Voir la source de Pile ou face

{{Voir homonymes|Pile ou face (homonymie)}}
[[Image:Pile ou face.png|thumb|upright=.25|Lancer d'une pièce.]]

Le '''pile ou face''' est un [[jeu de hasard]] se jouant avec une [[pièce de monnaie]]. Le principe du jeu est de lancer en l'air une pièce équilibrée et de parier sur le côté sorti. La pièce tournoyante tombe au sol et s'y stabilise, ou bien elle est rattrapée d'une main et posée à plat dans l'autre main.

L'origine du nom « pile ou face » vient des noms des deux côtés d'une [[pièce de monnaie]]<ref group="note">Dans tout cet article wikipédia, les noms des deux côtés d'une pièce seront écrits en italique : ''pile'' et ''face'' et on ne les accordera pas en nombre.

Le côté "''pile''" est celui qui contient la valeur faciale de la pièce (par exemple 1 pour 1 €).

On utilisera le terme « côté » (au lieu de face) pour désigner les différentes facettes des objets. Le nom du jeu ne sera pas écrit en italique : « pile ou face ».</ref>.

La première utilisation de ce jeu sous cette forme date de la création de la monnaie métallique. Cependant, d'autres formes existaient précédemment en utilisant des objets possédant deux côtés distincts, un coquillage par exemple. Le but est de faire un choix [[wikt:binaire|binaire]] au hasard. Aujourd'hui encore, jouer à « pile ou face » signifie qu'on laisse une décision se prendre au hasard, en fonction du côté de la pièce qui apparaîtra après le lancer.

Le jeu de pile ou face est toujours utilisé en sport par exemple. Il sert de support à beaucoup de problèmes en [[théorie des probabilités|probabilité]], certains restent encore ouverts comme le [[problème de la Belle au bois dormant]].

C'est un outil important dans la [[théorie des jeux]] ainsi que dans la [[théorie des probabilités]].

== Origine ==
{{article détaillé|Avers (numismatique)|Revers (numismatique)}}

=== Antiquité ===
[[Image:Romerskt as av koppar, Nordisk familjebok.png|thumb|''Capita'' aut ''Navia'' ? (« Tête [de [[Janus (mythologie)|Janus]]] ou navire » ?).]]
Des écrits anciens nomment un jeu d'enfants de la [[Grèce antique]], l'Ostrakinda, où le choix du rôle des deux équipes est fait en jetant une coquille ou un tesson de jarre, blanc d'un côté, noir de l'autre et en criant « nuit ou jour »<ref>{{Ouvrage
 | langue        = en
 | prénom1       = Eliseo
 | nom1          = Andreu-Cabrera
 | prénom2       = Mar
 | nom2          = Cepero González
 | prénom3       = Javier
 | nom3          = Rojas
 | prénom4       = Juan J.
 | nom4          = Chinchilla-Mira
 | titre         = Play and childhood in ancient greece
 | lieu          = Faculty of Education. University of Alicante
 | éditeur       = C. Reinwald
 | année         = 2010
 | isbn          = 
 | doi           = 10.4100/jhse.2010.53.04
 | lire en ligne = http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/15018/1/JHSE_5_3_04.pdf
 | consulté le   = 27 septembre 2011
}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Louis
 | nom1          = Becq de Fouquières
 | lien auteur1  = Louis Becq de Fouquières
 | titre         = Les jeux des anciens
 | sous-titre    = Leur description, leurs origines, leurs rapports avec la religion, l'histoire, les arts et les mœurs
 | lieu          = Université Complutense de Madrid
 | éditeur       = Journal of Human Sport & Exercise
 | année         = 1869
 | passage       = 81
 | isbn          = 
 | lire en ligne = https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110685x.pdf
 | consulté le   = 15 août 2011
}}</ref>{{,}}<ref name="dictionnaire">{{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Charles Victor
 | nom1          = Daremberg
 | lien auteur1  = Charles Victor Daremberg
 | prénom2       = Edmond
 | nom2          = Saglio
 | lien auteur2  = Edmond Saglio
 | titre         = [[Dictionnaire des Antiquités grecques et romaines]]
 | volume        = 2
 | tome          = 1
 | éditeur       = [[Hachette Livre|Hachette]]
 | année         = 1919
 | passage       = 897
 | isbn          = 
 | lire en ligne = http://dagr.univ-tlse2.fr/sdx/dagr/feuilleter.xsp?tome=1&partie=2&numPage=144&nomEntree=CAPITA+AUT+NAVIA&vue=image
 | consulté le   = 27 septembre 2011
}}</ref>. Autour du {{IVe siècle av. J.-C.}}, il y a une grande variété de monnaies, chaque cité possédant un signe distinctif sur le côté ''face'' : une chouette pour [[Athènes]], une tortue pour [[Égine]], un crabe pour [[Agrigente]], etc. Sur le côté ''pile'', des portraits de Dieux ou de souverains commencent à apparaitre<ref name="perche">{{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Alain
 | nom1          = Perche
 | titre         = Introduction à la numismatique
 | éditeur       = 
 | année         = 2008
 | isbn          = 
 | lire en ligne = http://www.numis-club.fr/exposes/introduction_a_la_numismatique.pdf
 | consulté le   = 07 octobre 2011
}}</ref>.

Dans l'[[Antiquité romaine]], à partir du {{IIIe siècle av. J.-C.}}, les gravures que l'on trouvait sur les pièces de monnaie (''as romain'' ou ''livre romaine'') représentaient le visage (double visage) de [[Janus (mythologie)|Janus]] sur un côté de la pièce, et le navire qui l'avait amené en Italie sur l'autre. L'expression « capita aut navia » (« tête ou navire » en latin) était alors usitée<ref name="dictionnaire"/>. Il existe également plusieurs autres représentations : Dieux, monuments, souverains, etc<ref name="perche"/>.

=== Empires chrétiens ===
En 781, [[Charlemagne]] établit une réforme monétaire qui interdit l'utilisation des anciennes monnaies. Des nouvelles pièces sont alors frappées avec [[Charlemagne#Le monogramme de Charlemagne|son monogramme]] (en forme de croix) sur le revers et une légende circulaire autour d'une croix sur l'avers<ref name="catalogue">{{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Maurice
 | nom1          = Prou
 | lien auteur1  = Maurice Prou
 | titre         = Catalogue des monnaies françaises de la Bibliothèque nationale
 | sous-titre    = Les monnaies carolingiennes
 | éditeur       = C.Rollin & Feuardent
 | année         = 1896
 | passage       = xi
 | isbn          = 
 | lire en ligne = https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k399073s/f1.image
 | consulté le   = 7 octobre 2011
}}</ref>. Le revers s'appelant ''pile'', on disait alors, s'agissant d'un choix au hasard, « croix ou pile ». « Croix ou pile » est encore employé au {{s-|XVII}}, par le chirurgien et flibustier [[Alexandre-Olivier Exquemelin]] dans son ''Journal de bord'', s'agissant alors des « perulero » les [[Pièce de huit|pièces de 8]] de l'[[Empire espagnol]] frappées au Pérou, où la croix d'Espagne figure à l'avers et les [[colonnes d'Hercule]] au revers<ref>{{Article |langue=fr |auteur1=Robert Lacombe |titre=Histoire monétaire de Saint-Domingue et de la République d'Haïti, des origines à 1874 |périodique= Revue d'histoire des colonies |volume=43 |numéro=152-153 |année=1956 |pages=273-337 |lire en ligne=http://www.persee.fr//web/revues/home/prescript/article/outre_0399-1385_1956_num_43_152_1262 |consulté le=2 juillet 2015 |id=Lacombe }}</ref>. L'expression se rencontre également plus tard en 1856 dans [[Le Père Goriot]] d'[[Honoré de Balzac]] au sujet d'un duel<ref>{{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Honoré
 | nom1          = de Balzac
 | lien auteur1  = Honoré de Balzac
 | titre         = Le Père Goriot
 | éditeur       = Librairie Nouvelle
 | année         = 1856
 | passage       = 123
 | isbn          = 
 | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=2uWQnyz3YB4C&pg=PA250&q=croix+ou+pile
 | consulté le   = 16 octobre 2019
}}</ref>. L'origine du terme ''pile'' reste incertaine, voir l'article [[Revers (numismatique)]] pour plus de détails. Plus tard, le fils de Charlemagne, [[Louis le Pieux]], refit apparaître une monnaie à son effigie<ref name="catalogue"/>.

À partir du début de la renaissance, grâce à une ordonnance<ref name="traité des monnoies">{{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Gabriel Abot
 | nom1          = de Bazinghen
 | titre         = Traité des monnoies, et de la jurisdiction de la Cour des monnoies, en forme de dictionnaire
 | volume        = 2
 | éditeur       = 
 | année         = 1764
 | passage       = 187,493
 | isbn          = 
 | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=kotCAAAAcAAJ&pg=PP17
 | consulté le   = 08 novembre 2011
}}</ref>  d'[[Henri II de France|Henri II]] du 31 janvier 1548, les souverains profitent du renouveau artistique pour faire représenter leur portrait de manière ressemblante et valorisante<ref name="perche"/>. Le côté ''face'' est donc le côté où était inscrit sur la pièce de monnaie le visage du roi, du prince, de l'empereur, ou une allégorie ([[Marianne]], la [[Type semeuse (monnaie)|semeuse]]). Ainsi, lors de la [[Fuite de Louis XVI et arrestation à Varennes#Fuite de la famille royale : 21 juin 1791|fuite]] manquée de [[Louis XVI]] en 1791, à [[Varennes-en-Argonne|Varennes]], il aurait été reconnu par le maître poste grâce à l’effigie royale sur le côté ''face'' d’un écu<ref>{{Ouvrage
 | langue        = fr
 | titre         = Mercure historique et politique de Bruxelles
 | lieu          = Université Harvard
 | éditeur       = 
 | année         = 1791
 | passage       = 59
 | isbn          = 
 | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=NWIMAAAAYAAJ&pg=PA59
 | consulté le   = 14 août 2011
}}</ref>.

