Voir la source de Pi

{{Ne pas confondre|texte=Ne doit pas être confondu avec la lettre « [[Pi (lettre grecque)|π]] ».}}
{{voir homonymes}}
{{Unicode|cyrillique|grec}}
[[Fichier:Pi-unrolled slow.ogg|vignette|Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est {{math|π}}.]]
'''{{math|π}}''' (pi), appelé parfois '''constante d’Archimède'''<ref group=alpha>Pi est appelé parfois ''la constante d’Archimède'' en raison de la contribution d'[[Archimède]] au calcul de l'aire d'un [[Disque (géométrie)|disque]] ou d'une [[sphère]], et parce qu'il a été le premier à donner une méthode d'encadrement de la valeur numérique de Pi.</ref>, est un [[nombre]] représenté par la [[Pi (lettre grecque)|lettre grecque du même nom]] en [[Bas de casse|minuscule]] (π). C’est le [[Rapport (mathématiques)|rapport]] de la [[circonférence]] d’un [[cercle]] à son [[diamètre]] (le même pour tous les cercles) dans un [[plan euclidien]]. On peut également le définir comme le rapport de l'[[Aire (géométrie)|aire]] d'un [[Disque (géométrie)|disque]] au [[Carré (algèbre)|carré]] de son [[Rayon (géométrie)|rayon]].

Sa [[Valeur approchée#Définitions|valeur approchée par défaut]] à moins de 0,5×10{{exp|–15}} près<ref group=alpha>Valeur décimale exprimée sur 16 chiffres significatifs, soit la précision maximale (pour pi) d’un nombre flottant en double précision au format binaire sur 64 bits standard de l'IEEE, qui permet de stocker entre 15 et 17 chiffres décimaux significatifs (selon principalement la valeur du premier chiffre décimal et éventuellement les suivants) ; ce format binaire est utilisé dans de nombreux langages de programmation, par exemple dans le type <code>double</code> des langages C, C++, Java{{etc.}} ; il est aujourd’hui pris en charge nativement par la plupart des microprocesseurs modernes et des bibliothèques mathématiques.</ref> est {{formatnum:3.141592653589793}} en [[Développement décimal|écriture décimale]]<ref name="decimales1">[http://jlsigrist.com/pi.html {{nombre|128000|premières}} décimales de {{math|π}}].</ref>{{,}}<ref name="decimales2">{{en}} [http://www.angio.net/pi/piquery Site permettant une recherche de chiffres dans les {{nombre|200000000|premières}} décimales].</ref>.

De nombreuses formules de [[physique]], d’[[ingénierie]] et bien sûr de [[mathématiques]] impliquent {{math|π}}, qui est une des constantes les plus importantes de cette discipline<ref>{{Ouvrage
| langue=en
| auteur1={{Lien|Howard Eves|texte=Howard Whitley Eves}}
| titre=An Introduction to the History of Mathematics
| éditeur=Holt, Rinehart & Winston
| année=1969
}}.</ref>.

Le nombre {{math|π}} est [[nombre irrationnel|irrationnel]], c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux [[Entier relatif|nombres entiers]] ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un [[nombre transcendant]], ce qui signifie qu’il n’existe pas de [[polynôme]] non nul à coefficients entiers dont {{math|π}} soit une [[Zéro d'une fonction|racine]]<ref group=alpha>La preuve de ce résultat en 1882 est due à [[Ferdinand von Lindemann]].</ref>.

La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de {{math|π}}, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’[[histoire des mathématiques]] ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.

L’usage de la lettre grecque π, première lettre de {{grec ancien|περιφέρεια|περιφέρεια}}, « périphérie, circonférence »<!-- cf. la section **référencée** 'Origine de la notation  -->, n’est apparu qu’au {{s-|XVIII}} à l'initiative du mathématicien [[William Jones (mathématicien)|William Jones]] (et ensuite adopté et popularisé par [[Leonhard Euler|Euler]]). Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.

== Définition et premières propriétés ==
=== Définition ===
[[Fichier:cercle12CircArea.svg|vignette|droite|On déduit d’une propriété analogue pour les [[Polygone régulier|polygones réguliers]] que l’[[Aire (géométrie)#Disque|aire d’un disque]] égale son demi-[[périmètre]] multiplié par son rayon.]]

Dans les dictionnaires et ouvrages généralistes<ref>Par exemple le Petit Robert ou le TLFi ; voir {{CNRTL|Pi|B|display=compact}}.</ref>, {{math|π}} est défini comme le rapport, constant dans le plan usuel qu'est le [[espace euclidien|plan euclidien]], entre la [[circonférence]] d’un [[cercle]] et son [[diamètre]]. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi, en particulier de sa taille. En effet, tous les cercles sont [[Similitude (géométrie)|semblables]] et pour passer d’un cercle à un autre il suffit de connaître le rapport de la similitude. Par suite, pour tout réel positif {{mvar|k}}, si un cercle possède un rayon {{mvar|r}} (ou un diamètre {{math|1=''d'' = 2''r''}}) {{mvar|k}} fois plus grand qu’un autre, alors son [[périmètre]] {{mvar|P}} sera aussi {{mvar|k}} fois plus grand, ce qui prouve la constance du rapport.

{{centrer|<math>\pi=\frac P{2r}=\frac Pd</math>.}}

Par ailleurs, cette même similitude multipliera l’[[Aire (géométrie)|aire]] {{mvar|A}} par le carré de {{mvar|k}}, ce qui prouve maintenant que le rapport {{math|''A''/''r''{{2}}}} est constant. On peut montrer, par exemple [[Méthode des indivisibles#Aire du disque|par la méthode des indivisibles]], que cette constante vaut également {{math|π}}.

{{centrer|<math>\pi=\frac A{r^2}</math>.}}

Le dessin ci-contre illustre une autre méthode<ref>{{Lien web|langue=en
 | url         = http://www.wku.edu/~tom.richmond/Pir2.html
 | titre=Area of a Circle
 | auteur      = Bettina Richmond
 | année       = 1999
 | éditeur=[[Western Kentucky University]]
}}.</ref>, essentiellement due à Archimède {{infra|Antiquité}} : le périmètre du [[polygone]] vaut à peu près {{math|2π''r''}} alors qu’en redistribuant les triangles formés on remarque que son aire vaut à peu près {{math|π''r''{{2}}}}. Pour formaliser le « à peu près », il faudrait faire tendre le nombre de côtés du polygone vers l’infini, ce qui illustre déjà la nature « analytique » de {{math|π}}.

=== Autres définitions ===
La définition géométrique ci-dessus, historiquement la première et très intuitive, n'est pas la plus directe pour définir {{math|π}} mathématiquement en toute rigueur. Les ouvrages plus spécialisés, par exemple<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jacqueline Lelong-Ferrand]]|auteur2=[[Jean-Marie Arnaudiès]]|titre=Cours de mathématiques Analyse|tome=2|éditeur=[[Dunod]]|année=1977|numéro d'édition=4|pages totales=638|passage=337|isbn=978-2-04-007135-6}}.</ref>
définissent {{math|π}} par l'[[analyse réelle]], parfois à l'aide des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]], mais introduites sans référence à la géométrie :

* Un choix fréquent est de définir {{math|π}} comme le double du plus petit nombre positif {{mvar|x}} tel que {{math|[[Fonction trigonométrique|cos]](''x'') {{=}} 0}}, où {{math|cos}} peut être définie comme la partie réelle de l’exponentielle complexe<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Walter Rudin]]|titre=Principles of Mathematical Analysis|éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw-Hill]]|année=1976|pages totales=342|passage=183|isbn=978-0-07-085613-4}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=J.-P. Escofier|titre=Toute l'Analyse de la Licence|sous-titre=Cours et exercices corrigés|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|année=2014|passage=562-563|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|3jK2AwAAQBAJ|page=562}}}}.</ref>, ou comme la [[Cosinus#Comme solution d'une équation différentielle|solution d'un problème de Cauchy]].
* Une autre définition est envisageable en considérant les propriétés algébriques de la fonction [[exponentielle complexe]] qui découlent de sa définition par une [[série entière]] et qui font que l’application {{nobr|''t ''↦ exp(i''t'')}} est un [[morphisme de groupes]] [[Continuité (mathématiques)|continu]] et [[Surjection|surjectif]] de (ℝ, +) vers le [[Cercle unité#Cercle unité comme groupe|groupe (𝕌, ×) des complexes de module {{math|1}}]]. On démontre alors que l’ensemble des nombres réels {{mvar|t}} tels que {{math|1=exp(i''t'') = 1}} est de la forme {{mvar|a}}ℤ où {{mvar|a}} est un réel strictement positif<ref>{{Ouvrage|auteur1=Patrice Tauvel|titre=Analyse complexe pour la Licence 3|sous-titre=Cours et exercices corrigés|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|année=2006|passage=43-44|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|wSl6fArYKUMC|page=43}}}}.</ref>. On pose alors {{math|1=π = ''a''/2}}. Le calcul intégral permet ensuite de vérifier que cette définition abstraite correspond bien à celle de la [[géométrie euclidienne]].
* Le [[Nicolas Bourbaki|groupe Bourbaki]] propose une autre définition très voisine en démontrant<ref>{{Bourbaki-Topologie}}, {{p.|VIII.7-VII.8}}.</ref> l’existence d’un morphisme de [[Groupe topologique|groupes topologiques]] {{mvar|f}} de (ℝ, +) vers (𝕌, ×), périodique de {{nobr|période 1}}, tel que {{math|1=''f''(1/4) = i}}. Il démontre<ref>N. Bourbaki, [[Éléments de mathématique#Fonctions d'une variable réelle (1949-1976)|''Fonctions d'une variable réelle'']], {{chap.|III}}, § 1, {{n°|1}} et {{n°|5}}.</ref> que {{mvar|f}} est [[Dérivabilité|dérivable]] et que sa [[dérivée]] en {{math|0}} est de la forme {{math|''α''i}} pour un certain réel {{math|''α'' > 0}}, qu'il note {{math|2π}}.

Les deux méthodes précédentes consistent en réalité à calculer le périmètre du cercle, qu’on a défini par la fonction {{nobr|''t ''↦ exp(i''t''),}} ou la fonction {{nobr|''t ''↦ exp(2i{{math|π}}''t'')}}.

* Mais on peut aussi définir {{math|π}} grâce au calcul intégral en posant<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Michael Spivak]]|titre=Calculus|éditeur=|année=1967|passage=258|lire en ligne=https://archive.org/details/Calculus_643/page/n269}}.</ref>
** <math>\frac\pi2=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\ {\rm d}x</math>,<br />ce qui revient à calculer (par exemple comme limite de [[Somme de Riemann|sommes de Riemann]]) l’aire d’un demi-disque de {{nobr|rayon 1}}, <br />ou encore
** <math>\frac\pi2=\int_0^1 \frac{\mathrm dx}\sqrt{1-x^2}</math>,<br />[[Arc cosinus#Forme intégrale indéfinie|ce qui revient]] (par résolution de l'[[Équation différentielle d'ordre un à variables séparées#Cas particulier : l'équation autonome|équation différentielle {{math|1=''x''' = –{{sqrt|1 – ''x''{{2}}}}}}]]) à la définition ci-dessus de {{math|π/2}} comme le premier [[zéro d'une fonction|zéro]] de {{math|cos}}.<br /> On retrouve également cette intégrale quand on cherche à calculer la [[longueur d'un arc|longueur]] du quart de cercle de rayon 1 paramétré par <math> x \mapsto (x,\sqrt{1-x^2})</math><ref>[[Reinhold Remmert]], « Le nombre {{math|π}} », dans ''Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle de l’Antiquité aux recherches actuelles'', Vuibert {{ISBN|2-7117-8901-2}}, p. 124.</ref>.<br /> On peut également poser<ref> Daniel Leborgne, ''Calcul différentiel complexe'', Presses universitaires de France, pp. 9-10 {{citation|Le nombre pi, une propriété universelle}}.</ref>
** <math>\frac\pi2=\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm dx}{1+x^2}</math>, <br/>en relation avec le  [[théorème des résidus]], où {{math|π}} est l'unique valeur telle que, pour tout [[lacet (mathématiques)|lacet]] {{mvar|γ}} rectifiable à un tour autour de {{math|''z''{{ind|0}}}}, <math>\int_\gamma \frac{\mathrm dz}{z-z_0}~=2\mathrm i\pi</math>.

* Ou bien à l’aide du dénombrement, en notant {{math|''φ''(''n'')}} le nombre de couples d’entiers naturels {{math|(''k'', ''p'')}} tels que {{math|''k''{{2}} + ''p''{{2}} ≤ ''n''{{2}}}} et en définissant : <br /> <math>\frac{\pi}4=\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}</math>,<br />ce qui est une autre méthode pour calculer l'aire du quart de disque.

En 2024, une {{C'est-à-dire|nouvelle façon|date=12 01 2025}} d'exprimer {{math|π}} a été découverte par hasard, à l'occasion d'une étude des interactions de particules à haute énergie dans le cadre de la [[théorie des cordes]]<ref>{{Lien web
|url=https://www.techno-science.net/actualite/physique-quantique-fait-emerger-par-accident-nouvelle-representation-pi-N25228.html
|titre=La physique quantique fait émerger "par accident" une nouvelle représentation de π (Pi)
|auteur=Adrien
|site=Techno-Science.net
|en ligne le=04/07/2024 
|consulté le=12 juillet 2024
}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article
|langue=en
|auteur1=Arnab Priya Saha & Aninda Sinha
|titre=Field Theory Expansions of String Theory Amplitudes
|périodique=Physical Review Letters (American Physical Society)
|volume=132
|numéro=221601
|date=28 mai 2024
|doi=10.1103/PhysRevLett.132.221601
|lire en ligne=https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.132.221601
|consulté le=12 juillet 2024
 | issn = 0031-9007}}.</ref>.

