Voir la source de Plus petit commun multiple

{{Voir homonymie|PPCM}}
[[File:Symmetrical 5-set Venn diagram LCM 2 3 4 5 7.svg|thumb|[[Diagramme de Venn]] montrant les 
plus petits communs multiples de 2, 3, 4, 5 et 7.]]
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[arithmétique élémentaire|arithmétique]], le '''plus petit commun multiple''' – en abrégé '''PPCM''' – (peut s'appeler aussi '''PPMC''', soit « '''plus petit multiple commun''' ») de deux [[Entier relatif|entiers]] non nuls ''a'' et ''b'' est le plus petit entier strictement positif qui soit [[multiple (mathématiques)|multiple]] de ces deux nombres. On le note ''a'' ∨ ''b''<ref>Cette notation, utilisée plus généralement pour la borne supérieure dans les [[Treillis (ensemble ordonné)|treillis]] ici celui de la divisibilité, sert également pour la [[disjonction logique]].</ref> ou PPCM(''a'', ''b''), ou parfois simplement [''a'', ''b'']<ref>La notation correspondante pour le PGCD est (''a'', ''b'').</ref>.

Plus généralement, le PPCM se définit pour un nombre quelconque d'éléments : le PPCM de ''n'' entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple simultanément de ces ''n'' entiers.

On peut également définir le PPCM de ''a'' et ''b'' comme un multiple commun de  ''a'' et de ''b'' qui [[divise]] tous les autres. Cette seconde définition se généralise à un [[anneau commutatif]] quelconque, mais on perd en général l'existence et l'unicité ; on parle alors d'''un'' PPCM de deux éléments. L'existence est assurée dans les [[Anneau factoriel|anneaux factoriels]].

== PPCM de nombres entiers ==

=== Définition et existence ===
La définition historique du PPCM a été établie par [[Euclide]] pour deux [[Entier naturel|entiers naturels]] non nuls : PPCM (''a, b'') est le plus petit entier naturel non nul qui soit [[Multiple (mathématiques)|multiple]] de ''a'' et de ''b ,'' où ''a'' et ''b'' sont des entiers naturels non nuls{{Sfn|Burat|1891|p=89-90}}.

Cette définition a été élargie depuis au cas où l'un des entiers est nul par la définition : PPCM (a, 0) = 0. Puis au cas de tous les entiers, par la définition : PPCM(a, b) = PPCM (|''a''|, |''b''|) avec |''a''|=a si a>0 et |''a''|=-a sinon. 

La définition moderne du PPCM est donc la suivante, pour ''a'' et ''b'' [[Entier relatif|entiers relatifs]] :
* si ''a'' ou ''b'' est nul, PPCM(''a'', ''b'') = 0 ;
* si ''a'' et ''b'' sont non nuls, l'[[ensemble]] des entiers strictement positifs qui sont multiples à la fois de ''a'' et de ''b'' est non [[Ensemble vide|vide]], car il contient |''ab''|. Il possède donc un [[plus petit élément]]<ref>La démonstration formelle de l'existence de ce plus petit entier dépasse le cadre de cet article.</ref>, et c'est cet entier (strictement positif) que l'on appelle le PPCM de ''a'' et ''b'' :
<center><math>\operatorname{PPCM}(a,b)=\min\left(\left\{ m\in\N^*\mid a|m~{\rm et}~b|m\right\}\right)</math>.</center>Cette définition peut être étendue à un nombre quelconques d'entiers, avec, par exemple pour trois entiers ''a, b, c'' :<center><math>\operatorname{PPCM}(a,b, c)=\min\left(\left\{ m\in\N^*\mid a|m~{\rm,}~b|m{\rm,}~c|m \right\}\right)</math>.</center>Tous les raisonnements et toutes les propriétés du PPCM d'entiers relatifs sont donc ceux du PPCM d'entiers naturels : dans la suite de ce chapitre, les nombres ''a, b, c'', etc. seront donc supposés être des entiers positifs ou nuls.