{{gallery|align=center|title=Exemples de pièces avec une croix
|Image:Denier Charlemagne1.jpg|[[Denier (monnaie)|Denier]] de [[Charlemagne]] au {{s-|VIII}} (« croix » à gauche, « pile » à droite).
|Image:Louis IX gros 1266.jpg|[[Gros tournois]] de [[Louis IX de France|Saint-Louis]](« croix » à gauche, « pile » à droite représentant un châtel avec deux piliers).
|Image:Louis XVI écu constitutionel 76001792.jpg|[[Écu (monnaie)|Écu]] de [[Louis XVI de France|Louis XVI]] en 1792 (« face » à gauche, « pile » à droite).
}}

=== Suppression de la croix ===
En langage [[numismatique]], ''pile'' se nomme le [[Revers (numismatique)|revers]] et ''face'' l'[[Avers (numismatique)|avers]].
Aujourd'hui, le côté ''pile'' est celui qui indique la valeur de la pièce de monnaie.

Après la Révolution française, en 1795, un décret prévoit de nouvelles pièces d'or et d'argent, dotées d'un côte figure (Paix et Abondance ou Hercule unissant Égalité et Liberté) et d'un côté revers muni d'une branche de chêne et d'olivier<ref>{{lien web |titre=Collection complète des lois, décrets, ordonnances, réglemens, et avis du Conseil-d'État : publiée sur les éditions officielles du Louvre ; de… |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63822221/f281.image |site=Gallica |date=20-01-1795 |consulté le=07-02-2025}}.</ref>.

Des similarités entre les pièces existent sous l'[[union latine (monnaie)|union latine]].

{{gallery|align=center|title=Exemples de pièces en or de 20 unités de l'union latine, de même poids.
|Image:20_francs_belges.JPG|Belgique, 20 francs (1871).
|Image:20 Pesetas à l'effigie d'Alphonse XIII refrappe de 1962 sur un modèle daté de 1887.jpg|Espagne, 20 pesetas (1887).
|Image:20 francs 1869 BB Napoléon III.png|France, 20 francs (1869).
|Image:20 gold drachmae, 1884, George I, Greece.jpg|Grèce, 20 drachmes (1884).
|Image:20 lire Vittorio Emanuele II.jpg|Italie, 20 lires (1873).
|Image:20 Fr 1883 en Or SwissMint.jpg|Suisse, 20 francs (1883).
}}

Depuis 2002, sur les pièces de l'[[Union européenne]], le côté ''pile'' est identique pour tous les pays de la zone euro, et le côté face est national. Le côté ''pile'', européen, est le côté des pièces portant les valeurs (sans le nom de l'unité monétaire) 1 (centime), 2 (centimes), 5 (centimes), 10 (centimes), 20 (centimes), 50 (centimes), 1 (euro) ou 2 (euros). Pour le côté ''face'', national, les pièces françaises de 1, 2 et {{unité|5|centimes}} sont illustrées d'une représentation de [[Marianne]] ; les pièces de 10, 20 et {{unité|50|centimes}} représentent la [[Type semeuse (monnaie)|semeuse]], alors qu'un arbre est représenté sur les pièces de 1 et {{unité|2|euros}}. Certains pays européens ont choisi de faire figurer des visages sur les pièces de 1 et {{unité|2|euros}}.

=== Deux côtés identiques ===

Il existe également des pièces de monnaie dont les deux côtés sont identiques : deux ''face'' ou deux ''pile''. Elles peuvent être de vraies pièces issues d'une erreur de fabrication<ref>{{Lien web
 | url         = http://www.transasiart.com/Numismatique/numismatique_chine/fabrication/ncntec05d.htm
 | titre       = Doubles droits, doubles revers
 | site        = Transariart.com
 | consulté le = 14 août 2011
}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web
 | url         = http://vso.numishop.eu/fiche-v39_1062-vso_mo-1-BANQUE_CENTRALE_EUROPEENNE_2_centimes_d_euro_double_face_nationale_francaise_2008.html
 | titre       =  Ventes sur offres : Banque centrale européenne - 2 centimes d’euro, double face nationale française
 | année       = 2008
 | consulté le = 14 août 2011
}}</ref>, dans ce cas elles prennent une grande valeur notamment pour les collectionneurs. La pièce possède alors un côté '''avers''' et un '''revers''', sans possibilité de distinction. Cependant beaucoup de ces doubles pièces sont de fausses pièces.

== Terminologie interlangue ==

La notion étymologique de « pile ou face » et le jeu de « pile ou face » existent également dans d'autres langues. Certaines langues possèdent des termes différents pour la notion et pour le jeu. Voici une liste, non exhaustive.

{| class="wikitable"
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
! rowspan="2" scope=col | Langue !! colspan="2" scope=col | Dénomination !! rowspan="2" scope=col | Signification
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
!  scope=col | Jeu !! scope=col | Notion
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{de}} Allemand || Münzwurf || [[:de:Münzwurf#Anwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie|Kopf oder Zahl]] || tête ou nombre
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{en}} Anglais || Coin flipping || [[:en:Heads or Tails|Heads or Tails]] || tête ou queue
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{ar}} Arabe (Liban) || طرة و نقشة || أرز أو شختور || cèdre ou bateau
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{ar}} Arabe (Maroc) || نجمة ولا راس || نجمة أو رأس || étoile ou tête
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{ca}} Catalan || || Cara o creu || face ou croix
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{es}} Espagnol || || Cara o cruz || face ou croix
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{ga}} Gaélique || || Ceann nó Cláirseach || tête ou harpe
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{el}} Grec || || Κορώνα γράμματα || couronne ou lettres
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{he}} Hébreu || הטלת מטבע || עץ או פלי || arbre ou Palestine (pali comme raccourci de Palestine)
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{hu}} Hongrois || || Fej vagy írás || tête ou écriture
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{it}} Italien || || Testa o croce || tête ou croix
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{ja}} Japonais || コイントス<br />([[:en:Coin|koin]] [[wikt:en:toss|tosu]]) || ||
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{la}} Latin || || Capita aut navia || les têtes ou le bateau
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{lv}} Letton || || Cipars vai ģerbonis || nombre ou blason
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{es}} Mexicain || || Aguila o sol || aigle ou soleil
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{nl}} Néerlandais || [[:nl:Tossen|Tossen]] || [[:nl:Kruis of munt|Kruis of munt]] || tête ou nombre
|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{no}} Norvégien || || [[:no:Mynt og kron|krone eller mynt]] || couronne ou pièce
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{oc}} Occitan || || Crotz e piela / Testa ò crotz || croix et pile / tête ou croix
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{pt}} Portugais || || Cara ou coroa || face ou couronne
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{ro}} Roumain || || Cap sau pajură || tête ou aigle
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{ru}} Russe || Орлянка<br />(Orlianka) || Орёл или ре́шка<br />(Oriol ili réchka) || aigle ou visage (étymologie douteuse)
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{sv}} Suédois || || Krona eller klave || couronne ou blason
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{tr}} Turc || || Yazı Tura || écriture ou face
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| {{vi}} Vietnamien || ||ngửa hay sấp || face ou revers
|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------	
|}

<gallery>
Fichier:Henry 8 Irish groat 1541 756365.jpg|[[Harpe]] sur une pièce irlandaise de 1542.
Fichier:Un Peso Mexico 1908.PNG|L'aigle et le soleil sur un [[peso mexicain]] de 1908.
Fichier:PRT027.JPG|Couronne sur un [[réal portugais]] de 1909.
Fichier:Rouble.jpg|Aigle sur un [[rouble russe]] de 1998.
</gallery>

== Utilisation ==
=== Procédure ===
Le jeu de pile ou face permet d'aider à la décision d'un choix binaire. La méthode la plus courante pour lancer une pièce est de positionner horizontalement sur le bout du pouce et la tranche de l'index<ref>{{en}} {{Lien web
 | url         = http://www.wikihow.com/Flip-a-Coin
 | titre       = How to flip a coin
 | site        = wikihow.com
 | consulté le = 25 septembre 2011
}}</ref>. Il suffit alors d'exercer une extension du pouce afin de donner un mouvement de rotation à la pièce<ref group="note">Il est à noter que des études physiques ont été réalisées pour modéliser un lancer de pièce. Il apparaît qu'une petite modification des conditions initiales (vitesse de rotation et hauteur notamment) entraine des résultats différents. voir: {{Ouvrage
| langue=en
| prénom1=Tomaszka
| nom1=Kapitaniak et collègues
| titre=Understanding Coin-Tossing
| volume=32(4)
| éditeur=The mathematical intelligencer
| année=2010
| passage=54-58
| isbn=
| lire en ligne=http://www.springerlink.com/content/pt48312441h86140/fulltext.pdf
| consulté le=9 novembre 2011
}}.</ref>, la pièce doit réaliser au moins une rotation entière en l'air<ref>{{en}} {{Lien web
 | url         = http://www.legendarypokemon.net/rules
 | titre       = Rules of the Pokémon TCG (''règles du jeu de jeu Pokémon'')
 | site        = legendarypokemon.net
 | consulté le = 08 novembre 2011
}}</ref>. D'après une étude statistique<ref>{{Ouvrage
| langue=en
| prénom1=Joseph B.
| nom1=Keller
| titre=The Probability of Heads
| volume=93(3)
| éditeur=The American Mathematical Monthly
| année=1996
| passage=191-197
| isbn=
| lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/2323340?seq=3
| consulté le=9 novembre 2011
}}</ref>, le nombre moyen de retournements de pièce pour un pile ou face typique est de 19. On laisse la pièce retomber au sol ou alors on la rattrape et la positionne horizontalement sur le dos de l'autre main. Dans tous les cas c'est le côté supérieur de la pièce qui donne le résultat.

Il est courant de parier sur ''pile'' ou sur ''face'' avant le lancer de pièce. On peut également parier pendant que la pièce est en l'air, ce qui évite toute tentative de tricherie de la part du lanceur.

==== Pile ou face par téléphone ====
Jouer à pile ou face par téléphone est ''a priori'' impossible car seule la personne qui lance la pièce voit le résultat du lancer, et peut donc mentir sur son résultat. Il est cependant possible de concevoir une procédure pour jouer équitablement par téléphone, en utilisant une [[Fonction de hachage cryptographique|fonction de hachage]] <math>h</math>. La fonction de hachage utilisée doit être telle qu'il n'est pas envisageable à partir d'un haché <math>y</math> de calculer un [[Antécédent (mathématiques)|antécédent]] <math>x</math> tel que <math>h(x) = y</math> ; et telle qu'il ne soit pas non plus envisageable de déterminer une [[Collision (informatique)|collision]], c'est-à-dire deux entrées distinctes
<math>x_1</math> et <math>x_2</math> vérifiant <math>h(x_1) = h(x_2)</math><ref name ="boyer"/>. [[SHA-256]] est un exemple de fonction de hachage pouvant être utilisée<ref group = "note">En revanche, [[MD5]] ne conviendrait pas car il est possible de lui trouver des collisions.</ref>.