=== Irrationalité ===
{{Article détaillé|Preuve de l'irrationalité de π{{!}}Preuve de l'irrationalité de {{math|π}}}}
Le nombre {{math|π}} est [[nombre irrationnel|irrationnel]], ce qui signifie qu’on ne peut pas écrire {{math|1=π = ''p''/''q''}} où {{mvar|p}} et {{mvar|q}}  seraient des [[Entier relatif|nombres entiers]]. [[Al-Khwârizmî]], au {{s-|IX|e}}, est persuadé que {{math|π}} est irrationnel<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Mustafa Mawaldi|url=http://www.muslimheritage.com/topics/default.cfm?TaxonomyTypeID=12&TaxonomySubTypeID=59&TaxonomyThirdLevelID=-1&ArticleID=997|titre=Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematics|site=muslimheritage}}.com.</ref>. [[Moïse Maïmonide]] fait également état de cette idée durant le {{s-|XII|e}}{{Référence nécessaire}}.

Ce n’est cependant qu’au {{s-|XVIII|e}} que [[Jean-Henri Lambert]] prouve ce résultat. Il expose, en 1761<ref>{{Article|prénom1=J.-H.|nom=Lambert|titre=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes [sic] circulaires et logarithmiques|périodique=Histoire de l'[[Académie royale des sciences de Prusse|Académie royale des sciences et belles-lettres]]|lieu=Berlin|volume=17|année=1761|pages=265-322|url=http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist/1761&seite:int=0282}}, {{Lien web|url=http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/theorie-des-nombres/lambert-et-l-irrationalite-de-p-1761|titre=en ligne et commenté|site=[[Bibnum]]}}.</ref>, un développement en [[fraction continue généralisée]] de la [[Fonction trigonométrique|fonction tangente]]. Il en déduit qu'un développement de {{math|tan(''m''/''n'')}}, avec {{mvar|m}} et {{mvar|n}} entiers non nuls, s’écrit<ref group=alpha>Pour plus de détails voir [[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres à tangente rationnelle, dont π]].</ref> :
{{retrait|1= <math>\tan\frac mn=\cfrac m{n-\cfrac{m^2}{3n-\cfrac{m^2}{5n-\cfrac{m^2}{7n-\cfrac{m^2}{\ddots}}}}}</math>.}}

Or [[Fraction continue et approximation diophantienne#Résultat de Lambert|sous certaines hypothèses]] — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand {{mvar|x}} est un rationnel non nul, {{math|tan ''x''}} est irrationnel. Or, {{math|tan π}} vaut {{math|0}} ; c’est un rationnel. Par [[Proposition contraposée|contraposition]], cela prouve que {{math|π}} n’est pas rationnel.

Au cours du {{s-|XX|e}}, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du [[Intégration (mathématiques)|calcul intégral]]. L’une d’entre elles, due à [[Ivan Niven]], est très largement connue<ref>{{article
 |langue     =en
 |prénom1    =Ivan
 |nom1       =Niven
 |titre      =A simple proof that {{math|π}} is irrational
|périodique=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]
 | volume          = 53
 | numéro          = 6
 | année           = 1947
 | pages           = 509
 | url texte       = http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf
}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=en
 | url         =http://hhr-m.userweb.mwn.de/pi-irrat/
 | titre=Pi is irrational
 | auteur      = Helmut Richter
 | année       =1998, modifié en 2012
}}.</ref>. Une preuve similaire, version simplifiée de celle de [[Charles Hermite]]<ref name="Hermite">{{article|nom1=Charles Hermite|année=1873|titre=Extrait d'une lettre de Monsieur Ch. Hermite à Monsieur [[Paul Gordan]]|périodique=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. reine angew. Math.]]|volume=76|pages=303-311|url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155435}}.</ref>{{,}}<ref>{{article|nom= Hermite|prénom=Charles|année=1873|titre=Extrait d'une lettre de Mr. Ch. Hermite à Mr. [[Karl Wilhelm Borchardt|Borchardt]]|périodique=J. reine angew. Math.|volume=76|pages=342-344|url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN00215546X}}.</ref>, avait été trouvée quelque temps auparavant par [[Mary Cartwright]]<ref>{{Ouvrage
| langue=en
| auteur1=[[Harold Jeffreys]]
| titre=Scientific Inference
| éditeur=[[Cambridge University Press]]
| année=2011
| numéro d'édition=3
| passage=268
| isbn=978-0-521-18078-8
| lire en ligne={{Google Livres|a8oar96UFyQC|page=268}}
}}.</ref>{{,}}<ref name=Mayer/>.

=== Transcendance ===

Non seulement le nombre {{math|π}} est irrationnel (voir section précédente), mais il est [[Nombre transcendant|transcendant]], c'est-à-dire non [[nombre algébrique|algébrique]] : il n'existe pas de [[polynôme]] à coefficients [[nombre rationnel|rationnels]] dont {{math|π}} soit une [[Racine d'un polynôme|racine]]<ref name=Mayer>{{Lien web|langue=en
 | url=http://sixthform.info/maths/files/pitrans.pdf
 | titre=The Transcendence of {{math|π}}
 | auteur      = Steve Mayer|mois=11|année=2006
}}.</ref>.

C'est au {{s-|XIX|e}} que ce résultat est démontré. En 1873, Hermite prouve que la base du [[logarithme népérien]], le [[e (nombre)|{{nobr|nombre {{math|e}}}}]], est transcendant. En 1882, [[Ferdinand von Lindemann]] généralise son raisonnement en un théorème (le [[théorème d'Hermite-Lindemann]]) qui stipule que, si ''x'' est algébrique et différent de zéro, alors {{math|e}}<sup>''x''</sup> est transcendant. Or {{math|e<sup>iπ</sup>}} est algébrique (puisqu'il est égal à –1). Par [[Proposition contraposée|contraposition]], {{math|iπ}} est transcendant, donc comme {{math|i}} est algébrique, {{math|π}} est transcendant.

Une conséquence historiquement importante de la transcendance de {{math|π}} est que celui-ci n'est pas [[Nombre constructible|constructible]]. En effet, le [[théorème de Wantzel]] énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les coordonnées de tous les points pouvant se [[Construction à la règle et au compas|construire à la règle et au compas]] sont des nombres constructibles, la [[quadrature du cercle]] est impossible ; autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un disque donné<ref>{{Lien web|langue=en
 | url         = http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml
 | titre=Squaring the Circle
 | auteur      = Alexander Bogomolny
|site=[[Cut The Knot]]
}}.</ref>.

De façon plus anecdotique, le fait que {{math|π}} soit transcendant a permis à Don Coppersmith de montrer que lorsqu'on partitionne un disque par {{math|''n'' ≥ 4}} droites concourantes formant toutes entre elles des angles de {{sfrac|π|''n''}} [[radian]]s, les deux sommes d'aires obtenues en considérant une part sur deux sont différentes si et seulement si {{mvar|n}} est impair<ref>{{article|langue = en|prénom1=Rick|nom1=Mabry|prénom2=Paul|nom2=Deiermann|titre=Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results|périodique=American Mathematical Monthly|lien périodique=American Mathematical Monthly|volume=116|année=2009|pages=423–438|url texte=http://www.lsus.org/sc/math/rmabry/pizza/Pizza_Conjecture.pdf|id=Mabry & Deiermann 2009|passage = 424}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jérôme Cottanceau|titre=Le choix du meilleur urinoir|sous-titre=Et 19 autres problèmes amusants qui prouvent que les maths servent à quelque chose !|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Belin|Belin]]|collection=Science à plumes|année=2016|pages totales=216|passage=60|isbn=978-2-7011-9766-1|numéro chapitre=5|titre chapitre=À quoi servent les maths... À assurer le partage d'une pizza romantique ?}}</ref>{{,}}<ref group = alpha>Ce résultat a été raffiné depuis et est devenu le [[théorème de la pizza]].</ref>.

=== Représentation décimale ===
Les 16 premiers chiffres de l'écriture décimale de {{math|π}} sont {{formatnum|3,141592653589793}} (pour davantage de décimales, voir les liens externes<ref name="decimales1" />{{,}}<ref name="decimales2" />{{,}}<ref name=oeisA000796>Suite {{OEIS2C|id=A000796}} de l'[[OEIS]] : page donnant {{formatnum:20000}} décimales de Pi et liens vers d'autres sites.</ref>). En 2013 on connaît plus de douze mille milliards de décimales de {{math|π}}<ref>{{article|langue=en
 |auteur=[[Jonathan Borwein|J. Borwein]]|auteur2=S. Chapman|titre=I prefer Pi : a brief history and anthology of articles in the American Mathematical Monthly|périodique=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Month.]]|volume=122|numéro=3|année=2015|page=195-216|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/amm_supplements/15-PI122AMM_Lead_Pi_Paper.pdf}}.</ref>, en 2022 cent mille milliards (10{{14}})<ref>{{Article| langue=fr| titre=Florilège de records en science| auteur1=[[Jean-Paul Delahaye]]| périodique=[[Pour la science]]| numéro=544| date=février 2023| pages=80-85}}.</ref>.

Les applications concrètes, telles que l'estimation de la [[Périmètre|circonférence d'un cercle]], n'ont généralement pas besoin de plus d'une dizaine de chiffres. En 1881, [[Simon Newcomb]] explique ainsi que {{citation|dix décimales suffisent à calculer la circonférence de la Terre à une fraction de pouce près ; trente décimales, pour obtenir celle de l'univers visible...}}<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Paragraphe ''Circumference of the circle'', dans Elements of Geometry, édition de 1881, volume 27, page 198.|url=https://archive.org/details/elementsgeometr00newcgoog/page/n249/mode/2up?ref=ol&view=theater&q=Decimals|site=archive.com|date=23 juillet 2022|extrait=''Ten decimals are sufficient to give the circumference of the earth to the fraction of an inch, and thirty decimals would give the circumference of the whole visible universe to a quantity imperceptible with the most powerful microscope.''}}</ref>. Dans les années 1990, la représentation décimale de {{nombre|{{math|π}}|[[troncature|tronquée]]}} à {{nombre|39|décimales}} était estimée suffisante pour calculer la circonférence d'un cercle d'un [[diamètre]] du même [[ordre de grandeur]] que la taille de l'[[univers observable]] avec un degré de précision comparable à celle d'un [[atome]] d'[[hydrogène]]<ref>{{Ouvrage| langue=en| prénom1=Robert M.| nom1=Young| titre=Excursions in Calculus| sous-titre=an interplay of the continuous and the discrete| lieu=Washington| éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]| année=1992| pages totales=417| passage=238| isbn=978-0-88385-317-7| isbn2=0-88385-317-5| lire en ligne={{Google Livres|iEMmV9RWZ4MC|page=238}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|titre=Statistical estimation of π using random vectors|périodique=[[American Journal of Physics|Am. J. Phys.]]|volume=67|numéro=298|année=1999|doi=10.1119/1.19252|auteur=S. C. Bloch}}.</ref>, compte tenu des estimations alors en vigueur.
En 2014, Donald Byrd, chercheur en informatique, revenait sur l'assertion de Newcomb pour l'actualiser à la lumière des avancées de la science depuis 1881 : il en concluait que pour un univers observable de {{nb|100|Ga.l.}} (soit {{unité|9.46|e=26|m}}) et une précision de la [[longueur de Planck]], il suffit d'environ 60 décimales<ref>{{Lien web| langue=en| auteur1=Donald Byrd| titre=Progress in Computing Pi, 250 BCE to the Present| url=http://homes.sice.indiana.edu/donbyrd/Teach/Math/HistoryOfComputingPi.pdf| site=indiana.edu| date=septembre 2014| page=9}}.</ref>.

Puisque {{math|π}} est un [[nombre irrationnel]], sa représentation décimale n'est pas [[Développement décimal périodique|périodique à partir d'un certain rang]]. La [[Suite d'entiers|suite]] des décimales de {{math|π}} a toujours fasciné les mathématiciens professionnels et amateurs, et beaucoup d’efforts ont été mis en œuvre afin d'obtenir de plus en plus de décimales et d'en rechercher certaines propriétés<ref>{{MathWorld|nom_url=PiDigits|titre=Pi Digits}}.</ref>, comme l'occurrence de [[Nombre premier|nombres premiers]] dans les [[concaténation]]s de ses décimales (voir la section d'article « [[Liste de suites de nombres premiers#Nombre premier issu de troncature de constante|Nombre premier issu de troncature de constante]] »).

Malgré les importants travaux d'analyse et les calculs effectués, aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire cette suite de chiffres<ref>{{Lien web
 |langue     =en
 |auteur=Chad Boutin
 |titre      =Pi seems a good random number generator - but not always the best
 |éditeur=[[Purdue University]]
 |année      =2005
 |url=http://news.uns.purdue.edu/html4ever/2005/050426.Fischbach.pi.html
}}.</ref>. Les premières décimales sont disponibles sur de nombreuses pages web, et il existe des logiciels qui peuvent en calculer des milliards et qu'on peut installer sur un [[ordinateur personnel]].

Par ailleurs, le développement décimal de {{math|π}} ouvre le champ à d'autres questions, notamment celle de savoir si {{math|π}} est un [[nombre normal]], c’est-à-dire que ses [[Uplet|successions finies]] de chiffres en écriture décimale sont équiréparties. A fortiori, {{math|π}} serait alors un [[nombre univers]], ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres. En 2006, il n'existait pas de réponse à ces questions<ref name="Conférence Delahaye">Conférence de [[Jean-Paul Delahaye (mathématicien)|Jean-Paul Delahaye]], <!--http://www.universcience.fr/fr/conferences-du-college/seance/c/1239026849604/le-nombre-pi-est-il-simple-ou-complique--/p/1239022827777/--> ''Le nombre pi est-il simple ou compliqué ?'', 3 octobre 2006, [[Cité des sciences et de l'industrie|Cité des sciences]].</ref>.

=== Représentation fractionnaire ===
Les fractions de nombres entiers suivantes sont utilisées pour mémoriser ou approcher {{math|π}} dans des calculs (nombre de chiffres significatifs exacts entre parenthèses) :
{{retrait|1= <math>\frac31~(1),\qquad\frac{22}7~(3),\qquad\frac{333}{106}~(5),\qquad\frac{355}{113}~(7),\qquad\frac{103993}{33102}~(9),\qquad\frac{104348}{33215}~(10)\ldots</math> }}

Voir ci-dessous pour d’autres approches fractionnaires ([[#Histoire|Histoire]], [[#Approximations numériques|Approximations numériques]], [[#Fractions continues|Fractions continues]] et [[#Mémorisation de π|Mémorisation de {{math|π}}]]).

