Voir la source de Pietro Mengoli

{{Ébauche|mathématicien italien}}
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|légende=Pierre Mengoli
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'''Pietro Mengoli''', né à [[Bologne]] en [[1626]] ou [[1627]] et mort dans la même ville le {{date de mort|7|juin|1686}}, est un [[mathématicien]] [[italie]]n du {{s|XVII|e}}, élève de [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]], auquel il succède en [[1647]] à la chaire de [[mathématiques]] de l'[[université de Bologne]]. Il y restera [[Professeur (titre)|professeur]] pendant 39 ans.
== Biographie ==
Après avoir étudié à l'université de Bologne sous la direction de Cavalieri et de [[Giovanni Antonio Rocca]] (1607-1696)<ref>Vie de Giovanni Antonio Rocca par Gaetan Rocca, dans le ''Nuovo giornale de letterati d'Italia, Volumes 35 à 36'', {{p.}} 63 {{lire en ligne|lien=https://books.google.fr/books?id=2ZdHAAAAYAAJ&pg=PA61|date=8 août 2011}}.</ref>, Mengoli remplace Cavalieri, avec l'approbation du Sénat de la ville (d'après le récit qu'en fait le sénateur [[Paolo Emilio Fantuzzi]] en 1677), l'année suivant sa mort ({{date-|novembre 1647}}). Il soutient un doctorat en philosophie  en 1650, et trois ans plus tard un second doctorat de droit. Ordonné prêtre en 1660, il cumule dès lors la direction de la paroisse de Sainte Marie-Madeleine, à Bologne avec diverses charges auprès de l'université dont celles de premier professeur d'arithmétique (1648-1649), puis de professeur de génie mécanique (1649-1668), et, enfin, de professeur de mathématiques (1668-1686, année de sa mort).

Parmi ses élèves, l'un des plus fameux est [[James Gregory (mathématicien)|James Gregory]], mathématicien écossais dont l'oncle, [[Alexander Anderson (mathématicien)|Alexander Anderson]], était lui-même un épigone de [[François Viète]]<ref>{{pdf}} Marc-Antoine Coppo ''[http://math.unice.fr/~coppo/Oresme-Euler.pdf Une histoire des séries inﬁnies d’Oresme à Euler]'' </ref>. Un des premiers historiens des mathématiques à réévaluer son rôle fut [[Giovanni Vacca]]<ref>{{it}} Giovanni Vacca cite Mengoli  [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Mengoli_logarithms.html sur Mac Tutor]</ref>.

== Travaux ==
[[Image:Mengoli - Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum, 1650 - 854958.jpg |thumb|''Novæ quadraturæ arithmeticæ'', 1650]]

Les premiers travaux connus de Mengoli portent en 1649 sur la musique et l'harmonie <ref> Un relevé des œuvres musicales de Mengoli se trouve sur le site [http://www.musicologie.org/Biographies/m/mengoli_pietro.html musicologie.org]. Ce premier travail, publié chez eredi Dozza, stipule que ''Pietro Mengoli col seguente discorso provò che l’armonia della musica non è dissimile dell’ armonia che unite formano le parti, che constituiscono un bel sembiante. '' </ref>.

D'une facture moins moderne que [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], Pietro Mengoli commence sa carrière scientifique par la publication, en 1650, de ''Novæ quadraturæ arithmeticæ, seu de additione fractionum''<ref>{{pdf}} Pietro Mengoli : ''Novæ quadraturæ arithmeticæ, seu de additione fractionum'', 1650, chez Jacob Monti à Bologne {{lire en ligne|lien=http://mathematica.sns.it/media/volumi/120/Novae%20quadraturae%20arithmeticae%20seu%20de%20additione%20fractionum_bw.pdf|date=5 août 2011}}/</ref>. Cet ouvrage a néanmoins une grande portée et il est salué en son temps par [[John Wallis|Wallis]]. Mengoli y énonce que la série des inverses des entiers diverge (voir [[série harmonique]]). Il retrouve ainsi un résultat connu de [[Nicolas Oresme]]. Il montre également que la série alternée converge vers <math>\ln(2)</math>.