Supposons qu'Alice et Bob veulent jouer à pile ou face équitablement par téléphone<ref name ="boyer">{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Pascal Boyer|titre=Petit compagnon des nombres et de leurs applications|lieu=Paris|éditeur=Calvage et Mounet|année=2019|pages totales=648|passage=549|isbn=978-2-916352-75-6|partie=VI. Cryptographie|numéro chapitre=7.6|titre chapitre=Jouer à pile ou face par téléphone}}.</ref> :
# Alice choisit aléatoirement un nombre de grande taille <math>x</math>, calcule <math>h(x)</math> et le [[Mise en gage|met en gage]] en envoyant le résultat à Bob<ref group="note"><math>x</math> doit être suffisamment grand pour que l'on ne puisse pas retrouver sa valeur en calculant par [[force brute]] toutes les valeurs possibles de hachés.</ref>;
# Bob lance une pièce et annonce le résultat à Alice : Pile (0) ou Face (1) ;
# Alice révèle alors <math>x</math> : si le [[bit de poids fort]]<ref group="note">En fait le [[bit de poids faible]] ou n'importe quel bit de <math>x</math> peut être utilisé : il suffit que les deux joueurs se mettent d'accord au préalable sur la position du bit à observer.</ref> est égal au résultat du lancer Bob gagne, sinon c'est Alice.

La robustesse du protocole repose sur le fait qu'Alice est obligée de s'engager sur Pile (0) ou sur Face (1) avant le lancer de la pièce et sans que Bob ne connaisse la valeur de cet engagement<ref name ="boyer"/>. Pour Alice cela suppose que l'on ne puisse pas trouver deux nombres dont les bits de poids fort soient différents mais dont le haché soit identique, ce qui donnerait l'illusion qu'Alice s'est engagée sur le choix (0) ou sur le choix (1) selon sa convenance<ref name ="boyer"/>. Pour Bob cela suppose que l'on ne peut pas déduire <math>x</math> à partir de <math>h(x)</math><ref name ="boyer"/>.

Une autre manière de procéder est d'utiliser une source de hasard publique, infalsifiable et contrôlable, comme par exemple la [[Parité (mathématiques)|parité]] du chiffre des dixièmes de la température relevée par [[Météo France]] sur un lieu et à une date données<ref>{{Article|auteur1 = [[Jean-Paul Delahaye]]|titre = Des balises qui émettent du bon hasard|date = 18 février 2020|numéro = 509|périodique = [[Pour la Science]]|lire en ligne = https://www.pourlascience.fr/sr/logique-calcul/des-balises-qui-emettent-du-bon-hasard-18871.php}}.</ref>.

==== Générateurs en ligne de pile ou face ====
Avec le développement de la technologie numérique et de l'internet, la méthode traditionnelle de lancer une pièce pour obtenir "pile" ou "face" a été complétée par l'utilisation de générateurs en ligne<ref>Exemple de générateur de pile ou face en ligne : https://desenligne.com/pile-face/</ref>. Ces outils numériques, disponibles sur de nombreux sites web et applications, fournissent un résultat aléatoire équivalent à un véritable lancer de pièce.

Le fonctionnement de ces générateurs repose généralement sur un algorithme de génération de nombres aléatoires. Lorsqu'un utilisateur sollicite un lancer de pile ou face, l'algorithme génère un nombre aléatoire qui détermine si le résultat sera "pile" ou "face". Ce processus est conçu pour être équitable, avec une probabilité de 50% pour chaque issue, à l'instar d'un lancer de pièce physique.

Ces générateurs en ligne de pile ou face ont trouvé de nombreux usages, surtout là où un lancer de pièce physique serait difficile ou peu pratique. Ils sont particulièrement utiles pour les prises de décision à distance ou les votes en ligne. De plus, ils peuvent être utilisés dans des situations où la transparence est nécessaire, car le résultat du lancer peut être vérifié par toutes les parties impliquées.

Toutefois, bien que ces outils soient conçus pour être justes et impartiaux, il est toujours important d'évaluer la fiabilité du générateur de pile ou face en ligne avant de l'utiliser pour des décisions importantes. Des sites et applications de confiance utilisent des algorithmes vérifiés pour assurer l'équité et l'aléatoire du résultat.

=== En sport ===
[[Fichier:Adm. Haney flips the coin at the Pro Bowl.jpg|thumb|Lancer de pièce au début du match de football américain du Pro Bowl 2013.]]
Dans plusieurs sports tels que le [[badminton]], le [[cricket]], le [[Kickoff|football américain]], le [[handball]], ou le [[Règles du rugby à XV|rugby à XV]], avant le coup d'envoi d'une partie, celui qui gagne au pile ou face peut choisir l'équipe qui engage ou le côté du terrain. Le lancer de pièce peut également servir à déterminer un vainqueur ou un qualifié, lorsque toutes les possibilités de départage (comme rejouer un match par exemple) ou autres critères (comme la différence de buts{{etc.}}) prévus par le règlement ont été épuisés et n'ont pas permis de séparer les équipes à égalité.

En 1919, le premier président du club de football espagnol [[Valence CF#Les premiers pas du club|Valence CF]] a été choisi au jeu de pile ou face. Après {{nobr|7 h 35}} d'un match de ping-pong, [[Michel Haguenauer|Marin Goldberger]] a été désigné vainqueur par un pile ou face au championnat du monde en 1936. De 1966 à 1985, lors de la [[Loterie de la Draft de la NBA|Draft de la NBA]], les équipes de basket-ball utilisent des jeux de pile ou face pour l'obtention du premier choix de joueur.

En football, avant l'introduction de la règle des [[Tirs au but (football)|tirs au but]] au début des années 1970, il n'était pas rare de voir des qualifications se décider à la « pièce » lors de rencontres à élimination directe. En 1963, lors des huitièmes de finale de la [[Coupe des clubs champions européens 1963-1964|coupe des clubs champions]] disputés en matchs aller-retour, les équipes du [[Galatasaray Spor Kulübü (football)|Galatasaray]] et du [[FC Zurich]], après avoir chacune remporté sur le même score son match à domicile, s'affrontent en match d'appui et terminent à égalité à la fin de la prolongation : le [[FC Zurich]] se qualifie au pile ou face. En [[Coupe de France de football 1966-1967#Demi-finales|demi-finale de la coupe de France de 1967]], après trois matchs nuls après prolongation entre les équipes de [[Olympique lyonnais|Lyon]] et d'[[Angoulême Charente Football Club|Angoulême]], le nombre maximum de matchs rejoués prévu par le règlement étant atteint, c'est à pile ou face que les Lyonnais obtiennent leur qualification. À l'échelon des compétitions majeurs internationales, la Turquie obtient notamment sa qualification pour la Coupe du monde 1954 à pile ou face aux dépens de l'Espagne. En demi-finale du Championnat d'Europe 1968, l'Italie, à domicile, obtient sa qualification pour la finale à pile ou face après un match nul après prolongation contre l'URSS.

=== Jeux ===
==== Jeux avec mise ====
On peut jouer au pile ou face en pariant sur une mise, jeu souvent présent dans les exercices de [[théorie des probabilités|probabilité]]. L'étude se porte alors sur des lancers indépendants simultanés ou successifs. Plusieurs règles et stratégies de mises existent.

{{Exemple|nom=Exemple de stratégie de mise|On considère un jeu de pile ou face classique : un joueur mise une somme sur ''pile'' ou ''face'', s'il obtient le bon résultat il gagne une fois sa mise (en plus de sa mise), sinon il perd sa mise. On recommence alors un autre lancer de pièce.
Il existe une stratégie permettant au joueur d'être toujours gagnant à la longue : le joueur mise {{unité|1|euro}} pour le premier tirage. S'il perd, il mise {{unité|2|euros}} au deuxième lancer, s'il perd, il mise {{unité|4|euros}} au troisième lancer, et ainsi de suite. S'il n'a toujours pas gagné, il mise 2<sup>''n''-1</sup> au ''n''-ième lancer. Le joueur arrête de jouer lorsqu'il gagne.

Ce jeu est gagnant pour le joueur. En effet, S'il gagne au ''n''-ième lancer, il aura misé <math>\scriptstyle 1+2+4+...+2^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}2^k=2^n-1</math> euros et aura gagné 2<sup>''n''</sup> euros. Son gain est donc de {{unité|1|euro}}. De plus le jeu se termine en temps fini. La limite d'utilisation de cette technique est que le jeu n'est pas borné en temps, c'est-à-dire qu'il peut durer très longtemps. Pour être gagnant, il faut ainsi supposer que le joueur ait un porte-monnaie infini, c'est-à-dire qu'il peut miser 2<sup>''n''</sup> même pour ''n'' grand.
}}

==== Jeux sans mise ====
[[Image:D02.JPG|thumb|Pièce utilisée comme dé à deux côtés ou « D2 ».]]
Certains jeux utilisent la notion de hasard binaire (oui/non, accepté/refusé, gagnant/perdant par exemple) pendant leur déroulement. Ce sont généralement des [[Jeu de rôle|jeux de rôle]] dans lesquels des actions ou évènements sont laissés au hasard d'un jeu de pile ou face. Citons par exemple le jeu ''[[Magic : l'assemblée]]'' dans lequel certaines cartes demandent la réalisation d'un jeu de pile ou face<ref>{{Lien web | url = http://www.magiccorporation.com/gathering-regles-view-711-pile-ou-face.html | titre = Les Règles officielles de Magic the Gathering | sous-titre= 711. Pile ou face | site = MagicCorporation.com | consulté le = 15 août 2011}}</ref>.

Pour les choix multiples (supérieurs à trois possibilités), des [[Lexique du jeu de rôle#D|dés multifaces]] sont généralement utilisés (''1d6'' signifie jeter un dé à six côtés). ''1d2'' signifie donc faire un jeu de pile ou face. Certains « dés à deux côtés » ont alors la forme d'une pièce<ref>{{en}} {{Lien web |url = http://averweij.web.cern.ch/averweij/d2.htm | titre = 2-sided Dice | consulté le = 15 août 2011}}</ref>.