=== Approximation de {{math|π}} ===
{{Article détaillé|Approximation de π|}}

On peut trouver une valeur approchée de {{math|π}} de façon [[:wikt:empirique|empirique]], en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à [[Archimède]], consiste à calculer le [[périmètre]] {{mvar|P<sub>n</sub>}} d’un [[polygone régulier]] à ''n'' côtés et à mesurer le diamètre ''d'' de son [[cercle circonscrit]], ou celui de son [[cercle inscrit]]<ref name="NOVA">{{Lien web|langue=en
 | url         = https://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html
 | titre=Infinite Secrets: Approximating Pi
 | auteur      = Rick Groleau
 | année       = 2003
 | éditeur     =[[Nova (émission de télévision)|Nova]] ([[Public Broadcasting Service|PBS]])
}}.</ref>. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de {{math|π}}.

Archimède a utilisé cette approche en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Il a réussi, avec un polygone à {{nombre|96|côtés}}, à déterminer<ref name=Beckmann>{{Ouvrage
| langue=en
| prénom1=Petr
| nom1=Beckmann
| titre={{Lien|A History of Pi}}
| éditeur=Golem Press
| année=1971
| pages totales=208
| isbn=978-1-4668-8716-9
| lire en ligne={{Google Livres|10jABQAAQBAJ}}
}}.</ref> que {{math|3 + {{sfrac|10|71}} < π < 3 + {{sfrac|1|7}} }}.

On peut également obtenir des valeurs approchées de {{math|π}} en mettant en œuvre des méthodes plus modernes. La plupart des formules utilisées pour calculer {{math|π}} se basent sur la [[trigonométrie]] et le [[calcul infinitésimal|calcul intégral]]. Cependant, certaines sont particulièrement simples, comme la « [[Formule de Leibniz#Série alternée|formule de Leibniz]] »<ref>{{Ouvrage
| langue=en
| prénom1=Pierre
| nom1=Eymard
| prénom2=Jean-Pierre
| nom2=Lafon
| titre=The Number {{math|π}}
| éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]
| année=2004
| mois=février
| pages totales=322
| passage=53
| isbn=0-8218-3246-8
| lire en ligne={{Google Livres|qZcCSskdtwcC|page=53}}
}}.</ref> {{infra|Formules et calculs jusqu’en 1900}} :
{{retrait|1= <math>\pi=4\sum^\infty_{k=0}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac41-\frac43+\frac45-\frac47+\frac49-\frac4{11}\cdots.\! </math> }}

Cette série converge si lentement que pour calculer {{math|π}} avec une précision de six décimales il faut presque deux millions d'itérations.
Cependant, il est possible de définir une suite similaire qui converge vers {{math|π}} beaucoup plus rapidement, en posant :
{{retrait|1= <math>\pi_{0,1}=\frac41,\ \pi_{0,2}=\frac41-\frac43,\ \pi_{0,3} =\frac41-\frac43+\frac45,\ \pi_{0,4}=\frac41-\frac43+\frac45-\frac47, \cdots\! </math> }}
et en définissant :
{{retrait|1= <math>\pi_{i,j}=\frac{\pi_{i-1,j}+\pi_{i-1,j+1}}2\text{ pour tout }i,j\ge1.</math> }}

Le calcul de {{math|π}}{{ind|10,10}} demande alors un temps similaire à celui requis pour calculer les {{nombre|150|premiers}} termes de la série initiale, mais la précision est bien meilleure car {{math|π}}{{ind|10,10}} = 3,141592653… approche {{math|π}} avec neuf décimales exactes<ref group=alpha>Pour plus d’information sur des méthodes analogues, voir « [[Formule d'Euler-Maclaurin]] ».</ref>. On trouvera [[#Ère informatique|plus loin]] des méthodes de calcul plus élaborées, donnant des convergences bien plus rapides encore.

== Histoire ==

L’histoire ancienne de {{math|π}}, qu’on peut retracer grâce aux écrits disponibles, suit approximativement l’avancée des mathématiques dans leur ensemble<ref name=Beckmann/>. Certains auteurs divisent l’histoire de {{math|π}} en trois parties : la période antique durant laquelle {{math|π}} a été étudié géométriquement, l’ère classique, aux alentours du {{s-|XVII|e}}, où les outils du calcul intégral ont permis des avancées dans la connaissance du nombre {{math|π}}, et la période des ordinateurs numériques<ref>{{Lien web|langue=en
 | url         =http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pi.html
 | titre       =Archimedes' constant {{math|π}}
 | auteur1     = Xavier Gourdon
 | auteur2     = Pascal Sebah
 |site=Numbers, constants and computation
<!--consulté le 10/12/2017-->
}}.</ref>.

=== Antiquité ===

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du rayon. Des [[Tablette d'argile|tablettes]] [[Débuts de l'écriture en Mésopotamie|babyloniennes]] datant de {{nombre|2000|ans}} {{Av JC}} et découvertes en 1936<ref>Tablettes de [[Suse (Iran)|Suse]] — voir par exemple « [http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/ Pi et racine de 2 chez les babyloniens] », sur le [[blog]] cer1se.free.fr/principia.</ref> présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de {{math|π}} de 3 + 1/8<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Otto Neugebauer]]|titre=[[The Exact Sciences in Antiquity]]|éditeur=|année=|passage=47|isbn=}}.</ref>.

[[Fichier:Calculation of pi by Ahmes.svg|vignette|Ce recouvrement imparfait de l'aire du disque par un octogone peut conduire à une approximation de l'aire du disque, et donc du nombre {{math|π}}.]]
Découvert en 1858<ref>{{Lien web |langue=fr |prénom=Éditions |nom=Larousse |titre=le papyrus Rhind ou papyrus Ahmès - LAROUSSE |url=https://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/le_papyrus_Rhind/182373 |site=www.larousse.fr |consulté le=2023-01-19}}</ref>, le [[Papyrus Rhind|papyrus de Rhind]] contient le texte, copié au {{s-|XVI}} avant notre ère par le [[Scribe dans l'Égypte antique|scribe]] égyptien [[Ahmès (scribe)|Ahmès]], d'un manuel de problèmes plus ancien encore. On y trouve utilisée plusieurs fois une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de {{math|π}} de 256/81.

Une justification possible de celle-ci s'appuie sur un schéma, figurant dans le problème 48 du Papyrus Rhind et que l'on peut interpréter comme le schéma ci-contre<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Victor J. Katz]]|titre=A History of Mathematics|sous-titre=An Introduction|éditeur=[[Addison-Wesley]]|année=1998|numéro d'édition=2|pages totales=879|passage=20|isbn=978-0-321-01618-8}}.</ref>. Si le disque a pour {{nobr|diamètre 9,}} l'aire du disque est légèrement supérieure à l'aire de l'[[octogone]] (irrégulier) obtenu en rognant les coins du carré de {{nobr|côté 9.}} Cet octogone a pour {{nobr|aire 63 ;}} l'aire du disque est alors évaluée à 64, soit l'aire d'un carré de {{nobr|côté 8.}} Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2){{2}}, c'est-à-dire 256/81. Mais [[Annette Warner|Annette Imhausen]], historienne des mathématiques de l'Égypte antique, considère que l'on ne peut rien tirer de ce schéma, présent dans ce qui s’apparente à un manuel scolaire et non à une note de recherche<ref>{{chapitre|langue=en|auteur=Annette Imhausen|titre chapitre= Egyptian mathematics|page=30| auteurs ouvrage=Victor J. Katz and co.|titre ouvrage= The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : A Sourcebook|année=2007}}</ref>.

Vers 700 {{av JC}}, le texte [[Mathématiques indiennes|indien]] ''[[Veda#Brāhmana|Shatapatha Brahmana]]'' donne une approximation de {{math|π}} : 25/8 (= 3,125) et le ''[[Veda#Sūtra|Baudhāyana Sulbasūtra]]'' en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20)<ref>{{Article|langue=en|auteur=[[Subhash Kak|Subhash C. Kak]]|année=1997|titre=Three old Indian values of {{math|π}}|périodique=Indian J. Hist. Sci.|volume=32|pages=307-314|url=http://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol32_4_1_SCKak.pdf}}.</ref>. Des calculs d'astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation [[Mathématiques védiques|védique]] : 339/108 (≈&nbsp;3,139)<ref>{{Chapitre|langue=en|auteur=Ian Pearce|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Projects/Pearce/Chapters/Ch4_1.html|titre chapitre=Mathematics in the service of religion: I. Vedas and Vedangas|titre ouvrage=MacTutor History of Mathematics archive|éditeur=université de {{lang|en|St Andrews}}|mois=5|année=2002}}.</ref>. Au début du {{sap-|VI}}, [[Aryabhata]] donne une approximation plus précise : {{sfrac|{{unité|62832}}|{{unité|20000}} }} = 3,1416. Comme {{nobr|{{!}}{{math|π}} – 3,1416{{!}} < 0,0000075,}} il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10{{-5}} près.

Une approximation de {{math|π}} est également donnée en creux dans la [[Bible]], au [[Premier Livre des Rois]], vraisemblablement écrit au {{-s-|VI}} Il est fait mention d'un bassin de 10 coudées de diamètre, dont une corde de 30 coudées peut faire le tour, conduisant à une valeur de {{math|π}} = 3<ref>{{Réf Bible|1 Rois|7|23}} : {{citation|Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées.}} </ref>.

[[Archimède]] (287 à 212 {{av JC}}) démontre dans le traité ''[[De la mesure du cercle]]'' que l'aire d'un disque est égale à l'aire du triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au [[Rayon (géométrie)|rayon]] du disque et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la [[circonférence]] de ce même disque. Il démontre ainsi qu'une même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre<ref name="DeLaMesureDuCercle">[http://www.mathkang.org/maths/txtarchimede.html Voir une traduction du texte original].</ref>.

Cette démonstration s'appuie sur la [[méthode d'exhaustion]] et un [[raisonnement par l'absurde]]<ref>[http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/2-l-oeuvre-d-archimede/ Calcul infinitésimal - l'œuvre d'Archimède], ''[[Encyclopædia Universalis]]''.</ref>. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.
<gallery>
Fichier:PiArchimede1.svg|Cercle et ses carrés inscrit et circonscrit.
Fichier:PiArchimede2.svg|Cercle et ses octogones inscrit et circonscrit.
Fichier:PiCamembert1.svg|alt=Découpage du cercle en 8 portions.|Découpage du cercle en {{nombre|8|portions}}.
</gallery>

Sa démonstration exploite l'idée du découpage en quartiers : le cercle est découpé en plusieurs quartiers qui, mis bout à bout, dessinent des triangles curvilignes de même hauteur. En multipliant le nombre de quartiers, la base des triangles curvilignes est presque droite et la hauteur est proche du rayon ; la somme des bases correspond alors au périmètre du cercle et l'aire est alors de 1/2 de la base multipliée par la hauteur, c'est-à-dire 1/2 du périmètre multiplié par le rayon.

[[Fichier:PiCamembert2.svg|vignette|upright=1.8|centré|Déroulement des {{nombre|8|portions}}.]]

Dans le même traité<ref name="DeLaMesureDuCercle"/>, Archimède établit un encadrement du périmètre du cercle à l'aide des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit au cercle et possédant {{nombre|96|côtés}}<ref name="ahop">{{MacTutor|class=HistTopics|id=Pi_through_the_ages|title=A history of Pi}}</ref>. Pour calculer les périmètres de ces polygones, il part d'hexagones inscrits et circonscrits et met en évidence les formules donnant le périmètre d'un polygone dont le nombre de côtés a doublé. Son calcul revient à démontrer que 3 + 10/71 < {{math|π}} < 3 + 1/7<ref name="ahop" />. La moyenne de ces deux valeurs est d'environ 3,14185. Archimède s'arrête à {{nombre|96|côtés}} car les calculs qu'il est amené à effectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs pour l'époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par ses successeurs et qui permet en théorie une précision aussi grande que souhaitée. Il faut cependant une précision toujours plus grande dans les premiers calculs à chaque fois que l'on double le nombre de côtés du polygone. [[Claude Ptolémée|Ptolémée]], scientifique grec ayant vécu trois siècles après Archimède, donne une valeur de <math>\frac{377}{120} \approx 3,14166 \dots</math>, qu'il a pu obtenir grâce à [[Apollonios de Perga]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Carl Benjamin Boyer|C. Boyer]]|titre=A History of Mathematics|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=1968|passage=158}}.</ref>, ou bien en utilisant sa table trigonométrique et en multipliant par 360 la longueur de la corde sous-tendue par un angle d'un degré<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[John Lennart Berggren|Lennard Berggren]], [[Jonathan Borwein]], [[Peter Borwein]]|titre=Pi : A Source Book|éditeur=Springer|année=2004|passage=678|isbn=0-387-98946-3}}</ref>.