Il y annonce également la somme de [[série (mathématiques)|séries]] comme  <math>\frac{1}{n(n+r)}~ ,r \in \{1\ldots10\}</math>. Mengoli échoue à établir la somme pour <math>r=0</math> , problème bien plus difficile et qui sera connu sous le nom de [[Problème de Bâle]] (parfois également appelé Problème de Mengoli) après que [[Jacques Bernoulli|Jakob Bernoulli]], mathématicien bâlois, ait échoué à son tour à évaluer la valeur de la série dont il donne une majoration en 1689. Cette somme des carrés des inverses des entiers sera trouvée par [[Leonhard Euler]] en 1735. Mengoli donne de même la somme de la série de terme général <math>\frac{1}{n(n+1)(n+2)}</math>, soit <math>\frac{1}{4}</math>.



En 1655, il dédicace à la reine [[Christine de Suède]] son '' Via Regia ad Mathematicas per Arithmeticam, Algebram Speciosam et Planimetriam ornata''.

En 1659, Mengoli publie un ouvrage de [[géométrie]] ''Geometriæ speciosæ elementa''<ref>  Pietro Mengoli : ''Geometriæ speciosæ elementa'', 1659, chez Jean Baptiste Ferroni {{lire en ligne|lien=https://books.google.com/books?id=E8k2AAAAMAAJ|date=5 août 2011}}.</ref>, dans lequel il expose et prolonge l'[[algèbre nouvelle|algèbre spécieuse]] de [[François Viète]]<ref>María Rosa Massa Esteve, ''L'algebrització de les matemàtiques: Pietro Mengoli (1625-1686)'', {{p.}} 17 {{lire en ligne|lien=https://books.google.fr/books?id=uEceCr45vhUC&pg=PA17}}</ref>, sa rédaction étant proche de celle d'[[Pierre Hérigone|Hérigone]]<ref>María Rosa Massa Esteve,''L'algebrització de les matemàtiques: Pietro Mengoli (1625-1686)'', {{p.}} 18{{lire en ligne|lien=https://books.google.fr/books?id=uEceCr45vhUC&pg=PA18}}</ref> dont il se veut un successeur.

Mengoli livre dans cet ouvrage une première définition de l'intégrale, considérée comme l'aire délimitée par une figure plane géométrique. Il la calcule en additionnant l'aire des parallélogrammes inscrits et circonscrits dans la figure selon une méthode des ''ordres négligeables'' (la même année que [[Blaise Pascal|Pascal]]). Il y énonce également les fondements du [[calcul différentiel]], ce dont s'inspire [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]], qui le lit, avant de publier en 1684 ses '' Acta Eruditorum ''.
À cette occasion, il définit notamment le logarithme comme l'aire sous une hyperbole, mais sans le noter. Il y définit plus précisément les sommes inférieures et les sommes supérieures, <math>L_n^-(a,b)=\sum_{nb< p \leq na}{1\over p}</math> et <math>L_n^+(a,b)=\sum_{nb\leq p < na}{1\over p}</math>, puis remarque que les premières croissent, et les secondes décroissent alors que leur différence tend vers 0<ref>Roger Godement ''[https://books.google.fr/books?id=b9p3WFavE78C&pg=PA387 Analyse mathématique: Convergence, fonctions élémentaires]''</ref>.

En 1670, il publie un traité sur la musique, ''Speculationi di musica dedicate all’eminentiss. e reverendiss. sig. card. Azzolini da Pietro Mengoli, dottor de l’una, e l’altra legge, e di filosofia collegiato, prior di S. Maddalena, e publico professor di scienze mecaniche nello studio di Bologna'', publié à Bologne par Herede del Benacci, qui tente de ramener la théorie de la musique à l'acoustique, à la propagation des sons, et à  l'anatomie<ref> Paolo Gozza, ''[https://books.google.fr/books?id=I2g6GbZRPrEC&pg=PA31 Number to sound: the musical way to the scientific revolution]''</ref>.