Citons, par exemple, le jeu [[Prince Valiant]] qui n'utilise que des pièces.

==== Exemples de jeux ====
Les pièces sont considérées équilibrées.

*Jeu pour deux joueurs et un lancer (jeu classique)
*:Un joueur choisit ''pile'', l'autre ''face''. La pièce est jetée en l'air. Le joueur ayant choisi le bon côté de la pièce gagne, l'autre perd. Le jeu est équilibré, les joueurs ont même probabilité de gagner.
*Jeu pour deux joueurs et deux lancers
*:Un joueur choisit ''identiques'', l'autre ''différents''. Les deux pièces sont jetées en l'air (ou deux fois la même pièce). Si les deux pièces donnent le même résultat, le joueur ayant choisi ''identiques'' gagne, l'autre perd. Si les deux pièces donnent des résultats différents, le joueur ayant choisi ''différents'' gagne, l'autre perd. Le jeu est équilibré.
*Jeu pour deux joueurs et ''n'' lancers
*:Un nombre impair ''n'' est choisi en début de jeu, ce choix n'influencera pas les chances de gagner. Un joueur choisit ''pile'', l'autre ''face''. Une pièce est jetée en l'air ''n'' fois. Si ''pile'' est apparu plus de fois, le joueur ayant choisi ''pile'' gagne, l'autre perd. De même pour ''face''. Le jeu est équilibré.
*Jeu pour deux joueurs (un joueur et une banque) et un nombre indéterminé de lancers ([[paradoxe de Saint-Petersbourg]])
*:Un joueur et une banque, le joueur donne sa mise à la banque, on lance en l'air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 1 euro au joueur, et on arrête le jeu. Si face apparaît seulement au second lancé, la banque paie 2 euros, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît seulement au troisième lancer, la banque paie 4 euros au joueur. Si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, la banque paie 2{{exp|''n''-1}} euros au joueur et on arrête le jeu. Existe-t-il une mise initiale du joueur pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés? Contre-intuitivement, le joueur garde l'avantage quelle que soit sa mise!
*{{ancre|Chevalier de Méré}}Jeu pour deux joueurs et une pièce (problème du [[Antoine Gombaud, chevalier de Méré|chevalier de Méré]] ou [[problème des partis]])
*:Un joueur choisit ''pile'', l'autre ''face''. La pièce est lancée en l'air un certain nombre de fois. Le joueur ayant choisi ''pile'' gagne si ''pile'' apparait trois fois avant que ''face'' n'apparaisse trois fois. De même pour ''face''. Le nombre 3 peut être modifié sans changer les chances de gagner. Le nombre de lancers n'est pas fixe mais le jeu s'arrêtera en temps fini. Le jeu est équilibré.
{{exemple|nom=Question que le chevalier de Méré a soumise à [[Blaise Pascal|Pascal]]|Si on stoppe le jeu avant la fin, les deux joueurs se répartissent la mise du jeu. Mais quelle est la part de chacun en fonction du nombre de ''pile'' et ''face'' déjà apparus ? [[Blaise Pascal|Pascal]] a donné une solution par un raisonnement de proche en proche (en utilisant notamment le [[triangle de Pascal]]), [[Pierre de Fermat|Fermat]] a donné la même solution par un raisonnement différent (utilisant des évènements [[équiprobable]]s)<ref>{{pdf}} {{lien web|url=http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/actes/actespdf/94207214.pdf|titre=Pascal et Fermat. La naissance du calcul des probabilités|auteur=Claude Dellacherie|date=7, 8 et 9 mai 1994|consulté le=15 août 2011}}</ref>.}}
*Jeu pour trois joueurs et trois pièces (l'intrus)
*:Chaque joueur jette sa pièce en l'air. Si tous les résultats sont les mêmes, on recommence. Sinon, un joueur a obtenu un résultat différent des deux autres, ce joueur gagne. Le nombre de lancers n'est pas fixe mais le jeu s'arrêtera en temps fini. Le jeu est équilibré.
*Jeu pour ''n'' joueurs et ''n'' pièces
*:Chaque joueur jette sa pièce en l'air. S'il n'y a pas de résultat (''pile'' ou ''face'') majoritaire, on recommence. Sinon, les joueurs en nombre majoritaire sont éliminés du jeu. On recommence avec les joueurs restants jusqu'à obtention de un ou deux joueurs restants. S'il reste un joueur, il est gagnant ; s'il reste deux joueurs, ils jouent à un jeu de pile ou face classique. Le nombre de lancers n'est pas fixe mais le jeu s'arrêtera en temps fini. Le jeu est équilibré.

=== Concept et anecdotes ===
[[Image:Blaise pascal.jpg|thumb|Blaise Pascal.]]
L'idée du jeu de pile ou face, c'est-à-dire d'une expérience aléatoire dont le résultat est un succès ou un échec, permet d'illustrer le concept d'un choix aléatoire. [[Blaise Pascal]], dans ses ''[[Pensées de Pascal|Pensées]]'', utilise la métaphore du jeu de pile ou face pour illustrer son [[Pari de Pascal|fameux pari]] :
{{citation bloc|Examinons donc ce point et disons : Dieu est, ou il n’est pas. Mais de quel côté pencherons-nous ? La raison n’y peut rien déterminer. Il y a un chaos infini qui nous sépare. Il se joue un jeu, à l’extrémité de cette distance infinie, où il arrivera croix ou pile : que gagerez-vous ? [...] Pesons le gain et la perte, en prenant croix que Dieu est. Estimons ces deux cas : si vous gagnez, vous gagnez tout ; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu’il est sans hésiter !|[[Blaise Pascal]]<ref>{{Ouvrage
| langue=fr
| prénom1=Blaise
| nom1=Pascal
| lien auteur1=Blaise Pascal
| titre=[[Pensées (Pascal)|Pensées]]
| éditeur=
| année=1670
| pages totales=267
| passage=L. 418 S. 680
| isbn=978-1-59547-915-0
| lire en ligne=http://odalix.univ-bpclermont.fr/Cibp/BP/BP-savant.htm
| consulté le=2 août 2011
}}</ref>{{,}}<ref group="note">Le terme « croix ou pile » désigne le jeu de pile ou face.</ref>}}

Le jeu de pile ou face est utilisé pour consulter le système de divination [[Yi Jing#Consulter le Yi Jing|Yi Jing]]. La valeur 2 est assignée à ''pile'' et 3 à ''face''<ref>{{Lien web
 | url         = http://www.chinois.org/yiking.htm
 | titre       = Le Yiking, le livre des Transformations
 | site        = le site de l'organisme de formation Chinois.org
 | auteur      = Richard Wilhelm
 | coauteurs   = Étienne Perrot
 | consulté le = 2 août 2011
}}</ref>, on effectue alors la somme des résultats sur trois lancers de pièce. Dans un domaine plus scientifique, les différents pas d'une [[marche aléatoire]] sont donnés par le résultat d'un jeu de pile ou face. Il est utilisé comme métaphore en mécanique quantique : le résultat de l'expérience du [[chat de Schrödinger]] est déterminé par « un jeu de pile ou face dont le résultat est inconnu avant l'ouverture de la boîte »<ref>{{article|langue=fr|prénom1=Serge|nom1=Haroche|lien auteur1=Serge Haroche|prénom2=Jean-Michel|nom2=Raimond|lien auteur2=Jean-Michel Raimond|prénom3=Michel|nom3=Brune|titre=Le Chat de Schrödinger se prête à l'expérience|périodique=La Recherche|lien périodique=La Recherche (magazine)|volume=PHYSIQUE|numéro=301|mois=septembre|année=1997|url texte=http://www.larecherche.fr/content/recherche/article?id=19544|consulté le=2 août 2011}}</ref>.

En 1851, un pile ou face détermine si une nouvelle ville dans l'[[Oregon]] sera nommée d'après [[Boston]] ou [[Portland (Maine)|Portland]], [[Portland (Oregon)|Portland]] gagne.

En 1939, Bill Hewlett et Dave Packard ont parié à pile ou face si leur société allait s’appeler [[Hewlett-Packard]] ou Packard-Hewlett<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=André|nom1=Loranger|titre=Dictionnaire biographique et historique de la micro-informatique|éditeur=[[MultiMondes (éditions)|MultiMondes]]|année=2000|pages totales=196|passage=70|isbn=978-2-89544-006-2|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=Ezr2mZFtI10C&printsec=frontcover}}</ref>.

Le soir de leur passage au [[Monterey Pop Festival]] en [[1967 en musique|1967]], pour savoir qui des [[The Who|Who]] ou de [[The Jimi Hendrix Experience]] passerait avant l'autre, il fallut tirer à pile ou face, et les Who gagnèrent.

En 1968, [[Roland Moreno]] invente une machine à tirer à pile ou face, la « Matapof »<ref>{{Lien web | url = http://www.rolandmoreno.com/consult/consult_dates_cle.html | titre = 1968 - LA « MATAPOF » | année = 2009 | auteur = Laure Friedman et Claude Lesertisseur| consulté le = 3 août 2011}}</ref>.

En 1970, l'éleveur Ogden Phipps et le couple Christopher et Penny Chenery jouent à pile ou face le droit de choisir un des trois poulains de l'étalon [[Bold Ruler]]. Les perdants au jeu deviendront propriétaires d'un des plus grands champions de l'histoire des courses : le [[pur-sang anglais]] [[Secretariat]].

En [[1987 en musique|1987]], [[Corynne Charby]] interpréta la chanson « Pile ou face » composée par Franck Yvi et Jean-Louis D'Onorio. Cette chanson fut reprise par [[Emmanuelle Béart]] en [[2002 au cinéma|2002]] dans le film ''[[Huit Femmes (film)|Huit femmes]]'' de [[François Ozon]]. Le thème de la chanson est de « vivre sa vie à pile ou face », c'est-à-dire de laisser le hasard décider.

En 2007, un juge américain a été destitué après avoir décidé à pile ou face qui, du père ou de la mère, avait le droit de passer Noël avec leur enfant<ref>{{en}} {{Lien web | url = http://www.20min.ch/ro/news/monde/story/13352600 | titre = Un juge destitué après avoir pris une décision à pile ou face | année = 2007 | site = 20 minutes online | consulté le= 24 novembre 2011}}</ref>.