{{Boîte déroulante|titre=Formules d'Archimède|contenu=
[[Fichier:PiArchimedeBis.svg|vignette|Propriété de la bissectrice.]]
Archimède utilise une propriété liant le pied d'une bissectrice aux côtés adjacents : dans la figure ci-contre, SS′ est la bissectrice de l'angle de sommet S
{{retrait|1= <math>\frac xa = \frac yb = \frac {x+y}{a+b}</math> }}
{{clr}}
[[Fichier:PiArchimede3.svg|vignette|Polygone circonscrit.]]
'''Pour le polygone circonscrit.''' Dans la figure ci-contre, <math>c_1</math> et <math>c_2</math> sont les demi-côtés de deux polygones circonscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant la propriété précédente, que
{{retrait|1= <math>\frac{c_1}{c_2} = 1 + \frac{d_1}r</math> }}
{{retrait|1= <math>\frac{d_1}r=\sqrt{1+\left(\dfrac{c_1}r\right)^2}</math> }}
et réitère 4 fois l'opération à partir de l'hexagone.
{{clr}}
[[Fichier:PiArchimede4.svg|vignette|Polygone inscrit.]]'''Pour le polygone inscrit.''' Dans la figure ci-contre, <math>c_1</math> et <math>c_2</math> sont les côtés de deux polygones inscrits consécutifs. Archimède montre, en utilisant les triangles semblables et la propriété de la bissectrice, que
{{retrait|1= <math>\frac{d_2}{c_2} = \frac{2r}{y}=\dfrac{2r}{c_1}+ \frac{d_1}{c_1}</math> }}
{{retrait|1= <math>\frac{2r}{c_2} = \sqrt{1+\left(\dfrac{d_2}{c_2}\right)^2}</math> }}
On peut montrer ainsi que les périmètres <math>p_n</math> et <math>P_n</math> des polygones inscrit et circonscrit obtenus au bout de ''n'' étapes (soit, dans le cas d'Archimède qui commence avec un hexagone, des polygones à 6×2{{exp|''n''}} côtés) vérifient les relations de récurrence suivantes :
{{retrait|1= <math>\frac1{P_{n+1}} = \frac12 \left(\frac1{p_n} + \frac1{P_n}\right),\quad p_{n+1} = \sqrt{p_nP_{n+1}}</math>.}}
Les identités trigonométriques permettent également d'obtenir rapidement ces relations {{infra|Méthode d’Archimède}}.

La démonstration d'Archimède revient ainsi au calcul et à la justification à chaque étape de valeurs rationnelles par défaut et par excès du périmètre du cercle pour conclure, au bout de ''n'' = 4 étapes (96 côtés), à l'encadrement souhaité.
}}

[[Fichier:Liuhui Pi Inequality.svg|vignette|Encadrement de Liu Hui.]]

Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de {{math|π}}, la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au {{s|III|e}}, en Chine, [[Liu Hui]], commentateur des ''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique|Neuf chapitres]]'', propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe des calculs proches de ceux d'Archimède mais plus performants et fournit une approximation de {{math|π}} de 3,1416<ref>{{ChemlaShuchun}}, {{p.}}144-147.</ref>. Le mathématicien chinois [[Zu Chongzhi]] donne une approximation rationnelle encore plus précise de {{math|π}}<ref>Dans son texte ''Zhui Shu'', d'après {{MacTutor|id=Zu_Chongzhi|title=Zu Chongzhi}}</ref> : {{nobr|{{math|π}} ≈ 355/113}} (dont les développements décimaux sont identiques jusqu'à la {{6e|décimale}}, {{nobr|{{math|π}} ≈ 3,141 592 6}} et {{nobr|355/113 ≈ 3,141 592 9}}) et montre que {{nobr|3,141 592 6&nbsp;<&nbsp;{{math|π}}&nbsp;<&nbsp;3,141 592 7}}<ref>{{Harvsp|Boyer|1968|p=224}}.</ref>, en utilisant l'[[Algorithme de Liu Hui pour π|algorithme de Liu Hui]] appliqué à un polygone à {{nombre|12288|côtés}}. Cette valeur demeure la meilleure approximation de {{math|π}} au cours des {{nombre|900|années}} qui suivent.

=== Formules et calculs jusqu’en 1900 ===
{{ancre|Formules et calculs jusqu'en 1900}}

Jusqu’en 1400 environ, la précision des approximations de {{math|π}} n’excédait pas les {{nombre|10|décimales}}. Les progrès en matière de [[Intégration (mathématiques)|calcul intégral]] et de [[Série (mathématiques)|séries]] vont permettre d’améliorer cette précision. Les séries permettent d’approcher {{math|π}} avec d’autant plus de précision qu’on utilise de termes de la série pour le calcul. Vers 1400, le [[mathématiques indiennes|mathématicien indien]] [[Madhava de Sangamagrama]] trouve ce qui constitue, en langage moderne, le [[Arc tangente#Développement en série de Taylor|développement de la fonction arc tangente]] (redécouvert par [[James Gregory (mathématicien)|James Gregory]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] au {{s-|XVII}}<ref group=alpha>Attribuée souvent à Leibniz mais découverte probablement antérieurement par Gregory, voir {{MacTutor|class=HistTopics|id=Pi_through_the_ages|title=A history of Pi|point=non}}, cette formule avait d'abord été trouvée par Madhava, mais cette découverte resta inconnue du monde occidental.</ref>) :
{{retrait|1= <math>\arctan(x)=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}\quad (x \in \left[-1,1\right]).</math> }}
Le cas particulier {{math|1=''x'' = 1}} est la série de Leibniz [[#Approximation de π|mentionnée plus haut]] — également connue sous le nom de [[formule de Leibniz#Série alternée|série de Madhava-Leibniz]]<ref>
{{Ouvrage
|langue=en
|auteur1=[[George Andrews (mathématicien)|George E. Andrews]]
|auteur2=[[Richard Askey]]
|auteur3=Ranjan Roy
|titre=Special Functions
|éditeur=[[Cambridge University Press]]
|année=1999
|pages totales=664
|passage=58
|isbn=978-0-521-78988-2
|lire en ligne={{Google Livres|kGshpCa3eYwC|page=58}}
}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article
| langue =en
| prénom1 = R. C.
| nom1 =Gupta
| titre = On the remainder term in the Madhava-Leibniz’s series
|périodique=Ganita Bharati
| année =1992
| volume =14
|numéro=1-4
| passage=68-71
}}.</ref> — dont la convergence est trop lente.

Le cas particulier {{math|1=''x'' = 1/{{sqrt|3}}}} :
{{retrait|<math>\pi=6\cdot\frac1{\sqrt 3}\left(1-{1\over 3\cdot3}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)= \sqrt{12}\,\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)3^k}</math>}}
[[Série géométrique|converge bien plus vite]], ce qui a permis à Madhava de donner une valeur approchée de {{math|π}} de 3,141 592 653 59, qui a {{nombre|11|décimales}} correctes. Mais ces travaux restèrent inconnus en dehors du [[École du Kerala|Kerala]] jusqu'au {{s|XIX}}, à la suite de la [[Inde britannique|conquête de l'Inde par les Britanniques]]. Le record de Madhava a été battu en 1424 par le mathématicien [[Histoire de l'Iran#Les Timourides|perse]] [[Al-Kashi]] (''Traité de la circonférence''), qui a réussi à donner {{nombre|16|décimales}}, en appliquant la méthode d'Archimède à un polygone de {{nobr|{{math|3×2{{exp|28}}}} côtés.}}

La première contribution importante venant d’Europe depuis Archimède a été faite par [[François Viète]], qui en donne douze décimales, avec un encadrement du reste dans son ''Canon mathématique'' en [[1579]]. Il est suivi par [[Adrien Romain]], qui donne {{nombre|15|décimales}} en [[1591]], et l’Allemand [[Ludolph van Ceulen]] (1540-1610), qui a utilisé la même méthode géométrique afin de donner une estimation de {{math|π}} correcte à {{nombre|35|décimales}} près. Il a été si fier de son calcul, qui lui a demandé une grande partie de sa vie, qu’il a fait graver les décimales sur sa pierre tombale<ref>{{Ouvrage
| langue=en
| auteur1=[[Charles Hutton]]
| titre=Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms…
| lieu=Londres
| éditeur=Rivington
| année=1811
| passage=13
| lire en ligne={{Google Livres|zDMAAAAAQAAJ|page=13}}
}}.</ref>.

Il est immédiatement suivi par [[Willebrord Snell]], son élève, qui trouve des méthodes plus rapides pour obtenir la même approximation. Dans la même période, les méthodes de calcul intégral et de détermination de séries et produits infinis pour des quantités géométriques ont commencé à émerger en [[Europe]]. La première formule de ce type est la [[formule de Viète]] :
{{retrait|1= <math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!</math> }}

exposée par Viète {{référence souhaitée|date=juillet 2015|en 1579 dans son ''Canon mathématique'' et à nouveau}} en 1593, dans ses ''Problèmes variés''. Un autre résultat célèbre est le [[produit de Wallis]] :
{{retrait|1= <math>\frac{\pi}2= \prod^\infty_{k=1} \frac{(2k)^2}{(2k)^2-1} = \frac21\cdot\frac23\cdot\frac43\cdot\frac45\cdot\frac65\cdot\frac67\cdots\ = \frac43\cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdots\!</math> }}

que l’on doit à [[John Wallis]], qui l’a mis en évidence en 1655. [[Isaac Newton]] lui-même a utilisé le développement en série de {{nobr|1={{math|π}}/6 = arcsin(1/2)}}<ref name="Pi_chronology">{{MacTutor|class=HistTopics|id=Pi_chronology|title=A chronology of Pi}}</ref> pour calculer {{nombre|15|décimales}} de {{math|π}} ; bien plus tard, il a déclaré : {{citation|J’ai honte de vous dire combien de décimales j’ai trouvées grâce à ces calculs, n’ayant aucune autre occupation à l’époque<ref>Citation originale : {{citation étrangère|lang=en|I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time.}} {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Jonathan M. Borwein|auteur2=[[Peter Borwein|Peter B. Borwein]]|titre=Pi and the [[Moyenne arithmético-géométrique|AGM]]: A Study in [[Théorie analytique des nombres|Analytic Number Theory]] and Computational Complexity|éditeur=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|année=1987|passage=339|isbn=|consulté le=10/12/2017}}.</ref>.}}

En 1706, [[John Machin]] a été le premier à trouver {{nombre|100|décimales}} de {{math|π}}, en utilisant la formule :
{{retrait|1= <math>\frac{\pi}4= 4 \, \arctan \frac15- \arctan \frac1{239}\!</math> }}
et le développement ci-dessus en série entière de {{math|arctan}}.

[[Fichier:William Shanks PI.png|vignette|445px|droite|Première approximation de {{math|π}} calculée par William Shanks en 1853, incluant les 80 décimales incorrectes.]]
Les formules de ce type, maintenant connues sous le nom de [[Formule de Machin|formules de Machin]], ont été utilisées pour battre plusieurs records de décimales connues de {{math|π}} (par exemple [[Thomas Fantet de Lagny]] en calcule 112 en 1719), et demeurent aujourd’hui les formules les plus connues pour calculer {{math|π}} grâce à des ordinateurs. Un record remarquable est détenu par le [[calculateur prodige]] [[Zacharias Dase]] qui, en 1844, à l’aide d’une formule de Machin, a calculé {{nombre|200|décimales}} de {{math|π}}, à la demande de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]. La meilleure valeur obtenue à la fin du {{s-|XIX|e}} est due à [[William Shanks (mathématicien)|William Shanks]], qui a passé quinze ans à calculer {{nombre|607|décimales}} puis {{nombre|707|décimales}} de {{math|π}}, bien qu’à cause d’une erreur, seules les {{nombre|527|premières}} étaient correctes. De nos jours, il est aisé d’éviter de telles erreurs, en faisant faire les calculs par l’ordinateur, et en utilisant deux formules différentes pour éliminer les risques d’erreur de calcul, de programmation, ou du microprocesseur.

Les avancées théoriques du {{s-|XVIII|e}} ont amené les mathématiciens à s’interroger sur la nature de {{math|π}}, notamment sur l’absence de motifs périodiques dans ses décimales,
une hypothèse raisonnable au vu des calculs numériques, mais pour laquelle il fallait une approche radicalement différente pour la prouver rigoureusement. Ce tour de force a été réalisé par [[Johann Heinrich Lambert]] en 1761, qui fut ainsi le premier à prouver l’irrationalité de {{math|π}}, par la suite [[Adrien-Marie Legendre]] a aussi prouvé que {{math|π{{2}}}} aussi était irrationnel. Cette constante ({{math|π{{2}}}}) jouait un rôle notable en mathématique, puisqu’elle apparaissait dans la solution du [[problème de Bâle]], qui consistait à trouver la valeur exacte de
<math>\sum^\infty_{k=1}\frac1{k^2}=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots\!</math>
qui est {{math|π{{2}}/6}} (comme prouvé par [[Leonhard Euler]] qui a établi à cette occasion une connexion profonde entre {{math|π}} et les [[Nombre premier|nombres premiers]]).

=== Origine de la notation ===

C’est au cours du {{s-|XVIII|e}} que s’établit l’usage de la [[Alphabet grec|lettre grecque]] « {{math|π}} », première lettre du mot [[Grec ancien|grec]] {{grec ancien|περιφέρεια|périphéreia}}, « périphérie, circonférence », pour le rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre<ref name="cajori">{{Cajori}}, {{vol.|2}}, {{p.|8-13}}, {{numéros|395-398}}, {{Google Livres|bT5suOONXlgC|page=8|lire en ligne}}.</ref>.

À partir du {{s-|XVII|e}}, certains mathématiciens utilisent la notation {{math|π/δ}} où {{math|π}} désigne la circonférence et {{math|δ}} le diamètre<ref group=alpha>La notation n'est pas utilisée exclusivement, et de plus à des variantes près pour noter le rapport, voir Cajori, ouvrage cité.</ref>. Le premier à utiliser simplement {{math|π}} est [[William Jones (mathématicien)|William Jones]]<ref name="cajori" /> dans son livre {{lang|la|''Synopsis palmariorum mathesios''}} publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami [[John Machin|Machin]]. Les mathématiciens continuent cependant d’utiliser d’autres notations. Parmi ceux-ci [[Leonhard Euler|Euler]] se met à la notation de Jones<ref group=alpha>Rien n’indique si c’est sous l’influence de celui-ci ou de son propre chef, {{cf.}} Cajori.</ref> dans sa correspondance à partir de 1736. Il l’adopte dans son livre {{lang|la|''[[Introductio in analysin infinitorum]]''}} publié en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s’imposer vers la fin du {{s-|XVIII|e}}<ref group=alpha>On la trouve par exemple dans Les ''Éléments de géométrie'' de [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], un ouvrage plutôt destiné à un public scolaire, paru en 1794 ; {{cf.}} Cajori.</ref>.

