Voir la source de Plan affine arguésien

{{Images|légende=Axiome de Desargues.|image1=Axiome_de_Désargues.svg|légende1=Cas de trois droites concourantes.|image2=Desargues on Parallels.svg|légende2=Cas de trois droites parallèles.}}
Dans une approche [[Axiome|axiomatique]] de la [[géométrie affine]], un '''plan affine arguésien''' ou '''plan affine de [[Girard Desargues|Desargues]]''' (ou ''desarguésien'') est un [[plan affine (structure d'incidence)|plan affine au sens des axiomes d'incidence]], vérifiant de plus l'''axiome de Desargues'' :

{{énoncé|Pour toutes droites distinctes ''d''{{ind|1}}, ''d''{{ind|2}} et ''d''{{ind|3}} concourantes ou parallèles et pour tous points ''A''{{ind|1}} et ''B''{{ind|1}} incidents à ''d''{{ind|1}}, ''A''{{ind|2}} et ''B''{{ind|2}} incidents à ''d''{{ind|2}}, ''A''{{ind|3}} et ''B''{{ind|3}} incidents à ''d''{{ind|3}},<center>si (''A''{{ind|1}}''A''{{ind|2}})//(''B''{{ind|1}}''B''{{ind|2}}) et (''A''{{ind|2}}''A''{{ind|3}})//(''B''{{ind|2}}''B''{{ind|3}}) alors (''A''{{ind|1}}''A''{{ind|3}})//(''B''{{ind|1}}''B''{{ind|3}}).</center>
}}

Ajouté aux axiomes d'incidence des plans affines, qui permettent de définir les [[homothétie]]s et les [[translation]]s, cet axiome équivaut à l'existence de suffisamment d'homothéties (dans le cas de [[droites concourantes]]) et de translations (dans le cas de droites parallèles). De ce fait, tout plan de Desargues se réalise comme un plan [[Espace affine|affine sur un corps]] ''K'' (éventuellement [[corps gauche|non commutatif]]), dont le [[plan vectoriel]] directeur est défini comme l'ensemble des translations du plan ; le [[Groupe des unités|groupe multiplicatif]] de ''K'' s'identifie au groupe des homothéties de centre un point donné. [[Réciproque]]ment, d'après le [[Théorème de Desargues#Plan affine|théorème de Desargues]], tout plan affine, au sens « espace affine de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 2 sur un [[Corps (mathématiques)|corps]] », satisfait (les axiomes d'incidence et) l'axiome de Desargues.

En dimension supérieure ou égale à 3, la propriété de Desargues est un théorème qui se démontre à l'aide des seuls [[axiomes d'incidence de la géométrie affine]].
 
Pour un plan affine arguésien, la [[Corps commutatif|commutativité du corps]] [[Scalaire (mathématiques)|sous-jacent]] équivaut à la [[Théorème de Pappus|propriété de Pappus]], que l'on peut prendre pour axiome. On appelle alors '''plan affine de Pappus''' un plan affine arguésien vérifiant l'axiome de Pappus. Il s'avère que l'axiome de Desargues devient alors redondant, d'après le [[théorème de Hessenberg]].

== Homothéties-translations ==

=== Définition, unicité et nature ===
[[Image:Image par homothétie-translation 1.svg|vignette|Construction de l'image de ''M'' à partir de celles de ''A'' et ''B''.]]
{{Voir|Plan affine (structure d'incidence)#Dilatations{{!}}Homothéties-translations dans un plan affine quelconque}}

Une homothétie-translation d'un plan affine (non nécessairement arguésien) est par définition une [[bijection]], de l'ensemble des points dans lui-même, qui [[Image directe|envoie]] (bijectivement) toute droite sur une droite parallèle. L'application induite, de l'ensemble des droites dans lui-même, est alors également bijective.

