen| auteur5=Yosef Ashkenazy| et al.=oui| périodique=[[Physics Reports]]| volume=896| date=18 février 2021| pages=1-84| doi=10.1016/j.physrep.2020.09.005}}

=== Articles connexes ===
* [[Histoire de la thermodynamique et de la physique statistique]]
* [[Physique combinatoire]]
* [[Fonction de partition]]

==== Physique statistique d'équilibre ====
* [[Thermodynamique]]
* [[Entropie (thermodynamique)|Entropie]]
* [[Théorie cinétique des gaz]]
* [[Statistique de Maxwell-Boltzmann]]
* [[Hypothèse ergodique]]
* [[Expérience de Fermi-Pasta-Ulam]]
* [[Statistique de Fermi-Dirac]]
* [[Statistique de Bose-Einstein]]
* [[Phénomène critique|Phénomènes critiques]]
* [[Groupe de renormalisation]]

==== Physique statistique hors d'équilibre ====
* [[Physique statistique hors d'équilibre]]
* [[Équation de Boltzmann]]
* [[Équation de Boltzmann quantique]]
* [[Théorème H]]
* [[Hiérarchie BBGKY]]
* [[Équation de Vlassov]]
* [[Équation de Poisson-Boltzmann]]
* [[Expérience de Fermi-Pasta-Ulam]]
* [[Théorie ergodique]]
* [[Superstatistiques]]

==== Conférence  ====
* Conférence-débat [https://www.academie-sciences.fr/fr/Colloques-conferences-et-debats/physique-statistique-intelligence-artificielle.html De la physique statistique à l’intelligence artificielle ], avec [[Marc Mézard]] (''Inférence statistique et transitions de phases''), physicien, directeur de l’École normale supérieure, Paris ; [[Lenka Zdeborová]] (''Statistical physics modelling of machine learning''), physicienne, chercheuse à l’Institut de Physique Théorique, CEA Saclay ; [[Romain Couillet]] (''Théorie des matrices aléatoires et intelligence artificielle''), physicien, professeur à [[CentraleSupélec]], université Paris Saclay et [[Stéphane Mallat]] (''Réseaux de Neurones Profonds et Physique Statistique Multiéchelles''), mathématicien, professeur au [[Collège de France]], membre de l’Académie des sciences  ; Conférences de l'Académie des sciences

{{Palette| Physique statistique| Probabilités et statistiques| Branches de la physique}}

{{Portail| physique| probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Physique statistique| ]]
[[Catégorie:Thermodynamique]]