=== Ère informatique ===
Alors que quelques dizaines de décimales de {{math|π}} sont largement suffisantes pour les calculs pratiques qu’effectue un physicien, la conquête des décimales du nombre {{math|π}} n’a pas cessé avec l’arrivée des ordinateurs, qui ont permis de calculer un très grand nombre de ces décimales (l'intérêt étant, outre le test de nouveaux algorithmes, le contrôle d'erreurs matérielles en effectuant par plusieurs méthodes différentes un calcul dont on sait à l'avance qu'il doit donner toujours le même résultat{{sfn|Arndt|Haenel|2000|p=18}}).

En 1949, à l’aide de l’[[ENIAC]], [[John von Neumann]] a obtenu {{FORMATNUM:2037}} décimales de {{math|π}}, à la suite d'un calcul qui a duré {{nombre|70|heures}}<ref>{{Article|langue=en|auteur=George W. Reitwiesner|titre=An ENIAC determination of {{math|π}} and {{math|e}} to more than 2000 decimal places|périodique=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#M|Math. Comput.]]|volume=4|numéro=29|année=1950|pages=11-15|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1950-04-029/S0025-5718-1950-0037597-6}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|auteur=[[Nicholas Metropolis|N. C. Metropolis]]|auteur2=G. Reitwiesner|auteur3=J. von Neumann|titre=Statistical treatment of values of first 2,000 decimal digits of <math>e</math> and of <math>\pi</math> calculated on the ENIAC|périodique=Math. Comput.|volume=4|numéro=30|pages=109-111|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1950-04-030/S0025-5718-1950-0037598-8|année=1950}}.</ref>. Des milliers de décimales supplémentaires ont été trouvées au cours des décennies suivantes, l’étape du million de chiffres ayant été passée en 1973. Les progrès n’ont pas seulement été dus aux ordinateurs de plus en plus rapides, mais aussi aux nouveaux algorithmes utilisés. L’une des avancées les plus significatives a été la découverte de la [[transformation de Fourier rapide]] dans les [[années 1960]], qui a permis aux ordinateurs de manipuler rapidement de très grands nombres.

Au début du {{s-|XX}}, le mathématicien indien [[Srinivasa Ramanujan]] a trouvé de nombreuses nouvelles formules faisant intervenir {{math|π}} ; certaines d’entre elles sont remarquables par leur élégance et leur profondeur mathématique<ref name="rad">{{Lien web|langue=en
 | url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piramanujan.html
 | titre=The constant {{math|π}}: Ramanujan type formulas
 | auteur1=Xavier Gourdon
 | auteur2=Pascal Sebah
 |site=Numbers, constants and computation
<!--consulté le 10/12/2017-->
}}.</ref>. L’une de ces formules est la série suivante, donnant 8 nouvelles décimales à chaque nouveau terme<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[John Lennart Berggren|J. L. Berggren]]|auteur2=[[Jonathan M. Borwein]]|auteur3=[[Peter Borwein]]|titre=Pi : A Source Book|éditeur=Springer|année=2004|numéro d'édition=3|pages totales=797|passage=637|isbn=978-0-387-20571-7|lire en ligne={{Google Livres|QlbzjN_5pDoC|page=637}}}}.</ref> :
{{retrait|1= <math>\frac1{\pi}=\frac{2 \sqrt 2}{9801}\sum_{k=0}^\infty\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!</math> }}

{{ancre|Formule de Chudnovsky}}La formule ci-dessous, possédant un lien étroit avec celle énoncée ci-dessus, a été découverte par [[David et Gregory Chudnovsky]] en 1987 :
{{retrait|1= <math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math> }}

Cette formule donne {{nombre|14|nouvelles}} décimales de {{math|π}} à chaque terme<ref name="rad"/>. Vers la fin des [[années 1980]], les frères Chudnovsky l’ont utilisée pour battre plusieurs records de décimales de {{math|π}} calculées. Elle demeure la formule la plus utilisée pour calculer {{math|π}} sur des ordinateurs personnels.
{{Article détaillé|Algorithme de Chudnovski}}

[[Fichier:LemniscateB.png|vignette|Lemniscate de Bernoulli.]]

Alors que les séries permettent d’obtenir des valeurs approchées de {{math|π}} avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape, avec cependant l’inconvénient que chaque étape demande généralement un calcul « coûteux ». Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsque [[Richard P. Brent|Richard Brent]] et {{Lien|trad=Eugene Salamin (mathematician)|Eugene Salamin}} ont découvert indépendamment la [[formule de Brent-Salamin]], qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape<ref name="brent">{{Chapitre
| langue =en
|auteur=Richard Brent
| titre chapitre = Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation
|titre ouvrage=Analytic Computational Complexity
|auteurs ouvrage={{Lien|Joseph F. Traub|texte=J. F. Traub}}|éditeur=[[Academic Press]]
| année =1975
| passage=151-176
| lire en ligne =http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html
<!--consulté le 10/12/2017-->
}}.</ref>. Il s’appuie sur un vieux résultat pressenti puis démontré par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]. En 1818, celui-ci démontre le lien existant entre la [[moyenne arithmético-géométrique]] M(1, {{racine|2}}) de 1 et {{racine|2}} — la longueur de la [[lemniscate de Bernoulli]] — et {{math|π}}. La longueur de la lemniscate est {{math|''L'' {{=}} 2''ϖr''}} où {{mvar|r}} représente la distance OA entre le centre et un sommet de la lemniscate et où {{mvar|ϖ}} est la constante de la lemniscate. Si on note {{mvar|G}}, la [[constante de Gauss]], c’est-à-dire l’inverse de M(1, {{racine|2}}) alors : 
{{retrait|1= <math>\varpi=\pi G</math> }}
Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l’algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de {{math|π}} va alors avancer conjointement avec celle des décimales de {{racine|2}}<ref name=LR>''[[La Recherche (magazine)|La Recherche]]'', {{numéro|392}}, décembre 2005, « L’indispensable nombre {{math|π}} », {{Référence incomplète|date=juillet 2011|pages=?}}.</ref>.

L’algorithme consiste à poser :
{{retrait|1= <math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac1{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac14\quad \quad \quad p_0 = 1\!</math>, }}
puis à définir les relations de récurrence suivantes :
{{retrait|1= <math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}2\quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!</math> }}
{{retrait|1= <math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!</math> }}
et enfin à calculer ces valeurs jusqu’à ce que {{mvar|a<sub>n</sub>}} et {{mvar|b<sub>n</sub>}} soient assez proches. On a alors une valeur approchée de {{math|π}} donnée par :
{{retrait|1= <math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}</math>.}}

En utilisant cet algorithme, seules {{nombre|25|itérations}} sont nécessaires pour calculer {{nombre|45|millions}} de décimales. Un algorithme similaire qui quadruple la précision à chaque étape a été trouvé par Jonathan et Peter Borwein<ref name=BBB/>. C'est grâce à ces méthodes que, de 1981 à 1999, [[Yasumasa Kanada]] et ses associés ont battu le record du nombre de décimales de {{math|π}} à onze reprises (plus de 2×10{{exp|11}} décimales en 1999)<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation|auteur=[[David H. Bailey]]|année=2003|url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf}}.</ref>.

En 1997, la [[formule BBP]], découverte par [[Simon Plouffe]], a fait de nouveau progresser la connaissance de {{math|π}}<ref name="bbpf">{{article
 |langue     =en
 |auteur=D. Bailey|auteur2=P. Borwein|auteur3=S. Plouffe
 |titre      =On the rapid computation of various polylogarithmic constants|périodique=Math. Comput.
|volume=66|numéro=218|année=1997|pages=93-313
 |url=http://www.ams.org/journals/mcom/1997-66-218/S0025-5718-97-00856-9
}}.</ref>. La formule,
{{retrait|1= <math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac1{16^k} \left( \frac4{8k + 1} - \frac2{8k + 4} - \frac1{8k + 5} - \frac1{8k + 6}\right),</math> }}
est remarquable car elle permet de calculer n’importe quel chiffre de l’écriture de {{math|π}} en base [[Système hexadécimal|hexadécimale]] ou [[Système binaire|binaire]], sans calculer les précédents<ref name="bbpf"/>. Entre 1998 et 2000, le projet de [[calcul distribué]] [[PiHex]] a utilisé une variante de la formule BBP due à [[Fabrice Bellard]] pour calculer le {{formatnum:1000000000000000}}{{e}} chiffre en binaire de {{math|π}}, qui s’est révélé être 0<ref>{{Lien web|langue=en
|url=https://bellard.org/pi/pi_bin.pdf
|titre=A new formula to compute the n'th binary digit of pi|auteur=Fabrice Bellard|date=20/1/1997
}}.</ref>.

Si une formule de la forme :
{{retrait|1= <math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac1{b^{ck}} \frac{p(k)}{q(k)},</math> }}
était trouvée, avec ''b'' et ''c'' des entiers positifs et ''p'' et ''q'' des polynômes de degrés fixés à coefficients entiers (comme pour la formule BBP ci-dessus), ce serait l’un des moyens les plus efficaces pour calculer n’importe quel chiffre dans l’écriture de {{math|π}} en base ''b''<sup>''c''</sup>  (et donc en base ''b'') sans avoir à calculer les précédents, en un temps dépendant uniquement de l'indice du terme calculé et du degré des polynômes.

En 2006, [[Simon Plouffe]] a trouvé plusieurs formules faisant intervenir {{math|π}}<ref>{{Lien web|langue=en
 | url         = http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf
 | titre=Identities inspired by Ramanujan’s Notebooks ({{nobr|part 2}})
 | auteur      = Simon Plouffe|date=avril 2006
}} puis [http://111136hd010063.ikexpress.com/simon/Identities_inspired_from_the_Ramanujan_Notebooks.pdf février 2011]
.</ref>. En posant ''q ''= {{math|e<sup>π</sup>}} ([[constante de Gelfond]]), on a :
{{retrait|1= <math>\frac{\pi}{24} = \sum_{n=1}^\infty \frac1n\left(\frac3{q^n-1} - \frac4{q^{2n}-1} + \frac1{q^{4n}-1}\right) </math> }}
{{retrait|1= <math>\frac{\pi^3}{180} = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^3} \left(\frac4{q^n-1} - \frac5{q^{2n}-1} + \frac1{q^{4n}-1}\right) </math> }}
ainsi que :
{{retrait|1= <math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^k} \left(\frac a{q^n-1} + \frac b{q^{2n}-1} + \frac c{q^{4n}-1}\right) </math> }}
où ''k'' est un [[Parité (arithmétique)|nombre impair]], et {{math|''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c''}} sont des [[Nombre rationnel|nombres rationnels]].

Depuis 2010, les records utilisant le programme ''{{Lang|en|y-cruncher}}'' se succèdent (voir la [[Approximation de π#XXIe siècle|section « {{s-|XXI}} » de l'article « Approximation de {{math|π}} »]]). Fin 2016, le record dépasse 2×10{{exp|13}} décimales.

Le 14 mars 2019, jour du Pi Day, Google rend public le nouveau record de décimales calculé par une de ses employées, [[Emma Haruka Iwao]], au moyen de puissantes machines. Le nouveau record du monde s'établit à 31 415 milliards de décimales. Il a fallu 121 jours<ref>{{Lien web |langue=en-us |titre=A recipe for beating the record of most-calculated digits of pi |url=https://blog.google/products/google-cloud/most-calculated-digits-pi/ |site=Google |date=2019-03-14 |consulté le=2022-05-29}}</ref> de calculs ininterrompus à [[Emma Haruka Iwao]] pour l'obtenir et ainsi entrer dans le livre Guinness des records<ref>{{Lien web|langue=fr
|url=https://www.01net.com/actualites/google-explose-le-record-de-calcul-de-decimales-de-pi-1652494.html
|titre=Google explose le record de calcul de décimales de pi|date=14/3/2019
}}.</ref>.

Le 9 juin 2022, ce record est à nouveau battu par  Emma Haruka Iwao, calculant cette fois cent mille milliards de décimales<ref>{{en}} [https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-100-trillion-digits-of-pi-on-google-cloud Calcul de cent trillions de décimales de pi sur Google Cloud ]</ref>.

== Utilisation en mathématiques et en sciences ==

=== Géométrie ===

{{math|π}} apparaît dans de nombreuses formules de [[géométrie]] impliquant les [[cercle]]s et les [[sphère]]s :

{| class="wikitable alternance centre"
! scope=col | Forme géométrique
! scope=col | Formule
|-
! scope=row | [[Circonférence]] d’un cercle de [[rayon (géométrie)|rayon]] ''r'' et de [[diamètre]] ''d''
| <math>C = 2 \pi r = \pi d \,\!</math>
|-
! scope=row | [[Aire (géométrie)|Aire]] d’un [[disque (géométrie)|disque]] de rayon ''r''
| <math>A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4} \,\!</math> 
|-
! scope=row | Aire d’une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] de demi-axes ''a'' et ''b''
| <math>A = \pi a b \,\!</math>
|-
! scope=row | [[Volume]] d’une [[Boule (topologie)|boule]] de rayon ''r''
| <math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!</math>
|-
! scope=row | Aire d’une [[sphère]] de rayon ''r''
| <math>A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!</math>
|-
! scope=row | Volume d’un [[cylindre]] de hauteur ''h'' et de rayon ''r''
| <math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
! scope=row | Aire latérale d'un cylindre de hauteur ''h'' et rayon ''r''
| <math>A =   2 \pi r h\,\!</math>
|-
! scope=row | Volume d’un [[cône (géométrie)|cône]] de hauteur ''h'' et de rayon ''r''
|<math>V = \frac13\pi r^2 h \,\!</math>
|-
! scope=row | Aire latérale d’un cône de hauteur ''h'' et de rayon ''r''
| <math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}\,\!</math>
|}

{{math|π}} se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des [[N-sphère|hypersphères]] (à plus de trois dimensions).

=== Nombres complexes ===

[[Fichier:Euler's formula.svg|vignette|La [[formule d'Euler|formule d’Euler]] illustrée dans le plan complexe. Une augmentation de l’angle ''φ'' de {{math|π}} radians (180°) donne l’[[Identité d'Euler|identité d’Euler]].]]