Une homothétie-translation est entièrement déterminée par les images de deux points distincts, c'est-à-dire qu'étant donnés quatre points ''A'', ''B'', ''A{{'}}'' et ''B{{'}}'' avec ''A'' ≠ ''B'', il existe au plus une homothétie-translation qui envoie ''A'' sur ''A{{'}}'' et ''B'' sur ''B{{'}}''.

D'après cette unicité, une homothétie-translation différente de l'[[Application identité|identité]] a au plus un [[point fixe]]. Si elle en a un, on dit que c'est une homothétie de centre ce point ; si elle n'en a pas, on l'appelle translation. L'identité est considérée à la fois comme une homothétie (de centre arbitraire) et comme une translation.
* Une translation est uniquement définie par l'image d'un point.
* Une homothétie est uniquement définie par son centre ''O'' et l'image d'un point distinct de ''O''.

=== Existence ===
Pour quatre points ''A'', ''B'', ''A{{'}}'' et ''B{{'}}'' avec ''A'' ≠ ''B'', une condition nécessaire pour qu'il existe une homothétie-translation envoyant ''A'' sur ''A{{'}}'' et ''B'' sur ''B{{'}}'' est que ''A{{'}}'' soit différent de ''B{{'}}'' et que les droites (''AB'') et (''A{{'}}B{{'}}'') soient parallèles. En présence de l'axiome de Desargues, cette condition nécessaire est aussi suffisante.

{{Théorème|Dans un plan affine de Desargues, si ''A'' ≠ ''B'', ''A{{'}}'' ≠ ''B{{'}}'' et si (''AB'') et (''A{{'}}B{{'}}'') sont parallèles, alors il existe une (unique) homothétie-translation qui envoie ''A'' sur ''A{{'}}'' et ''B'' sur ''B{{'}}''.|style=display:table}}

Il suffit de démontrer que :
* pour tous points ''C'' et ''C{{'}}'', il existe une translation qui envoie ''C'' sur ''C{{'}}'' ;
* pour tous points [[alignement (géométrie)|alignés]] ''O'', ''D'' et ''D{{'}}'' avec ''D'' et ''D{{'}}'' distincts de ''O'', il existe une homothétie de centre ''O'' qui envoie ''D'' sur ''D{{'}}''.
En effet, le premier point fournira une translation ''t'' qui envoie ''A'' sur ''A{{'}}'' ; le point ''t''(''B'') étant alors sur (''A{{'}}B{{'}}'') et distinct de ''A{{'}}'', le second point fournira une homothétie ''h'' de centre ''A{{'}}'' qui envoie ''t''(''B'') sur ''B{{'}}'', et l'homothétie-translation ''h''∘''t'' enverra bien ''A'' sur ''A{{'}}'' et ''B'' sur ''B{{'}}''.

Le premier point équivaut à l'axiome de Desargues dans le cas de trois droites parallèles et le second équivaut à l'axiome dans le cas de trois droites concourantes<ref>{{Harvsp|Artin|1957|p=71-73}}.</ref>. Démontrons, pour le premier point, l'implication utile ici (elle se démontre de même pour le second point).

{{Démonstration/début|titre=Construction d'une translation qui envoie ''C'' sur ''C{{'}}''.}}
On peut supposer ''C'' ≠ ''C{{'}}'' (car dans le cas d'égalité, la solution évidente est l'identité).

Soit ''t{{ind|C,C{{'}}}}'' l'application, définie seulement sur le plan privé de la droite (''CC{{'}}''), qui envoie chaque point ''M'' ∉ (''CC{{'}}'') sur le point d'intersection ''M{{'}}'' de la parallèle à (''CC{{'}}'') passant par ''M'' et de la parallèle à (''CM'') passant par ''C{{'}}''.

Les deux points ''M'' et ''M{{'}}'' étant alors distincts, on peut définir de même une application ''t{{ind|M,M{{'}}}}'', sur le plan privé de la droite (''MM{{'}}''). Cette application envoie ''C'' sur ''C{{'}}''.