Le guide des circonscriptions du [[Parti démocrate (États-Unis)|parti démocrate]] de l'[[Iowa]] prévoit que lorsqu'il y a égalité entre deux candidats, le choix devait être fait au pile ou face. Cette situation est apparue six fois en 2016 lors de la primaire de l'élection présidentielle<ref>{{Lien web | url = https://www.lemonde.fr/elections-americaines/article/2016/02/02/clinton-et-sanders-departages-a-pile-ou-face_4857730_829254.html | titre = Pourquoi Clinton et Sanders ont-ils dû être départagés à pile ou face ? | année = 2016 | site = lemonde.fr}}</ref>.

=== En fiction ===
Certains personnages de film sont associés au jeu du pile ou face, ce dernier devenant parfois même l'identité du personnage. Dans le film américain ''[[Scarface (film, 1932)|Scarface]]'', sorti en [[1932 au cinéma|1932]] et réalisé par [[Howard Hawks]], le personnage Guino Rinaldo, joué par [[George Raft]], est un gangster jouant constamment à pile ou face. Ce personnage fut parodié par [[Bugs Bunny]] dans le dessin animé ''[[Racketeer Rabbit]]'' en [[1946 au cinéma|1946]]. George Raft parodia son propre personnage dans la comédie ''[[Certains l'aiment chaud]]'' de [[Billy Wilder]], avec le personnage de Spats Colombo. Spats rencontre un gangster rival jouant à pile ou face, il lui demande « Où as-tu appris à faire ça ? »<ref>{{Lien web
 | url         = http://archive.filmdeculte.com/culte/culte.php?id=87
 | titre       = Certains l’aiment chaud
 | site        = le site de la SARL FilmDeCulte
 | auteur      = Julie Anterrieu
 | citation    = Inventeur du "toss coin" comme gimmick propre aux mafieux, se moquant d’un de ses sous-fifres qui joue avec une pièce de monnaie.
 | consulté le = 11 août 2011
}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web
 | url         = http://www.cineclubdecaen.com/realisat/wilder/certainslaimentchaud.htm
 | titre       = Certains l'aiment chaud
 | site        = le site du ciné-club de Caen
 | auteur      = Jean-Luc Lacuve
 | date        = 27 septembre 2008
 | consulté le = 11 août 2011
}}.</ref>. Le personnage schizophrène [[Double-Face]] ou Pile-ou-face [[Ennemis de Batman|ennemi de Batman]] créé en 1942 par [[Bob Kane]] et [[Bill Finger]] décide de la légalité de ses crimes par un jeu de pile ou face. Il utilise une pièce à deux côtés identiques à l'exception d'une rayure de couteau sur l'une d'elles. C'est une pièce de [[Dollar américain|dollar]] en [[argent]]. Citons également le roman ''[[Non, ce pays n'est pas pour le vieil homme]]'' et son adaptation cinématographique, ''[[No Country for Old Men]]'' sorti en [[2007 au cinéma|2007]] de [[Joel et Ethan Coen]], où le tueur à gage psychopathe Anton Chigurh, utilise un lancer de pièce et laisse la destinée décider de la vie de ses victimes<ref>{{Lien web
 | url         = http://www.cineclubdecaen.com/realisat/coen/nocountryforoldman.htm
 | titre       = Non, ce pays n’est pas pour le vieil homme
 | site        = le site du ciné-club de Caen
 | auteur      = Jean-Luc Lacuve
 | date        = 6 février 2008
 | consulté le = 11 août 2011
}}.</ref>. Une parodie a été faite dans l'épisode 19 de la [[saison 20 des Simpson|vingtième saison]] des ''[[Les Simpson|Simpson]]'', ''[[Une adresse chic]]''<ref>{{Lien web
 | url         = http://www.simpsonspark.com/references/refs_film_nocountryforoldmen.php
 | titre       = No Country for Old Man
 | site        = le site The Simpsons Park, de neuf fans des Simpsons
 | consulté le = 11 août 2011
}}.</ref>.

Le jeu de pile ou face est également à l'origine de certaines intrigues fictives. À la fin de la nouvelle d'[[Isaac Asimov]] ''[[La Machine qui gagna la guerre]]'' publiée en [[1961 en littérature|1961]], le personnage de Lamar Swift révèle à ses collaborateurs que l'ordinateur ne donnait en fait pas toutes les informations et qu'il jouait les grandes décisions à pile ou face. Dans l'[[Saison 2 de La Quatrième Dimension#Épisode 16 : Un sou pour vos pensées|épisode 16 de la deuxième saison]] de la [[série télévisée]] ''[[La Quatrième Dimension (série télévisée)|La Quatrième Dimension]]'', le personnage principal obtient des pouvoirs télépathiques après avoir jeté une pièce qui reste mystérieusement sur la tranche. Son don disparaît lorsqu'il fait tomber la pièce restée sur la tranche.

Le concept de jeu infini de pile ou face est utilisé pour illustrer l'absurde comme dans la pièce de théâtre ''[[Rosencrantz et Guildenstern sont morts]]'' de 1966, et dans son adaptation cinématographique de [[1990 au cinéma|1990]] [[Rosencrantz et Guildenstern sont morts (film)|du même nom]], de [[Tom Stoppard]]. Les deux personnages [[Rosencrantz et Guildenstern]] de la pièce de théâtre [[Hamlet]] de [[William Shakespeare]] assistent à leur propre histoire<ref>{{en}} [https://www.imdb.com/title/tt0100519/combined Rosencrantz & Guildenstern sont morts] sur l'[[Internet Movie Database]]</ref>. Au début de la pièce, Rosencrantz gagne 85 fois de suite au pile ou face, la très faible probabilité de cet évènement montre que la situation dans laquelle se retrouvent les personnages est absurde mais possible.

L'aspect binaire du jeu est illustré dans le dixième épisode de la [[Saison 5 de Futurama|cinquième saison]] de la série animée ''[[Futurama]]'' de [[Matt Groening]]. Le [[professeur Hubert Farnsworth]] crée un univers parallèle dans lequel le résultat du jeu de pile ou face est inversé : ''pile'' dans un univers lorsque le résultat est ''face'' dans l'autre (et vice versa).

De manière plus humoristique, dans l'[[Saison 10 de Friends#Épisode 15 : Celui qui faisait tout pour retenir Rachel|épisode 15]] de la [[Saison 10 de Friends|dixième saison]] de ''[[Friends]]'' (diffusée en [[2004 à la télévision|2004]]), Joey perd 57 fois de suite contre Rachel au pile ou face avec les règles suivantes : ''face'' elle gagne, et ''pile'' il perd<ref>{{Lien web
 | url         = http://www.fanfr.com/episodes/fiches/saison10/friendsgeneration2.php?episode=1016
 | site        = le site de l'association « Fan club français de Friends » de Franck Beulé
 | titre       = 1016 - Saison 10 Épisode 16 - Celui qui faisait tout pour retenir Rachel
 | consulté le = 11 août 2011
}}</ref>.

== Modélisation mathématique ==
=== Formalisme mathématique ===
{{Article détaillé|contenu=Voir aussi l'article {{citation|[[Espace probabilisable]]}}.}}

Donnons ici une formalisation mathématique de l'espace et de la loi de probabilité pour un jeu de pile ou face. C'est un cas particulier souvent utilisé en théorie des probabilités puisqu'on peut décrire explicitement les objets mathématiques.

Pour le lancer d'une pièce, l'[[Probabilités (mathématiques élémentaires)#Univers|univers]] des possibles est <math>\Omega=\{0,1\}</math>, il est composé de deux éléments 0 (ou ''F'') pour ''face'' et 1 (ou ''P'') pour ''pile''. On munit cet univers fini de l'[[ensemble des parties d'un ensemble|ensemble des parties]] <math>\mathcal P(\Omega)=\{ \emptyset, \{0\},\{1\},\{0,1\} \}</math>. Intuitivement l'ensemble <math>\Omega</math> représente les résultats possibles après un lancer de pièce.<br />
On définit alors une [[Axiomes des probabilités|probabilité]] <math>\mathbb P</math> en donnant ses valeurs pour les [[Événement (probabilités)|événements]] {obtenir face} et {obtenir pile}, c'est-à-dire respectivement <math>\{0\}</math> et <math>\{1\}</math> : <math>\mathbb P(1)=p </math> et <math>\mathbb P(0)=1-p </math> avec <math>p\in [0,1] </math>. C'est-à-dire que la probabilité d'obtenir ''pile'' est ''p'' et celle d'obtenir ''face'' est {{nobr|1 – ''p''}}. ({{nobr|''p'' {{=}} 1 – ''p'' {{=}} 1/2}} pour une pièce équilibrée). Ainsi la donnée de <math> (\Omega, \mathcal P(\Omega), \mathbb P)</math> définit mathématiquement un lancer de pièce.

Pour deux lancers successifs d'une même pièce (ou de deux pièces avec la même loi <math>\mathbb P</math>), l'univers est <math>\Omega'=\{0,1\}\times\{0,1\}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}</math> dont les éléments correspondent aux résultats dans l'ordre des deux pièces. On définit une probabilité <math>\mathbb Q</math> par <math>\mathbb Q((a,b))=\mathbb P(a) \mathbb P(b) </math> où ''a'' et ''b'' valent 0 ou 1. C'est-à-dire que les lancers sont [[Indépendance (probabilités)|indépendants]] et que chaque lancer a la loi d'un jeu de pile ou face.

Pour deux lancers de deux pièces différentes n'ayant pas la même loi ; c'est-à-dire la première a pour loi <math>\mathbb P_1</math> définie avec le paramètre ''p'' et la deuxième avec la loi <math>\mathbb P_2</math> définie avec le paramètre {{nobr|''q'' ≠ ''p''}}. L'univers est encore <math>\Omega'</math> et on définit la mesure de probabilité <math>\widetilde{\mathbb Q}((a,b))=\mathbb P_1(a) \mathbb P_2(b) </math>.

Ces définitions se généralisent pour plus de lancers.