Un [[nombre complexe]] {{mvar|z}} peut s’exprimer en [[coordonnées polaires]] de la façon suivante :
{{retrait|1= <math>z = r\,(\cos\varphi+{\rm i}\sin\varphi)</math>.}}

L’apparition fréquente de {{math|π}} en [[analyse complexe]] a pour origine le comportement de la [[fonction exponentielle]] complexe, décrite par la [[Formule d'Euler|formule d’Euler]] :
{{retrait|1= <math>{\rm e}^{{\rm i}\varphi} = \cos \varphi +{\rm i}\sin \varphi</math> }}
où {{math|i}} est l’[[unité imaginaire]] satisfaisant la relation {{math|i}}<sup>2</sup> = −1 et {{math|e}} ≈ 2,71828 est la [[e (nombre)|constante de Néper]]. Cette formule implique que les puissances imaginaires de {{math|e}} décrivent des rotations sur le [[cercle trigonométrique|cercle unité]] du [[plan complexe]] ; ces rotations ont une période de 360[[Degré (angle)|°]] = 2{{math|π}} [[Radian|rad]]. En particulier, une rotation de 180° = {{math|π}} rad donne l’[[identité d'Euler]]
{{retrait|1= <math>{\rm e}^{{\rm i}\pi} = -1\text{ et donc }{\rm e}^{{\rm i}\pi} + 1 = 0</math>.}}

=== Suites et séries ===

De nombreuses suites ou séries convergent vers {{math|π}} ou un multiple rationnel de {{math|π}} et sont même à l’origine de calculs de valeurs approchées de ce nombre.

==== Méthode d’Archimède ====
{{retrait|1= <math>\pi = \lim_{n \to \infty} \left( n\sin{ \pi \over n }\right) = \lim_{n \to \infty} \left( n\tan{ \pi \over n }\right)</math> }}

Les deux suites définies par {{math|1=''s{{ind|n}} = n ''sin(π/''n'')}} et {{math|1=''t{{ind|n}} = n ''tan(π/''n'')}} représentent, pour {{math|''n'' ≥ 3}}, les demi-[[Polygone régulier#Apothème et rayon|périmètres des polygones réguliers à ''n'' côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique pour ''s<sub>n</sub>'', exinscrit pour ''t<sub>n</sub>'']]. On les exploite par des suites extraites dont l’indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir {{math|π}} par passage à la limite d’expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la [[racine carrée]]. Ainsi, on peut déduire de la méthode d'Archimède {{supra|Antiquité}} une définition par récurrence des suites extraites de termes ''s''{{ind|2{{exp|''k''+1}}}} et ''t''{{ind|2{{exp|''k''+1}}}} (à partir de ''s''{{ind|4}} = 2{{racine|2}} et ''t''{{ind|4}} = 4) ou encore ''s''{{ind|3×2{{exp|''k''}}}} et ''t''{{ind|3×2{{exp|''k''}}}} (à partir de ''s''{{ind|3}} = 3{{racine|3}}/2 et ''t''{{ind|3}} = 3{{racine|3}}) :
{{retrait|<math>\frac1{t_{2n}}=\frac12\left(\frac1{s_n}+\frac1{t_n}\right),\quad s_{2n}=\sqrt{s_n\,t_{2n}}</math>.}}

Il résulte de cette définition que les deux suites extraites correspondantes de la suite {{math|1=''c{{ind|n}}'' := ''s{{ind|n}}''/''t{{ind|n}}'' = cos(π/''n'')}} vérifient :
{{retrait|<math>s_{2n}=n\sqrt{2-2c_n}</math> et <math>2c_{2n}=\sqrt{2+2c_n}</math>.}}

(Alternativement, on peut démontrer, pour tout ''n'' ≥ 2, les deux premières relations à l'aide des identités trigonométriques <math>\tan\tfrac\theta2=\tfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}</math> ({{cf.}} « [[Formules de l'arc moitié]] ») et <math>\sin\theta=2\sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2</math> ({{cf.}} « [[Formule de trigonométrie#Formules de l'angle double|Formules de l'angle double]] ») et les deux dernières, directement, en utilisant les identités trigonométriques {{math|2sin(''x''/2)}} = {{racine|2 – 2cos(''x'')}} et {{math|2cos(''x''/2)}} = {{racine|2 + 2cos(''x'')}} pour {{math|''x'' ∈ [0, π]}}.)

On peut donc exprimer ''s''<sub>2<sup>''k''+1</sup></sub> et ''s''<sub>3×2<sup>''k''</sup></sub> (pour ''k'' ≥ 1), puis
{{math|π}} (par passage à la limite) sous forme de [[Radical imbriqué|formules où s'emboîtent des racines carrées]] :
{{retrait|1= <math>\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^k\cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt2}}}}} \right )</math> (''k'' est le nombre de racines carrées) }}
ou encore :
{{retrait|1= <math>\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt3}}}}} \right )</math> }}

Une autre expression de ''s''<sub>2<sup>''k''+1</sup></sub>, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par {{racine|2+√…}}), conduit au [[produit infini]] suivant (formule de [[François Viète]], 1593) :
{{retrait|1= <math>\frac{\pi}2=
\frac2{\sqrt2}\cdot
\frac2{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot
\frac2{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots</math> }}

==== Sommes et produits infinis ====
* <math>\frac{\pi}4=\frac11- \frac13+ \frac15- \frac17+ \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots 
= \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} </math> ([[#Formules et calculs jusqu’en 1900|formule de Madhava, Gregory et Leibniz]])
* <math> \frac{\pi}{2}=\frac21\cdot \frac23\cdot \frac43\cdot \frac45\cdot \frac65\cdot \frac67\cdot \frac87\cdot \frac89\cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots 
</math> ([[produit de Wallis]])
* <math>\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2} 
</math> (formule du [[problème de Bâle]])
* <math>\frac{\pi} 2=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{2n+1} \frac{1}{\binom{2n}{n}}=
\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{1\times3\times\cdots\times{(2n+1)}} </math> (série d'Euler<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=J.P. Delahaye|titre=Nombre pi, Malgré les progrès des sciences, il reste une énigme|éditeur=Le Monde/ Belin|année=2024|passage=11, 21}}</ref>)
* <math>\pi+3=\sum_{n=1}^\infty \frac{n\times2^n}{\binom{2n}{n}}=
\sum_{n=1}^\infty\frac{n\times n!}{1\times3\times\cdots\times{(2n-1)}}  </math> ([[Coefficient binomial central#Autres séries remarquables|série de Lehmer]]<ref name=":0" />)
* <math> \frac1{\pi} = \frac{2\sqrt2}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} </math> (formule due à [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]])
* <math> \frac1{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} </math> (formule due à [[David et Gregory Chudnovsky]])
*<math>\frac4\pi=\sum_{n=0}^\infty\frac{\binom{2n}n^2}{(2n-1)^22^{4n}}=
\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}\right)^2</math> (!! = [[double factorielle]], formule due à [[Andrew Forsyth|Forsyth]] et Ramanujan<ref>{{Article|auteur1=Paul Levrie, Amrik Singh Nimbran|titre=From Wallis and Forsyth to Ramanujan|périodique=The Ramanujan Journal|volume=47|numéro=5|date=December 2018|doi=10.1007/s11139-017-9940-3|lire en ligne=https://lirias.kuleuven.be/retrieve/522404/}}</ref>)

==== Suites récursives ====

Suite inspirée de la [[formule de Brent-Salamin]] (1975) :

Soient trois suites {{math|(''A{{ind|n}}'')}}, {{math|(''B{{ind|n}}'')}} et {{math|(''C{{ind|n}}'')}} définies simultanément par :
{{retrait|1=<math>\begin{array}{ll}
A_0=1 &
A_{n+1}={A_n+B_n\over 2}\\
B_0={1\over\sqrt2} &
B_{n+1}=\sqrt{ A_n\,B_n } \\
C_0={1\over 4} &
C_{n+1}=C_n - 2^n \left( {A_n-B_n\over 2} \right) ^2~;
\end{array}
</math>}}
on a :
{{retrait|1= <math>
\pi = \lim_{n \to \infty} {A_{n+1}^2\over C_n }
</math>.}}

Le nombre de décimales correctes (en {{nobr|base 10}}) double presque à chaque itération.

==== Fonction zêta de Riemann ====

{{Article détaillé|Problème de Bâle|Fonction zêta de Riemann}}

* <math>\zeta(2) = \frac1{1^2} + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \cdots + \frac1{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}6</math> ([[Leonhard Euler|Euler]])
* <math>\zeta(4)= \frac1{1^4} + \frac1{2^4} + \frac1{3^4} + \frac1{4^4} + \cdots + \frac1{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>,

Plus généralement, Euler démontra que [[Fonction zêta de Riemann|ζ(2''n'')]] est un multiple rationnel de {{math|π<sup>2''n''</sup>}} pour tout entier positif ''n'' (ce résultat est lié aux [[Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]]).

==== Suite logistique ====

Soit {{math|(''x{{ind|n}}'')}} la suite des itérés de la [[Suite logistique|fonction logistique]] de paramètre {{math|μ}} = 4 appliquée à un réel {{math|''x''{{ind|0}}}} choisi dans l’intervalle {{nobr|[0, 1]}} (c’est-à-dire qu’on définit, pour tout {{math|''n''}} ≥ 0, <math>x_{n+1} = 4 x_n(1 - x_n)</math>). La suite {{math|(''x{{ind|n}}'')}} quitte l’intervalle [0, 1] et diverge pour quasiment toutes les valeurs initiales.

On a <math> \lim_{n \to \infty} \frac1n\sum_{i = 0}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\quad </math> pour [[presque sûrement|presque toutes]] les valeurs initiales {{math|''x''{{ind|0}}}}{{Référence souhaitée|date=11 octobre 2024}}.

==== Intégrale ====

Le nombre {{math|π}} apparait également comme étant le double de la limite du [[sinus intégral]] à l’infini :
{{retrait|1= <math> 2\int_{0}^{\infty} \frac {\sin x}{x}\, \mathrm dx = \pi.</math> }}

=== Probabilités et statistiques ===

En [[probabilité]]s et en [[statistique]]s, il existe de nombreuses [[Loi de probabilité|lois]] qui utilisent la constante {{math|π}}, dont :

* la [[loi normale]] d’[[Espérance mathématique|espérance]] ''μ'' et d’[[écart type]] ''σ'', dont la [[Variable aléatoire à densité|densité de probabilité]] s’écrit<ref>{{MathWorld|nom_url=GaussianIntegral|titre=Gaussian Integral}}.</ref> : {{retrait|1= <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,{\rm e}^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math> }}
* la [[Loi de Cauchy (probabilités)|loi de Cauchy]], dont la densité de probabilité est<ref>{{MathWorld|nom_url=CauchyDistribution|titre=Cauchy Distribution}}.</ref> : {{retrait|1= <math>f(x)=\frac1{\pi (1 + x^2)}.</math> }}

Les deux formules suivantes, tirées de l’analyse, trouvent des applications pratiques en probabilités. L’une permet de montrer la convergence de la [[loi binomiale]] vers la [[loi normale]] et l’autre permet de calculer la densité d’une loi de Gauss.
* <math>n! = \Gamma(n + 1)\sim\sqrt{2 \pi n}\,\left(\frac n{\rm e}\right)^n</math> ([[formule de Stirling]])
* <math>\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{-x^2}{\rm d}x=\sqrt{\pi}.</math>

D’autre part, il existe diverses expériences probabilistes où {{math|π}} intervient dans la probabilité théorique. Elles peuvent donc servir, en effectuant un grand nombre d’[[Expérience aléatoire|épreuves]], à déterminer une approximation de {{math|π}}.

L’[[aiguille de Buffon]] est une [[expérience]] de [[probabilité]] proposée par [[Georges-Louis Leclerc de Buffon]] et consistant à calculer la probabilité qu’une aiguille de longueur ''a'', lancée sur un parquet fait de lattes de {{nobr|largeur L}}, soit à cheval sur deux lattes. Cette probabilité ''p'' est<ref name="bn">{{MathWorld|nom_url=BuffonsNeedleProblem|titre=Buffon’s Needle Problem}}.</ref> : 
{{retrait|1= <math>p = \frac{2a}{\pi\times  L},</math> }}
même si l'aiguille est courbe<ref>{{Lien web|langue=en
 | url         = http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml
 | titre =Math Surprises: An Example
 | auteur      = Alexander Bogomolny
 | année       = 2001
|site=Cut The Knot
<!--consulté le 9/12/2017-->
}}.</ref>{{,}}<ref>{{article
 |langue     =en
 |prénom1    =J. F.
 |nom1       =Ramaley
 |titre      ={{Lien|trad=Buffon's noodle|Nouille de Buffon|texte=Buffon’s Noodle}}<!--ou alors garder titre en anglais ? pas trouvé de ref en français--> Problem
|périodique=Amer. Math. Month.|volume=76|numéro=8
 |année      =1969|pages=916-918|jstor=2317945 
}}.</ref>.

Cette formule peut être utilisée pour déterminer une valeur approchée de {{math|π}} :
{{retrait|1= <math>\pi \approx \frac{2na}{xL}.</math> }}
où {{mvar|n}} est le nombre d’aiguilles lancées, et {{mvar|x}} celui d’aiguilles qui sont sur deux lattes à la fois.

Cette méthode présente rapidement ses limites ; bien que le résultat soit mathématiquement correct, il ne peut pas être utilisé pour déterminer plus que quelques décimales de {{math|π}} expérimentalement. Pour obtenir seulement une valeur approchée de 3,14, il est nécessaire d’effectuer des millions de lancers<ref name="bn" />, et le nombre de lancers nécessaires [[Croissance exponentielle|croît exponentiellement]] avec le nombre de décimales voulu. De plus, une très faible erreur dans la mesure des longueurs ''L'' et ''a'' va se répercuter de façon importante sur la valeur trouvée de {{math|π}}. Par exemple, une différence de mesure d’un seul [[atome]] sur une aiguille de longueur de {{nombre|10|centimètres}} va se retrouver dès la neuvième décimale de {{math|π}}. En pratique, les cas où l’aiguille semble toucher exactement la limite entre deux lattes va accroître l’imprécision de l’expérience, de sorte que les erreurs apparaîtront bien avant la neuvième décimale.