D'après l'axiome de Desargues, ''t{{ind|M,M{{'}}}}'' et ''t{{ind|C,C{{'}}}}'' coïncident en tout point qui n'est ni sur (''CC{{'}}''), ni sur (''MM{{'}}''). Elles ont donc un prolongement commun ''t'' à tout le plan. Montrons que ''t'' est une dilatation. Soient ''U'' et ''V'' deux points distincts, il faut montrer que leurs images par ''t'' sont distinctes et définissent une droite parallèle à (''UV'').

Le seul cas problématique est celui où ''U'' est sur l'une des deux droites (''CC{{'}}'') ou (''MM{{'}}'') et ''V'' est sur l'autre (dans les autres cas, on peut utiliser ''t{{ind|M,M{{'}}}}'' ou ''t{{ind|C,C{{'}}}}'' pour calculer les images). Dans ce cas, en supposant que notre plan est d'[[Plan affine (structure d'incidence)#Ordre d'un plan affine|ordre]] au moins 3 (ce qui est légitime, sachant déjà que l'unique [[Plan affine (structure d'incidence)#Plans affines finis et questions ouvertes|plan affine d'ordre 2]] vérifie le théorème), on peut choisir un point ''N'' qui n'est ni sur (''CC{{'}}''), ni sur (''MM{{'}}''), et utiliser ''t{{ind|N,N{{'}}}}'' (construit de la même façon que ''t{{ind|M,M{{'}}}}'').
{{Démonstration/fin}}

=== Composition ===
Les homothéties-translations forment un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] pour la [[Composition de fonctions|composition]], noté ''G'', et les translations forment un [[sous-groupe normal]], noté ''E''(''P''). Les translations de [[Plan affine (structure d'incidence)#Homothéties et translations|direction]] donnée forment également un sous-groupe normal.

Si le plan ''P'' est arguésien, le groupe ''E''(''P'') sera noté additivement, pour la raison suivante.

{{Théorème|Si le plan ''P'' est arguésien, le groupe ''E''(''P'') des translations est [[Groupe abélien|commutatif]]<ref>{{Harvsp|Artin|1957|p=57}}. La preuve utilise seulement qu'il existe des translations qui n'ont pas même direction {{supra|Existence}}, et montre implicitement que si un groupe ''G'' est réunion d'une famille de sous-groupes normaux propres se coupant trivialement deux à deux, ''G'' est abélien.</ref>.|style=display:table}}

{{Démonstration/début}}
Notons ''E{{ind|d}}'' le sous-groupe des translations de direction ''d'' fixée, et ''S'' son [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]]. Pour toute translation ''s'' ∈ ''S'', de direction ''d{{'}}'' ≠ ''d'', les sous-groupes ''E{{ind|d}}'' et ''E{{ind|d{{'}}}}'' étant normaux et d'intersection [[Groupe trivial|triviale]], ''s'' [[Commuter|commute avec]] tout élément de ''E{{ind|d}}'', d'après les [[Commutateur (théorie des groupes)#Quelques faits|propriétés générales des commutateurs]].

Or le sous-groupe ''E{{ind|d}}'' est [[Sous-groupe#Sous-groupe propre|propre]] — au sens : distinct de ''E''(''P'') — donc [[Partie génératrice d'un groupe#Partie génératrice d'un groupe|son complémentaire ''S'' engendre ''E''(''P'')]]. D'après le point précédent, le [[centralisateur]] de ''E{{ind|d}}'' est donc ''E''(''P'') tout entier, c'est-à-dire qu'une translation de direction (quelconque) ''d'' commute avec toutes les translations.
{{Démonstration/fin}}

Les homothéties de centre fixé ''O'' forment un sous-groupe de ''G'', dont on montrera {{infra|Réciproque}} qu'il est isomorphe au [[Groupe des unités|groupe multiplicatif]] d'un corps ''K'' tel que ''P'' soit un ''K''-espace affine.