=== Propriétés ===
Soient {{math|''a'', ''b'', ''c''}} trois entiers naturels.
* <math>\operatorname{PPCM}(a,a)=a</math><ref name=":1">Ces trois propriétés constituent une caractérisation fonctionnelle du PPCM.</ref>
* <math>\operatorname{PPCM}(a,b)=\operatorname{PPCM}(b,a)</math><ref name=":1" />
*les multiples communs à ''a'' et ''b'' sont les multiples de <math>\operatorname{PPCM}(a,b)</math><ref name="w">Pour une démonstration, voir par exemple « PPCM » sur [[Wikiversité]] {{infra|Voir aussi}}.</ref>; en particulier : <math>\operatorname{PPCM}(a,b)=a\iff b\mid a</math>
*<math>\operatorname{PPCM}(ac,bc)=c\operatorname{PPCM}(a,b)</math><ref name="w" />
* <math>(b-a)\operatorname{PPCM}(a,b)=b\operatorname{PPCM}(a,b-a)</math> pour <math>b\geqslant a</math><ref name=":1" />
*<math>\operatorname{PPCM}(a,b,c)=\operatorname{PPCM}(\operatorname{PPCM}(a,b),c)=\operatorname{PPCM}(a,\operatorname{PPCM}(b,c))</math>, propriété qui peut être étendue à un nombre arbitraire d'éléments et qui montre qu'on peut calculer le PPCM de plusieurs nombres progressivement à partir du PPCM de deux nombres

=== Relations entre PPCM et PGCD ===
Le PPCM et le [[Plus grand commun diviseur de nombres entiers|plus grand commun diviseur]] (PGCD) de nombres entiers sont reliés par plusieurs formules, notamment :
*<math>\operatorname{PPCM}(a,b)\times\operatorname{PGCD}(a,b)=ab</math>{{Sfn|Burat|1891|p=92-93}}
*<math>\operatorname{PGCD}(a,\operatorname{PPCM}(a,b))=\operatorname{PPCM}(a,\operatorname{PGCD}(a,b))=a</math>
*<math>\operatorname{PGCD}(a,\operatorname{PPCM}(b,c))=\operatorname{PPCM}(\operatorname{PGCD}(a,b),\operatorname{PGCD}(a,c))</math>
*<math>\operatorname{PPCM}(a,\operatorname{PGCD}(b,c))=\operatorname{PGCD}(\operatorname{PPCM}(a,b),\operatorname{PPCM}(a,c))</math>
*<math>\operatorname{PGCD}(\operatorname{PPCM}(a,b),\operatorname{PPCM}(b,c),\operatorname{PPCM}(a,c))=\operatorname{PPCM}(\operatorname{PGCD}(a,b),\operatorname{PGCD}(b,c),\operatorname{PGCD}(a,c))</math>.

=== PPCM et facteurs premiers ===
D'après le [[théorème fondamental de l'arithmétique]], tout entier ''n'' naturel non nul s'écrit de manière unique à l'ordre près des facteurs comme un produit fini de nombres premiers. Donc si <math>a</math> et <math>b</math> sont deux entiers, et <math>p_1, p_2</math>, …, <math>p_k </math> sont les nombres premiers, rangés en ordre croissant, qui divisent <math>a</math> ou <math>b</math>, la décomposition de <math>a</math> en produit de facteurs premiers est de la forme  <math>a=p_1^{v_{ p_1 }(a)}\times p_2^{v_{ p_2 }(a)}\times</math>…..<math>\times p_k^{v_ { p_k }(a)}</math> = <math>\prod_{i=1}^{k} { p_i }^{ v_ { p_i }(a)}</math><ref>Le nombre de fois que l'entier premier ''p'' apparait dans cette écriture s'appelle la valuation [[Nombre p-adique|''p''-adique]] de ''n'', notée ''v<sub>p</sub>''(''n''). Un entier non nul ''m'' divise ''n'' si et seulement si pour tout ''p'', ''v<sub>p</sub>''(''m'') ≤ ''v<sub>p</sub>''(''n'').</ref>. De même, celle de <math>b</math> est de la forme  <math>b=\prod_{i=1}^{k} { p_i }^{ v_{ p_i }(b)}</math>. Alors {{Sfn|Stillwell|1998|p=20-21}}: <math>\mathrm{PPCM}(a, b)=\prod_{i=1}^{k}  { p_i }^{\max (v_{ p_i }(a), v_{ p_i }(b)) }</math>.

Cette propriété permet de calculer le PPCM de toute famille d'entiers, et de démontrer que tout multiple commun aux éléments de cette famille est un multiple de leur PPCM.

== Calcul du PPCM de nombres entiers ==

=== À l'aide du PGCD ===
Dès que l'un des deux entiers ''a'' ou ''b'' est non nul, leur PPCM peut être calculé en utilisant [[Plus grand commun diviseur de nombres entiers|leur plus grand commun diviseur]] (PGCD)<ref name="w" /> :
<center><math>\operatorname{PPCM}(a,b)=\dfrac{|a b|}{\operatorname{PGCD}(a,b)}</math>.</center>

Ainsi, l'[[algorithme d'Euclide]] pour le calcul du PGCD permet de calculer aussi le PPCM. A titre d'exemple, calculons PGCD(60, 168) avec l'algorithme d'Euclide :<br />168 = 60 × 2 + 48<br />60 = 48 × 1 + 12<br />48 = 12 × 4 + 0.