[[Fichier:Monte-Carlo01.gif|vignette|Évaluation de {{math|π}} par la méthode de Monte Carlo.]]

La [[méthode de Monte-Carlo]]<ref>{{Lien web|langue=en
 | url         =http://www.datastructures.info/the-monte-carlo-algorithmmethod/
 | titre       =The Monte Carlo algorithm/method
 | auteur=Look & Feel Great
 |date=9/1/2007
 | site        =datastructures.info
<!--consulté le 10/12/2017-->
}}.</ref> est une autre expérience probabiliste qui consiste à prendre ''au hasard'' un point dans un carré de {{nobr|côté {{math|1}}}}, la probabilité que ce point soit dans le quart de disque de {{nobr|rayon {{math|1}}}} est {{math|π/4}} ; cela peut se comprendre facilement étant donné que l'aire du quart du disque est {{math|π/4}} alors que celle du carré est {{math|1}}.

== Propriétés diverses ==

=== Approximations numériques ===
Comme {{math|π}} est transcendant, il n’existe pas d’expression de ce nombre qui fasse uniquement appel à des nombres et des fonctions algébriques. Les formules de calcul de {{math|π}} utilisant l’arithmétique élémentaire impliquent généralement les sommes infinies. Ces formules permettent d’approcher {{math|π}} avec une erreur aussi petite que l’on veut<ref>{{MathWorld|nom_url=PiFormulas|titre=Pi Formulas}}.</ref>, sachant que plus on rajoute de termes dans le calcul, plus le résultat sera proche de {{math|π}}.

Par conséquent, les calculs numériques doivent utiliser des approximations de {{math|π}}.

La première approximation numérique de {{math|π}} fut certainement 3<ref name="ahop" />. Dans les cas où une situation ne demande que peu de précision, cette valeur peut servir d’approximation convenable. Si 3 est une estimation par défaut, c’est parce qu’il est le rapport entre le périmètre d’un [[hexagone]] régulier inscrit dans un [[cercle]] et le diamètre de ce cercle.

Dans de nombreux cas, les approximations 3,14 ou [[22 / 7 dépasse π|22/7]] suffisent, bien que les ingénieurs aient longtemps utilisé 3,1416 ({{nombre|5|chiffres}} significatifs) ou 3,14159 ({{nombre|6|chiffres}} significatifs) pour plus de précision. Les approximations 22/7 et 355/113, avec respectivement 3 et {{nombre|7|chiffres}} significatifs, sont obtenues à partir de l’écriture en [[fraction continue]] de {{math|π}}. Cependant c’est le mathématicien chinois [[Zu Chongzhi]] (祖沖之 en [[sinogramme]]s traditionnels, 祖冲之 en sinogrammes simplifiés, ''Zǔ Chōngzhī'' en piyin) (429-500) qui a découvert la fraction 355/113 en utilisant la méthode d’Archimède pour calculer le périmètre du polygone régulier à {{formatnum:12288}} côtés inscrit dans un cercle. Aujourd'hui, les approximations numériques le plus souvent utilisées par les ingénieurs sont celles de constantes informatiques prédéfinies.

L’approximation de {{math|π}} en 355/113 est la meilleure qui puisse être exprimée avec uniquement {{nombre|3|chiffres}} au numérateur et au dénominateur. L’approximation {{formatnum:103993}}&nbsp;/&nbsp;{{formatnum:33102}} (qui fournit 10 chiffres significatifs) en exige un nombre beaucoup plus important : cela vient de l’apparition du nombre élevé 292 dans le développement en fraction continue de {{math|π}}<ref name="gourdon">{{Lien web|langue=en
 | url         = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piApprox.html
 | titre       =Collection of approximations for {{math|π}}
 | auteur1     = Xavier Gourdon
 | auteur2     = Pascal Sebah
 |site=Numbers, constants and computation|date=2002
<!--consulté le 9/12/2017-->
}}.</ref>.

=== Constantes approchées prédéfinies en informatique ===
Dans les calculs numériques usuels sur ordinateur, on utilise plutôt une constante correctement arrondie mais prédéfinie avec une précision d’au moins 16 chiffres significatifs (c’est la meilleure précision représentable par un nombre en virgule flottante au format standard [[IEEE 754]] sur 64 bits, un type généralement désigné « double précision ») et choisie afin que le calcul de son [[Sinus (mathématiques)|sinus]] retourne 0 exactement par une fonction définie dans cette même précision. Ainsi le fichier d’entête standard <code>&lt;math.h&gt;</code> utilisé en langage [[C (langage)|C]] ou [[C++]] définit la constante <code>M_PI</code> en double précision (le type flottant utilisé par défaut dans de nombreuses fonctions des bibliothèques mathématiques standards) à la valeur de {{formatnum:3.141592653589793}} (parfois avec des chiffres supplémentaires si la plateforme supporte une précision plus étendue pour le type <code>long double</code>). La même valeur est utilisée en [[Java (langage)|langage Java]], qui s’appuie sur la même norme IEEE 754, avec la constante standard <code>java.lang.Math.PI</code><ref>[http://docs.oracle.com/javase/1.5.0/docs/api/constant-values.html#java.lang.Math.PI La constante standard <code>java.lang.Math.PI</code> prédéfinie en double précision en langage Java].</ref>). On retrouve cette constante définie ainsi dans de nombreux langages de programmation, avec la meilleure précision possible dans les formats de nombres en virgule flottante supportés, puisque le type « double précision » de la norme IEEE 754 s'est imposé comme une référence de précision minimale nécessaire dans de nombreux langages pour d’innombrables applications.

Sur des [[microprocesseur]]s de la famille [[x86]], les unités de calcul matérielles (FPU) sont capables de représenter des nombres flottants sur 80 bits (utilisables avec cette précision en langage C ou C++ avec le type <code>long double</code> mais sans garantie de support matériel), ce qui porte la précision de {{math|π}} à 19 chiffres significatifs. La dernière révision publiée en 2008 de la norme IEEE 754 comporte aussi la définition de nombres en virgule flottante en « quadruple précision » (ou <code>quad</code>) codés sur 128 bits, ce qui permettrait de définir une approximation de la constante {{math|π}} avec une précision de 34 chiffres significatifs (toutefois cette précision n’est pas encore prise en charge nativement par de nombreux langages de programmation car peu de processeurs permettent cette précision directement au niveau matériel sans un support logiciel supplémentaire).

Pour les plateformes ou langages ne supportant nativement que les nombres en « simple précision », codés dans la norme IEEE 754 sur 32 bits utiles, pourront être pris en charge 7 chiffres significatifs (le minimum de précision supporté en langage C par le type <code>float</code>), c’est-à-dire la constante correctement arrondie à {{formatnum:3.141593}} et équivalente en précision à celle donnée par la fraction 355/113 (cette fraction permet aussi des calculs rapides dans des logiciels pour des systèmes légers ne comportant pas d’unité matérielle de calcul en virgule flottante).

=== Fractions continues ===
La suite des dénominateurs partiels du développement en [[fraction continue]] de {{math|π}} ne fait apparaître aucun schéma évident<ref name="ReferenceA">Suite {{OEIS2C|id=A001203}} de l'[[OEIS]].</ref> :
{{retrait|1= <math>
\pi=3+\textstyle \frac1{7+\textstyle\frac1{15+\textstyle\frac1{1+\textstyle\frac1{292+\textstyle\frac1{1+\textstyle\frac1{1+\textstyle\frac1{1+\textstyle\frac1{2+\textstyle\frac1{1+\textstyle\frac1{3+\textstyle\frac1{1+\textstyle\frac1{14+\cdots}}}}}}}}}}}}
</math> }}

Cependant :
*<math>\pi^4=97+\textstyle \frac1{2+\textstyle\frac1{2+\textstyle\frac1{3+\textstyle\frac1{1+\textstyle\frac1{16539+\dots}}}}}
</math>.<br>En tronquant ce développement juste avant le quotient partiel brusquement plus grand que les précédents ({{Nombre|16539}}), on obtient la célèbre approximation de Ramanujan<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=David Wells|titre={{Lien|The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers}}|éditeur=|année=|passage=67|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|7L7xcjBPemEC|page=67}}}}.</ref> <math>\pi\approx\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}</math>, qui donne {{math|π}} à 10{{exp|–8}} près.
*il existe des [[Fraction continue généralisée|fractions continues généralisées]] représentant {{math|π}} dont la structure est régulière :{{retrait|1= <math>
\pi=\textstyle \frac4{1+\textstyle\frac{1^2}{2+\textstyle\frac{3^2}{2+\textstyle\frac{5^2}{2+\textstyle\frac{7^2}{2+\textstyle\frac{9^2}{2+\cdots}}}}}}</math><ref>[[William Brouncker#Formule de Brouncker|Formule de Brouncker]].</ref><math>=
3+\textstyle\frac{1^2}{6+\textstyle\frac{3^2}{6+\textstyle\frac{5^2}{6+\textstyle\frac{7^2}{6+\textstyle\frac{9^2}{6+\cdots}}}}}</math><ref group=alpha>Fraction découverte par {{Article
| langue =en
| prénom1 = L. J.
| nom1 = Lange
| titre = An Elegant Continued Fraction for {{math|π}}
|périodique=Amer. Math. Month.
| mois = mai
| année =1999
| volume =106
|numéro=5
|pages=456-458
|jstor=2589152
}}. Se déduit en fait d'[[École du Kerala#Développements en séries et calcul infinitésimal|une série de Nilakantha]], par la [[formule de fraction continue d'Euler]].</ref><math>=\textstyle\frac4{1+\textstyle\frac{1^2}{3+\textstyle\frac{2^2}{5+\textstyle\frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\textstyle\frac{5^2}{11+\cdots}}}}}}</math><ref group=alpha>Par évaluation en 1 d'[[Fraction continue de Gauss#Applications à 2F1|un développement de arctan]].</ref><math>=2+\tfrac2{1+\tfrac1{1/2+\tfrac1{1/3+\,\cdots+ \tfrac1{1/n+\,\cdots}}}}</math><ref group=alpha>Par transformation du [[produit de Wallis]] : {{Harvsp|Eymard|Lafon|2004|p=71}}.</ref>{{,}}<ref>Ces représentations et d'autres sont disponibles [http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ sur le site functions.wolfram.com].</ref>.}}

=== Questions ouvertes ===

De nombreuses questions se posent encore : {{math|π}} et {{math|e}} sont deux nombres transcendants mais sont-ils [[Indépendance algébrique|algébriquement indépendants]] ou bien existe-t-il une équation polynomiale à deux variables et à coefficients entiers dont le couple {{nobr|({{math|π, e}})}} soit une solution ? La question est encore en suspens. En 1929, [[Alexandre Gelfond]] prouve que {{math|e<sup>π</sup>}} est transcendant<ref name=LR/> et en 1996, [[Youri Nesterenko]] prouve que {{math|π}} et {{math|e<sup>π</sup>}} sont algébriquement indépendants.

Comme dit [[#Représentation décimale|précédemment]], on ignore encore si {{math|π}} est un [[nombre normal]], ou même un [[nombre univers]] en [[Système décimal|{{nobr|base 10}}]].

== Culture populaire ==

Sans doute en raison de la simplicité de sa définition, le nombre pi et particulièrement son écriture décimale sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique<ref name=BBB>Voir par ex. {{Harvsp|Berggren|Borwein|Borwein|2004}}.</ref>. D’ailleurs, la découverte d’un plus grand nombre de décimales de {{math|π}} fait souvent l’objet d’articles dans la presse généraliste, signe que {{math|π}} est un objet familier même à ceux qui ne pratiquent pas les mathématiques<ref>Par ex. {{en}} MSNBC, [http://www.msnbc.msn.com/id/8456677/ {{lang|en|''Man recites pi from memory to {{nobr|83,431 places}}''}}], 3 juillet 2005 ; {{Article|langue=en|auteur=Matt Schudel|url=https://www.washingtonpost.com/wp-dyn/content/article/2009/03/24/AR2009032403064.html|titre=Obituaries: Mathematician John W. Wrench Jr. Dies at 97|périodique=[[The Washington Post]]|date=25/3/2009}} ; {{Article|langue=en|auteur=Steve Connor|url=https://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html|titre=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?|périodique=[[The Independent]]|date=8/1/2010}} ; {{Article|langue=en|auteur=Chris Smyth|url=https://www.thetimes.co.uk/article/pi-a-mathematical-story-that-would-take-49000-years-to-tell-jwzzfsrsv8p|titre=Pi, a mathematical story that would take {{nobr|49,000 years}} to tell|périodique=[[The Times]]|date=7/1/2010}}.</ref>.

Un lac du [[Canada]], situé au [[Québec]] dans le [[Territoire non organisé (Canada)|territoire non organisé]] de [[Rivière-aux-Outardes]], porte le nom de [[Lac 3.1416]].

Une tradition anglo-saxonne veut que l’on fête l’anniversaire de {{math|π}} dans certains départements mathématiques des universités le [[14 mars]]. Le 14 mars qui est noté « 3/14 » en notation américaine, est donc appelé la [[journée de pi]].

=== {{math|π}} dans l’art ===
Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre {{math|π}} dans les pyramides et, plus précisément, que {{math|π}} est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides<ref>Voir par exemple ''Le Secret de la Grande Pyramide'', de [[Georges Barbarin]].</ref>. Il est vrai que la [[pyramide de Khéops]] possède une pente de 14/11 et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de {{math|π}}, le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de {{math|π}}. Faut-il pour autant y chercher une intention ? Rien n’est moins sûr<ref>Selon {{Article|langue=en|auteur=auteur ?|titre=titre ?|périodique=The Journal of the Society for the Study of Egyptian Antiquities|issn=0383-9753|année=1978|volume=8|numéro=4}}{{référence incomplète|date=décembre 2017}}, {{citation|la valeur de {{math|π}} apparaissant dans la relation entre la hauteur et la longueur de la pyramide est vraisemblablement co-accidentelle}}.</ref> puisque la pente des pyramides n’est pas constante et que, selon les régions et les époques, on trouve des pentes de 6/5 ([[pyramide rouge]]), 4/3 ([[pyramide de Khéphren]]) ou 7/5 ([[pyramide rhomboïdale]]) qui conduisent à un rapport entre périmètre et double de la hauteur éloigné de {{math|π}}.