== Structure d'espace affine ==

=== Espace affine de dimension 2 ===
{{article détaillé|Plan affine|Théorème de Desargues#Plan affine{{!}}Théorème de Desargues}}
Un [[espace vectoriel]] (à gauche) sur un [[corps gauche|corps]] ''K'' (corps des [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]]) est un [[groupe commutatif]] (''E'', +) (dont les éléments sont appelés [[vecteur]]s), muni d'une [[loi externe]] ''K''×''E'' → ''E'' vérifiant les relations de [[distributivité]] et d'« [[associativité]] » suivantes, valables pour tous vecteurs <math>v,w\in E</math> et pour tous scalaires <math>\lambda,\mu\in K</math> :
<center><math>\lambda.(v+w)=\lambda.v+\lambda.w\quad{\rm et}\quad\lambda.(\mu.v)=(\lambda\mu).v.</math></center>
Un [[Espace affine#Première définition|espace affine d'espace vectoriel directeur ''E'']] est un ensemble ''A'' muni d'une [[Action de groupe (mathématiques)#Caractéristiques des actions de groupe|action libre et transitive]] du groupe (''E'', +) sur ''A''.

Les espaces affines de [[Dimension d'un espace affine|dimension]] 2 sont des plans affines de Desargues.

=== Réciproque ===
Montrons que réciproquement, tout plan affine de Desargues ''P'' est un espace affine de dimension 2 dont le plan vectoriel directeur (sur un corps non nécessairement commutatif) est le groupe des translations de ''P''.

Comme le groupe ''E''(''P'') des translations est commutatif, l'ensemble de ses [[morphisme de groupes|endomorphismes]] est [[Anneau unitaire#Exemples d'anneaux non commutatifs|naturellement muni d'une structure d'anneau]] (avec + comme addition et ∘ comme multiplication, donc avec comme neutre additif l'endomorphisme nul, noté 0 — qui à toute translation associe le neutre id{{ind|''P''}} de ''E''(''P'') — et comme neutre multiplicatif l'identité de ''E''(''P''), notée 1). Le groupe ''E''(''P'') est muni d'une [[Module sur un anneau#Exemples|structure naturelle de module à gauche sur cet anneau]].

Le sous-ensemble des endomorphismes qui préservent la direction est un [[sous-anneau]], noté ''K'', et ''E''(''P'') est donc un ''K''-module. C'est même un ''K''-espace vectoriel, car :
{{Théorème|(''K'', +, ∘) est un [[Corps (mathématiques)|corps]]<ref>{{Harvsp|Artin|1957|p=58-63}}, en ne supposant l'axiome de Desargues que dans le cas de trois droites parallèles {{supra|Existence}}.</ref>.|style=display:table}}

{{Démonstration/début}}
Soient σ un endomorphisme non nul de ''E''(''P'') qui préserve la direction, et ''O'' un point arbitraire. Montrons qu'il existe une homothétie ''h'' de centre ''O'' telle que l'action de σ sur ''E''(''P'') soit la [[Action par conjugaison|conjugaison]] par ''h'' (cela prouvera que σ est inversible dans ''K'', avec comme inverse la conjugaison par ''h''{{-1}}).

Pour tous points ''A'' et ''B'', notons ''t''{{ind|''A'',''B''}} la translation qui envoie ''A'' sur ''B'', puis définissons ''h'' par ''h''(''M'') = σ(''t''{{ind|''O'',''M''}})(''O'').

Alors (puisque σ est un morphisme) ''h''(''O'') = ''O'' et σ(''t''{{ind|''A'',''B''}})(''h''(''A'')) = ''h''(''B'') donc (puisque de plus σ préserve la direction) si ''B'' ≠ ''A'', ''h''(''B'') est sur la parallèle à (''AB'') passant par ''h''(''A''), c'est-à-dire que ''h'' est une [[Plan affine (structure d'incidence)#Dilatations|dilatation]].

Enfin, ''h'' n'est pas [[Application constante|constante]] (sinon on aurait, pour tout ''M'' : σ(''t''{{ind|''O'',''M''}})(''O'') = ''h''(''M'') = ''h''(''O'') = ''O'' c'est-à-dire : pour toute translation ''t'', σ(''t'') = id{{ind|''P''}} donc σ = 0).