=== Lois de probabilité ===
[[Image:Jakob Bernoulli.jpg|left|thumb|[[Jacques Bernoulli]]]]

Le lancer d'une pièce est une [[épreuve de Bernoulli]], c'est-à-dire que l'on réalise une épreuve aléatoire dont le résultat est un succès ou un échec. Ce résultat est représenté par une [[Variables aléatoires élémentaires|variable aléatoire]] de la [[loi de Bernoulli]], ses valeurs possibles sont 0 et 1 (associées à ''pile'' et ''face'', ou inversement). Si la pièce est équilibrée, le paramètre de la loi de Bernoulli est {{nobr|''p'' {{=}} 1/2}}, c'est-à-dire que ''pile'' et ''face'' ont la même probabilité d'apparaître. Si la pièce n'est pas équilibrée, le paramètre ''p'' de la loi de Bernoulli ne vaut pas 1/2 et un côté de la pièce a plus de chance d'apparaître que l'autre. Si {{nobr|''p'' > 1/2}}, <math>\mathbb P(X=1)>\mathbb P(X=0)</math>. Remarquons que dans la [[théorie des probabilités]], la pièce est supposée parfaite au sens où la pièce ne peut pas tomber sur la tranche.

Donnons un lien avec la loi binomiale. Lorsque l'on effectue plusieurs lancers de la même pièce, ou de pièces ayant le même équilibrage, les lancers sont supposés indépendants. Le nombre de fois où apparaît le côté ''pile'' sur ''n'' lancers suit une [[loi binomiale]] ''B''(''n'', ''p'') où le paramètre ''p'' est la probabilité que le côté associé au résultat 1 apparaisse.

Il existe également un lien avec la loi géométrique. Si la probabilité d'obtenir ''pile'' est ''p'' et la probabilité d'obtenir ''face'' est {{nobr|1 – ''p''}} ({{nobr|''p'' {{=}} 1 – ''p'' {{=}} 1/2}} dans le cas équilibré), alors la probabilité d'obtenir ''face'' pour les ''n'' premiers lancers et ''pile'' pour le ''n''+1{{e}} lancer est égale à {{math|(1-''p'')<sup>''n''</sup>''p''}}. Le nombre de lancers nécessaires pour l'apparition du premier côté ''pile'' suit donc une [[loi géométrique]].

Des liens avec d'autres lois de probabilité sont possibles en utilisant des résultats asymptotiques, la [[loi normale]], par exemple, en faisant tendre ''n'' vers l'infini (voir la [[Loi binomiale#Convergence vers la loi normale|convergence vers la loi normale]]).

[[Image:Histogramme pile ou face.png|thumb|Loi de la proportion de ''face'' dans un jeu de pile ou face. Pour chacun des {{formatnum:10000}} jeux de 200 lancers, on compte la proportion de ''face''. Cette densité de [[loi binomiale]] approche la [[Fonction gaussienne|courbe de Gauss]] de la [[loi normale]] centrée en 1/2.]]

Faire tendre ''n'' vers l'infini revient à considérer un nombre de lancers qui tend vers l'infini. Pour une infinité de lancers d'une pièce, le fait qu'une séquence de 100 ''face'' consécutifs soit réalisée une infinité de fois, est un événement queue, c'est-à-dire que sa probabilité est 0 ou 1. C'est la [[loi du zéro un de Kolmogorov]].

Le jeu de pile ou face permet d'aborder beaucoup de notions probabilistes, il a été inscrit dans la liste des épreuves orales du concours de l'[[agrégation de mathématiques]].

{{Début citation bloc}}Le jeu de pile ou face, dont le principe est si simple, possède un très grand caractère de généralité et conduit, lorsqu’on l’étudie en détail, aux mathématiques les plus élevées. {{Fin citation bloc|[[Émile Borel]]|Principes et Formules classiques du Calcul des Probabilités, Chapitre V : Jeu de pile ou face ; 1924<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Emmanuel|nom1=Lesigne|titre=Pile ou face|sous-titre=Une introduction aux théorèmes limites du calcul des probabilités|volume=2|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses]]|année=2001|pages totales=117|isbn=978-2-7298-0679-8|lire en ligne=http://www.editions-ellipses.fr/pile-ou-face-une-introduction-aux-theoremes-limites-du-calcul-des-probabilites-n2-pi-3261.html|consulté le=5 août 2011|titre chapitre=Avant-propos}}</ref>}}

La modélisation mathématique du jeu de pile ou face, ou l'utilisation de la [[loi de Bernoulli]], a été utilisée comme première approche pour des résultats mathématiques applicables à des lois plus générales :
* Dans son œuvre posthume ''[[Ars Conjectandi]]'' publié en 1713, [[Jacques Bernoulli]] énonce une première version de la [[loi des grands nombres]] pour des [[variable de Bernoulli|variables de Bernoulli]] <math>(X_k,k\ge 1)</math>. Notons <math>S_n=X_1+...+X_n</math> la somme du nombre de ''pile'' obtenues pour ''n'' lancers. Alors la moyenne du nombre de ''pile'' converge ([[Convergence de variables aléatoires#Convergence en probabilité|en probabilité]]) vers la probabilité ''p'' d'obtenir ''pile'' quand on réalise un grand nombre de lancers : <br /> pour tout <math>\varepsilon>0, \mathbb P\left( \left| \frac{S_n}{n} -p\right| >\varepsilon \right)\underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0, </math>
* [[Pierre-Simon de Laplace]] donne une première version du [[Théorème de Moivre-Laplace|théorème central limite]] en 1812 qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états<ref>{{Lien web |lang=en|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Steinhaus.html |titre=Hugo Dyonizy Steinhaus |auteur=John O'Connor |coauteurs=[[Edmund Robertson]] |date=février 2000 |site=The MacTutor History of Mathematics archive |éditeur=School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland |consulté le=19 janvier 2012}}</ref>. Son résultat généralise celui d'[[Abraham de Moivre]] de 1733 démontré pour le cas particulier ''p''=1/2. En reprenant les notations précédentes, pour tous <math>a,b\in \mathbb R\cup\{-\infty\}\cup\{+\infty\}</math> tels que ''a'' < ''b'' : <br /> <math> \mathbb P\left( a\leq \frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq b \right)\underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b e^{-\frac{x^2}{2}} \mathrm{d}x </math> .
{{article détaillé|Théorème de Moivre-Laplace}}

=== Retour à l'équilibre ===

Considérons un [[#Exemples de jeux|jeu classique]] de pile ou face entre deux joueurs avec une mise de 1 à chaque partie. On s'intéresse au gain d'un des deux joueurs au cours d'une partie contenant une infinité de jeu de pile ou face. On suppose que les joueurs n'ont pas de limite d'argent (fortune infinie) et que la fortune peut éventuellement être négative. D'après un théorème de [[George Pólya]], les deux joueurs retrouveront leurs fortunes initiales une infinité de fois au cours de la partie<ref name="zeta"/>. Il est à noter que lorsqu’un joueur retrouve sa fortune initiale, l'autre également. Le nombre de parties nécessaires pour revenir à la fortune initiale est une variable aléatoire, cette variable est finie mais son espérance est infinie.

De manière plus mathématique, le gain d'un joueur au cours de la partie est une [[marche aléatoire]] <math>(S_n)_{n\geq 1}</math> dont chaque pas est +1 pour une victoire du joueur et -1 pour une défaite. Le temps de retour à la fortune initiale est le premier retour en 0 de la marche aléatoire : <math>T=\min\{k\geq 1 ; S_k=0\}</math>. Cette variable aléatoire a pour loi<ref name="zeta">{{Ouvrage
 | langue        = fr
 | prénom1       = Ph.
 | nom1          = Biane
 | titre         = La fonction Zêta
 | éditeur       = École polytechnique
 | année         = 2007
 | passage       = 178
 | isbn          = 
 | lire en ligne = https://books.google.fr/books?id=CfBLG2zPfdgC&pg=PA178&dq=2+joueurs+retour+au+gain+0
 | consulté le   = 24 novembre 2011
}}</ref>
: <math> \mathbb P(T=2n)=\frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}\,\underset{n\rightarrow \infty}{\sim}\, \frac{1}{2n\sqrt{\pi n}} </math>.
Par un calcul simple, on en déduit que l'[[Espérance mathématique|espérance]] est infinie.

=== Le jeu avec une vraie pièce est-il juste ? ===
Une étude statistique a été réalisée par deux médecins sur des patients en [[Oto-rhino-laryngologie|oto-laryngologie]] à [[Vancouver]]<ref name="etude">{{Ouvrage
| langue=en
| prénom1=M.
| nom1=Clark
| prénom2=B.
| nom2=Westerberg
| titre=How random is the coss of a coin?
| volume=181(12)
| éditeur=CMAJ
| année=2009
| passage=E308
| isbn=
| doi=DOI:10.1503/cmaj.091733
| lire en ligne=http://www.cmaj.ca/content/early/2009/12/07/cmaj.091733.full.pdf+html
| consulté le=11/08/2011
| titre chapitre=Polish statisticians claimed that the 1 € coin (from Belgium), when spun on a surface, came up heads more often than tails.
}}</ref>. Ils ont demandé à treize patients de faire trois cents lancers chacun et d'essayer d'obtenir ''face''. Ces patients ont reçu une formation de manipulation de pièces et ont pu s'exercer quelques minutes avant l'expérience.

Les treize patients ont réussi à obtenir plus de ''face'' que de ''pile'', dont sept patients de manière statistiquement significative. Le meilleur a obtenu 68 % de ''face''. Il est à noter que les deux meilleurs patients ont été motivés par une récompense (pécuniaire) avant l'expérience.

Différentes explications sont données : on peut biaiser le résultat avec de l'exercice sur la manipulation de pièce (c'est le cas pour certains magiciens qui réalisent une illusion de rotation de la pièce), le résultat peut dépendre de l'orientation de la pièce avant le lancer, de la surface de réception (avec la main ou sur une surface fixe comme une table) et des propriétés intrinsèques de la pièce (la pièce belge de {{unité|1|euro}} tomberait plus de fois sur ''face''<ref name="etude"/>).

=== Déterminer si la pièce est faussée ===
La question que l'on se pose est : « Étant donnée une pièce de monnaie, est-elle équilibrée ou non ? » Donnons plusieurs méthodes expérimentales pour y répondre. On suppose ici, par rapport à la sous-section précédente, que le lancer de pièce en lui-même est équiprobable.