Il est en tout cas certain que {{math|π}} est présent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dans ''[[Contact (roman)|Contact]]'', un roman de [[Carl Sagan]], <math>\pi</math> joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu’il y ait un message enfoui profondément dans les décimales de {{math|π}}, placé par celui qui a créé l’univers. Cette partie de l’histoire a été écartée de l’adaptation cinématographique du roman.

Sur le plan cinématographique, {{math|π}} a servi de titre au premier long-métrage de [[Darren Aronofsky]], à qui l’on doit notamment {{lang|en|''[[Requiem for a Dream]]''}}. ''[[Pi (film)|{{math|Pi}}]]'' est un {{lang|en|thriller}} mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, révélant ainsi la formule exacte des marchés boursiers de {{lang|en|[[Wall Street]]}} ou encore le véritable nom de [[Dieu]].

Dans le registre musical, l’auteur-compositrice-interprète [[Kate Bush]] a sorti en 2005 son album {{lang|en|''[[Aerial]]''}}, qui contenait le morceau « {{math|π}} », dont les paroles sont principalement composées des décimales de {{math|π}}<ref>{{Article|langue=en
 | url         = http://news.bbc.co.uk/1/hi/magazine/7296224.stm
 | titre=3.14 and the rest
 | auteur      = David Blatner
|date=14/3/2008
|périodique=[[BBC News]] Magazine
<!--consulté le 10/12/2017-->
}}.</ref>.

=== Mémorisation de {{math|π}} ===
[[Fichier:PiDigits.svg|vignette|upright=1.7|Les récentes décennies ont vu une forte augmentation du record du nombre de décimales de {{math|π}} mémorisées.]]
Au-delà de la mémorisation de {{math|π}}, usuellement ses 3 à {{nombre|6|premiers}} chiffres ou par la remarquable valeur approchée de la fraction 355/113 ({{nombre|7|chiffres}} significatifs), la mémorisation d’un nombre record de décimales de {{math|π}} a longtemps été et demeure une obsession pour de nombreuses personnes. Le {{Date|14|mars|2004}}, à [[Oxford]], le jeune [[Syndrome d'Asperger|autiste Asperger]] [[Daniel Tammet]] récite (en {{nombre|5|heures}}, {{nombre|9|minutes}} et {{nombre|24|secondes}}) {{nombre|22514|décimales}}. Le record de mémorisation de {{math|π}} reconnu en 2005 par le ''[[Livre Guinness des records]]'' était de {{nombre|67890|chiffres}} (Lu Chao, un jeune diplômé chinois<ref>{{Lien web|langue=en | url=http://www.pi-world-ranking-list.com/news/index.htm | titre=Pi World Ranking List<!--consulté le 10/12/2017-->}}.</ref>, en {{nombre|24|heures}} et {{nombre|4|minutes}}<ref>{{article |langue=en |titre=Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi |périodique=News Guangdong |année=2006 |url texte=http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm}}.</ref>). En octobre 2006, [[Akira Haraguchi]], un ingénieur japonais retraité, récite {{nombre|100000|décimales}} de {{math|π}} en {{unité|16|heures}} et demie<ref name="japantimes">{{article |langue=en |prénom1=Tomoko |nom1=Otake |titre=How can anyone remember 100,000 numbers? |périodique=[[The Japan Times]]|date=17/12/2006|url texte=http://www.japantimes.co.jp/life/2006/12/17/to-be-sorted/how-can-anyone-remember-100000-numbers}}.</ref>, mais cet exploit n'est pas validé par le ''Guinness des records''. Le record officiel passe en mars 2015 à {{formatnum:70000}} décimales en 9 h 27 min (Rajveer Meena, un étudiant indien), puis en octobre à {{formatnum:70030}} en 17 h 14 min (Suresh Kumar Sharma, un autre Indien)<ref>{{article |prénom=Jean-Paul |nom=Delahaye |titre=Au pays des illuminés du nombre π |pages=78-83 |périodique=[[Pour la science]] |mois=mai |année=2016 |numéro=463|présentation en ligne=http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-au-pays-des-illumines-du-nombre-pi-36776.php}}.</ref>.

Le 17 juin 2009, {{Lien|langue=en|fr=Andriy Slyusarchuk}}, un [[neurochirurgie]]n et professeur [[Ukraine|ukrainien]], affirma avoir mémorisé {{nombre|30|millions}} de décimales de {{math|π}}, qui ont été imprimées en {{nombre|20|volumes}}<ref>{{ru}} [http://www.mk.ru/health/303812.html?phrase_id=1446233 {{lang|ru|Профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд по возможностям человеческой памяти}}].</ref>. Bien qu’il n’ait pas récité les {{nombre|30|millions}} de chiffres qu’il a dit avoir retenus (ce qui, au demeurant, lui aurait pris plus d'un an), certains médias prétendent qu’il était en mesure de réciter dix décimales sélectionnées aléatoirement parmi les volumes imprimés{{référence souhaitée|date=juillet 2011}}. La comparaison avec les valeurs officiellement retenues par le ''Guinness des records'' amène cependant les experts à mettre sérieusement en doute cette affirmation{{référence souhaitée|date=janvier 2012}}.

Il y a plusieurs façons de retenir les décimales de {{math|π}}, dont des poèmes dont le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, les mots de dix lettres représentant un 0. En voici un exemple<ref>Publié par ''The Academy'', d’après ''la Revue scientifique'', 2 septembre 1905, n°10, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k215143t/f316.item p. 316]. Les quatre premiers vers sont déjà connus en 1841, et apparaissent dans [https://books.google.com/books?id=Xi8JAAAAQAAJ&pg=PA137&dq=%22Que+j%27aime+%C3%A0+faire+apprendre+un+nombre+utile+aux+sages%22&hl=fr ''Le livre des singularites'', Gabriel Peignot, G. P. Philomneste]. Pour une variante, voir ''Pi'' - Supplément au ''[[Le Petit Archimède|Petit Archimède]]'' {{Numéro|64-65}}, mai 1980, {{p.|273}}, ou {{Note autre projet|Wikisource|Décimales de π|Décimales de {{math|π}}|début=}}</ref> :

{{vers|texte=
''Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !'' /3.1415926535
''Immortel Archimède, artiste, ingénieur,'' /8979
''Qui de ton jugement peut priser la valeur ?'' /32384626
''Pour moi ton problème eut de pareils avantages.'' /43383279...

''Jadis, mystérieux, un problème bloquait''
''Tout l’admirable procédé, l’oeuvre<ref group=alpha>Écrit sans la ligature (œuvre) pour correspondre à la décimale 6.</ref> grandiose''
''Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.''
''Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe''

''Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez''
''Défié Pythagore et ses imitateurs.''
''Comment intégrer l’espace plan circulaire ?''
''Former un triangle auquel il équivaudra ?''

''Nouvelle invention : Archimède inscrira''
''Dedans un hexagone ; appréciera son aire''
''Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :''
''Dédoublera chaque élément antérieur ;''

''Toujours de l’orbe calculée''<ref group=alpha>Le mot orbe est masculin, l'orthographe « calculée » est une [[licence poétique]].</ref>'' approchera ;''
''Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur<ref group=alpha>Ce vers compte 13 syllabes.</ref>''
''De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle''
''Professeur, enseignez son problème avec zèle.''
}}

Cette méthode présente ses limites pour la mémorisation d’un très grand nombre de décimales, où il semble plus opportun d’utiliser des méthodes comme la [[méthode des loci]]<ref>{{Article|langue=en
 | url         = http://silverchips.mbhs.edu/inside.php?sid=3577
 | titre=Oh my, memorizing so many digits of pi
 | auteur      = Yicong Liu
|date=19/5/2004
 |périodique=Silver Chips Online (journal des étudiants de [[Écoles publiques du comté de Montgomery (Maryland)|Montgomery Blair High School]])
<!--consulté le 10/12/2017-->
}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|nom1=Raz|prénom1=A.|nom2=Packard|prénom2=M. G.|nom3=Alexander|prénom3=G. M.|nom4=Buhle|prénom4=J.T.|nom5=Zhu|prénom5=H.|nom6=Yu|prénom6=S.|nom7=Peterson|prénom7=B. S.|année=2009|titre=A slice of pi : An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist|périodique=Neurocase|volume=15|numéro=5|pages=361-372|doi=10.1080/13554790902776896}} {{PMID|19585350}}.</ref>.

=== ''The Tau Manifesto'' ===

En 2001, le mathématicien Robert Palais écrit l'article ''{{lang|en|{{math|π}} is wrong!}}'', dans lequel il estime que la constante est mal définie et devrait être posée comme le rapport entre le périmètre d'un cercle et son rayon, amenant sa valeur numérique à {{formatnum:6.2831853071795}}..., dans un souci de simplification des formules usuelles qui feraient intervenir plus souvent {{math|2π}} que {{math|π}}<ref>{{article|auteur=Robert Palais|titre=π Is Wrong!|périodique=The Mathematical Intelligencer|volume=23|numéro=3|année=2001|pages=7–8|lire en ligne=http://www.math.utah.edu/~palais/pi.pdf}}</ref>. Michael Hartl a repris ses arguments dans le ''Tau Manifesto'', dans lequel il propose de privilégier l'usage d'une nouvelle constante, {{math|τ{{=}}2π}}<ref>{{lien web|langue=en|url=https://tauday.com/tau-manifesto|titre=The Tau Manifesto|auteur=Michael Hartl}}</ref>. Depuis, des défenseurs de {{math|τ}} ont créé le ''Tau day'' au 28 juin (6/28) en concurrence avec le ''[[Journée de pi|Pi day]]'' du 14 mars (3/14)<ref>{{lien web|langue=en|titre='Tau day' marked by opponents of maths constant pi|auteur=Jason Palmer|url=https://www.bbc.com/news/science-environment-13906169|site=BBC News}}</ref>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Traduction/Référence|en|Pi|346255414|type=note}}
{{références|groupe=alpha|taille=25}}

=== Références ===
{{Références nombreuses|taille=25}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| commons=Category:Pi
| wiktionary=pi
| wikiquote = Pi
}}

=== Bibliographie ===
* [[Éliette Abécassis]], ''Le Palimpseste d’Archimède'' (roman), [[Éditions Albin Michel|Albin Michel]] {{ISBN|978-2-226-24829-9}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[John Lennart Berggren]]|auteur2=[[Jonathan Borwein]]|auteur3=[[Peter Borwein]]|titre=Pi : A Source Book|éditeur=Springer|année=2004|numéro d'édition=3|isbn=|doi=10.1007/978-1-4757-4217-6}}
* ''Numéro spécial ''{{math|π}}, ''Supplément au [[Le Petit Archimède|Petit Archimède]]'', {{Numéro|64-65}}, mai 1980
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Jörg Arndt|auteur2=Christoph Haenel|titre=Pi Unleashed|éditeur=Springer|année=2000|pages totales=270|isbn=978-3-540-66572-4|lire en ligne={{Google Livres|QwwcmweJCDQC}}}}. Traduction : ''À la poursuite de ''{{math|π}}, [[Vuibert]], 2006 {{ISBN|2-7117-7170-9}}
* {{Le fascinant nombre π}}
* Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, ''Autour du nombre {{math|π}}'', [[Hermann (maison d'édition)|Hermann]], Paris, 1999 {{ISBN|2-7056-1443-5}}, {{Google Livres|qZcCSskdtwcC|aperçu de la traduction en anglais}}
*{{Chapitre|langue=en|auteur=[[Reinhold Remmert]]|titre chapitre=What is {{math|π}}?|auteurs ouvrage={{Lien|langue=de|Heinz-Dieter Ebbinghaus|texte=H.-D. Ebbinghaus}} {{et al.}}|titre ouvrage=Numbers|url={{Google Livres|OKcKowxXwKkC|page=123}}}}, traduction française et adaptation de François Guénard : « Le nombre {{math|π}} », dans ''Les nombres. Leur histoire, leur place et leur rôle de l’Antiquité aux recherches actuelles'', Vuibert {{ISBN|2-7117-8901-2}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=James T. Smith|titre=Methods of Geometry|lieu=New York/Chichester/Weinheim etc.|éditeur=[[John Wiley & Sons|WIley]]|année=2000|pages totales=486|passage=123|isbn=0-471-25183-6|lire en ligne={{Google Livres|B0khWEZmOlwC|page=123}}}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Michael Trott|titre=The Mathematica GuideBook for Programming|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=2004|pages totales=1028|passage=173|isbn=978-0-387-94282-7|lire en ligne={{Google Livres|iZTxaxT_YeMC|page=173}}}}

=== Articles connexes ===
* [[Approximation de π]]
* [[Journée de pi]]
* {{Lien|langue=en|fr=Milü}}
* [[PiHex]]
* [[Projet de loi pi de l'Indiana]]
* [[22 / 7 dépasse π]]

=== Liens externes ===
* [https://www.franceculture.fr/emissions/la-methode-scientifique/lodyssee-de-pi "L'odyssée de Pi", La Méthode Scientifique, France Culture, le 14 mars 2019]
* Nombreuses informations historiques et mathématiques sur pi dans [http://www.pi314.net/ pi314.net]
* {{MathWorld|nom_url=PiFormulas|titre=Pi Formulas}}
* {{MathWorld|nom_url=PlouffesConstants|titre=Plouffe's Constants}}
* [https://paisajes.math.cnrs.fr//Les-decimales-de-pi.html Les décimales de pi], sur ''[[Images des mathématiques|images des Maths]]''
* {{Lien web|url=http://www.gecif.net/articles/mathematiques/pi/|titre=Le nombre Pi|site=gecif.net|auteur=J.-C. Michel}}
* Jean Brette et [[Jean-François Ternay]], Le nombre Pi, lire en ligne https://images.cnrs.fr/video/1116

{{Palette|Notion de nombre}}
{{Portail|mathématiques|géométrie}}

[[Catégorie:Pi|*]]
[[Catégorie:Histoire des mathématiques]]