Ainsi, ''h'' est une [[Plan affine (structure d'incidence)#Dilatations|dilatation non constante donc bijective]] et pour toute translation ''t'', les translations ''h''∘''t''∘''h''{{-1}} et σ(''t'') sont bien égales puisque pour tout ''M'', (''h''∘''t''{{ind|''O'',''M''}}∘''h''{{-1}})(''O'') = (''h''∘''t''{{ind|''O'',''M''}})(''O'') = ''h''(''M'') = σ(''t''{{ind|''O'',''M''}})(''O'').
{{Démonstration/fin}}

L'action naturelle de ''E''(''P'') sur ''P'' est bien libre et transitive, ce qui fait de ''P'' un espace affine de direction le ''K''-espace vectoriel ''E''(''P'').

{{Théorème|Les sous-espaces affines de dimension 1 du ''K''-espace affine ''P'' sont exactement les droites initialement données par la relation d'incidence.|style=display:table}}

{{Démonstration/début}}
Un sous-espace affine de dimension 1 de ''P'' est un ensemble de points de la forme (''Kt'')(''O''), pour tout point ''O'' et toute translation ''t'' différente de l'identité. Le point (0''t'')(''O'') est simplement id(''O'') = ''O''. D'après la preuve du théorème précédent, les autres points (σ''t'')(''O'') sont les points de la forme ''h''∘''t''∘''h''{{-1}}(''O'') = ''h''(''A''), où ''h'' parcourt les homothéties de centre ''O'' et où ''A'' désigne le point ''t''(''O''). L'ensemble (''Kt'')(''O'') est donc la droite (''OA'') (au sens de la relation d'incidence) et réciproquement, toute droite s'écrit sous cette forme.
{{Démonstration/fin}}

Enfin, la dimension de ''P'' est nécessairement 2, ni plus (d'après le {{3e}} [[Plan affine (structure d'incidence)|axiome d'incidence]]), ni moins (d'après le {{2e}}).

L'éventuelle commutativité du corps ''K'' dépend d'un axiome supplémentaire, la propriété de Pappus (version affine) :
[[Fichier:PappusAffine.svg|vignette|Axiome de Pappus affine : Si les points A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> et C<sub>1</sub> sont alignés, de même que les points A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub> et C<sub>2</sub>, et si les droites (B<sub>1</sub>C<sub>2</sub>) et (C<sub>1</sub>B<sub>2</sub>) sont parallèles, de même que les droites (A<sub>1</sub>B<sub>2</sub>) et (B<sub>1</sub>A<sub>2</sub>), alors les droites (A<sub>1</sub>C<sub>2</sub>) et (C<sub>1</sub>A<sub>2</sub>) sont parallèles.]]

== Plan affine de Pappus ==
Un plan affine de [[Pappus d'Alexandrie|Pappus]] est un plan affine arguésien vérifiant l'[[théorème de Pappus|axiome de Pappus]] affine (énoncé ci-contre).

On suppose les points A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> et C<sub>1</sub> alignés, les points A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub> et C<sub>2</sub> sont également alignés sur une [[droite sécante]] avec la précédente en O, et les droites (B<sub>1</sub>C<sub>2</sub>) et (C<sub>1</sub>B<sub>2</sub>) parallèles, de même que les droites (A<sub>1</sub>B<sub>2</sub>) et (B<sub>1</sub>A<sub>2</sub>).