#Utilisation de la loi des grands nombres.
#:La [[loi des grands nombres]] assure que si on effectue un grand nombre de lancers, la moyenne du nombre de côtés ''pile'' obtenu est proche de 1/2. L'idée première est donc de lancer la pièce « un grand nombre de fois », de calculer la moyenne du nombre de ''pile'' et de le comparer avec 1/2. Cette méthode a cependant ses limites puisque l'on ne peut lancer une infinité de fois.
#Utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
#:L'[[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]] appliquée au nombre {{mvar|Y{{ind|n}}}} de ''pile'' obtenus pour ''n'' lancers s'écrit de la manière suivante : <math>\mathbb P \left(\left|Y_n - \tfrac{n}{2}\right| \geq a \right)\leq \tfrac{n}{4a^2} </math>, pour tout ''a''. Par exemple, pour quarante lancers, <math>\mathbb P(|Y_{40}-20| \geq 5 )\leq \tfrac{40}{100} = 0,4</math>. Cette inégalité permet d'évaluer la probabilité que le nombre de ''pile'' observé (valeur théorique) soit éloigné du nombre de ''pile'' théorique, cependant elle n'est pas suffisamment précise pour décider si la pièce est biaisée ou non.[[Fichier:Gauss reduite.svg|thumb|Courbe, dite « en cloche », de la [[loi normale]].]]
#Utilisation du théorème central limite.
#:Le [[théorème central limite]] appliqué au nombre {{mvar|Y{{ind|n}}}} de ''pile'' obtenus pour ''n'' lancers correspond au [[théorème de Moivre-Laplace]], il assure que, pour une pièce équilibrée, <math>\mathbb P\left(   Y_n-\frac{n}{2}   \leq \frac{b \sqrt{n}}{2} \right)</math> est proche de <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^b e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x </math>. On utilise alors une table de [[loi normale]]<ref name="table"/> pour obtenir une valeur approchée de cette intégrale. Ainsi, pour 40 lancers, <math>\mathbb P(|Y_{40}-20| \geq 5 ) = 2 \times \mathbb P\left(   Y_{40}-20 \leq -5 \right) = 2-2\times \mathbb P\left( Y_{40}-20 \leq 5 \right)</math>, en prenant ''b''=1,58, on obtient <math>\mathbb P(|Y_{40}-20| \geq 5 ) \approx 2-2\times 0,944 = 0,11 </math>. C'est-à-dire, avec une probabilité 0,89, le nombre de ''pile'' pour quarante lancers est entre quinze et vingt-cinq. Ce résultat, plus précis que l'inégalité précédente, n'est valide que pour « ''n'' grand », ''n''>36 d'après le [[théorème de Moivre-Laplace]]. Une meilleure méthode est d'utiliser un test statistique.
#Réalisons le [[test (statistique)|test statistique]] du [[Test du χ²|χ²]] à un degré de liberté puisque l'on vérifie une unique valeur : le nombre de ''pile'', c'est un test bilatéral. (Voir également le déroulement d'un [[test d'hypothèse#Déroulement d'un test|test d'hypothèse]].)
*''{{1re}} étape :'' On formule l'hypothèse nulle {{math|''H''{{ind|0}}}} et on fixe un seuil {{math|α}}. L'hypothèse {{math|''H''{{ind|0}}}} est l'évènement dont on veut connaitre la probabilité : {{math|''H''{{ind|0}}}}=[la pièce a une chance sur deux de tomber sur ''pile'']. Le seuil {{math|α}} est le pourcentage en dessous duquel on est prêt à rejeter l'hypothèse {{math|''H''{{ind|0}}}} (souvent {{math|α}}= 5 % ou 1 %).
*''{{2e}} étape :'' On calcule la variable de décision. C'est-à-dire que l'on réalise une expérience de ''n'' lancers de pièce, puis on compte le nombre de côtés ''pile'' obtenus. Ce nombre que l'on note {{mvar|o{{ind|p}}}} est appelé la valeur empirique. Le choix de la taille de l'échantillon n'est pas évident, il doit être suffisamment petit pour être réalisable et suffisamment grand pour donner un résultat significatif. Le nombre de lancers minimal est de dix (5 divisé par la fréquence théorique : 0,5, cf. ''[[Test du χ²#Conditions du test|les conditions du test]]'').
*''{{3e}} étape :'' On calcule la valeur de la statistique qui correspond à la distance de {{mvar|o{{ind|p}}}} à la valeur théorique ''p''=1/2 pour le [[test du χ²]]. Le {{math|χ{{2}}}} observé est
:<math>\chi^2_{\rm obs} = 
\frac{(o_p - n \times 0,5)^2}{n \times 0,5} +
\frac{(n - o_p - n \times 0,5)^2}{n \times 0,5} = 0,5 n + \frac{o_p^2 - n o_p}{0,5 n}
</math>
*''{{4e}} étape :'' On compare cette statistique avec la valeur critique {{math|χ{{2}}{{ind|crit}}}} calculée en fonction de la taille de l'échantillon ''n'' et du seuil {{math|α}}. La table suivante est calculée à partir de la [[loi du χ²]].
{| class="wikitable right"
|+ Loi du {{math|χ{{2}}}} à un degré de liberté pour un test bilatéral<ref name="table">{{pdf}} {{lien web|url=https://hec.unil.ch/docs/files/42/233/tables_statistiques_usuelles.pdf|titre=Tables statistiques usuelles, la loi binomiale|site=le site de l'université de Lausanne|consulté le=15 août 2011}}</ref>.
|-
! scope=row | fiabilité ({{math|100 % - α}})
! bgcolor="#BBBBFF" scope=col | 1  %
! bgcolor="#CCCCFF" scope=col | 5  %
! bgcolor="#DDDDFF" scope=col | 10  %
! scope=col | 50  %
! bgcolor="#FFEEEE" scope=col | 90  %
! bgcolor="#FFDDDD" scope=col | 95  %
! bgcolor="#FFCCCC" scope=col | 99  %
! bgcolor="#FFBBBB" scope=col | 99,9  %
|-
! seuil ({{math|α}})
! bgcolor="#BBBBFF" scope=col | 99  %
! bgcolor="#CCCCFF" scope=col | 95  %
! bgcolor="#DDDDFF" scope=col | 90  %
! scope=col | 50  %
! bgcolor="#FFEEEE" scope=col | 10  %
! bgcolor="#FFDDDD" scope=col | 5  %
! bgcolor="#FFCCCC" scope=col | 1  %
! bgcolor="#FFBBBB" scope=col | 0,1  %
|-
! scope=row | {{math|χ{{2}}{{ind|crit}}}}
| bgcolor="#BBBBFF" | 0,000 2
| bgcolor="#CCCCFF" | 0,004
| bgcolor="#DDDDFF" | 0,02
| 0,45
| bgcolor="#FFEEEE" | 2,71
| bgcolor="#FFDDDD" | 3,84
| bgcolor="#FFCCCC" | 6,63
| bgcolor="#FFBBBB" | 10,83
|}
*''{{5e}} étape :'' Finalement, on déduit l'acceptation ou le rejet de l'hypothèse {{math|''H''{{ind|0}}}}. <br /> Si {{math|χ{{2}}{{ind|obs}} > χ{{2}}{{ind|crit}}}}, on rejette l'hypothèse {{math|''H''{{ind|0}}}} au seuil {{math|α}}, <br /> si {{math|χ{{2}}{{ind|obs}} < χ{{2}}{{ind|crit}}}}, on accepte l'hypothèse {{math|''H''{{ind|0}}}} au seuil {{math|α}}.

Exemple : on réalise ''n''=100 lancers, et on choisit un seuil {{math|α}} = 5 %
* si on obtient {{mvar|o{{ind|p}}}} = 61 ''pile'' et {{math|''n'' - ''o{{ind|p}}''}} = 39 ''face'', <br /> <math>\chi^2_{\rm obs} = \frac{(61 - 50)^2}{50} + \frac{(39 - 50)^2}{50} = 4,84 </math> est supérieur à <math>\chi^2_{\rm crit} = 3,84 </math>. <br /> On rejette alors l'hypothèse ''la pièce est équilibrée'' au seuil 5 %. <br /> C'est-à-dire : on peut affirmer, avec fiabilité 95 %, que ''la pièce n'est pas équilibrée''.
* si on obtient {{mvar|o{{ind|p}}}} = 59 ''pile'' et {{math|''n'' - ''o{{ind|p}}''}} = 41 ''face'', <br /> alors <math>\chi^2_{\rm obs} = \frac{(59 - 50)^2}{50} + \frac{(41 - 50)^2}{50} = 3,24 </math> est inférieur à <math> \chi^2_{\rm crit} = 3.84 </math>. <br /> On ne peut pas rejeter l'hypothèse ''la pièce est équilibrée'', au seuil 5 %. <br /> C'est-à-dire : ''on ne peut pas affirmer'', avec fiabilité 95 %, que la pièce n'est pas équilibrée.

=== Contre-intuitions ===
Intuitivement les réponses aux deux questions suivantes semblent être identiques. Mais leur différence est source de bien des erreurs et de paradoxes mathématiques.

La question {{citation|Quelle est la probabilité d'obtenir ''pile'' au dixième lancer sachant que l'on a obtenu ''face'' sur les neuf premiers lancers ?}}, se pose entre le neuvième lancer et le dixième, sachant donc que l'on connait déjà les résultats des premiers lancers.

La réponse est donc 1/2 puisque les lancers de pièces sont indépendants.

Écriture mathématique :
:<math>\mathbb P (X_{10}=1 | X_1=...=X_9=0)= \mathbb P (X_{10}=1)=\frac{1}{2}</math>

La question {{citation|Quelle est la probabilité d'obtenir ''pile'' au dixième lancer '''et''' d'obtenir ''face'' sur les neuf premiers lancers ?}} se pose quant à elle avant le premier lancer, la probabilité concernant les dix lancers.

La réponse est donc (1/2)<sup>10</sup>≈0,001.

Écriture mathématique :
:<math>\mathbb P (X_{10}=1 , X_1=...=X_9=0)= \mathbb P (X_{10}=1)\mathbb P (X_1=0)...\mathbb P (X_9=0)=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}</math>

Notons que la probabilité d'obtenir ''face'' au dixième lancer '''et''' d'obtenir ''face'' sur les neuf premiers lancers (autrement dit d'obtenir ''face'' sur 10 lancers consécutifs) est également (1/2)<sup>10</sup>.