La même année, Mengoli donne un traité, ''Refrattioni e Parallase Solare'' consacré à la réfraction.

En 1672, Mengoli publie ''il Circolo''. Il y exprime <math>\frac{\pi}{2}</math> sous forme de [[produit infini]]. Il s'intéresse à l'occasion aux [[Fonction bêta|fonctions bêta]] <math>B(n,m)</math> d'Euler (fonctions liées à la [[Fonction gamma]]), introduites par Euler un siècle plus tard.

En 1673, Mengoli publie ''Anno, '' recueil d'études chronologiques ; puis en 1674, '' Arithmetica Rationalis '' et en 1675, ''Arithmetica Realis'', deux livres consacrés à la philosophie et la logique. En 1681, le dernier ouvrage de Mengoli s'intitule Mese. Il est consacré à la chronologie biblique.

Mengoli reste célèbre pour son travail sur les  [[problème de Mengoli|problèmes diophantiens]] dits d'[[Ozanam]]. Sa relation avec [[Stefano degli Angeli]] (1623-1697), professeur à Padoue contribue également à l'avancement de l'[[analyse (mathématiques)|analyse]]. À partir des développements de <math>\frac{1}{1+x}</math> et de <math>\ln(1+x)</math>, ils développent <math>\frac{1}{1+x^2}</math> en série. Ultérieurement, le mathématicien écossais [[James Gregory (mathématicien)|James Gregory]] donnera à partir de celle-ci la formule dite de Gregory ou de Leibniz relative à <math>\frac{\pi}{4}</math>.

== Ouvrages disponibles ==
* ''[https://archive.org/details/geometriaespeci00menggoog Geometriae speciosae elementa]'', Bologne, 1659 (disponible également [https://books.google.com/books?id=Yi7Qxg_AAAwC ici].
* ''[https://books.google.fr/books?id=1edCAAAAcAAJ Speculationi di Musica]'', Bologne, 1670.
* ''[https://books.google.fr/books?id=Lqw2AAAAMAAJ Arithmeticae rationalis elementa quator], ''  Bologne, 1674.
* ''[https://books.google.fr/books?id=jt00AAAAMAAJ Arithmetica realis, serenissimo et reverendissimo principi Leopoldo  ab Etrvria cardinali Medices dicata a Petro Mengolo], '' Bologne, 1675.

== Références ==
{{Références|colonnes=2}}

== Articles connexes ==
* [[Méthode des indivisibles]]
* [[Dettonville]]

== Liens externes ==
{{Liens}}
* [http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/mengoli.html Page Mengoli] du projet Galileo
* [http://mathematica.sns.it/autori/1362/ L'Encyclopédie] Mathematica Italiana du Centro di Ricerca Matematica Ennio de Giorgi - Scuola Normale Superiore di Pisa.
* [http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3360%3Amengoli-pietro-16267-1686&catid=37%3Abiograf-de-matemcos-ilustres&directory=67&showall=1 Article Mengoli] de M.Rosa Massa Esteve sur [http://www.divulgamat.net/ le site divulgamat].
* {{pdf}} {{ca}} [http://tdx.cat/bitstream/handle/10803/3103/rme4de4.pdf?sequence=1 Thèse de Rosa Massa] sous la direction de Tomas [[Antoni Malet]], de l'université autonome de Barcelone ({{date-|avril 1998}}).

{{Portail|mathématiques|XVIIe siècle|Italie}}

{{DEFAULTSORT:Mengoli, Pietro}}
[[Catégorie:Naissance à Bologne]]
[[Catégorie:Universitaire italien]]
[[Catégorie:Mathématicien italien du XVIIe siècle]]
[[Catégorie:Professeur à l'université de Bologne]]
[[Catégorie:Écrivain italien de langue latine]]
[[Catégorie:Naissance en 1626]]
[[Catégorie:Décès en juin  1686]]
[[Catégorie:Continuateur de l'algèbre nouvelle]]