Soit ''h''<sub>1</sub> l'homothétie de centre O qui envoie A<sub>1</sub> sur B<sub>1</sub>, et ''h''<sub>2</sub>, l'homothétie de centre O qui envoie C<sub>2</sub> sur B<sub>2</sub>. On déduit des conditions de parallélisme que ''h''<sub>2</sub> ∘ ''h''<sub>1</sub>(A<sub>1</sub>) = C<sub>1</sub> et ''h''<sub>1</sub> ∘ ''h''<sub>2</sub>(C<sub>2</sub>) = A<sub>2</sub>. Les droites
(A<sub>1</sub>C<sub>2</sub>) et (C<sub>1</sub>A<sub>2</sub>)sont parallèles si et seulement si les deux homothéties de centre O (définies chacune par l'image d'un point distinct de O) ''h''<sub>2</sub> ∘ ''h''<sub>1</sub> et ''h''<sub>1</sub> ∘ ''h''<sub>2</sub> sont identiques, c'est-à-dire si et seulement si le produit des rapports des deux homothéties ''h''<sub>1</sub> et ''h''<sub>2</sub> est commutatif. 

Ceci assure l'équivalence (dans un plan affine arguésien) entre la commutativité du corps associé et l'axiome de Pappus, sachant que les cas particuliers de l'axiome non pris en compte sont soit triviaux (points A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub>, C<sub>1</sub> et A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub>, C<sub>2</sub> tous alignés), soit déjà démontrables dans un plan affine arguésien (droite passant par A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> et C<sub>1</sub> strictement parallèle à la droite passant par A<sub>2</sub>, B<sub>2</sub>, et C<sub>2</sub>)<ref>Ce cas particulier du théorème de Pappus se déduit du cas particulier de l'axiome de Desargues où les trois droites sont parallèles, {{harvsp|Rothe}}, Th. 3.9.</ref>, ainsi que déductibles du cas principal<ref>{{Article|lang=en|titre=A note on affine Pappus conditions|doi=10.4153/CMB-1967-043-2<!--https://books.google.fr/books?id=heyoH7PQKf8C&pg=PA453 https://cms.math.ca/10.4153/CMB-1967-043-2-->|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#C|Canad. Math. Bull.]]|vol=10|année=1967|p.=453-457|auteur=N. D. Lane}}.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Emil Artin]]|titre=Geometric Algebra|lieu=New York|éditeur=Interscience Publishers|année=1957|lire en ligne=https://archive.org/details/geometricalgebra033556mbp}}. Trad. fr. ''Algèbre géométrique'', réimpr. [[Éditions Jacques Gabay|Jacques Gabay]], 1996, chap. II.
* {{Chapitre|lang=en|titre ouvrage=Handbook of Spatial Logics|page=343-428|titre=Logical Theories for Fragments of Elementary Geometry|auteur=P. Balbiani|auteur2=V. Goranko|auteur3=R. Kellerman|auteur4=D. Vakarelov|url={{Google Livres|w6_T3KqZnrYC}}|auteurs ouvrage=M. Aiello, I. Pratt-Hartmann et J. van Benthem|année=2007|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]}}, [http://www2.compute.dtu.dk/~vfgo/papers/HandbookSpatialLogics-LOGICAL%20THEORIES%20FOR%20FRAGMENTS%20OF%20ELEMENTARY%20GEOMETRY-final%20draft%20060712.pdf preprint]. Voir en particulier {{p.|372-376}} ({{p.|32-36}} du preprint) les diverses formes des axiomes de Desargues et de Pappus du plan affine et les liens logiques entre elles.
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Jacqueline Lelong-Ferrand]]|titre=Fondements de la géométrie|lieu=Paris|éditeur=[[PUF]]|année=1985|pages totales=287|isbn=2-13-038851-5}}, chap. V.
* {{Lien web|lang=en|url=<!-- http://math2.uncc.edu/~frothe/3181alleuclid1_3.pdf
-->https://archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20160506225519%2Fhttp%3A%2F%2Fmath2.uncc.edu%2F~frothe%2F3181alleuclid1_3.pdf |titre=Pappus', Desargues' and Pascal's Theorems|auteur=Franz Rothe|site=[[Université de Caroline du Nord à Charlotte|UNC Charlotte]]}}.

=== Articles connexes ===
* [[Plan projectif arguésien]]
* [[Plan de Moufang]]

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Axiome de la géométrie]]
[[Catégorie:Géométrie affine]]