Donc PGCD(60, 168) = 12 et PPCM(60, 168) = (60×168)/12 = 840.

=== À l'aide de la décomposition en facteurs premiers ===
La [[décomposition en facteurs premiers]] du PPCM de ''n'' entiers strictement positifs contient tous les nombres premiers qui apparaissent dans au moins une des décompositions en facteurs premiers de ces ''n'' entiers, chacun affecté du plus grand [[Valuation#Valuation p-adique|exposant qui apparait dans celles-ci]]{{Sfn|Burat|1891|p=90-91}}.

On obtient donc une méthode de calcul du PPCM en décomposant chaque nombre en produit de [[Nombre premier|nombres premiers]].

Exemple : prenons les nombres 60 et 168 et décomposons les en produits de facteurs premiers. On a :
* 60 = 2×2×3×5 = 2{{2}}×3×5 ;
* 168 = 2×2×2×3×7 = 2{{3}}×3×7.

Pour le nombre premier 2, le plus grand exposant est 3. Pour les nombres premiers 3, 5 et 7, le plus grand exposant est 1. On a ainsi {{nobr|PPCM(60, 168) {{=}} 2{{3}}×3×5×7 {{=}} 840}}

== Généralisation à certains anneaux ==
Le concept de PPCM peut être étendu à d'autres ensembles mathématiques que celui des entiers relatifs, et notamment à certains [[Anneau (mathématiques)|anneaux]] comme les [[Anneau à PGCD|anneaux à PGCD]] : l'unicité et même l'existence du PPCM de deux éléments n'y sont pas garanties, mais le PPCM peut y être défini.

Dans les [[Anneau factoriel|anneaux factoriels]], qui sont des anneaux à PGCD dotés de propriétés supplémentaires, l'existence du PGCD et du PPCM de deux éléments est garantie, et leur unicité également, aux [[Élément inversible|éléments inversibles]] près<ref>{{Lien web |prénom=Thomas |nom=Bertin |titre=Leçon 142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications. |url=https://agreg-maths.fr/uploads/versions/4489/Le%C3%A7on_142_PGCD_PPCM_BERTIN.pdf |format=pdf |date=2022}}</ref>. On peut alors décomposer tout élément <math>a</math> non nul d'un tel anneau sous la forme : <math>a \sim \prod_{p} { p }^{ v_ { p }(a)}</math><ref>Dans un anneau factoriel, <math>a \sim b</math> veut dire qu'il existe un élément inversible <math>u</math> de l'anneau tel que <math>a=ub</math>.</ref>, qui est la généralisation de la décomposition en produits de facteurs premiers d'entiers.

Et le PGCD et le PPCM de <math>a</math> et de <math>b</math> sont définis comme :

<math>\mathrm{PGCD}(a, b) \sim \prod_{p} { p}^{\min (v_{ p }(a), v_{ p }(b)) }</math> 


<math>\mathrm{PPCM}(a, b) \sim \prod_{p} { p}^{\max (v_{ p }(a), v_{ p }(b)) }</math>

On a alors les relations suivantes :

<math>{\rm PGCD}(a,b) \times{\rm PPCM}(a,b) \sim ab</math>

<math>{\rm PPCM}(ac,bc)\sim c\times{\rm PPCM}(a,b)</math>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|prénom1=E.|nom1=Burat|titre=Traité d'arithmétique|lieu=Paris|éditeur=Belin Frères|année=1891|pages totales=377|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k8742294/f3.item|consulté le=13 mars 2025|plume=oui}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=John|nom1=Stillwell|titre=Numbers and Geometry|lieu=New York|éditeur=Springer|année=1998|pages totales=368|isbn=0-387-98289-2|lire en ligne=https://archive.org/details/numbersgeometry0000stil/mode/1up?view=theater|consulté le=15 mars 2025|plume=oui}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
|wiktionary=plus petit commun multiple
|v=Arithmétique/PPCM|wikiversity titre=PPCM}}
=== Articles connexes ===
* [[Livre VII des Éléments d'Euclide|Livre VII des ''Éléments'' d'Euclide]]
* [[Treillis (ensemble ordonné)]]
* [[Décomposition en produit de facteurs premiers]]

=== Lien externe ===
[http://www.ilemaths.net/calcul_outils_entiers_ppcm.php Outil en ligne calculant le PPCM de deux nombres]

{{Palette|Opérations binaires}}

{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Divisibilité et factorisation]]
[[Catégorie:Opération]]