Le paradoxe engendré par la différence entre ces deux questions s'appelle l'[[erreur du parieur]]. Des problèmes basés sur le jeu de pile ou face ont souvent été énoncés pour illustrer des paradoxes plus généraux. Certains sont contre-intuitifs, d'autres n'ont toujours pas été résolus. En voici quelques exemples.

==== Les deux pièces de d'Alembert ====
Citons un raisonnement fallacieux du mathématicien réputé [[Jean le Rond D'Alembert]]<ref>{{Ouvrage
| langue=fr
| prénom1=M.
| nom1=Delannoy
| titre=Sur une question de probabilités traitée par d'Alembert
| volume=23
| éditeur=Bulletin de la SMF
| année=1895
| passage=262-265
| lire en ligne=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1895__23_/BSMF_1895__23__262_0/BSMF_1895__23__262_0.pdf
| consulté le=08/11/2011
}}</ref>. La question est de calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois ''pile'' en deux lancers successifs de pièces. D'après son raisonnement, il y a trois cas possibles : « obtenir ''pile'' au premier lancer », « obtenir ''pile'' au deuxième lancer » et « ne pas obtenir ''pile'' sur les deux lancers ». Parmi ces trois issues, deux sont favorables, la probabilité est donc 2/3.

Cependant, les trois cas ne sont pas [[équiprobable]]s, en effet d'Alembert considérait le cas « obtenir deux fois ''pile'' » inclus dans le cas « obtenir ''pile'' au premier lancer » puisque l'obtention de ''pile'' au premier lancer finit le jeu. En incluant ce nouvel évènement, on obtient le bon résultat : 3/4.

{{citation bloc|L'esprit de d'Alembert, habituellement juste et fin, déraisonnait complètement sur le Calcul des probabilités|[[Joseph Bertrand]], ''Calcul des probabilités'', préface}}

==== Paradoxe des trois pièces de monnaie ====
{{article détaillé|Paradoxe des trois pièces de monnaie}}
Le terme ''paradoxe'' est dans ce cas utilisé dans le sens ''contre-intuitif'' ([[wikt:paradoxe|premier sens du wiktionnaire]] soit la "proposition contraire à l’opinion commune ou à la vraisemblance"), ce n'est pas un vrai paradoxe mathématique ([[wikt:paradoxe|deuxième sens du wiktionnaire]] soit la "proposition qui contient ou implique une contradiction").

On lance trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que toutes trois retombent du même côté, que ce soit ''pile'' ou ''face'' ?

La réponse est 1/4.

==== Problème de la Belle au bois dormant ====
{{article détaillé|Problème de la Belle au bois dormant}}
Le problème de la Belle au bois dormant est un [[paradoxe probabiliste]] polémique où deux interprétations contradictoires coexistent.

Le dimanche soir, alors que la Belle au bois dormant est endormie, nous lançons une pièce de monnaie pour un tirage à pile ou face.
# Si la pièce tombe sur ''face'', le lendemain (le lundi), on la réveille et on a un entretien avec elle (voir ci-dessous pour l'entretien).
# Si c’est ''pile'', on la réveille le lundi, on a un entretien avec elle, puis on la rendort en lui administrant un somnifère à effet amnésique pour lui faire complètement oublier la journée du lundi. Enfin on la réveille à nouveau le mardi et on a un autre entretien avec elle.
Durant l'entretien, qu'il soit uniquement le lundi, ou le lundi et le mardi, on lui pose la question : « Quelle est la probabilité que la pièce soit tombée sur ''pile'' ? » La princesse est parfaitement au courant des règles.

Deux raisonnements s'opposent. Le premier consiste à ne voir que la pièce de monnaie et la Belle répond 1/2. Le second consiste à voir l'ensemble des réveils et la Belle répond 2/3.

==== Paradoxe de St-Pétersbourg ====
{{article détaillé|Paradoxe de Saint-Pétersbourg}}
Ce paradoxe a été énoncé en 1713 par [[Nicolas Bernoulli (neveu)|Nicolas Bernoulli]]<ref>{{Article | prénom1 = Bernard| nom1 = Bru | prénom2 = Marie-France | nom2 = Bru | prénom3 = Kai Lai | nom3 = Chung | titre = Borel et la martingale de Saint-Pétersbourg | périodique = Revue d'histoire des mathématiques | lien périodique = Revue d'histoire des mathématiques|volume = 5 | numéro = 2 | année = 1999 | pages = 181-247 | url texte = http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/5/pdf/smf_rhm_5_181-247.pdf | consulté le = 15/01/12}}.</ref>. Le paradoxe de Saint-Pétersbourg se résume à la question suivante : pourquoi alors que mathématiquement l'espérance de gain à un jeu est infinie, les joueurs refusent-ils de jouer tout leur argent ? Il s'agit donc non d'un problème purement mathématique mais d'un paradoxe du comportement des êtres humains face aux événements d'une [[variable aléatoire]] dont la valeur est probablement petite, mais dont l'[[espérance mathématique|espérance]] est [[infini]]e. Dans cette situation, ne prendre en compte que cette espérance dicte une décision qu'aucun acteur ''raisonnable'' ne prendrait : il faut jouer à tout prix.

==== Paradoxe de Penney ====
Cette énigme mathématique a été énoncée en 1969 par [[Walter Francis Penney|Walter Penney]]<ref>{{article |langue=anglais |auteur=Walter Penney |titre=Problem 95: Penney-Ante |périodique=Journal of Recreational Mathematics |numéro=2 |date=1969 |issn=0022-412X |page=241 }}</ref> puis reprise en détail plus tard par [[Martin Gardner]] en 1974<ref>{{article|auteur=Martin Gardner|titre=Mathematical games|périodique=Scientific American|numéro=231, n°4|année=1974|page=120-125}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} {{pdf}} {{Lien web | url = http://www.ijpam.eu/contents/2010-59-3/10/10.pdf | titre = Pattern matching probabilities and paradoxes as a new variation on Penney's coin game | auteur= Yutaka Nishiyama| jour = 1 | mois = avril | année= 2010 | lieu = [[Ōsaka]], [[Japon]] | consulté le =3 août 2011}}</ref>.

Deux joueurs ''A'' et ''B'' s'affrontent dans une série de lancers de pièce. Chacun d'eux choisit une configuration formée d'une suite de trois piles ou faces. Par exemple, A choisit la configuration ''PPF'' = (''pile'', ''pile'', ''face''), et B la configuration ''FPP''(= ''face'', ''pile'', ''pile''). On lance ensuite une pièce plusieurs fois de suite jusqu'à ce qu'une des deux configurations apparaisse, désignant ainsi le gagnant. Avec les configurations précédentes, le jeu n'est pas équilibré. ''B'' a trois fois plus de chance de gagner que ''A''. En effet, distinguons les différents cas :
* Si le premier lancer est ''face'', alors quoi qu'il arrive ''B'' va finir par gagner. En effet, ''A'' ne peut plus gagner car il lui faudrait obtenir ''PP'' puis ''F'', or au moment où ''PP'' arrive, il y a alors ''FPP'' : ''B'' a gagné.
* Si les deux premiers lancers sont ''pile'' puis ''face'', pour la même raison, ''B'' gagne.
* Si les deux premiers lancers sont ''pile'' puis ''pile'', alors quoi qu'il arrive ''A'' gagne.
Ainsi, sur les quatre configurations possibles des deux premiers lancers (''FF'', ''FP'', ''PF'', ''PP''), trois mènent à la victoire de ''B'' tandis qu'une seule permet à ''A'' de gagner. Ces quatre configurations étant équiprobables, il en résulte que ''B'' a bien trois fois plus de chance de gagner que ''A''.

Un double paradoxe apparaît alors<ref>{{article|auteur=Jean-Paul Delahaye|titre=Les surprises du jeu de pile ou face|périodique=Pour la Science|numéro=409|date=novembre 2011|page=146-151}}</ref> :
* En premier lieu, la configuration ''FPP'' apparaît plus probablement avant la configuration ''PPF''. Pourtant, on montre que les [[temps d'arrêt]] des deux configurations ont la même [[Espérance mathématique|espérance]] : en moyenne, il faut lancer la pièce huit fois pour obtenir l'une ou l'autre des deux configurations.
* D'autre part, les configurations ayant la même espérance de temps d'arrêt que ci-dessus sont ''PPF'', ''PFF'', ''FFP'' et ''FPP'', mais il est plus probable que ''PPF'' arrive avant ''PFF'' (deux chances contre une), que ''PFF'' arrive avant ''FFP'' (trois chances contre une), que ''FFP'' arrive avant ''FPP'' (deux chances contre une) et que ''FPP'' arrive avant ''PPF'' (trois chances contre une). Ainsi, il est impossible d'établir une [[relation d'ordre]] sur l'ensemble des configurations reflétant leur probabilité de gagner, puisque la hiérarchie entre configuration n'est pas [[Relation transitive|transitive]]. Si le jeu est modifié pour que le second joueur choisisse sa configuration après le premier, on obtient une variante probabiliste du jeu [[pierre-papier-ciseaux]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}

=== Références ===
{{Références}}

== Annexes ==
{{Autres projets|wikt=pile ou face|wiktionary titre=pile ou face|commons=Category:Coin flipping}}

=== Articles connexes ===
==== Jeu ====
* [[Jeu de hasard]].
* [[TI-Basic#Jeu du pile ou face|Simulation d'un jeu en TI-Basic]].

==== Numismatique ====
{{colonnes|taille=20|1=
* [[Avers (numismatique)]]
* [[Coin (numismatique)#Coins de pile et de face|Coin en numismatique]].
* [[Franc français]].
* [[Pièce de monnaie]].
* [[Pièce de collection en euros]].
* [[Pièces en euro de la France]].
* [[Pièces en euros destinées à la circulation]].
* [[Revers (numismatique)]].
}}

==== Mathématiques ====
{{colonnes|taille=20|1=
* [[Loi de Bernoulli]].
* [[Paradoxe de Saint-Pétersbourg]].
* [[Problème de la Belle au bois dormant]].
* [[Paradoxe des trois pièces de monnaie]].
* [[Processus de Bernoulli]].
* [[Tirage au sort]].
}}

{{Portail|jeu|numismatique|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Jeu de hasard pur]]
[[Catégorie:Tirage au sort]]
[[Catégorie:Expérience aléatoire]]